Volver a Análisis matemático A
Análisis Matemático A
(para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
Práctica 1
Cátedra Cabana
Índice general
1. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES 2
1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Ejercicios de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Composición de funciones y función inversa . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9. Funciones definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10. Ejercicios de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11. Respuestas de la Práctica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
Práctica 1
NÚMEROS REALES Y
FUNCIONES
1.1. La recta real
Ejercicio 1.1. Ordenar y representar en la recta numérica.
a. 5; −4; −1; −
√
3;
√
3 −1;
2
3
; −
3
√
8;
√
3; −
3
2
; −
√
3 − 1.
b. −2; −4; −e; 3; 2;
e
2
; π;
π
2
;
3
√
−27; −π.
Ejercicio 1.2. Representar en la recta los siguientes conjuntos.
a. [−1, 3] ∩ [0, 6]
b. [−1, 3] ∪ [0, 6]
c. (−∞, 2) ∩(−1, +∞)
d. (−∞, 2) ∪(−1, +∞)
e. Todos los números reales mayores que -2.
f. Todos los números reales menores o iguales que 5.
Ejercicio 1.3. En los casos en que sea posible, escribir los siguientes conjuntos
como intervalos o unión de intervalos. Representar todos los conjuntos en la recta
numérica.
a. {x ∈ R/ 2x − 1 < x + 3}
b.
n
x ∈ R/ −
x
3
< 2x + 1
o
c.
n
x ∈ R /
6
x−1
≥ 5
o
d. {x ∈ R/| x |< 2}
e. {x ∈ R/ | x − 3 | < 2}
f. {x ∈ R/| x |> 5}
g. {n ∈ N/8 ≤ n < 10}
h.
n
n
n+1
/n ∈ N ∧ n < 4
o
2
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
i.
n
x ∈ R/
x+1
3x+2
> 1
o
j. {x ∈ R/(1 − 2x)(2 − x) ≥ 0}
Ejercicio 1.4. Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su conjunto solu-
ción en forma gráfica sobre la recta real.
a. −2x > 4
b. 5x − 3 ≤ 7 − 3x
c. 2x −
1
2
≥ 7x +
7
6
d.
4x−8
5
<
x−6
3
e. 1 − x
2
≤ −3
f. x
2
− x − 2 ≥ 0
1.2. Números irracionales
Ejercicio 1.5. Clasificar los números reales del Ejercicio 1 en racionales e irracio-
nales.
Ejercicio 1.6. Hallar el número racional cuya expresión decimal es 0, 3344444...
Ejercicio 1.7. El número
√
5 está comprendido entre 2 y 3 y sus primeras
cifras decimales son 2, 236067977499790......
a. (Opcional) Demostrar que
√
5 es un número irracional.
b. Hallar un número racional comprendido entre 2,236 y
√
5.
c. Hallar un número irracional comprendido entre 2,236 y
√
5.
1.3. Supremo e ínfimo
Ejercicio 1.8. Decidir si los conjuntos dados a continuación, están acotados su-
periormente y/o inferiormente. En caso afirmativo, encontrar el supremo y/o el
ínfimo y decidir si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto corres-
pondiente.
a. (0, +∞)
b. [0, 1]
c. [0, 1)
d. N
e. {4; 4, 9; 4, 99; 4, 999; .....}
f. {x ∈ R/ | x | >7}
g. {x ∈ R/x
2
− 3x + 2<0}
h. {y ∈ R/y = x
2
− 3x + 2, x ∈ R }
Ejercicio 1.9. Considerar el conjunto A =
n
n
n+1
: n ∈ N
o
.
a. Mostrar que 1 es una cota superior del conjunto A.
b. Exhibir un elemento a ∈ A que satisfaga 0, 9 < a < 1.
c. Exhibir un elemento a ∈ A que satisfaga 0, 99 < a < 1.
3
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
d. Mostrar que si b < 1, existe un elemento a ∈ A que satisface b < a < 1.
e. ¿Se puede deducir que 1 es el supremo del conjunto A?
f. ¿Se puede deducir que 1 es el máximo del conjunto A?
1.4. Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1.10. Hallar los valores de x que verifican:
a. | x |≤ 3 y x > −
1
2
b. | x − 1 | = 1 − x
Ejercicio 1.11. (Optativo) Demostrar.
a. Si x ∈ R es irracional, entonces x + 1 es irracional. (Sug.: demostrar el
contrarrecíproco)
b. Demostrar que si x ∈ R es irracional, entonces x −1 y
1
x
son irracionales.
