Movimiento rectilíneo y uniforme
1- En cada uno de los gráficos se encuentra
representado el movimiento de dos móviles en
colores negro y gris.
Para los cinco primeros escribir las ecuaciones
horarias, dar en cada caso las condiciones inicia-
les, y si corresponde, determinar cuándo se pro-
duce el encuentro.
En el sexto gráfico decir si se pueden escribir
las ecuaciones de posición en función del tiempo
para ambos móviles, ¿se necesita algún dato adi-
cional?, ¿se puede saber dónde se encuentran?
2- Un cuerpo que en el instante t = 0 se encuen-
tra en un punto A, viaja en línea recta con velo-
cidad constante de módulo desconocido v.
Cuando transcurre un tiempo T el móvil pasa
por un punto B que está a una distancia d de A.
a) Hallar v = v (d, T)
b) Dar dos expresiones para la posición del
cuerpo en función del tiempo, una considerando
un sistema de coordenadas con origen en A y
otra considerando un sistema de coordenadas
con origen en B, y graficarlas.
Cinemática
1
3- Un automóvil viaja en línea recta con velo-
cidad constante desde A hasta C, pasando por B.
Se sabe que por A pasa a las 12 h, por B a las
13 h y por C a las 15 h.
(AB = 50 km, BC = desconocido).
a) Elegir un origen de tiempo y un sistema de
referencia.
b) Elegir un instante t
0
¿cuánto vale x
0
?
Escribir la ecuación de movimiento.
c) Elegir otro instante t
0
¿cuánto vale x
0
?
Escribir la ecuación de movimiento.
d) Demuestre, algebraicamente, que las ecua-
ciones halladas en b) y c) son equivalentes.
4- Un móvil 1 viaja en línea recta desde A hacia
B (distancia AB = 300 km) a una velocidad constan-
te v
1
, tardando 225 minutos en realizar el trayecto.
Otro móvil lo hace de B hacia A a una velocidad
v
2
, y tarda 360 minutos. El móvil 2 parte 1 hora
antes que el móvil 1.
a) Elegir un origen de tiempo y un sistema de
referencia.
b) Escribir los vectores velocidad v
1
y v
2
de los
móviles 1 y 2, respectivamente.
c) En un mismo gráfico representar posición
vs. tiempo para ambos móviles. Interpretar el
significado del punto de intersección de ambas
curvas. ¿Qué distancia recorrió cada móvil hasta
el encuentro?
5- Repetir el problema anterior para el caso en
que ambos móviles parten desde A hacia B.
6- Un ciclista que viaja en una trayectoria rec-
tilínea recorre la mitad de su camino a 30 km/h, y
la otra mitad a 20 km/h.
Despreciando el tiempo empleado en variar la
velocidad:
a) Estimar entre qué valores estará el de la
velocidad media con que hizo el viaje.
b) Trazar los gráficos cualitativos de posición y
velocidad en función del tiempo.
c) Calcular el valor de dicha velocidad media.
ADVERTENCIA: v
m
≠ (v
1
+v
2
)/2.
7- Una cuadrilla de empleados del ferrocarril
viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un
instante dado, por la misma vía y a 180 m por
detrás, ven venir un tren que viaja con una velo-
cidad constante de 36 km/h.
a) ¿A qué velocidad mínima y constante debe-
rá moverse la zorra para poder llegar a un des-
vío, que en ese instante está 120 m más adelan-
te, para evitar el choque?
b) Graficar velocidad y posición en función del
tiempo, para ambos móviles.
c) Resolver ahora, considerando que se
requieren 10 segundos para accionar el cambio
de vía.
Unidad 2
Cinemática
1_Cinemática en una dimensión
Física - CBC
t(s)
x (m)
x (m)
0
0
3
2
1
2
t(s)
t(s)
x (m)
−3
2
0
−2
2
−3
1
t(s)
x (m)
0
3
1
2
t(s)
x (m)
−3
2
0
1
3
5
t (s)
v (m/s)
0
2
−1
1
6
Cinemática
2
Física - CBC
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
8- a) Sin usar valores numéricos, en los
siguientes gráficos de posición (x) en función del
tiempo (t), determinar los signos de la posición,
la aceleración (a) y la velocidad (v) en t = 0 s. Para
cada caso graficar la velocidad y la aceleración
en función del tiempo.
b) Suponer para los gráficos superiores
|x(t = 0) | = 1 m y | v( t=0| = 2 m/s, a menos que
sea nula. Para los gráficos inferiores suponer
|x(t = 0) | = 3 m y |v(t = 0)| = 4 m/s, a menos que
sea nula. Escribir explícitamente las ecuaciones
de posición suponiendo para todos los casos
que |a| = 6 m/s
2
.
