Física I – Dinámica del Cuerpo Rígido
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Índice
1. Introducción
2. Resultado de trasladar una fuerza al CM
3. Cupla o par de fuerzas
4. Resultante de un sistema de fuerzas aplicado a un CR
5. Momento cinético de un CR en rotación pura
6. Cálculo del momento de inercia baricéntrico de un cilindro respecto de un eje
perpendicular a su eje de simetría
7. Cálculo del momento de inercia de una chapa rectangular
8. Teorema del Steiner o de los ejes paralelos
9. Cálculo del momento cinético respecto a un eje cualquiera
10. Momento cinético relativo al CIR
11. Los momentos de inercia son aditivos y sustractivos
12. Momentos de inercia baricéntricos de cuerpos no homogéneos y/o no simétricos
13. Péndulo físico
14. Energía en el CR
15. Trabajo y energía para el CR
16. Ecuaciones fundamentales de la dinámica del CR
17. Acerca de la fuerza de rozamiento
18. Aplicaciones de dinámica del CR
19. Situación problemática especial de integración metodológica
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Dinámica del Cuerpo rígido
1_ INTRODUCCIÓN
Corresponde ahora que analicemos las diferencias entre lo s efectos producidos
en el movimiento de un objeto cuand o se le aplica un sistema de fuerzas, si se
toma como modelo del mismo un punto material o se lo considera un cuerpo rígido
(CR).
Si aplicamos un sistema espacial de fuerzas sobre una partícula, dicho sistema será
necesariamente un sistema de fuerzas concurrentes, cuya resultante producirá la
aceleración de la partícula. Si el modelo a aplicar es el de cuerpo rígido, las fuerzas
no necesariamente son concurrentes (en particular no siempre están aplicadas en el
centro de masa).
¿Qué consecuencias trae esto? El efecto producido por fuerzas exteriores aplicadas al
cuerpo es diferente si se aplican en diferentes puntos de éste. Por ejemplo, si sobre un
mismo cuerpo actúa una fuerza de igual módulo, dirección y sentido pero aplicada en
diferentes puntos como se muestra en la figura 1, es lógico pensar que no se moverá de la
misma forma.
¿Cómo analizar el problema? La situación se resuelve trasladando las fuerzas aplicadas,
en diferentes puntos del cuerpo, al CM. De este modo se pueden sumar las fuerzas
aplicadas al CR como vectores concurrentes, igual que para el punto material. Sin
embargo, es necesario introducir “algo más”, para no cambiar el efecto producido por
ellas. Es decir, ¿cómo se trasladan fuerzas al CM?
Por otro lado, si se analiza cómo trasladar una fuerza, luego es posible operar de la misma
forma con todas las demás.
2_ RESULTADO DE TRASLADAR UNA FUERZA AL CM
Para que el efecto producido por la fuerza F no cambie, se agrega al sistema un par
idénticamente nulo de igual intensidad o norma y de una dirección paralela a F que pasa
por el CM.
Figura 1
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F’ es la fuerza F trasladada al CM y F junto con -F’ forman lo
que se denomina cupla o par de fuerzas.
Trasladar, entonces, una fuerza al CM da por resultado la fuerza
aplicada en otro punto (en este caso el CM) más una cupla.
Se debe analizar la novedad que se ha producido, por ello se
estudia a continuación la cupla.
3_ CUPLA O PAR DE FUERZAS
Una cupla es un par de fuerzas, de igual intensidad y sentidos
opuestos, en rectas de acción paralelas separadas una
distancia “d”.
La resultante (su suma) es cero.
El momento o torque resultante de la cupla es:
Para ello se considera como centro de momentos un punto O cualquiera del plano de la
cupla. Se elige un sistema de coordenadas adecuado, de manera de simplificar el cálculo
de los momentos. Como las fuerzas son axiales, se pueden deslizar a lo largo de sus rectas
de acción.
Por esta razón, se va a considerar que
y
donde “d” es la
distancia entre las fuerzas de la cupla.
