Unidad 3 - Ejercicios Resueltos: Tiro Oblicuo
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PROBLEMAS DE TIRO OBLICUO
Ejercicio 3. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial v
0
= 100 m/s y un ángulo de inclinación de 60° respecto a la
horizontal. Suponiendo nula la resistencia del aire, se pide calcular:
a) El tiempo en el que el proyectil alcanza una posición de abscisa x = 250 m.
b) Las componentes de la velocidad en dicha posición.
c) La altura alcanzada.
Solución. En primer lugar, conociendo el ángulo de lanzamiento (θ = 60°) y la velocidad inicial (v
0
= 100 m/s),
determinamos sus componentes.
Velocidad inicial en x:
0
=
0
∙= 100
∙cos 60
0
= 50 /
Velocidad inicial en y:
0
=
0
∙sin = 100
∙sin 60
0
= 86,6 /
a) Nos pide el tiempo que demora en proyectil en alcanzar la posición x = 250 m. IMPORTANTE: nos da como dato
la coordenada en x de la posición, por lo tanto debemos utilizar las ecuaciones de MRU para el movimiento
horizontal en x, podemos despejar el tiempo de la ecuación:
=
∙
=
=
250
50 /
= 5
b) Nos pide las componentes de la velocidad en “dicha posición” (cuando x = 250 m). En el inciso anterior
calculamos el tiempo, entonces determinaremos las componentes de la velocidad cuando t = 5 s.
Velocidad en x es siempre constante:
=
0
= 50 /
Velocidad en y:
=
0
−∙= 86,6
−9,8
2
∙5
= 37,6 /
c) Debemos determinar la altura alcanzada al cabo de 5 s (CUIDADO! NO NOS PIDE LA ALTURA MÁXIMA).
Calcularemos el valor de la posición vertical y cuando t = 5 s.
=
∙−
1
2
∙∙
2
= 86,6
∙5−
1
2
∙9,8
2
∙
(
5
)
2
= 310,5
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Ejercicio 4. Se dispara un proyectil desde la cima de una montaña de 150 m de altura con una velocidad inicial de 180
m/s formando un ángulo de 30° con la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, calcular:
a) La distancia horizontal desde el cañón al punto de caída.
b) La altura máxima alcanzada por el proyectil.
Solución.
En primer lugar, conociendo el ángulo de lanzamiento (θ = 30°) y la velocidad inicial (v
0
= 180 m/s), determinamos sus
componentes.
Velocidad inicial en x:
0
=
0
∙= 180
∙cos 30
0
= 155,88 /
Velocidad inicial en y:
0
=
0
∙sin = 180
∙sin 30
0
= 90 /
a) El ejercicio nos da como dato la ALTURA de la montaña, este parámetro se vincula con la posición final vertical
y que alcanzará el proyectil: sabemos que una vez lanzado, el proyectil caerá 150 m por debajo del nivel de
lanzamiento, por lo tanto y = -150 m. Utilizamos las ecuaciones de MRUV (con aceleración a = -g) para el
movimiento vertical en y:
=
0
∙−
1
2
∙∙
2
−150 = 90
∙−
1
2
∙9,8
2
∙
2
150 m
v
0
Posición final a 150 m por debajo del
punto de lanzamiento
Distancia horizontal x desde el cañón hasta
el punto de caída
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Reordenamos la ecuación y le damos forma de ecuación cuadrática igualada a cero para despejar el tiempo mediante la
fórmula de Baskara:
0 = −4,9
2
∙
2
+ 90
∙+ 150
Los coeficientes a utilizar son: a = -4,9 m/s
2
; b = 90 m/s y c = 150 m
=
−±
√
2
−4
2
Resolviendo obtenemos que t = 19,9 s.
Conociendo el tiempo que demora en caer podemos calcular la distancia horizontal x desde el cañón hasta el punto de
caída:
=
∙= 50
∙19,9
= 3102,01
(Otra forma de llegar al mismo resultado es usando la ecuación de la trayectoria).
b) Altura máxima medida desde el nivel de lanzamiento:
á
=
0
2
2 ∙
=
(
90 /
)
2
2 ∙9,8
2
á
= 413,26
Ejercicio 5. Desde lo alto de un edificio de 30 m de altura, se arroja hacia abajo un objeto con una velocidad inicial de
módulo 20 m/s y un ángulo de 37° bajo la horizontal. ¿Qué tan lejos del pie del edificio golpeará el objeto en el piso?
Solución.