(Sug.: demostrar por reducción al absurdo)
Ejercicio 1.12. Una persona realiza un via je por una ruta, siendo x la cantidad
de kilómetros que recorre. Hace paradas en distintos pueblos: la primera parada
la hace después de recorrer el segmento | x − 25 |≤ 25, la segunda después de
recorrer el segmento | x − 85 |≤ 35 y la última después de recorrer el segmento
| x − 140 |≤ 20.
a. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total ?
b. ¿A cuántos kilómetros del punto de partida están ubicados los pueblos en
los que paró?
c. ¿A cuántos kilómetros entre sí están ubicados dichos pueblos?
1.5. Funciones
Ejercicio 1.13. A partir de los siguientes conjuntos del plano, determinar en cada
caso si existe una función cuyo gráfico sea el dado.
a.
4
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
b.
c.
d.
e.
f.
Ejercicio 1.14. A partir de los siguientes gráficos de funciones, determinar en
cada caso el valor de f(0), el valor de x tal que f(x) = 0, dónde la función crece
y dónde decrece, dónde alcanza y cuánto vale su valor máximo y su valor mínimo,
dónde es positiva y dónde es negativa.
a.
5
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
b.
c.
d.
Ejercicio 1.15. Determinar el conjunto dominio, más amplio posible en reales,
para que las siguientes fórmulas sean funciones.
a. f(t) = 3t
2
− t
b. f(x) =
x−2
3x+1
c. f(s) =
√
5s + 1
d. f(x) =
3+x
√
x+2
e. f(z) =
√
x−2
√
x+2
f. f(x) = x
3
g. f(x) = 2
x
h. f(x) = 2
1
3x+1
Ejercicio 1.16. Analizar, en forma analítica, la paridad de las siguientes funciones.
a. f(x) = x
2
b. f(x) = x
2
+ 1
c. f(x) = (x + 1)
2
d. f(x) = x
3
+ 2
e. f(x) = x
3
+ 2x
f. f(x) = |x|
g. f(x) =
1−x
x
h. f(x) =
1
x
Ejercicio 1.17. Hallar la función lineal f(x) que verifica las condiciones dadas y
represente gráficamente cada función hallada:
a. f(2) = −4; f(−1) = 5.
6
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
b. f(0) = −1 f(3) = 0.
c. Tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1, 4).
d. Corta el eje x en 1 , y al eje y en 2.
e. Pasa por los puntos (1, 5) y (8, 5).
f. Pasa por el origen de coordenadas y es bisectriz del primer cuadrante.
g. Es paralela a la recta de ecuación y = 2x −1 y pasa por el punto (1, 5).
h. Es perpendicular a 4x − 8y = 16 y f(−1) = 0.
Ejercicio 1.18. Para cada función del ejercicio anterior, indicar la pendiente, la
ordenada al origen, la intersección con cada eje de coordenadas y analizar cuáles
son crecientes y cuáles decrecientes.
Ejercicio 1.19. Un resorte mide 10 cm cuando colgamos de él un peso de 20
gramos y 15 cm si colgamos 40 gramos. Suponiendo que la relación entre la longitud
del resorte y el peso que soporta es lineal:
a. ¿Cuál es la longitud del resorte cuando no colgamos ningún peso?
b. ¿Cuál es la longitud si colgamos un peso de 30 gramos?
c. ¿Qué peso le colgamos si su longitud es 17,5 cm?
¿Para qué valores de peso la longitud del resorte no supera los 20 cm?
Ejercicio 1.20. Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones
cuadráticas, calculando previamente las raíces, eje de simetría y vértice:
a. f(x) = x
2
− 1
b. f(t) = 4 − 5t + t
2
c. f(x) = (x −1)
2
+ 2
d. f(t) = 2(t + 1)(t − 2)
Ejercicio 1.21. Para cada una de las funciones del ejercicio anterior, determinar
intervalos de crecimiento y decrecimiento, coordenadas de los extremos y conjuntos
de positividad y negatividad.
Ejercicio 1.22. Hallar la expresión de la función cuadrática que cuyo valor má-
ximo 4 se alcanza en x = 2 y su gráfico pasa por el origen de coordenadas.
Ejercicio 1.23. Hallar la función cuadrática cuya ordenada al origen es 5 y su
conjunto de positividad es el intervalo (−1, 2).