Operando los productos vectoriales
Si se aplica la propiedad distributiva y se simplifica:
Figura 2
Figura 3
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De acuerdo al resultado obtenido se puede afirmar que:
1. El momento de la cupla es distinto de cero ya que tanto F como “d” son
necesariamente no nulos.
2. El momento de la cupla es el mismo para cualquier punto de su plano (es un
invariante).
3. Todas la cuplas del mismo plano dan momentos colineales (se pueden sumar
algebraicamente).
Las cuplas tienen entonces la característica de tener
(resultante nula) y
(torque no nulo). Observamos que el efecto que produce una cupla es la variación en la
velocidad de rotación del cuerpo alrededor del CM.
4_ RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS APLICADO A UN CR
Dijimos que si cada fuerza del sistema se traslada al CM se obtiene una fuerza más una
cupla. La sumatoria de todas las fuerzas dará por resultado una fuerza neta aplicada al
centro de masa y la sumatoria de todas las cuplas dará por resultado una cupla resultante.
La fuerza neta producirá aceleración del CM (traslación) y la cupla una rotación alrededor
del CM (rotación pura).
El Segundo Principio de la Dinámica, aplicado al CR, es idéntico al de Sistema de
Partículas:
y constituye la Ecuación Fundamental de la traslación del CR.
Tomando las componentes de estos vectores en los tres ejes de un sistema de coordenadas
cartesianas ortogonales:
¿Conoce algunos ejemplos de cuplas que se apliquen en la vida diaria?
¿Por qué es más fácil abrir una canilla utilizando dos dedos que utilizando uno solo?
Si la sumatoria de fuerzas sobre un cuerpo rígido es cero, ¿dicho cuerpo
necesariamente permanecerá en reposo? Comparar el comportamiento de un cuerpo
rígido con el de una partícula.
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¿Y las cuplas?
Falta agregar una ecuación de rotaciones. Para ello hay que hablar de otra magnitud
vectorial: el momento cinético aplicado a un CR.
5_ MOMENTO CINÉTICO DE UN CR EN ROTACIÓN PURA
Supongamos un cuerpo de revolución, de forma cualquiera, gira alrededor de un eje de
simetría con velocidad angular
unica y normal al plano que se analiza, como indicamos
en la figura siguiente:
Para hallar el momento cinético o momento angular
, respecto al centro de masa (CM),
se divide previamente el cuerpo en infinitos elementos de volumen (d
Vol
= dx dy dz) o cubos
elementales. Cada uno de ellos realizará un movimiento circular en el plano horizontal
(perpendicular al eje de rotación). Como ejemplo se ha dibujado un elemento geométrico
“i” que se mueve en un plano que se encuentra a una altura r
z
por encima de CM. Su
velocidad es:
El momento cinético del elemento de diferencial de volumen i es
Figura 4
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Si se quiere encontrar el momento cinético de todo el CR respecto al centro de masa, se
tendrá que integrar la expresión anterior en todo el volumen del cuerpo.
Observar que las integrales tienen la forma de
. Se denominan momentos de
segundo orden (donde “d” es una coordenada de posición respecto del punto de referencia
considerado).
Lo precedente nos introduce en la importante noción del momento de inercia. Es frecuente
definir este concepto como el análogo rotacional de la masa; sin embargo, si bien existen
entre ambas determinadas analogías, también podemos advertir profundas diferencias.
Empecemos por las similitudes. Sabemos que la masa es una medida de la inercia, es decir,
de la resistencia que la materia presenta al cambio de movimiento, a adquirir una
aceleración. El momento de inercia, por su parte, puede pensarse como una inercia de
rotación, como la resistencia que un cuerpo presenta a modificar su estado rotacional; es
decir, a adquirir una aceleración angular.
Sin embargo, el momento de inercia es matemáticamente muy diferente de la masa. Para
comprenderlo más claramente, vamos primero a definirlo y luego a efectuar algunos
cálculos.
