GEOMETRÍA I - Profesorado de Educación Secundaria en
Matemática I.E.S: “Mercedes Lamberti de Parra” -
CARRERA: Profesorado de Educación Secundaria en
Matemática
AÑO: 1ERO
ESPACIO CURRICULAR: GEOMETRÍA I
PROFESORA: Karina David.-
EJE II: FORMAS GEOMÉTRICAS DEL PLANO Y DEL ESPACIO
OBJETIVOS:
Comprender conceptos básicos de figuras y cuerpos a partir de su construcción.
Identificar y clasificar polígonos y cuerpos geométricos caracterizándolos.
Construir figuras y cuerpos geométricos aplicando propiedades para ellos y utilizando diferentes
recursos.
Deducir e identificar propiedades particulares de cada figura ( polígonos regulares, en cada caso de los
triángulos, cuadriláteros y poliedros y cuerpos redondos)
Resolver problemas geométricos aplicando las distintas relaciones y/o propiedades de los polígonos,
circunferencias y cuerpos geométricos.
Argumentar las resoluciones y construcciones utilizando los lenguajes: coloquial, simbólico y gráfico,
comprendiendo la redacción de los mismos como partida fundamental para su resolución.
Calcular áreas, superficies y volúmenes de diferentes figuras y cuerpos geométricos contextualizados
en diversas situaciones.
Usar la noción de lugar geométrico para justificar construcciones.
Aplicar el Teorema de Pitágoras en diferentes situaciones de modelización, indagando y validando
propiedades asociadas.
CONTENIDOS:
Polígonos. Polígonos cóncavos y convexos. Propiedades. Triángulos. Clasificación según sus lados y sus
ángulos. Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas. Propiedades. Criterios de congruencia. Teorema de
Pitágoras. Cuadriláteros. Clasificación. Propiedades. Círculo. Circunferencia. Elementos de una circunferencia.
Ángulos inscriptos y semi-inscriptos. Propiedades. Tangentes desde un punto exterior a una circunferencia.
Cálculo de áreas y perímetros. Relación entre perímetro y área. Construcciones con reglas y compás.
Restricciones de los instrumentos para la construcción de figuras: figuras construibles y no construibles.
Cuerpos. Clasificación. Teoremas. Áreas. Volumen. Relaciones entre áreas, áreas sombreadas y volúmenes de
cuerpos, relación entre los volúmenes de los cuerpos geométricos simples.
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POLÍGONOS:
Se llama polígono al conjunto de puntos formados por una poligonal simple cerrada con todos sus puntos
interiores. El contorno de la poligonal se llama multilátero.
Multilátero polígono
En todo polígono hay por lo menos tres ángulos. Esto justifica el nombre de polígono, pues etimológicamente
la palabra está formada así: poli= muchos; gonos = ángulo, es decir, muchos ángulos.
Los polígonos se clasifican en cóncavos y convexos. Un polígono es cóncavo cuando existe por lo menos un
par de puntos pertenecientes al polígono que determinan un segmento no incluido en el mismo. Un polígono
es convexo cuando cualquier par de puntos pertenecientes al polígono determinan siempre un segmento
incluido en el mismo.
ABCDE ABCDEF
POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO
(En este eje estudiaremos únicamente polígonos convexos.)
Contorno
La quebrada constituida por todos los lados del polígono se llama contorno del mismo.
Si se excluye el contorno, el polígono se dice polígono abierto.
Para nombrar un polígono, las letras de los vértices pueden leerse a partir de cualquiera de ellos y en
uno de los dos sentidos en que se puede recorrer su contorno.
Así, el polígono ABCDE puede leerse: políg. BCDEA; políg. CDEAB; etc.
Nombre que reciben según el número de lados
Los polígonos convexos reciben distintos nombres según el número de lados.
Nº de lados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
Definición: dados en un plano tres o más puntos en un cierto orden, por ejemplo A, B, C, D, E, tales que
tres de consecutivos no estén alineados y que la recta determinada por dos consecutivos cualesquiera
deje a los demás en un mismo semiplano con respecto e ella, se llama polígono convexo ABCDE a la
intersección de los ángulos ADC, BCD, CDE, DEA Y EAD.
