58
Capitulo 2
PLANO
2.1. Ecuaciones del plano
2.1.1. Ecuación vectorial
Definición
Sean P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) un punto del espacio y
321
n,n,nn
un vector. El
plano que pasa por P
0
y es perpendicular al vector
n
, es el lugar geomé-
trico de los puntos del espacio tales que determinan con P
0
vectores per-
pendiculares a
n
(Fig. 2.1.).
En símbolos:
nPPπP πnπP
00
o también:
0nPPπPπnπP
00
59
Fig. 2.1.
En efecto:
1)
πPPP
0
π
Dos puntos de un plano determinan una recta
contenida e él.
nPP
0
Como
πn
, su dirección es perpendicular
a toda recta contenida en π, y en particular, al
vector dirección de
PP
0
.
0nPP
0
Ya que si dos vectores son perpendiculares, su
producto escalar es igual a 0.
2)
nPP0nPP
00
πPP
0
//
Por ser ambos perpendiculares a
n
πPP
0
Ya que, si un punto de una recta paralela a un
plano pertenece al plano, entonces todos los
puntos de la
recta pertenecen al mismo.
πP
60
Se ha demostrado así que los puntos del plano que pasan por P
0
y son
perpendiculares a
n
son aquellos, y sólo aquellos, que verifican la ecua-
ción:
0nPP
0
Ecuación vectorial del plano
1
Nota
En consecuencia, para escribir la ecuación vectorial de un plano es nece-
sario conocer un punto del plano y un vector normal a éste.
2.1.2. Ecuación cartesiana del plano
Si se resuelve el producto escalar planteado en
1
, se obtiene:
0n,n,nzz,yy,xx
321000
0zznyynxxn
030201
0znznynynxnxn
033022011
0znynxnznynxn
030201321
(2)
Haciendo:
DznynxnyCn; Bn;An
030201321
Ax +By +Cz +D = 0 (3) Ecuación cartesiana del plano
La ecuación cartesiana del plano, también llamada ecuación general
del plano, es una ecuación lineal en 3 variables.
Nota
Si se toma un vector cuyas componentes sean los coeficientes de x , y , z
en la ecuación cartesiana del plano, dicho vector será normal al plano.
En efecto, comparando las igualdades (2) y (3), se observa que:
61
(A, B, C) = (n
1
, n
2
, n
3
) (A, B, C)
Ejemplos
a) Escribir la ecuación vectorial y cartesiana del plano que pasa por el
puntos P
0
(1, 2, 3) y es perpendicular al vector
n
= ( 3, 4, 1)
PP
0
= (x 1, y 2, z 3)
(x 1, y 2, z 3)
( 3, 4, 1) = 0 Ecuación vectorial del plano
3(x 1) + 4(y 2) + 1( z 3) = 0
3x + 3 + 4y 8 + z 3 = 0
3x + 4y + z 8 = 0
3 x 4y z + 8 = 0 Ecuación cartesiana del plano
b) Dados los puntos A(3, 2, 0), B( 3, 5, 1) y C(0, 3, 2), escribir la
ecuación del plano determinado por ellos.
AB
= ( 6; 7; 1 )
AC
= ( 3 , 1 , 2 )
213
176
kji
ACABn
= ( 15, 9, 27)
62
Se toma
ACABn
porque por definición el producto vectorial de dos
vectores es otro vector perpendicular a cada uno de los factores, por lo
tanto es perpendicular al plano que ellos determinan.
0nAP
(x 3, y +2, z)
(15, 9, 27 ) = 0 Ecuación vectorial del plano
15 (x 3) 9(y +2 ) + 27z = 0
5x + 3y 9z 9 = 0 Ecuación cartesiana o general
c) Hallar la ecuación del plano que pasa por P
0
(1, 2, 3) y es perpendicu-
.
lar a los planos:
1
π
: 2x + 3y z 5 = 0 y
2
π
: x + y 8 = 0
De las ecuaciones de los planos se obtienen los vectores normales res-
pectivos
1
n
=(2, 3,1) y
2
n
= (1, 1, 0)
Se toma
21
nnn
porque el vector normal al plano buscado deberá ser
paralelo a la dirección de la recta de intersección de los planos dados.
21
nnn
=
011
132
kji
= (1, 1, 1)
63
(x 1, y 2, z 3) (1, 1, 1) = 0 Ecuación vectorial
x y z + 4 = 0 Ecuación cartesiana
2.2. Representación de planos
2.2.1. Ecuación segmentaria de un plano
Sea la ecuación general de un plano: Ax + By + Cz + D = 0.
Al pasar D al segundo miembro se obtiene:
Ax + By + Cz = D
Al dividir ambos miembros por D, resulta:
A
D
x
+
B
D
y
+
C
D
z
= 1
Haciendo: a =
A
D
, b =
B
D
, c =
C
D
, la ecuación queda
a
x
+
b
y
+
c
z
= 1
Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación Segmentaria del Plano.
Los denominadores a, b y c representan los puntos donde el plano
corta a cada uno de los ejes coordenados. (Fig. 2.2.)
Intersección del plano con el eje x : (a, 0, 0)
Intersección del plano con el eje y: (0, b, 0)
64
Intersección del plano con el eje z : (0, 0, c)
Fig. 2.2.
2.2.2. Representación de planos que no pasan por el origen de co-
ordenadas. (D
0)
2.2.2.1. A
0 , B
0 , C
0 o sea Ax+By+Cz+D=0
Por ejemplo:
Sea el plano x + 4y 5z 15 = 0 (Fig. 2.3.)
65
su ecuación segmentaria es:
1
3
z
4
15
y
15
x
Se tiene, un plano que no es perpendicular, ni paralelo, a ninguno de los
planos coordenados.
