Física I – Sistema de partículas
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Índice
1. Modelo sistema de partículas
2. Sistema de referencia laboratorio
3. Centro de masa de un sistema de partículas
4. Velocidad del CM de un sistema de partículas
5. Aceleración del CM de un sistema de partículas
6. Dinámica de un sistema de partículas
7. Segunda ecuación universal para un sistema de partículas
8. Impulso y cantidad de movimiento del sistema de partículas
9. Momento angular y torque para un sistema de partículas
10. Momento angular o cinético para un SP referido al CM y total.
11. Trabajo y energía en un sistema de partículas
12. Energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas
13. Energía cinética de un sistema de partículas
14. Ecuaciones universales de la dinámica de un SP
15. Dinámica impulsiva del sistema de partículas
16. Ecuaciones universales de la dinámica impulsiva de un SP
17. Teorema de conservación de la cantidad de movimiento de un SP
18. Teorema de conservación del momento cinético (L) de un SP
19. Colisiones o choques mecánicos
20. ¿Qué pasa con la energía en una colisión?
21. Coeficiente de restitución
22. Problemas de aplicación
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MODELO SISTEMA DE PARTÍCULAS
Cuando queremos analizar el movimiento de un conjunto de partículas que se mueven
independientemente entre sí, el modelo de partícula o punto material utilizado hasta ahora
ya no nos alcanza para predecir el comportamiento del conjunto. Ni siquiera para poder
analizar su movimiento de traslación. Tendremos entonces que cambiar de modelo.
2_ SISTEMA DE REFERENCIA LABORATORIO
En todo este capítulo vamos a trabajar con dos sistemas de referencia: el sistema del
laboratorio y el sistema centro de masa CM. Definimos sistema del laboratorio como un
punto fijo del laboratorio que se toma como origen de un sistema de coordenadas
cartesianas o polares. No se tendrán en cuenta sistemas de coordenadas rotantes.
3_ CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Si tenemos un conjunto de partículas (por ejemplo tres) de las cuales conocemos su
posición y su masa en un instante de tiempo, vamos a definir para ese instante un punto
privilegiado del espacio que, en ciertas condiciones, se comportará como si toda la masa
del sistema estuviera concentrada en dicho punto. Lo denominaremos centro de masa (CM)
del sistema.
Figura 1
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Definimos
;
si queremos encontrar el CM del sistema de partículas en
el espacio también usaríamos el mismo cálculo algebraico para encontrar su componente
en el eje z sería
Por otro lado las tres expresiones son las componentes del vector posición del CM. Por
todo esto concluimos que Siendo M la masa total del SP
Podemos decir entonces que el centro de masa (CM) de un sistema de partículas (SP) es la
media ponderada de las posiciones de todas sus masas. Según nuestra definición aplicada
a este ejemplo:
Resulta entonces que si colocamos el sistema de referencia en el CM del SP, la media o
promedio de las posiciones ponderadas relativas al CM del SP es nulo.
La posición relativa de cada partícula al CM es
Luego
si lo reemplazamos en la fórmula del CM resulta:
o también
expresión de la cual, como habíamos afirmado, resulta
Este resultado será importante cuando trabajemos con el momento cinético de un sistema
de partículas.
4_ VELOCIDAD DEL CM DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
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Figura 2
En base a la expresión de la posición del CM del SP podemos encontrar la velocidad del
CM del mismo simplemente derivando la expresión anterior:
Suponiendo que la masa de cada partícula se mantiene constante y la única variable es la
posición. Entonces:
en nuestro ejemplo:
Análogamente al razonamiento realizado con la posición, si calculamos las velocidades
relativas al CM es:
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De todo esto resulta
5_ ACELERACIÓN DEL CM DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Procediendo de modo análogo, es decir derivando con respecto al tiempo la expresión de
la velocidad del CM, podemos definir
y procediendo matemáticamente de manera análoga a las precedentes obtenemos:
6_ DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Definiremos en primer lugar las magnitudes físicas que trabajamos para una partícula o
punto material desde el sistema de referencia laboratorio y, luego, encontraremos sus
expresiones desde el sistema de referencia CM.