9- Un automovilista se da cuen ta al so bre pa sar
un mo to ci clis ta que se tra ta de un ami go e ins -
tan tá nea men te (se des pre cia el tiem po de reac -
ción) apli ca los fre nos. To da la in for ma ción es tá
con te ni da en el grá fi co v vs. t, en el que se ha
pren di do el cro nó me tro en el ins tan te en el que
el au to so bre pa sa la mo to.
a) Cua tro se gun dos des pués de que el co che
pa sa la mo to, ¿quién va ade lan te?, ¿o van jun -
tos? Jus ti fi que la res pues ta.
b) ¿Cuán do y dón de vuel ven a en con trar se?
c) ¿Cuál es la ve lo ci dad del au to en ese mo -
men to?
d) Gra fi que x vs. t pa ra am bos mó vi les.
e) ¿Po dría ha llar las so lu cio nes a par tir del grá -
fi co v vs. t?
10- La figura muestra un gráfico de posición, x,
en función del tiempo, t, para un móvil con movi-
miento rectilíneo.
¿Cuáles son los signos de v y a en los instantes:
a) t
1
; b) t
2
;c) t
3
; d) t
4
; e) t
5
?
Indique si el móvil está disminuyendo o aumen-
tando el módulo de su velocidad en un instante
posterior a los tiempos indicados en la figura.
11- Un auto viaja por una ruta a 20 m/s cuando
observa un obstáculo delante de él a 50 m.
a) ¿Cómo deben ser los sentidos de los vecto-
res aceleración y velocidad para que el auto
frene?
b) ¿Cuál es la desaceleración mínima que debe
imprimirse al automóvil para no chocar con el
obstáculo?
c) Idem que (b) teniendo en cuenta que el
tiempo de respuesta del chofer es 0,3 segundos.
d) Muestre la situación calculada en (b) y (c) en
un gráfico posición vs. tiempo.
12- El conductor de un tren subterráneo de 40 m
de longitud, y que marcha a 15 m/s, debe aplicar
los frenos 50 m antes de entrar en una estación
cuyo andén mide 100 m de longitud.
Calcular entre qué valores debe hallarse el de
la aceleración de frenado, para que el tren se
detenga dentro de los límites del andén.
13- Analizar el gráfico dado, que corresponde
a un movimiento rectilíneo en varias etapas.
Suponiendo que x = 0 m en t = 0 s, se pide:
a) Trazar los gráficos de aceleración y de posi-
ción en función del tiempo, determinando los
valores correspondientes a los tiempos indicados.
b) Calcular la velocidad media del móvil, entre
0 y 25 segundos.
c) Escribir las ecuaciones horarias del móvil
entre 0 y 25 segundos.
x
t
0
x
t
0
x
t
0
x
t
0
x
t
0
x
t
0
5
6
x
t
t
2
t
1
t
5
t
3
t
4
v
t
v(km/h)
t(s)
moto
auto
14- Un automóvil cuya velocidad es 90 km/h
pasa ante un puesto caminero. En ese instante
sale en su persecución un patrullero que parte
del reposo y acelera uniformemente durante
todo el recorrido. Sabiendo que el patrullero
alcanza una velocidad de 90 km/h en 10 seg.
Hallar:
a) El tiempo que dura la persecución.
b) La posición en que el patrullero alcanza el
automóvil.
c) La velocidad del patrullero en dicho punto.
d) Graficar, para ambos móviles, la velocidad
en función del tiempo y relacione dicho gráfico
con las respuestas a las preguntas a), b) y c).
15- Indicar cuál de los siguientes gráficos
puede representar la velocidad en función del
tiempo de un cuerpo que en el instante 0 se arro-
ja verticalmente hacia arriba y regresa al punto
de partida. Se desprecia el rozamiento del aire.
16. Desde una terraza a 40 m del suelo se lanza
una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad
de 15 m/s.
Despreciando el rozamiento con el aire:
a) Calcular los vectores posición, velocidad y
aceleración en el instante t = 3 s.
b) ¿Cuándo llega al suelo?.
c) ¿Cuándo y dónde se encuentra con una piedra
arrojada desde el suelo verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 55 m/s y que parte desde el
suelo en el mismo instante que la anterior?
d) Representar gráficamente (para ambas pie-
dras) la posición, la velocidad y la aceleración en
función del tiempo.
