1
UNIDAD N° 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos se pueden presentar bajo las siguientes formas:
| θ
Forma Polar
i eje imaginario
b z = a + b i
o a x eje real
Operaciones con números complejos dados como par ordenado o en forma binómica
Dados:
Se define:
Igualdad:
Suma:
Resta:
Multiplicación:
Si como caso particular fuese z
1
= z
2
y se efectuara la multiplicación de z
1
.z
1
, esto es
igual a decir que tengo z
1
2
y en éste caso al binomio que representa z
1
lo estoy
elevando a la potencia dos, es decir:
y aquí lo podemos desarrollar como la potencia de un binomio
El mismo proceso se aplica cualquiera sea el orden de la potencia establecida, es decir
se desarrolla la potencia del binomio según lo expresado por el Binomio de Newton.
Cociente: El cociente entre dos números complejos da por resultado otro complejo.
Para resolver la operación
Forma Cartesiana
Geométricamente, un número complejo se
puede considerar como un punto o un vector en
el plano coordenado “xy”.
2
debemos multiplicar numerador y denominador de la expresión por el complejo
conjugado del denominador, o sea:
Volviendo a la operación planteada, tendremos entonces:
Debemos tener presente que:
Entre las potencias de i
1
e i
4
están definidas todas las potencias de la unidad
imaginaria “i”, pues a partir de la quinta potencia se repiten cíclicamente los cuatro
valores dados.
Para calcular cuál de estos cuatro valores le corresponde a una potencia cualquiera “n”
de “i”, tendremos que tomar el valor de “n” al que está elevado “i” (i
n
) y dividir dicho
valor por cuatro, el resto de dicho cociente, es la potencia que le corresponderá a “i
n
”,
o sea:
4
nr
n
ii
rm
,
como ejemplo supongamos
i
35
35 3
35 4
38
i i i
3
Ejercicios Resueltos
A)
B)
y Z
1
Z
Z
2
O x
C)
D)
Dadas las siguientes expresiones, escribir las mismas en función de la variable
imaginaria “i”:
1º)
; 2º)
; 3º)
; 4º)
;
5º)
3 50 5 80 6 200
; 6º)
88
2
; 7º)
1
32 128
4
Respuestas :
1º) ± 5 i ; 2º) ±9 i ; 3º) ±
2
2
i
; 4º) ±
3 i
;
5º)
45 2 20 5ii
,ó,
45 2 20 5ii
; 6º) ±
22i
; 7º)
2 1 2i
Dados los siguientes complejos en su forma binómica, resolver las operaciones
indicadas:
8°)
a bi a bi
; 9º)
4 2 2 3ii
10º)
13
31
24
ii
;
11º)
3 4 5 2 1i i i
; 12º)
2 1 2ii
13º)
14
53
35
i i i i
; 14º)
3 4 1 3ii
; 15º)
13
93
52
ii
16º)
3 2 3 4ii