1.- Cantidad de movimiento lineal, momento lineal o momentum del CM de un SP
Así como definimos como cantidad de movimiento de una partícula = m.
la cantidad
de movimiento de un SP será la suma vectorial de las cantidades de movimiento de cada
una de las partículas que componen el sistema.
Este resultado es de suma importancia ya que permitirá definir un
sistema de referencia privilegiado asociado al CM
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Vamos a simbolizar con
esta magnitud para no confundirla con la de una sola
partícula
;
Todas estas magnitudes están referidas al sistema laboratorio.
2.- Cantidad de movimiento angular o momento cinético o momento de la cantidad
de movimiento de un SP
Para una partícula habíamos definido el momento cinético o momento angular respecto de
un punto O como
. Definimos ahora el momento angular o momento
cinético del SP respecto de un punto O como
y utilizamos nuevamente la letra mayúscula para referirnos a todo el sistema de partículas
estudiado.
7_ SEGUNDA ECUACIÓN UNIVERSAL PARA UN SP
Volviendo a nuestro ejemplo de las tres partículas de masas m
1
, m
2
y m
3
, hemos
representado un caso hipotético en el cual dibujamos el DCL de cada partícula y en ese
diagrama pusimos en evidencia todas las interacciones con el universo.
Para cada partícula del sistema podemos aplicar la segunda ley de Newton: así para la
partícula 1
para la partícula 2
y para la partícula 3
La expresión de la segunda ley de Newton para un SP será:
y de acuerdo a la definición de aceleración del CM
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Entonces
En esta expresión
representa todas las interacciones de todas las partículas del sistema
y la aceleración es la aceleración del CM del mismo.
Sin embargo, destacamos en la figura 3 con distinto color las fuerzas de interacción entre
las partículas del sistema (azules) de aquellas fuerzas que provienen de la interacción de
cada partícula con el exterior (verdes). Vamos a llamar fuerzas interiores del SP a las que
surgen de las interacciones entre dichas partículas (Ej. F
12
y F
21
) y fuerzas exteriores a las
otras.
Figura 3
Entonces podemos escribir la 2º ley de Newton como:
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Sin embargo, las fuerzas interiores corresponden a pares de interacción contenidos en el
sistema y entonces su suma vectorial es nula Σ
int
= 0. Con lo que queda como expresión
de la 2º ecuación universal para un SP:
De acuerdo con esta expresión sólo las fuerzas exteriores al SP pueden acelerar el CM
del sistema. Es decir, sólo las fuerzas exteriores al sistema pueden cambiar el estado de
movimiento del CM del SP.
En nuestro ejemplo
8_ IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DEL SP
Si las fuerzas actúan sobre cada partícula por un cierto intervalo de tiempo generan un
impulso
=
. dt de modo tal que la suma de todos los impulsos es igual a la variación
de la cantidad de movimiento de la partícula.
=
f
-
si lo aplicamos a todo el SP
i
=
f
-
donde la sumatoria de los impulsos
incluye a todos los aplicados sobre el sistema.
Pero, podemos dividir a los impulsos en interiores y exteriores al sistema. La suma de los
impulsos producidos por los pares de interacción es nula, dado que los impulsos de las
fuerzas de cada par se anulan mutuamente. Por esto la expresión se reduce a:
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Nuevamente podemos afirmar que sólo los impulsos de las fuerzas exteriores pueden
cambiar la cantidad de movimiento de un SP o sólo los impulsos exteriores pueden cambiar
el estado de movimiento del CM de un SP.
9_MOMENTO ANGULAR Y TORQUE PARA UN SP
Consideremos un sistema formado por dos partículas, de masas m1 y m2, tal como se
muestra en la figura
Figura 4
Para cada partícula se cumple individualmente el teorema de conservación del momento
cinético, de donde:
Sumando miembro a miembro:
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Donde:
Siendo
la resultante de todas las interacciones de m
1
con el exterior del sistema, y
análogamente para
.
Ahora bien, por el Principio de Interacción:
Con lo que resulta:
son los torques de las fuerzas externas al sistema.