17- Un cuerpo se deja caer desde un globo
aerostático, ubicado a 1000 m de altura, que des-
ciende verticalmente con velocidad constante de
12 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire:
a) Elegir un sistema de referencia y escribir las
ecuaciones que describen el movimiento del
cuerpo.
b) Calcular la velocidad y la distancia recorrida
por el cuerpo al cabo de 10 seg.
c) Graficar en un mismo esquema x vs. t y
v vs. t para el globo y el cuerpo.
d) Resolver los incisos a), b) y c) considerando que
el globo asciende con velocidad constante de 12 m/s.
18- Una piedra que parte del reposo en caída
libre recorre 67 m en el último segundo de su movi-
miento antes de tocar el piso.
Despreciando el rozamiento con el aire,
determinar:
a) La altura desde la cual cayó.
b) El tiempo que tarda en llegar al piso.
c) La velocidad de llegada.
d) Graficar en función del tiempo posición, velo-
cidad y aceleración.
19- ¿Con qué velocidad debe pasar un objeto
por un punto P, moviéndose verticalmente, para
que alcance un punto situado a una altura h del
mismo, a los 3 y a los 7 segundos después de
haber pasado por P, respectivamente?
Despreciar el rozamiento con el aire.
20- Un glo bo con gas as cien de ver ti cal men te
con ve lo ci dad cons tan te de 10 m/s. Cuan do se en -
cuen tra a 16 m del pi so, un mu cha cho que es tá
de ba jo le dis pa ra una pie dra con su go me ra, la
que par te ver ti cal men te a 30 m/s des de una al tu ra
de 1 m.
Despreciando el rozamiento con el aire:
a) ¿A qué dis tan cia del pi so al can za rá la pie dra
al glo bo? ¿Cuán to tiem po des pués de par tir?
b) ¿Cuál se rá la ve lo ci dad de la pie dra (res pec -
to a tie rra) en ese ins tan te? In ter pre tar.
c) Suponiendo que pase por el costado, ¿vuel-
ven a encontrarse? ¿Cuándo y dónde? ¿Cuál es la
velocidad de la piedra en ese momento?
d) Tra zar los grá fi cos co rres pon dien tes.
21- Juan arroja verticalmente hacia arriba una
piedra, con una velocidad de partida de 10 m/s, y
simultáneamente Pedro, que se encuentra 40 m
más arriba, arroja otra hacia abajo, también con
velocidad de 10 m/s.
Despreciando el rozamiento con el aire:
a) ¿A qué altura y en qué instante se cruzan
ambas piedras?
b) Trazar los gráficos correspondientes e inter-
pretar.
22- Una cañita voladora, que parte del reposo
a nivel del piso, es impulsada verticalmente
hacia arriba con una aceleración que se supone
constante, mientras dura el combustible. Este se
agota a los 5 segundos de partir, cuando está a
100 m de altura. Desde ese instante se mueve
libremente (se desprecia el rozamiento con el
aire) hasta que regresa al punto de partida.
Determinar:
a) La máxima velocidad que alcanza al
ascender.
b) A qué altura (máxima) del piso llegará.
c) Trazar los gráficos de aceleración, velocidad
y posición de la cañita en función del tiempo
desde que parte hasta que vuelve al piso.
Cinemática
3
Física - CBC
vv
vv
tt
t
t
t
f
t
f
t
f
/
2
t
f
/
2
t
f
/
2 t
f
/
2
0
00
0
Cinemática
23- Las ecuaciones de movimiento para dos
partículas A y B que se mueven en la misma
dirección son las siguientes:
x
A
(t) =3,2 t
2
– 6t − 20
x
B
(t)=29 + 8,5 t − 4,1 t
2
,
Las constantes en las ecuaciones x(t) tienen las
unidades correspondientes para que x se exprese
en metros, cuando t se expresa en segundos.
a) Calcular el instante t (t ≥ 0 s) y la posición
en el cual las partículas se encuentran.
b) Calcular las velocidades de A y B en el ins-
tante de encuentro.
c) Graficar aceleración, velocidad y posición
en función del tiempo.
Movimientos con aceleración dependiente
del tiempo
Las constantes en las ecuaciones horarias tienen
las unidades correspondientes para que x se exprese
en metros y v en metros por segundo, cuando t se
expresa en segundos.
Para cada ejercicio a continuación (del 24 al 29):
establecer cuáles son los intervalos en los que el
movimiento es acelerado y cuáles en los que es
desacelerado. Determinar, si corresponde,
cual/les es/son los instantes en el/los cual/les la
rapidez es máxima.