; 17º)
3 1 1 1 1
4
2 5 3 2 5
i i i
4
18º)
3 4 9 2 5i i i
; 19º)
1 2 1
33
2 7 2
i i i
Respuestas ::
8º)
02bi
; 9º)
65i
; 10º)
3 15
24
i
; 11º)
97i
; 12º)
1 2 2 i
;
13º)
103
15
i
14º)
2 i
; 15º)
44 9
52
i
; 16º)
3 3 5i
; 17º)
2 22
35
i
;
18º)
5 18i
; 19º)
40
7
i
Dados los siguientes complejos en su forma binómica, resolver las operaciones
indicadas, graficar dichos complejos y también su resultado:
20º)
4 3 2i i i
; 21º)
3 2 2 5i i i
Respuestas :
20º) 6 – 5 i ; 21º) 8 + 6 i
Dados los complejos: Z
1
= 3 – 2 i y Z
2
= 2 + 4 i en su forma binómica, resolver los
siguientes ejercicios:
22º) Z
1
+ Z
2
= ; 23º) Z
2
– Z
1
= ; 24º) Z
1
– Z
2
= ; 25º) (Z
2
)
3
=
Respuestas :
22º) 5 + 2 i ; 23º) - 1 + 6 i ; 24º) 1 – 6 i ; 25º) – 88 – 16 i
Dadas las siguientes operaciones, resolver las mismas:
26º) (3 + 2 i) . (4 + 3 i) = ; 27º)
12
32
25
ii
;
28º)
5 1 2
32
4 2 3
i i i
; 29º)
3 2 3 2ii
;
30º)
91
10 2
52
i i i i i
; 31º)
2
3 4 1ii
32º)
2 1 2i i i
;
En los dos ejercicios que siguen los complejos están expresados como pares
ordenados 33º)
11
3 ; 1 3 ; 1 ;
5 10
; 34º)
2 ; 3 2 ; 1
35º)
24
12
i
i
; 36º)
34
52
i
i
; 37º)
1
3
2
1
4
3
i
i
; 38º)
7
43
i
i
;
39º)
0,5 2
1
i
i
; 40º)
2
5
3
2
5
3
i
i
; 41º)
3 2 3
3
i
i
; 42º)
5 10
3 4 4 3ii
5
43º)
26
1
ii
i
; 44º)
2
11
4
12
ii
i
; 45º)
234
1
i i i i
i
; 46º)
2
22
i
i
;
47º)
2
34
i
i
; 48º)
3 3 4
23
ii
i
; 49º)
5
2 2 4 3
22
i
ii
i
;
50º)
5 3 2
4 3 2
ii
ii
; 51º)
2
32
24
i
i
; 52º)
5
1 2 3i i i
;
53º)
4
1 i
; 54º)
22
11
1 1 1
ii
i
Respuestas :
26º) 6 + 17 i ; 27º)
29 11
55
i
; 28º)
175 41
24 12
i
; 29º) 11 + 0 i ;
30º) 0 + 18 i ; 31º) -31 + 17 i ; 32º) 0 – 2 i ; 33º) 2 + 1 i ; 34º) - 1 + 8 i
35º)
68
55
i
; 36º)
7 26
29 29
i
; 37º)
219 9
290 145
i
; 38º)
21 28
25 25
i
;
39º)
35
44
i
40º)
221 60
229 229
i
; 41º)
23i
; 42º)
11 2
55
i
;
43º) 1 i ; 44º) 3 + 4 i ; 45º) 0 + 0 i ; 46º)
31
44
i
;
47º)
2 11
25 25
i
; 48º)
3 24
13 13
i
; 49º)
51 3
44
i
; 50º)
23 89
50 50
i
;
51º)
63 4
100 25
i
; 52º)
1
0
2
i
; 53º) - 4 + 0 i; 54º) 0 + 0 i
6
Pasaje de la forma binómica a la forma trigonométrica del número complejo
y i
b P(a , b)
o a x
Operaciones en forma trigonométrica
Siendo “k” un escalar que varía desde cero hasta (n-1), o sea: k = 0, 1, 2, . . . . (n-1),
en total “n” valores, dando lugar a que aparezcan las “n” raíces Z
1
, Z
2
, . . . . , Z
n
.