Definimos entonces el momento de inercia con respecto al centro de masa de un cuerpo
rígido de la siguiente forma:
Como veremos a continuación, el momento de inercia dependerá del eje respecto del cual
efectuaremos el cálculo.
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6_ CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA BARICÉNTRICO DE UN
CILINDRO RESPECTO DE UN EJE PERPENDICULAR A SU EJE DE SIMETRÍA
Encontremos el momento de inercia del cilindro, respecto a un eje baricéntrico
perpendicular a su eje de simetría (eje del cilindro), tomando como elemento de masa un
disco de área A y espesor dx cuyo volumen será A.dx y su masa dm.
El momento de inercia baricéntrico del cilindro lo definimos como
. Como
la integral entre –L/2 y +L/2 se anula, el resultado lo encontramos multiplicando por 2 el
cálculo de la integral entre x = 0 y x = L/2. El elemento de masa dm lo vamos a reemplazar
por el producto de la densidad por el volumen elemental propuesto y la
variable r en nuestro caso será la variable x.
La integral resulta ser:
Como la densidad y la sección son constantes salen fuera de la integral
Figura 5
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Con x variando entre 0 y L/2
el resultado es
Como por un punto pasan infinitas rectas, los cuerpos tienen múltiples momentos de inercia
baricéntricos, uno respecto de cada eje que pasa por el CM.
Tomemos un ejemplo sencillo, el de dos masas iguales
de masa m que podemos considerar puntuales, unidas
a una barra de masa despreciable y de longitud L.
Si calculamos el momento de inercia baricéntrico
respecto de un eje perpendicular a la barra, el resultado
será la suma de los momentos de inercia de cada masa
respecto del eje. Como cada masa es m y r = L/2
Este es el momento de inercia que debemos considerar si el sistema gira con respecto al
eje vertical que pasa por el CM.
Veamos qué pasa si queremos hallar el momento de
inercia baricéntrico respecto de un eje inclinado un
ángulo α respecto a la barra.
En este caso el r o sea la distancia al centro de masa a
la que girarían las partículas es
Entonces el momento de inercia baricéntrico respecto
al nuevo eje punteado es:
Figura 6
Figura 7
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A partir del ejemplo precedente: ¿podríamos decir que el momento de inercia es una
magnitud escalar?
7_ CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UNA CHAPA RECTANGULAR
Vamos a calcular ahora el momento de inercia
de una chapa rectangular de base b, altura h
respecto de uno de los ejes de simetría.
Calcularemos el momento de inercia respecto
del eje x, para ello elegimos un elemento de
superficie: bdy, donde b es la base y dy un
elemento de altura.
El dm=.ds
Donde es la densidad superficial de masa. Por convención se elige y adimensional.
Con lo cual podemos escribir:
La integral es una integral definida pero como entre – h/2 y +h/2 se anula, calculamos el
doble de la integral entre 0 y h/2.
;
Si queremos encontrar el momento de inercia de la chapa respecto del eje “y” operando de
modo análogo resulta:
Si deseamos el momento de inercia de la chapa respecto del eje z su resultado es la suma
de los momentos de inercia respecto del eje “x” y respecto del eje “y”.
Figura 8
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¿En qué unidades está usando el I? ¿Cómo puede interpretarlo cuando se aplica en
superficies? ¿Tiene alguna relación con las condiciones adoptadas para ?
Ejemplificamos concluyendo que el momento de inercia no es un escalar, sino otra clase
de entidad matemática, denominada tensor. En este caso el tensor es una matriz de 3x3, y
consta entonces de nueve elementos. Por lo tanto, además de las halladas, se deben calcular
otras seis componentes, los llamados momentos centrífugos
;
;
;
;
; e
en los cuales se toman las distancias a uno y otro eje indicado en el subíndice.