24- El movimiento rectilíneo de una partícula
está definido por la ecuación:
x (t) = 2 t
3
-
6 t
2
+ 28 t
-
10,
donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular la posición, la velocidad y la acelera-
ción cuando t =10 s.
25- La velocidad de una partícula que realiza
un movimiento rectilíneo, para t ≥ 0 s, viene
dado por la ecuación: v (t) = 3 t
2
-
20 t
-
20,
donde v se expresa en metros por segundo y t en
segundos. Sabiendo que para t = 0 s el móvil se
encuentra en x(t= 0) =
-
16m.
a) Calcular la velocidad media y aceleración
media de la partícula en el intervalo comprendido
entre t = 0 s y t = 12 s.
b) Trazar las gráficas x (t), v(t) y a(t).
26- La posición de una partícula, para t ≥ 0 s,
está dada por la ecuación:
x(t) = t
3
-
6 t
2
-
20 t
-
50,
donde x se expresa en metros y t en segundos.
a) Calcular el instante en el cual su velocidad
se anula.
b) Calcular la aceleración en dicho instante.
Calcular la aceleración media en el intervalo com-
prendido entre t = 0 s y t = t (v = 0 m/s).
c) Trazar las gráficas x(t); v(t); y a(t).
27- Una partícula se desplaza siguiendo una
trayectoria rectilínea. Para cada una de las
siguientes expresiones de la aceleración a(t) de
la partícula, encontrar la expresión más general
para la velocidad v(t) y la posición x(t).
a) a(t) = a
0
, donde a
0
es una constante.
b) a(t) = a
0
cos (ω t), donde a
0
y ω son constantes.
c) a(t) = A t
2
, donde A es una constante.
28- Una partícula se mueve linealmente
siguiendo la ecuación:
x(t) = x
0
sen (ω t); siendo x
0
y ω constantes y
donde x se mide en metros y t en segundos.
Encuentre la velocidad y la aceleración en fun-
ción del tiempo.
29- La aceleración de una motocicleta que viaja
en línea recta es a = A t – B t
2
, con A = 1,2 m/s
3
y
B = 0,120 m/s
4
. La moto está en el origen de coor-
denadas en t = 0 s, en reposo.
a) Obtener la posición y la velocidad en fun-
ción del tiempo.
b) Graficar la posición, la velocidad y la acele-
ración en función del tiempo.
c) Calcular la velocidad máxima que alcanza
en el intervalo 0 ≤ t ≤15 s.
1- Un in sec to pa sa ca mi nan do por el pun to K
(r
K
= 2 cm x
^
8 cm y
^
), con una ve lo ci dad
v
K
8 cm/s x
^
7 cm/s y
^
. Tres se gun dos más
tar de pa sa por el pun to L (r
L
= 11 c m x
^
4 cm y
^
)
con ve lo ci dad v
L
=13 cm/s x
^
ⴙ 5 cm/s y
^
.
a) En un es que ma, tra zar los vec to res po si ción
y ve lo ci dad del in sec to pa ra am bos ins tan tes.
b) De ter mi nar los vec to res des pla za mien to,
ve lo ci dad me dia y ace le ra ción me dia del in sec to,
en tre am bos ins tan tes.
c) Di bu jar una po si ble tra yec to ria.
2- Una pis ta de atle tis mo con sis te en dos tra -
mos rec tos pa ra le los, de 80 m de lon gi tud ca da
uno, y dos tra mos en for ma de se mi cir cun fe ren -
cia, que los co nec tan por sus ex tre mos pa ra ce -
rrar el cir cui to. Los tra mos rec tos es tán dis tan cia -
dos en tre sí 40 m, de mo do que los tra mos cur -
vos tie nen 20 m de ra dio.
Un co rre dor la re co rre con una ve lo ci dad de
mó du lo cons tan te e igual a 18 km/h.
a) Ha cer un es que ma de la pis ta; re pre sen tar
los vec to res ve lo ci dad ins tan tá nea del co rre dor:
• en los pun tos me dios de los tra mos rec tos
(Pun tos A y C)
• en los pun tos me dios de los tra mos cur vos
(Pun tos B y D)
b) Ha llar cuán to tiem po tar da rá en re co rrer el
cir cui to com ple to, y cuán to pa ra ir de A has ta B,
y de A has ta C.
c) De ter mi nar el vec tor ace le ra ción me dia del
co rre dor en tre los pun tos A y C, y en tre C y D.
d) In di car la di rec ción y el sen ti do del vec tor
ace le ra ción ins tan tá nea en ca da uno de los pun -
tos in di ca dos.
e) Ha llar el vec tor ve lo ci dad me dia en un re co -
rri do com ple to en tre A y A, y la ve lo ci dad es ca lar
me dia en tre esos pun tos.