Simbólicamente de acuerdo a la definición:
Políg. ABCDE= ABC∩BCD∩BAE∩CDE∩DEA
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3
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
Cuando el polígono tiene un número n de lados, mayor que 12, se llama polígono de n lados. Así se dice
polígono de 18 lados, de 23 lados, etc.
Elementos de un polígono:
Lado: cada uno de los segmentos de la línea poligonal
cerrada.
Vértice: cada uno de los puntos comunes a dos lados
consecutivos.
Diagonal: segmento cuyos extremos son dos vértices no
consecutivos.
Ángulo interior: cada uno de los ángulos formados por dos
vértices no consecutivos.
Ángulo exterior: cada uno de los ángulos adyacente a cada ángulo interior.
En el caso de ser un polígono regular cuenta también con los siguientes elementos:
Centro: punto que equidista de todos los vértices.
Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio
de cada lado.
Radio: segmento que une el centro del polígono con cada uno de los
vértices.
Congruencia de polígonos:
Dos polígonos son congruentes cuando tienen sus lados y ángulos respectivamente congruentes.
Criterios de Congruencia:
(Condiciones necesarias y suficientes para la congruencia).
1- Dos polígonos son congruentes cuando tienen (n - 1) lados consecutivos y (n – 2) ángulos
comprendidos, respectivamente congruentes.
2- Dos polígonos son congruentes cuando tienen (n – 2) lados congruentes y (n – 1) ángulos,
respectivamente congruentes.
POLÍGONO REGULAR
Un polígono regular es un polígono convexo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos tienen la
misma amplitud.
Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices. Esta circunferencia
recibe el nombre de circunferencia circunscrita al polígono. El centro de esta circunferencia es el centro del
polígono.
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Ángulos de un polígono regular
Entre los ángulos existentes en un polígono regular, podemos ver: el ángulo
central, ángulo interior y ángulo exterior.
Ángulos centrales:
Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α
puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono
en grados sexagesimales
en radianes
Ángulos interiores
El Ángulo interior, , de un polígono regular mide:
en grados sexagesimales
en radianes
Diagonales de un polígono regular
Como ya se ha dicho la diagonal de un polígono es el segmento que une dos
vértices no contiguos, vamos a ver algunas características de estas diagonales.
Número de diagonales
Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices
realizaremos el siguiente razonamiento:
De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el
número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo
mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
Esto es válido para los n vértices del polígono.
Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de
diagonales de las existentes.
Según el razonamiento tendremos que:
En todo polígono regular:
El valor de cada ángulo interior es : Si / n = 180⁰. (n -2) / n
El valor de cada ángulo exterior es: Se/n = 360⁰/n
ÀREA DE UN POLÌGONO REGULAR
Para calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido por
dos. Lo que se resume como:
Partiendo del triángulo que tiene por base un lado,L, del polígono y altura su apotema, a , el área de este
triángulo, es:
Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será:
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esto es:
Sabiendo que la longitud de un lado, L, por el número, n, de lados es el perímetro, P , tenemos:
TRIÁNGULO:
El triángulo es una de las figuras más ricas en propiedades; se encuentra presente en la naturaleza y en
muchísimas construcciones humanas. El motivo por el que se utiliza tanto el triángulo, y no polígonos con más
lados, es porque este tiene una propiedad muy interesante y útil: el triángulo es indeformable. Es el único
polígono que cumple esta propiedad, por esa razón para darle rigidez a las construcciones se las triangula.
Un triángulo es un polígono de tres lados. Esta figura geométrica está formada por tres rectas que se cortan
en tres puntos no alineados. Cada uno de estos puntos de intersección de las rectas se denomina vértice,
mientras que los segmentos de recta determinados reciben el nombre de lados del triángulo.
Un triángulo cuenta con tres lados, tres vértices y tres ángulos interiores.
Es habitual que se conozca por el nombre de sus vértices, designados con
letras latinas mayúsculas: triángulo ABC.