La expresión del tensor de inercia resulta ser:
TABLA DE MOMENTOS DE INERCIA PARA ALGUNOS CUERPOS
ESFERA
CILINDRO
VARILLA
ARO
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8_ TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS
El Teorema de Steiner o de los ejes paralelos permite encontrar el momento de inercia
respecto a un eje que no pasa por el CM con el momento de inercia de un eje que pasa por
el CM, con la condición que los ejes sean paralelos entre sí.
En la figura 9 “d” es la distancia entre ejes paralelos, e
es el eje que no pasa por el CM. En la vista de frente,
ambos ejes son perpendiculares al papel, R es la
distancia de un elemento dm al eje que pasa por el CM,
r la distancia de dm al eje paralelo e.
Si aplicamos el teorema del coseno:
(: ángulo comprendido entre R y d)
La última integral es nula ya que y la
1
, es nula. Luego:
9_ CÁLCULO DEL MOMENTO CINETICO RESPECTO A UN EJE
CUALQUIERA
De acuerdo a lo visto en el modelo de SP, el momento cinético o momento angular de un
sistema de n partículas respecto a un eje cualquiera e:
1
Esta integral se anula porque es el
referenciado al cm.
donde d es la distancia entre ejes
paralelos
Tabla 1
Figura 9
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esta expresión la podemos expresar como:
En esta última expresión el primer término es el momento cinético relativo al CM
(momento cinético de spin) y el segundo término es el momento cinético como si toda la
masa del SP estuviera en el CM (momento cinético orbital).
Entonces, para nuestro modelo de CR es:
Tener en cuenta que no siempre
y
son paralelos. Este paralelismo se cumple sólo para
un sistema de ejes particulares denominado eje principales de inercia. En este sistema de
ejes, la matriz del tensor de inercia resulta una matriz diagonal.
10_ MOMENTO CINETICO RELATIVO AL CIR
Como el CIR es un punto muy especial, respecto del cual el CR se mueve con rotación
pura, vamos a analizar cómo encontrar el momento cinético con respecto a un eje paralelo
al baricentro. Apliquemos la expresión hallada anteriormente:
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Como todos los puntos del CR realizan un movimiento circular (rotación pura) respecto al
CIR es:
es decir
Luego el momento cinético orbital se puede escribir:
Suponemos en todo este desarrollo que el sistema de coordenadas está ubicado en el CM,
con lo cual la posición del CM tiene todas sus coordenadas nulas, y que los ejes son
paralelos entre sí. De este modo la expresión entre paréntesis no es otra cosa que la
distancia entre ejes elevada al cuadrado. Luego:
Sacando factor común
:
La expresión anterior entre paréntesis es el momento de inercia del CR respecto del eje
paralelo al baricéntrico que pasa por el CIR, resultado que también encontramos aplicando
el teorema de Steiner o de los ejes paralelos. Podemos decir entonces que:
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Como ejercicio de aplicación del teorema de Steiner calculemos el momento de inercia de
una varilla delgada que gira alrededor de un eje que pasa por su extremo (obtenga el I
CM
de la varilla de la tabla anterior) ¿Es lógico el resultado obtenido?
Resumiendo los resultados obtenidos:
(spin más orbital)
11_ LOS MOMENTOS DE INERCIA SON ADITIVOS Y SUSTRACTIVOS
Para encontrar el momento de inercia de un cuerpo complejo podemos considerarlo como
la suma o la diferencia, según convenga, de dos cuerpos simples cuyos momentos de
inercia conocemos.
Veamos un ejemplo de cada tipo:
a) Cálculo del momento de inercia de un cilindro hueco
Vamos a encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco respecto de su eje
baricéntrico de simetría como sustracción o diferencia del momento de inercia del cilindro
exterior que supondremos de radio R y el cilindro interior que supondremos de radio r.
Sabemos de tablas que el momento de inercia de un cilindro macizo respecto de un eje
baricéntrico coincidente con su eje de simetría es I
CM
= ½ M R
2
.
Las masas no son iguales y como los cilindros son homogéneos:
;
como las diferencias de potencias pares
se pueden factorear
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