y
Z
3
Z
2
Z
4
Z
1
El radio del círculo es igual a
n
x
Z
5
Z
n
Z
6
)
7
Ejercicios Resueltos
A)
B)
C)
D)
-
E)
8
y i (eje imaginario)
Z
0 1 x (eje real)
y i eje imaginario
Z
2
círculo de radio igual a
3
1
n
Z
1
x eje real
Z
3
9
Expresar en forma trigonométrica los siguientes complejos dados en su forma
binómica
55º) Z = i ; 56º) Z = 3 + 4i ; 57º) Z = 5 + 5 i ; 58º) Z = - 5 + 5 i ;
59º) Z = - 5 – 5 i ; 60º) Z = 5 – 5 i ; 61º) Z = 2 + 2 i ; 62º)
22Zi
63º)
3Zi
; 64º)
6 3 6Zi
; 65º) Z = 0 + 4 i
Respuestas :
55º)
1 (cos 90º 90º )Z i sen
; 56º)
5 (cos 53º7'48'' 53º7'48'')Z i sen
57º)
50 (cos 45º 45º )Z i sen
; 58º)
50 (cos 135º 135º )Z i sen
59º)
50 (cos 225º 225º )Z i sen
; 60º)
50 (cos 315º 315º )Z i sen
;
61º)
2 2 (cos 45º 45º )Z i sen
; 62º)
2 (cos 45º 45º )Z i sen
;
63º)
2 (cos 30º 30º )Z i sen
; 64º)
12 (cos 30º 30º )Z i sen
;
65º)
4 (cos 90º 90º )Z i sen
Dados los siguientes complejos en forma trigonométrica, expresar los mismos en su
forma binómica:
66º)
1
(cos 45º 45º )
2
Z i sen
; 67º)
0,5 (cos 150º 150º )Z i sen
;
68º)
3
(cos 60º 60º )
2
Z i sen
; 69º)
3 (cos 90º 90º )Z i sen
Respuestas :
66º)
22
44
Zi
67º)
31
44
Zi
68º)
33
3
44
Zi
; 69º)
3Zi
70º) Dado Z = 3 – 2 i, encontrar Z
2
utilizando la forma trigonométrica.
Respuesta:
2
13(cos292º37' 292º37')Z i sen
71º) Con
12
3(cos90º 90º) 5(cos110º 110º)Z i sen y Z i sen
, calcular
12
ZZ
y
1
2
Z
Z
utilizando la forma trigonométrica.
Respuesta:
1
12
2
3
15(cos200º 200º ) ; (cos340º 340º )
5
Z
Z Z i sen i sen
Z
72º) Dados Z
1
= 3 – 2i y Z
2
= 2 + 4i, resolver
1
2
Z
Z
utilizando la forma binómica y luego
resolverlo utilizando la forma trigonométrica y comparar sus resultados.
Respuesta:
11
22
1 4 13 1 4
; cos 262º 52'30'' 262º52'30''
10 5 10 5
20
ZZ
i i sen i
ZZ
73º) Dados Z
1
= 3 – 2i y Z
2
= 1 + i, resolver Z
1
. Z
2
utilizando la forma binómica;
realizarlo también utilizando la forma trigonométrica
10
Respuesta: Z
1
.Z
2
= 5 + i
12
26 cos11º18' 11º18' 5,00017 0,9993319Z Z i sen i
→
12
. 5 1Z Z i
74º) Dados Z
1
= -5 + 5 i y
1
2
2
Z = 18 cos235º 235º ,
Z
i sen hallar
Z
utilizando la
forma trigonométrica. Expresar su resultado en forma binómica.
Respuesta:
1
2
0,29 1,64
Z
i
Z
=
29 164
100 100
i
75º) Dados Z
1
= 3 – 2i y Z
2
= 4 + 2 i, resolver Z
1
. Z
2
y
1
2
Z
Z
utilizando la forma
trigonométrica.
Respuesta:
1
12
2
13
260 (cos352º 51' 352º 51') ; (cos299º 45' 299º 45 ')
20
Z
Z Z i sen i sen
Z
76º) Dados Z
1
= 3 – 2i y Z
2
= 2 + 4 i , resolver Z
1
. Z
2
y
1
2
Z
Z
utilizando la forma
trigonométrica.
Respuesta:
1
12
2
13
260 (cos29º 44' 29º 44') ; (cos 262º52' 262º 52')
20
Z
Z Z i sen i sen
Z
77º) Dados:
1 2 3
; 1 3 3Z i Z i y Z i
; resolver Z
1
. Z
2
.Z
3
utilizando la
forma trigonométrica. Expresar el resultado en forma binómica.
Respuesta:
1 2 3
4 cos60º 60º 2 2 3Z Z Z i sen i
78º) Dados Z
1
= 5 i y Z
2
= 2 + i , resolver
1
2
Z
Z
utilizando la forma trigonométrica.