Elementos de un triángulo:
Vértices: son los puntos A, B, C.
Lados: son los segmentos: AB, BC, AC ; c, a, b.
Ángulos interiores: son los ángulos convexos A, B, C.
Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a cada ángulo interior.
Se define polígono como el conjunto de puntos de una poligonal simple cerrada con sus puntos interiores.
Si la poligonal simple cerrada está formada por tres lados, el polígono se llama triángulo.
Si se considera solo los puntos de la poligonal (sin sus puntos interiores), se obtiene un trilátero que es la
unión de los tres lados.
Trilátero triángulo
Otra definición:
Dado en un plano tres punto A, B, C, no alineados, es decir, que no pertenecen a la misma recta, se llama
triángulo a la figura formada por la intersección de los semiplanos S[AB,C], S[BC,A], S[AC,B].
= S[AB,C] ∩ S[BC,A] ∩ S[AC,B]
Clasificación de triángulos:
Según sus lados:
Escaleno: tiene sus tres lados son desiguales.
Isósceles: dos lados son congruentes.
Equilátero: tres lados congruentes.
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Según sus ángulos:
Acutángulo: los tres ángulos interiores son agudos.
Rectángulo: un ángulo recto y los otros dos agudos.
Obtusángulo: un ángulo obtuso, los otros dos agudos.
Triángulos equiláteros
Un triángulo equilátero es un triángulo con los tres lados de la misma longitud.
¿Cuánto tienen de amplitud sus ángulos interiores y exteriores?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
¿Qué propiedad puedes deducir? ¿Por qué?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….
El triángulo 2 de la figura de abajo es un triángulo equilátero.
Construye un triángulo equilátero. Explica el procedimiento que realizaste.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Propiedades:
Todos los triángulos equiláteros tienen tres ejes de simetría. Dicho de otra forma: si un triángulo tiene tres
ejes de simetría, entonces es un triángulo equilátero.
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Triángulos isósceles
Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos de sus lados de la misma longitud.
Nota: un triángulo equilátero es también un triángulo isósceles (pero hay triángulos isósceles que no son
equiláteros).
Construye un triángulo isósceles, explica el procedimiento realizado. ¿qué propiedad puedes deducir
respecto de sus ángulos y lados?
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……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Propiedades
Todos los triángulos isósceles tienen al menos un eje de simetría. O dicho de otra forma: si un triángulo tiene
un eje de simetría, entonces es un triángulo isósceles.
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS INTERIORES:
Teorema: en todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a la medida de un ángulo
llano, es decir de 180º.
¿Cómo lo puedes demostrar?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Para asegurar que una propiedad se cumple siempre, es necesario demostrarla, a partir de otras propiedades
ya conocidas.
¿Qué sucede con los ángulos exteriores de un triángulo? ¿qué propiedad deduces? ¿Cómo lo puedes
demostrar?
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……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS:
Dos triángulos y en general dos figuras son congruentes si estas son idénticas en forma y superficie; es decir
si al sobreponerlas coinciden plenamente.
Al ser congruentes los triángulos, ABC y A'B'C', de la figura anterior, se llaman lados correspondientes u
homólogos a los opuestos a ángulos iguales (a con a’ ; b con b’; c con c’) y ángulos correspondientes u
homólogos a los opuestos a lados iguales ( con ’ ; con ’; con ’), cumpliéndose que los elementos
homólogos de triángulos congruentes son iguales.
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Siempre se dejan los vértices de triángulos congruentes en correspondencia; (A con A’ ; B con B’ ; C con C’) a
los que les debe corresponder ángulos iguales.
De las seis condiciones de igualdad entre ángulos y lados homólogos es necesario que se cumplan solo tres de
ellas, donde por lo menos una debe ser referente a la medida de lados, condiciones que formalizan los
teoremas de congruencia.
Criterios de congruencia:
Los criterios de congruencia son las condiciones necesarias y suficientes para asegurar la congruencia entre
dos triángulos.