Ejercicio 1.24. Representar gráficamente las siguientes funciones:
a. f(x) = x
3
b. f(x) = −x
3
+ 2
c. f(x) = (x −1)
3
+ 1
d. f(x) = −x
4
− 1
Ejercicio 1.25. Para las siguientes funciones, hallar Dominio e Imagen y repre-
sentar gráficamente:
7
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
a. f(x) =
1
x
b. f(x) =
1
x−2
c. f(x) =
2
x−1
+ 1
d. f(x) =
2x+1
−x+3
Ejercicio 1.26. Para cada función del ejercicio anterior indicar intervalos de cre-
cimiento y decrecimiento, raíces (si existen) , e intervalos de positividad y negati-
vidad.
Ejercicio 1.27. Representar gráficamente las siguientes funciones, indicando in-
tervalo de crecimiento y decrecimiento en cada caso:
a. f(x) =| x + 2 |
b. f(x) =| x
2
− 1 |
c. f(x) =| x | −1
d. f(x) =|
1
x
|
1.6. Composición de funciones y función inversa
Ejercicio 1.28. Dadas las siguientes funciones:
f(x) = −x + 1 g(x) = x
2
+ 2x h(x) =
√
x + 3 r (x ) =| x − 2 |
a. Hallar la expresión de (f ◦g)(x) , (h ◦f)(x) , (r ◦f)(x) , (f ◦f)(x)
e indicar el dominio de cada función.
b. Calcular, cuando sea posible, (g ◦ f)(2) (f ◦ r)(−1) (f ◦ g ◦h)(1).
Ejercicio 1.29. Hallar la función inversa de cada una de las siguientes funciones,
restringiendo el dominio cuando sea necesario :
a. f(x) = 2x + 8
b. f(x) =
1
x+3
c. f(x) = x
2
+ 1 para x ∈ (−∞, 0]
d. f(x) = x
2
+ 1 para x ∈ [0, +∞)
e. f(x) = −x
3
+ 5
f. f(x) =
x+2
2x−3
g. f(x) =| x −1 |
Ejercicio 1.30. Dadas las siguientes funciones, hallar dominio y representar grá-
ficamente. Analizar también la monotonía e indicar las raíces.
a. f(x) =
√
x
b. f(t) =
√
t − 1
c. f(x) = −
√
x
d. f(u) =
√
u − 2
e. f(x) =
√
−x
2
+ 2x
1.7. Funciones exponenciales y logarítmicas
Ejercicio 1.31. Dadas las siguientes funciones exponenciales, indicar Dominio e
Imagen y representar gráficamente:
8
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
a. f(x) = 2
x
b. f(x) = (
1
3
)
x
− 1
c. f(x) = e
x
− 2
d. f(x) = 2 e
−x
e. f(x) = −e
−x
+ 1
Ejercicio 1.32. Representar las siguientes funciones logarítmicas, indicando Do-
minio e Imagen:
a. f(x) = log
2
x
b. f(x) = ln x
c. f(x) = log
1/2
x
d. f(x) = −log x
e. f(x) = ln (2x + 1)
f. f(x) = ln (x
2
− 1)
Ejercicio 1.33. Hallar el valor de x que verifica:
a. ln(x + 1) = 2 b. −e
x+1
+ 5 = 4
Ejercicio 1.34. Analizar, en caso de ser posible, la paridad de las siguientes
funciones.
a. f(x) = ln(x + 1)
b. f(x) = 2 ln (x
2
)
c. f(x) = 2 + ln (x
2
)
d. f(x) = xe
x
2
e. f(x) = ln
1
x
2
f. f(x) = e
x
x−2
Ejercicio 1.35. Hallar la función inversa de:
a. f(x)=ln(2x + 1) b. f(x) = e
x+2
− 1
1.8. Funciones trigonométricas
Ejercicio 1.36. Representar gráficamente las siguientes funciones indicando el
período de cada una:
a. f(x) = sin(x)
b. f(x) = cos(x)
c. f(x) = sin(x + π)
d. f(x) = −cos(2x)
e. f(x) = tg(x)
f. f(x) = 2 sin(
1
2
x)
Ejercicio 1.37. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones:
a. sin (x) = 1
b. cos (x)=
1
2
c. 3 sin (x) = 0
d. 2 sin(2x − π) =
√
3 con x ∈
[−π, π]
e. 4 cos(x+
π
2
)=2
√
2 con x ∈ [0, 2π]
f. tg (x) = 1
9
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
1.9. Funciones definidas por partes
Ejercicio 1.38. Dada la función
f(x) =
x + 1
x + 2
si x > −2,
2x + 6 si x ≤ −2.
a. Calcular f (−2) y f(0).
b. Hallar x tal que f(x) = 0.
c. Representar gráficamente.
Ejercicio 1.39. Sea
f(x) =
2x + 4 si x < 1,
2 si x = 1,
e
x−1
si x > 1.
a. Calcular f (−1) y f(1).
b. Hallar, si existe, la intersección de f(x) con el eje x y con el eje y.
c. Representar gráficamente.