Exprese su resultado en forma binómica.
Respuesta:
1
2
5
cos63º 27' 63º 27' 1 2
5
Z
i sen i
Z
79º) Dado Z = 3 – 2 i, resolver Z
2
utilizando la forma binómica y también la forma
trigonométrica. Expresar esta última en forma binómica y comparar los resultados.
Respuesta:
22
5 12 ; 13 cos 292º37' 292º37' 5 12Z i Z i sen i
80º) Dado Z = 3 (cos 40º + i sen 40º), resolver Z
3
en su forma trigonométrica y
expresar su resultado en forma binómica.
Respuesta:
3
27 27
27 cos120º 120º 3
22
Z i sen i
81º) Dado Z = (2 + 4 i), resolver Z
3
en forma binómica y también en forma
trigonométrica. El resultado de esta última expresión ponerlo en la forma binómica.
11
Respuesta: Z
3
= - 88 – 16 i ;
3
3
20 cos190º18' 190º18' 88 16Z i sen i
82º) Dado Z = 3 + i, encontrar Z
6
utilizando la forma trigonométrica. Expresar su
resultado en forma binómica.
Respuesta: Z
6
= 10
3
(cos 110º36’ + isen 110º36’) = - 352 + 936 i
83º) Dado el siguiente complejo en su forma polar
4 45ºZ
, hallar Z
9
. Exprese el
resultado en forma trigonométrica y también como forma binómica.
Respuesta:
99
4 cos 45º 45º 185363,8 185363,8Z i sen i
84º) Dado el siguiente complejo expresado en su forma exponencial
3
5
i
Ze
,
resolver Z
6
y expresar su resultado en forma binómica.
Respuesta:
6
6
6 60º 6
3
5 5 5 cos 6 60º 6 60º 15625 0
i
i
Z e e x i sen x i
85º) Dados Z
1
= 3 – 2 i , y , Z
2
= 2 + 4 i , resolver
2
1
2
Z
Z
por la forma binómica y
también por la forma trigonométrica. Este último resultado expréselo en forma
binómica y compare ambos resultados.
Respuesta:
22
11
22
19 11 13
; (cos 229º11'6'' 229º11'6'')
10 5
20
ZZ
i i sen
ZZ
2
1
2
19 22
1,9 2,2
10 10
Z
ii
Z
86º) Dado Z = 1 – 3 i , calcular Z
4
; dé su resultado en forma binómica.
Respuesta: Z
4
= 28 + 96 i
87º) Dado Z = - 1 + i , resolver Z
7
. Dé el resultado en forma binómica.
Respuesta: Z
7
= - 8 – 8 i
88º) Resolver
5
4
2 . 3 2
1
ii
i
, considerando para ello que
12
2 ; 3 2Z i Z i
, y ,
3
1Zi
. Exprese su resultado en forma binómica.
Respuesta:
5
12
4
3
.
61 298,5
ZZ
i
Z
=
2985
61
10
i
89º) Resolver
3
5
3 2 3 3
4
ii
i
utilizando la forma trigonométrica y expresar su
resultado en forma binómica.
12
Respuesta:
3
12
5
3
.
119 198
1000 1000
ZZ
i
Z
90º) Dado Z = [ r ( cos + i sen )] , hallar Z
2
.
Respuesta: Z
2
= r
2
( cos 2 + i sen 2 )
90º) Dado Z = 3 - i , encontrar Z
6
utilizando la forma trigonométrica. Expresar su
resultado en forma binómica.
Respuesta: Z
6
= ( 3 – i )
6
= - 352 – 936 i
91º) Dado Z = 5 (cos 130º + i sen 130º) ; hallar Z
8
Respuesta: Z
8
= 390 625 (cos 320º + i sen 320º)
92º) Dado
3 i
Z
i
, hallar Z
3
utilizando la forma trigonométrica y expresar su
resultado en forma binómica.