Fig.2.3.
2.2.2.2. A
0 , B
0, C= 0 o sea Ax+By+D=0
Por ejemplo:
Sea el plano, 3x +5y 15 = 0, (Fig. 2.4.) ,cuyo vector normal es
n
= (3, 5, 0) y su ecuación segmentaria:
5
x
+
3
y
= 1
66
Fig.2.4.
Cuando el coeficiente de z es 0 , el plano es perpendicular al plano xy o
lo que es lo mismo paralelo al eje z.
2.2.2.3. A
0 ; B =0 ; C
0 o sea Ax+Cz+D=0
Ejemplo:
Sea el plano, x z + 10 = 0
(Fig. 2.5.) ,cuyo vector normal
es
n
= (1, 0, 1) y su ecuación
segmentaria:
10
x
+
10
z
= 1.
El coeficiente de y es igual a
0, entonces el plano es per-
pendicular al plano xz o sea
paralelo al eje y.
Fig. 2.5.
67
2.2.2.4. A=0 ; B
0 ; C
0 o sea By+Cz=0
Ejemplo
Sea el plano 2y +z 5 = 0
(Fig. 2.6), cuyo vector normal
es
n
= (0,2, 1) y su ecuación
segmentaria:
2
5
y
+
5
z
= 1
El plano es perpendicular al
plano yz o sea paralelo al eje x.
Fig. 2.6.
2.2.2.5. A
0 ; B = C = 0 o sea Ax+D = 0
Ejemplo
Sea el plano 3x 6 =0 (Fig.2.7.) ,
cuyo vector normal es
n
= (3,0, 0) y
su ecuación segmentaria
2
x
= 1.
x = 2
El plano es perpendicular al eje x o
sea paralelo al plano yz
Fig. 2.7.
2.2.2.6. A= B = 0 ; C
0 o sea Cz+D = 0
68
Ejemplo
Sea el plano z + 5 = 0 (Fig. 2.8.)
Ecuación segmentaria
5
z
= 1.
z = 5
Fig. 2.8.
Plano perpendicular al eje z o sea, paralelo al plano xy.
2.2.2.7. A= C = 0 ; B
0 o sea By+D = 0
Ejemplo:
Sea el plano y + 3 = 0
(Fig. 2.9.)
Ecuación segmentaria
3
y
= 1
y = 3
Fig.2.9.
Plano perpendicular al eje y o sea, paralelo al plano xz.
69
2.2.3. Representación de planos que pasan por el origen de coor-
denadas.
La ecuación de estos planos carece de término independiente.
Si D = 0
el plano pasa por el origen.
El plano corta a los tres ejes en 0(0, 0, 0) por lo que no se puede escri-
bir la ecuación segmentaria.
2.2.3.1. A
0 ; B
0 ; C = 0 o sea Ax + By = 0
Como C=0 el plano es perpendicular al plano xy o sea es paralelo al eje
z. Además, como pasa por el origen de coordenadas en realidad contiene
el eje z.
Ejemplo:
Sea el plano 3x - 2y = 0
(Fig. 2.10.)
y
3
2
x
Fig. 2.10.
70
2.2.3.2. A
0 ; B = 0 ; C
0 o sea Ax + Cz = 0
Como B=0, el plano es perpendicular al plano xz o sea es paralelo al eje
y. Como, además, pasa por el origen de coordenadas en realidad contie-
ne el eje y.
Ejemplo:
Sea el plano 3x +2z = 0
(Fig. 2.11.)
x
2
3
z
Fig. 2.11.
2.2.3.3. A = 0; B
0 ; C
0 o sea By + Cz = 0
Como A=0, el plano es perpendicular al plano yz o sea es paralelo al eje
x. Como pasa por el origen de coordenadas en realidad contiene el eje x.
Ejemplo:
Sea el plano 2y + 5z = 0
(Fig. 2.12.)
y
5
2
z
Fig. 2.12.
71
2.2.3.4. A
0 ; B
0 ; C
0
o sea Ax + By + Cz = 0
El plano pasa por el origen de
coordenadas y no es perpendi-
cular a ninguno de los planos
coordenados
Ejemplo: (Fig. 2.13.)
Sea el plano3x - 2y - z = 0
Fig. 2.13.
2.3. Vector normal positivo del plano
2.3.1. Definición
Sea
: Ax + By + Cz + D = 0 un plano
Como se vió anteriormente,
n
= (A, B, C) es un vector normal al plano.
Si se divide este vector por
D
D
o sea por (+1) o (1) según que el tér-
mino D sea negativo o positivo respectivamente, se obtiene un vector
que tiene la misma dirección que
n
pero su sentido va siempre desde 0
(origen de coordenadas) hacia el plano. A ese vector se simboliza con
n
y se denomina, vector normal postivo del plano..
n
=
D
D
n
=
D
D
C
,
D
D
B
,
D
D
A
72
Definición:
Se denomina vector normal positivo de un plano a un vector que tiene
dirección perpendicular al plano y cuyo sentido va siempre desde el ori-
gen de coordenadas hacia el plano.
: Ax + By + Cz + D = 0
D
D
C
,
D
D
B
,
D
D
A
n
Ejemplos
1
: 3x +2y 4z +5 = 0
2
: 2x +3y 4z 5 = 0
n
= ( 3, 2 , 4 )
n
=
n
= ( 2, 3, 4)
n
= ( 3, 2, 4 )
n
=
n
2.3.2.. Versor normal positivo
Si se divide
n
por su módulo se obtiene un vector de igual dirección y
sentido pero de módulo 1 que se llama Versor Normal Positivo del plano
y se simboliza:
n
.
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