30 m
v
0
con un
ángulo de 37°
bajo la
horizontal
Posición final a 30 m por debajo del
punto de lanzamiento
Distancia horizontal x a la que caerá
el objeto
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En primer lugar, conociendo el ángulo de lanzamiento (θ = 323° siempre medimos el ángulo con respecto al eje x en
sentido anti horario) y la velocidad inicial (v
0
= 20 m/s), determinamos sus componentes.
Velocidad inicial en x:
0
=
0
∙= 20
∙cos 323
0
= 15,97 /
Velocidad inicial en y:
0
=
0
∙sin = 20
∙sin 323
0
= −12,04 /
El ejercicio nos da como dato la ALTURA del edificio, este parámetro se vincula con la posición final vertical y que alcanzará
el objeto: sabemos que una vez lanzado, caerá 30 m por debajo del nivel de lanzamiento, por lo tanto y = -30 m. Utilizamos
las ecuaciones de MRUV (con aceleración a = -g) para el movimiento vertical en y:
=
0
∙−
1
2
∙∙
2
−30 = −12,04
∙−
1
2
∙9,8
2
∙
2
Reordenamos la ecuación y le damos forma de ecuación cuadrática igualada a cero para despejar el tiempo mediante la
fórmula de Baskara:
0 = −4,9
2
∙
2
−12,04
∙+ 30
Los coeficientes a utilizar son: a = -4,9 m/s
2
; b = -12,04 m/s y c = 30 m
=
−±
√
2
−4
2
Resolviendo obtenemos que t = 1,53 s.
Conociendo el tiempo que demora en caer podemos calcular la distancia horizontal x desde el pie del edificio hasta el
punto de caída:
=
∙= 15,97
∙1,53
= 24,4
(Otra forma de llegar al mismo resultado es usando la ecuación de la trayectoria).
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Ejercicio 7. Se dispara un proyectil, según se muestra en la figura, con una velocidad inicial v
0
y un ángulo de 37° por
encima de la horizontal. El disparo se hace desde un punto a 192 m del borde de un precipicio de 160 m de altura. El
proyectil salva justamente dicho borde. Calcular:
a) La velocidad inicial.
b) La distancia x’ al borde del precipicio, a la cual se produce el impacto en la base.
Solución. No conocemos la velocidad inicial, el ejercicio debería darnos un dato adicional para que la podamos calcular.
Si observamos la gráfica veremos que conocemos el valor del rango R = 190 m, a partir de ese dato despejamos la
velocidad inicial:
=
2 ∙
0
∙
0
190 =
2 ∙
0
∙cos 37 ∙
0
∙sin 37
9,8
2
Aplicamos propiedad asociativa en el producto:
190 =
2 ∙
0
2
∙cos 37 ∙sin 37
9,8
2
Despejamos v
0
:
190 ∙9,8
2
2 ∙cos 37 ∙sin 37
=
0
2
�
190 ∙9,8
2
2 ∙cos 37 ∙sin 37
=
0
44,01
=
0
160 m
190 m
x’
x
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Conociendo el ángulo de lanzamiento (θ = 37°) y la velocidad inicial (v
0
= 44,01 m/s), determinamos sus componentes.
Velocidad inicial en x:
0
=
0
∙= 44,01
∙cos 37
0
= 35,15 /
Velocidad inicial en y:
0
=
0
∙sin = 44,01
∙sin 37
0
= 26,49 /
El ejercicio nos da como dato la ALTURA del precipicio, este parámetro se vincula con la posición final vertical y que
alcanzará el proyectil: sabemos que una vez lanzado, caerá 160 m por debajo del nivel de lanzamiento, por lo tanto y = -
160 m. Utilizamos las ecuaciones de MRUV (con aceleración a = -g) para el movimiento vertical en y:
=
0
∙−
1
2
∙∙
2
−160 = 26,49
∙−
1
2
∙9,8
2
∙
2
Reordenamos la ecuación y le damos forma de ecuación cuadrática igualada a cero para despejar el tiempo mediante la
fórmula de Baskara:
0 = −4,9
2
∙
2
+ 26,49
∙+ 160
Los coeficientes a utilizar son: a = -4,9 m/s
2
; b = 26,49 m/s y c = 160 m
=
−±
√
2
−4
2
Resolviendo obtenemos que t = 9,02 s.
Conociendo el tiempo que demora en caer podemos calcular la distancia horizontal x desde el pie del edificio hasta el
punto de caída:
=
∙= 35,15
∙9,02
= 317,05
(Otra forma de llegar al mismo resultado es usando la ecuación de la trayectoria).
El ejercicio pide la distancia x’, de la gráfica observamos que:
′
= −= 317,05 −192 = 125,05
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