Es decir, para asegurar la congruencia entre dos triángulos, no es necesario probar la congruencia de todos sus
elementos (tres ángulos y tres lados), ya que existen criterios de congruencia.
1º Criterio (L.A.L): dos triángulos son congruentes, si y solo sí tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente congruentes.
2º Criterio (A.L.A.): dos triángulos son congruentes, si y sólo sí, tienen un lado y dos ángulos adyacentes,
respectivamente congruentes.
3º Criterio (L.L.L.): dos triángulos son congruentes, si y sólo sí, tiene tres lados respectivamente congruentes.
4º Criterio (L.L.A): dos triángulos son congruentes, si y sólo sí, tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor
de ellos, respectivamente congruentes.
Criterios de congruencia de triángulos rectángulos:
Por tener un elemento congruente que es el ángulo recto, las condiciones necesarias y suficientes exigen la
congruencia de otros dos pares de elementos.
1º Criterio (C.C.): dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen sus catetos respectivamente
congruentes.
2º Criterio (H.A.): dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo
respectivamente congruentes.
3º Criterio (C.A.): dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen un cateto y un ángulo agudo
respectivamente congruentes.
2º Criterio (H.C.): dos triángulos rectángulos son congruentes, si tienen la hipotenusa y un cateto
respectivamente congruentes.
Nota: los criterios de congruencia de triángulos justifican las construcciones de triángulos congruentes cuando
se conocen ciertos elementos.
Bisectrices de un triángulo:
La bisectriz de un ángulo de un triángulo, es el segmento de bisectriz de dicho
ángulo comprendido entre el vértice y el lado opuesto.
Propiedad: las bisectrices de los ángulos de u triángulo, concurren en
un punto que equidista de los lados del triangulo. En b
A
, b
B
y b
C
bisectrices
b
A
∩ b
B
∩ b
C
= I incentro
I equidista de AB, BC y AC.
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El punto de intersección de las tres bisectrices se llama Incentro. Con centro en ese punto y radio igual a la
distancia a cualquiera de de los tres lados, se determina la circunferencia inscripta en el triángulo, los lados
resultan tangentes a la circunferencia.
C( I, r) inscripta en
en donde el radio |r | = |IR| = | IM| = | IN |
¿Esta propiedad se cumple para todo tipo de triángulo? ¿La circunferencia
siempre se encuentra inscripta? ¿Por qué?
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Mediatrices de un triángulo:
Se llama mediatriz correspondiente a un lado de un triángulo, a la recta
perpendicular al lado que contiene a su punto medio.
Propiedad: Las mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un
punto que equidista de los vértices.
En : m
1
∩ m
2
∩ m
3
= O
d( O, A) = d( O, B)= d(O, C)
El punto en que concurren las mediatrices se llama circuncentro. Con centro en O radio r = |OA| = |OB| =|
OC| se traza una circunferencia circunscripta al triángulo al triángulo, es decir, contiene a los tres vértices.
C( O;r)
Esta propiedad se cumple para todo tipo de triángulo? ¿La circunferencia siempre se encuentra
Circunscripta? ¿Por qué?
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Medianas de un triángulo:
Se llama mediana correspondiente a un lado de un triángulo al segmento determinado por el punto medio de
ese lado y el vértice opuesto.
Propiedad: las medianas de los lados de un triángulo concurren en un punto tal que su distancia a cada uno de
los vértices es igual a los dos tercios (2/3) de la medida e la mediana correspondiente.
En : m
a
, m
b
, m
c
, medianas de los lados BC,
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AC y AB, respectivamente.
m
a
∩, m
b
∩, m
c
= G y |AG| = 2/3|
m
a
|
;
|BG| = 2/3| m
b
|
; |CG| = 2/3 |m
c
|
El punto donde concurren las medianas se llama baricentro (G).
Alturas de un triángulo:
Se llama altura correspondiente a un lado de un triángulo, al segmento perpendicular, comprendido entre el
vértice opuesto de ese lado y la recta que lo incluye.
Propiedad: Las alturas de un triángulo o sus prolongaciones concurren en un punto, que se llama Ortocentro
(H).