Ejercicio 1.40. Representar gráficamente en el plano.
a. {(x, y) ∈ R
2
/x ≥ 0}
b. {(x, y) ∈ R
2
/x ≤ 0 ; y ≥ 0}
c. {(x, y) ∈ R
2
/y ≤ 2}
d. {(x, y) ∈ R
2
/1 ≤ x ≤ 3 ; y > 2}
e. {(x, y) ∈ R
2
/x < 0 ; −1 ≤ y < 1}
f. {(x, y) ∈ R
2
/x + y ≤ 1 ; x ≥ 0}
g. {(x, y) ∈ R
2
/x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 2}
h. {(x, y) ∈ R
2
/y ≥ x
2
+ 1}
i. {(x, y) ∈ R
2
/y ≥ x
2
− 2 ; ∧y ≤ 5}
j. {(x, y) ∈ R
2
/y ≤
√
x ; y ≥ 0 ∧ x ≤ 4}
k. {(x, y) ∈ R
2
/y ≥ ln(x) ; y < 0}
10
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
1.10. Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1.41. Un fabricante determina que el número total de unidades de
producción diarias, q, en función del número de empleados, m, esta dado por
q = f(m) = (40m −m
2
)/4. Los ingresos totales , r, que se reciben por la venta de
q unidades , están dados por la función g, donde r = g(q) = 40q.
Determinar (g ◦ f)(m) ¿Qué describe esta función?¿Cuál es su Dominio?
Ejercicio 1.42. Una sustancia radiactiva decrece de la forma N(t) = 10e
−0,4t
donde N es el número de miligramos presentes de sustancia después de t horas.
a) Determinar la cantidad inicial de sustancia radiactiva.
b) Determinar el tiempo de vida media de la sustancia (tiempo que tarda en
reducirse a la mitad de la cantidad inicial).
c) ¿Cuántas horas se requieren para que quede 1 mg de sustancia presente?
Ejercicio 1.43. Se sabe que la relación entre grados Celsius (
◦
C) y grados Fa-
renheit (°F ) es una función lineal. Si 32 °F equivalen a 0 °C, y que 212
◦
F a 100
°C.
a) Hallar la función que permite hallar la temperatura en grados
◦
F conocida
la misma en °C.
b) Hallar la función que permite hallar la temperatura en grados °C conocida
la misma en °F.¿Qué relación tiene con la función hallada en a)?
c) ¿A cuántos °C equivalen 50 °F?
d) ¿A cuántos °F equivalen 30 °C?
11
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
1.11. Respuestas de la Práctica 1
Ejercicio 1. 1. a. −4 < −
√
3 − 1 < −
3
√
8 < −
√
3 < −
3
2
< −1 <
2
3
<
√
3 − 1 <
√
3 < 5
b- -4<-π <
3
√
−27 < −e < −2 <
e
2
<
π
2
< 2 < 3 < π
Ejercicio 1. 2. a.
b.
c.
d. Son todos los números Reales
e.
f.
12
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
Ejercicio 1. 3.
a. (−∞, 4)
b. (−
3
7
, +∞)
c.
1,
11
5
i
d. (−2, 2)
e. (1, 5)
f. (−∞, −5) ∪ (5, +∞)
g. {8, 9}
h.
n
1
2
,
2
3
,
3
4
o
i.
−
2
3
, −
1
2
j. (−∞,
1
2
] ∪ [2, +∞)
Ejercicio 1. 4. a. (−∞, −2)
b. (−∞,
5
4
]
c.
−∞, −
1
3
i
d. (−∞, −
6
7
)
e. (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
f. (−∞, −1] ∪ [2, +∞)
Ejercicio 1. 5. a.
Racionales −4; −
3
√
8; −
3
2
; −1;
2
3
; 5
Irracionales −
√
3 − 1; −
√
3;
√
3 − 1;
√
3
Ejercicio 1. 6.
301
900
Ejercicio 1. 7. a. Una forma es demostrarla por el absurdo, esto es suponer que
no se cumple lo que se afirma y llegar a una contradicción. Se hace de la siguiente
forma:
Supongamos que
√
5 ∈ Q, entonces existen números enteros p y q coprimos
(el único divisor común es 1) tal que
√
5 =
p
q
. Esto implica que: 5 =
p
2
q
2
→ 5q
2
=
p
2
(∗), donde se lee que p
2
es divisible por 5 y, como 5 es primo, entonces 5
también divide a p, es decir, existe k ∈ Z tal que p = 5.k. Reemplazando en (*),
5q
2
= 25k
2
→ q
2
= 5k
2
, igual que antes, esto significa que q
2
es divisible por 5 y,
como 5 es primo, entonces 5 también divide a q. Por lo tanto, 5 divide a q y a p,
lo que implica que no son coprimos, contradictorio!!! Esta contradicción proviene
de suponer que es racional, por lo tanto,
√
5 ∈ I.
b. Hay infinitos, uno por ej 2,23605.
c. Hay infinitos, uno por ej
2,236+
√
5
2
.