Respuesta: Z
3
= - 26 – 18 i
93º) Dado
2
1
i
Z
i
, hallar Z
-3
Respuesta:
3
18 26
125 125
Zi
94º) Dados Z
1
= 3 (cos 30º + i sen 30º) y Z
2
= 6 (cos 130º + i sen 130º), hallar
(Z
1
. Z
2
)
4
y expresar su resultado en forma trigonométrica.
Respuesta: (Z
1
.Z
2
)
4
= 104 976 (cos 280º + isen 280º)
95º) Dado
23Zi
, hallar Z
-4
utilizando la forma trigonométrica.
Respuesta:
4
11
49 cos 196º 25'35'' 196º25'35'' 47 13,856
Z
i sen i
96º) Dado
32
4
5 5 5 5
55
ii
i
, resolver utilizando la forma trigonométrica.
Respuesta:
32
12
4
3
50 cos 225º 225º 5 5
ZZ
i sen i
Z
97º) Dado Z = -1 + 0 i , resolver
1
3
Z
, y representar gráficamente.
Respuesta:
1 2 3
1 cos 60º 60º ; 1 cos 180º 180º ; 1 cos 300º 300ºZ i sen Z i sen Z i sen
98º) Dado Z = 16 (cos 60º + i sen 60º) , hallar
1
2
Z
y graficar.
Respuesta:
12
4 cos 30º 30º ; 4 cos 210º 210ºZ i sen Z i sen
13
99º) Dado Z = - i , resolver
1
3
Z
, y representar gráficamente.
Respuesta:
1 2 3
1 cos90º 90º ; 1 cos210º 210º ; 1 cos330º 330ºZ i sen Z i sen Z i sen
100º) Dado Z = 16 i , resolver
1
4
Z
y representar gráficamente.
Respuesta:
12
2 cos22º30' 22º30' ; 2 cos112º30' 112º30' ;Z i sen Z i sen
34
2 cos 202º30' 202º30' ; 2 cos 292º30' 292º30'Z i sen Z i sen
101º) Dado
32
4
i
Z
i
, hallar
1
3
Z
y graficar.
Respuesta:
33
12
221 221
cos6º 33' 6º33' ; cos126º 33' 126º 33' ;
17 17
Z i sen Z i sen
3
3
221
cos 246º 33' 246º 33'
17
Z i sen
102º) Dado Z = -3 + 3 i , calcular
3
2
Z
y graficar.
Respuesta:
12
54 2 cos 22º30' 22º30' ; 54 2 cos 202º30' 202º30'Z i sen Z i sen
103º) Dado Z = 3 - 3 i , calcular
1
4
Z
y graficar.
Respuesta:
88
12
18 cos78º 45' 78º 45' ; 18 cos168º 45' 168º 45' ;Z i sen Z i sen
88
34
18 cos 258º 45' 258º 45' ; 18 cos348º 45' 348º 45'Z i sen Z i sen
104º) Dado Z = - 5 + 5 i , calcular
1
3
Z
y graficar.
Respuesta:
66
12
50 cos 45º 45º ; 50 cos165º 165º ;Z i sen Z i sen
6
3
50 cos 285º 285ºZ i sen
105º) Dado Z = - 3 - 3 i , resolver
1
4
Z
y graficar.
Respuesta:
88
12
18 cos 56º15' 56º15' ; 18 cos146º15' 146º15' ;Z i sen Z i sen
88
34
18 cos 236º15' 236º15' ; 18 cos326º15' 326º15'Z i sen Z i sen
106º) Dado Z = - 3 i , resolver
1
5
Z
y graficar.
Respuesta:
55
12
3 (cos 54º 54º ) ; 3 (cos 126º 126º )Z i sen Z i sen
55
34
3 (cos 198º 198º) ; 3 (cos 270º 270º )Z i sen Z i sen
5
5
3 (cos 342º 342º )Z i sen
14
107º) Dado
2 2 3 0Zi
, calcular
1
3
Z
y graficar.