En : h
a
, h
b
, h
c
son las alturas correspondientes a los lados BC, AC
y AB.
Triángulo Órtico:
Las alturas de todo triángulo acutángulo ( ), son las bisectrices interiores del triángulo determinado por los
pies de las alturas (MNS). A este triángulo se llama triángulo órtico.
El ortocentro de coincide con el incentro de NMS.
Traza las alturas de un triángulo rectángulo y la de un triángulo obtusángulo ¿qué sucede en cada caso?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
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Circunferencias Exinscriptas-Exincentro:
El incentro es el único punto interior de un triángulo que equidista de los lados. Pero existen puntos exteriores
que equidistan de las rectas que incluyen a los lados del triángulo.
Las bisectrices de los dos ángulos exteriores de un triángulo, con la del ángulo interior no adyacente,
concurren en un punto llamado exincentro.
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Este punto equidista del lado opuesto al ángulo interior considerado y de las rectas que incluyen a los otros
dos lados.
En consecuencia se puede trazar la circunferencia llamada exinscripta que es:
Como existe tres exincentros, existen tres circunferencias exinscriptas.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, c y a, se
llaman catetos y el tercer lado, b, (opuesto al ángulo recto) es la
hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la
hipotenusa:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos: a
2
= b
2
+ c
2
1. Sea un cuadrado ABCD de lado 4 cm. Sobre el lado AB se construye un triángulo equilátero con el
tercer vértice E en el interior del cuadrado. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEC?, ¿y el DEC?
2. Las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden 5 y
40
cm. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa?
3. Traza una circunferencia circunscripta a un triángulo rectángulo. ¿Dónde se encuentra el
circuncentro? Explica el procedimiento realizado.
4. Construye un triángulo en cada caso, con los datos dados:
a)La altura de un lado y los ángulos adyacentes a ese lado:
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CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
Teniendo en cuenta que n = 4 (n cantidad de lados del polígono)
La suma de sus ángulos interiores es 180º. (4 – 2) = 360º.
El número de diagonales es 4.(4 – 2)
= 2 dos diagonales.
2
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS:
Existen distintos criterios para clasificar los cuadriláteros, la siguiente clasificación es de acuerdo a los pares de
lados paralelos. Solo pueden ser paralelos los lados opuestos es decir no consecutivos.
Se clasifican en paralelogramos (si tienen los dos pares de lados opuestos iguales entre sí) y no
paralelogramos.
Los paralelogramos son los cuadrados (los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos), rectángulos (los
cuatro ángulos rectos), rombos (los cuatro lados iguales) y romboides (no tienen los lados iguales ni los cuatro
ángulos rectos).
Los no paralelogramos son los trapecios (dos de sus lados son paralelos y los otros dos no) y los trapezoides
(no tienen ningún par de lados paralelos).
Paralelogramos
Paralelogramo: cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son iguales entre sí.
Las propiedades características de los paralelogramos son:
Los pares de lados opuestos son congruentes; y su recíproco: Si los lados opuestos de un cuadrilátero
son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo.
Los pares de ángulos opuestos son congruentes; y su recíproco:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Cada dos ángulos contiguos son suplementarios; y su recíproco:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y su recíproco: …………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos iguales y paralelos es un paralelogramo.
(Recíproco de la definición)
Los cuadrados, los rectángulos, los rombos y los romboides son paralelogramos, y sus características son:
Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.
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Rectángulos: sus cuatro ángulos son rectos.
Rombos: sus cuatro lados son iguales.
Romboides: sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.
Según la clasificación anterior, los cuadrados son rectángulos y rombos.
En un paralelogramo se llama base a cualquiera de sus lados y altura a la distancia entre la base y su lado
paralelo. El área del paralelogramo es el producto de la base por la altura.
BASES MEDIAS DE UN PARALELOGRAMO:
El segmento determinado por los puntos medios de los lados opuestos de un paralelogramo se llama base
media, con respecto a los otros dos lados.
En ABCD:
M es el punto medio del lado
N es el punto medio del lado
Luego
es la base media con respecto a los lados
y
.