Resta ver qué ocurre con
. En los casos en que la fuerza de interacción
entre las dos partículas sea colineal con el segmento que las une el producto vectorial será
igual a cero. Para fuerzas como la gravitatoria o la electrostática esto es efectivamente
cierto. Para fuerzas de contacto
, con lo que el término en cuestión nuevamente será
nulo. Sin embargo, para fuerzas más complejas, tales como la interacción magnética, donde
la fuerza es perpendicular a la velocidad de la partícula, dicho término será distinto de cero.
En lo que sigue nos limitaremos al caso de las fuerzas que estudiamos en Física I
(gravitatoria, elástica, fuerzas de contacto), con lo que finalmente podemos escribir:
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donde
es la resultante de los momentos generados por las fuerzas exteriores al
sistema. Lo expresado es enteramente general para todo sistema conformado por N
partículas.
10_MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO PARA UN SP REFERIDO AL CM Y
TOTAL.
Encontremos la relación que existe entre el momento cinético respecto de un punto
cualquiera O fijo al laboratorio y el momento cinético respecto del CM.
La expresión general es
para encontrar su relación con el momento cinético respecto del CM(
CM
) expresemos la
posición y la velocidad en función del CM
y
Si reemplazamos estas dos expresiones resulta
Sacando las constantes de las sumatorias
Los términos segundo y tercero se anulan ya que m
i
i-CM
es nulo por ser la sumatoria de
las cantidades de movimiento relativas al CM y m
i
i – CM
es la posición del CM relativo
al CM que también es nulo. Luego:
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o sea
11_ TRABAJO Y ENERGÍA EN UN SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Para una partícula vimos que:
ó
Para un SP vimos que sólo las fuerzas exteriores producen aceleración del CM y sólo los
torques de las fuerzas exteriores cambian el momento cinético del sistema. Entonces ¿será
que tendremos que sumar los trabajos de las fuerzas exteriores solamente para encontrar la
variación de la energía cinética del sistema? ¿Tendremos que calcular los trabajos de las
fuerzas no conservativas exteriores para encontrar el cambio de energía mecánica del SP?
Esto no es así. En un sistema de partículas éstas pueden moverse libremente y por esa razón
sus desplazamientos no necesariamente son iguales. Si bien las fuerzas interiores
correspondientes a un mismo par de interacción tienen el mismo módulo y sentidos
opuestos, al diferir en sus respectivos desplazamientos entonces sus trabajos no se anulan.
Por eso W
total
es la suma de los trabajos de todas las fuerzas actuantes tanto interiores como
exteriores al sistema.
es la suma de los trabajos de todas las fuerzas no conservativas,
sean estas interiores o exteriores al SP.
Analicemos ahora la energía cinética y la energía potencial gravitatoria de un SP.
Para un sistema de partículas, las energías cinética y potencial se calculan respectivamente:
(1) y
(2)
El momento cinético de un SP respecto de un punto fijo al LAB es
igual a la suma del momento cinético del sistema como si toda la masa
estuviera concentrada en el CM
más el momento cinético del SP
relativo al CM.
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Analicemos un poco cada una de las expresiones anteriores.
12_ ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UN SP
Como lo expresamos antes:
(3)
Pero, de la definición de centro de masa
o sea que
(4)
si reemplazamos (4) en la expresión (3)
(5)
Según lo hallado en (5), la energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas es la
energía potencial gravitatoria del centro de masa del sistema, como si toda la masa
estuviera concentrada en ese punto.
13_ ENERGÍA CINÉTICA DE UN SP
Luego de analizar la
energía potencial gravitatoria, nos preguntamos si con la energía
cinética no pasará lo mismo y podremos calcular la energía cinética del sistema como la
del centro de masa.
Por esta razón trataremos de encontrar la relación entre la energía cinética de cada partícula
con la energía cinética del centro de masa del sistema. Tomemos el ejemplo de tres
partículas
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Figura 5
Por lo tanto
Extrayendo de las sumatorias los factores constantes: poner vectores
Si analizamos el segundo término encontrado, recordando la definición de
es la suma de las cantidades de movimiento relativas al centro de masa y como
ya hemos visto es nula. Esto anula el segundo término.
El resultado al que arribamos es entonces:
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