Respuesta:
33
12
4 (cos 20º 20º ) ; 4 (cos 140º 140º )Z i sen Z i sen
;
3
3
4 (cos 260º 260º)Z i sen
108º) Dado: Z – (-1 + i ) = 0 ; resolver
1
3
Z
y representar gráficamente.
Respuesta:
66
12
2 (cos 45º 45º ) ; 2 (cos 165º 165º )Z i sen Z i sen
;
6
3
2 (cos 285º 285º)Z i sen
109º) Dado:
33Zi
, calcular
1
3
Z
y representar gráficamente.
Respuesta:
66
12
6 (cos 105º 105º) ; 6 (cos 225º 225º )Z i sen Z i sen
6
3
6 (cos 345º 345º)Z i sen
110º) Dado
50Z
, resolver
4
Z
y graficar.
Respuesta:
88
12
5 (cos 45º 45º ) ; 5 (cos 135º 135º )Z i sen Z i sen
;
88
34
5 (cos 225º 225º ) ; 5 (cos 315º 315º)Z i sen Z i sen
111º) Dado: Z = – 2 + 2 i , calcular
4
3
Z
y graficar.
Respuesta:
112º) Dado: Z = 3 - 2 i , calcular
2
3
Z
y graficar.
Respuesta:
33
12
13 (cos 97º 32' 97º32') ; 13 (cos 217º 32' 217º 32')Z i sen Z i sen
;
3
3
13 (cos 337º32' 337º32')Z i sen
113º) Dado: Z = - i , calcular
1
3
Z
y graficar.
Respuesta:
12
31
1 (cos 90º 90º ) 0 1 ; 1 (cos 210º 210º )
22
Z i sen i Z i sen i
3
31
1 (cos 330º 330º )
22
Z i sen i
114º) Dado: Z = 2 i , calcular
1
2
Z
y graficar.
Respuesta:
12
2 (cos 45º 45º ) ; 2 (cos 225º 225º )Z i sen Z i sen
115º) Dado: Z = - i , calcular
1
2
Z
y graficar.
Respuesta:
12
1 (cos 135º 135º ) ; 1 (cos 315º 315º)Z i sen Z i sen
116º) Dado: Z = - 1 , calcular
1
3
Z
y graficar.
Respuesta:
12
1 (cos 60º 60º) ; 1 (cos 180º 180º)Z i sen Z i sen
;
3
1 (cos 300º 300º )Z i sen
15
117º) Dado
13Zi
, resolver y graficar
3
2
Z
.
Respuesta:
1
8 (cos 0º 0º ) 8 (1 0 ) 8 0 2 2 0 2 2Z i sen i i i
2
8 (cos 180º 180º ) 8 ( 1 0 ) 8 0 2 2 0 2 2Z i sen i i i
118º) Dado
33Zi
, calcular
1
4
Z
y graficar.
Respuesta:
88
12
12 (cos 52º 30' 52º 30') ; 12 (cos 142º30' 142º30')Z i sen Z i sen
;
88
34
12 (cos 232º30' 232º30') ; 12 (cos 322º30' 322º30')Z i sen Z i sen
119º) Dado
2 2 3Zi
, resolver
1
3
Z
y graficar.
Respuesta:
33
12
4 (cos 40º 40º ) ; 4 (cos 160º 160º )Z i sen Z i sen
:
3
3
4 (cos 280º 280º)Z i sen
120º) Dado Z = - 3 + 3 i , resolver
3
2
Z
y graficar.
Respuesta:
33
12
18 (cos 22º30' 22º 30') ; 18 (cos 202º30' 202º30')Z i sen Z i sen
121º) Dado Z = - 1 , resolver
1
4
Z
y graficar.
Respuesta:
12
1 (cos 45º 45º ) ; 1 (cos 135º 135º )Z i sen Z i sen
;
34
1 (cos 225º 225º ) ; 1 (cos 315º 315º)Z i sen Z i sen
122º) Comprobar si:
33Z i Z i
123º) Comprobar si:
i Z i Z
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