Por otra parte:
P es el punto medio de
Q es el punto medio de
Luego
es la base media de los lados
y
.
¿Cómo es la base media de un paralelogramo con respecto a sus lados?
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Centro de simetría de un paralelogramo
Si en ABCD se trazan las diagonales, estas se cortan en el punto O, y se observa que cualquier punto del
paralelogramo es simétrico con respecto a O en el paralelogramo. Entonces, la intersección de las diagonales
de un paralelogramo es centro de simetría del mismo.
Paralelogramos especiales:
RECTÁNGULO:
Rectángulo, cuadrilátero paralelogramo con los cuatro ángulos rectos.
Las longitudes de dos lados contiguos de un rectángulo son sus dimensiones. El área de un rectángulo de
dimensiones a y b es A = a · b, y la longitud de sus diagonales
Un paralelogramo es rectángulo si y sólo si tiene cuatro ángulos rectos.
Si uno de los ángulos de un paralelogramo es recto, lo son los otros tres,
como suplementarios e iguales entre sí.
Si
= 1 recto
=
= 1 recto
Basta que un paralelogramo tenga un ángulo recto para que sea un rectángulo, lo cual se expresa: la condición
necesaria y suficiente para que un paralelogramo sea rectángulo es que tengan un ángulo recto.
- Construye un rectángulo con GeoGebra, de modo tal que al mover sus puntos, mantenga las propiedades.
Traza sus diagonales y deduce:
¿Qué propiedad deduces de sus diagonales?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
¿Cuál es su centro de simetría?
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ROMBO:
Un paralelogramo es rombo si y sólo sí tiene un par de lados consecutivos congruentes, y por ser un
paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales, por lo tanto el rombo tiene sus cuatro lados iguales.
- Construye un rombo con GeoGebra, de modo tal que al mover sus puntos, mantenga las propiedades.
Traza sus diagonales y deduce:
¿Qué propiedad cumple las diagonales de un rombo?
………………………………………………………………………………………
Si el lado del rombo es l y sus diagonales son d y d’, se cumple, por tanto, la siguiente relación: (d/2)
2
+ (d’/2)
2
= l
2
El área de un rombo es: A = d · d’/2
CUADRADOS
Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados de la misma longitud.
- Construye un cuadrado con GeoGebra, de modo tal que al mover sus puntos, mantenga las propiedades.
Traza sus diagonales y deduce:
¿Qué propiedad cumple las diagonales de un cuadrado?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
Basándonos en la definición anterior, podemos demostrar que todos los cuadrados tienen cuatro ejes de
simetría: las mediatrices de los lados y las diagonales. Por el mismo motivo, si las mediatrices de los lados y las
diagonales de un cuadrilátero son ejes de simetría, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.
Notas:
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—de acuerdo con la definición de un rectángulo, podemos decir que si un cuadrilátero es un cuadrado,
entonces es también un rectángulo;
—de acuerdo con la definición de un rombo, podemos afirmar que si un cuadrilátero es un cuadrado, entonces
es también un rombo.
TRAPEZOIDE:
Es el cuadrilátero que no tiene ningún par de lados opuestos paralelos.
Romboide: es el trapezoide que tiene dos vértices equidistante de los otros dos, con dos pares de lados
consecutivos iguales.
AB = BC y AD = DC
- Construye un romboide con GeoGebra, de modo tal que al mover sus puntos, mantenga las propiedades.
Traza sus diagonales y deduce:
ABCD romboide
¿Cómo son sus ángulos?
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
¿Qué propiedad cumple las diagonales del romboide?
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
TRAPECIO
Es el cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos
Escaleno: no tiene lados iguales
Rectángulo: un ángulo de la base principal es recto.
Isósceles: tiene dos lados iguales.
Base media de un trapecio:
Es el segmento determinado por los puntos medios de los lados no paralelos.
Teorema: La base media de un trapecio es paralela a los lados de la base
e igual a la semisuma de las mismas.
Trapecio ABCD
y
bases del trapecio
base media
//
y
//
=
+
2
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