Ejercicio 1. 8. a. Acotado inferiormente. 0 es el ínfimo. No tiene mínimo.
b.Acotado superior e inferiormente. 0 es el ínfimo y mínimo; 1 es el supremo y
máximo.
c. Acotado (superior e inferior). 0 es ínfimo y mínimo. 1 es supremo. No tiene
máximo.
d. Es acotado inferiormente.1 es el ínfimo y el mínimo.
e. Acotado inferiormente y superiormente. 4 es el ínfimo y mínimo. Supremo 5.
No tiene máximo.
f. No es acotado
g. Acotado (superior e inferiormente). 1 es ínfimo y 2 es supremo. No tiene ni
máximo ni mínimo.
h.Es acotado inferiormente. -1/4 es el ínfimo y el mínimo. No tiene supremo ni
máximo.
13
UBA XXI Análisis Matemático A (para Ingeniería y Ciencias Exactas y Naturales)
Ejercicio 1. 9. a. Para todo número natural, es cierto que n < n + 1, como n + 1
es positivo, queda que:
n
n+1
< 1. Esto significa que 1 es cota superior de A.
b. Con n = 10,por ejemplo, se obtiene a = 10/11 que satisface lo pedido. Pero
hay infinitos 0,99, 0,999, etc.
c. Hay infinitos: 0,999; 0,9999; 0.99999; etc.
d. Se hizo en los items anteriores.
e. Si, se probó en el ítem d) que para todo b<1, hay un elemento del conjunto
mayor que él, por lo tanto la menor de las cotas superiores del conjunto es 1, es
decir, es el supremo.
f. No es máximo, pues no existe n natural tal que
n
n+1
= 1. En efecto,
n
n+1
= 1 ⇒ n = n + 1 ⇒ 0 = 1 absurdo.
Ejercicio 1. 10. a. (−1/2, 3]
b. x ≤ 1
Ejercicio 1. 11. a. Acá también se puede demostrar por el absurdo. Supongamos
que x + 1 es racional, o sea, x + 1 = q con q ∈ Q. Se suma miembro a miembro -1,
y obtenemos: x = q + (−1). Como −1 es racional y q también, la suma debe ser
racional, esto implica que x es racional. Contradictorio, porque el enunciado dice
que x es irracional. Esta contradicción proviene de suponer que x+1 es racional.Por
lo tanto, podemos asegurar que x + 1 es irracional.
Ejercicio 1. 12. a. 160
b. El primero a 50 km, el segundo a 120 km y el tercero a 160 km.
c. Del primer puebo al segundo hay 70 km y del segundo al tercero 40km.
Ejercicio 1. 13. a. sí
b.si
c. no
d. si
e. no
f. no
Ejercicio 1. 14.
f(0) {x ∈ D(f) /f(x) = 0} Int. decrec. Int. crec.
a. y = 2 x = 2 ó x = 4 (−∞, 3) (3, +∞)
b. y = 1
π
2
+ kπ
(0 + 2kπ, π + 2kπ) (π + 2kπ, 2π + 2kπ)
c. y = 1 ∅ (0, +∞) (−∞, 0)
d. y = 1, 5 ∅ R ∅
máx. mín. Cjto. Post. Cjto. Neg.
a. no hay (3, −1) (−∞, 2) ∪(4, +∞) (2, 4)
b. 0 + 2kπ π + 2kπ (−
π
2
+ 2kπ,
π
2
+ 2kπ)
(
π
2
+ 2kπ,
3
2
π + 2kπ)
c. (0, 1) no hay R ∅
d. no hay no hay R ∅
Ejercicio 1. 15. a. R
b. R − {−1/3}
c.
h
−
1
5
, +∞
d. (−2, +∞)
e. [2, +∞)
f. R
g. R
h. R − {−1/3}
Ejercicio 1. 16.
14

Este documento contiene más páginas...

Descargar Completo
UBA XXI Practica1 Nros Reales y funciones.pdf
browser_emoji Estamos procesando este archivo...
browser_emoji Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
. . . . .