4
Física - CBC
2_Cinemática en dos dimensiones
Tiro oblicuo
3- Un arquero dispara desde el piso una flecha
cuya velocidad de salida es de 50 m/s y forma un
ángulo de 37º con la horizontal.
Considerando despreciable el rozamiento con
el aire, y utilizando un sistema de coordenadas
con el versor x
^
hacia el lado del lanzamiento y el
versor y
^
hacia arriba, calcular:
a) El tiempo que la flecha está en el aire.
b) La altura máxima.
c) El alcance.
d) El vector velocidad a los 5 segundos.
e) El vector velocidad final.
f) Los vectores desplazamiento, velocidad
media y aceleración media en los intervalos
comprendidos entre los instantes t=0s y t= t
hmax
;
y entre t = 0 s y t = t
alcance
.
4- Un ga to maú lla con ga nas, ins ta la do so bre
un mu ro de 2 m de al tu ra. Juan es tá en su jar dín,
fren te a él y a 18 m del mu ro, y pre ten de ahu yen -
tar lo arro ján do le un za pa to.
El pro yec til par te con una ve lo ci dad de 15 m/s,
for man do 53° con la ho ri zon tal, des de una al tu ra
de 1,25 m.
a) Ha llar a qué dis tan cia por en ci ma de don de
es ta ba el ga to pa só el za pa to.
b) De ter mi nar a qué dis tan cia al otro la do del
mu ro lle gó el za pa to al pi so.
5- Su sa na arro ja ho ri zon tal men te su lla ve ro
des de la ven ta na de su de par ta men to, y An drés lo
re ci be a 1,2 m de al tu ra so bre el pi so, 0,8 se gun -
dos des pués. Sa bien do que An drés se en cuen tra
a 4,8 m del fren te de la ca sa de Su sa na, ha llar:
a) A qué al tu ra del pi so par tió el lla ve ro.
b) Con qué ve lo ci dad lle gó a las ma nos de An drés.
c) Escribir la ecuación de la trayectoria.
6-
Un es quia dor que se des li za por una ram pa
in cli na da 30° lle ga al bor de A con cier ta ve lo ci -
dad. Lue go de un se gun do de vue lo li bre, re to ma
la pis ta en B, 4,33 m más ade lan te del pun to A.
Ha llar la ve lo ci dad que tie ne en el pun to A, y el
des ni vel exis ten te en tre A y B. ¿Qué ve lo ci dad
ten drá en B?
7- Una pelota es lanzada desde el piso con una
velocidad cuyo módulo es |v
0
|, formando un
ángulo α con la horizontal.
Despreciando el rozamiento con el aire:
a) Elegir un sistema de referencia y obtener las
expresiones de los vectores posición, velocidad y
aceleración en función del tiempo si |v
0
| = 5 m/s y
para los casos donde α = n . π/6 (n =1, 2, 3).
b) Hacer los gráficos de posición y velocidad
en función del tiempo para los 3 valores de n.
c) Calcular la altura máxima (y
max
) y el alcance
(A) para cada valor de n y graficar y
max
vs n
y A vs n. Interpretar.
d) Calcule el vector velocidad y aceleración en
los puntos de altura máxima ((y
max
) y alcance (A).
e) A partir de las expresiones generales de y
max
y A, encuentre la relación de ambos para cada
valor de α.
8- Un cuerpo baja deslizando por un plano
inclinado que forma un ángulo α = 30º con la hori-
zontal. Al llegar al final del mismo, el cuerpo
alcanza una velocidad de módulo 10 m/s.
A partir de ese momento, el cuerpo cae, pero
debido a la presencia de viento, adquiere tam-
bién una aceleración horizontal a
h
. (Ver figura).
H = 200 m;
|g| = 10 m/s
2
;
|a
h
| = 0,5 m/s
2
.
a) Calcular el alcance.
b) Calcular la velocidad
al llegar al piso.
9- Una botella que se encuentra en la posición
x = 20 m e y = 30 m se deja caer desde el reposo.
Al mismo tiempo, se lanza desde el origen de
coordenadas una piedra con una velocidad de
módulo 15 m/s.
a) Determinar el ángulo con el que debe lan-
zarse la piedra para que rompa la botella.
b) Si el ángulo es el hallado en a), calcular la
altura a la que se produce el impacto.
c) Dibujar en un mismo gráfico la trayectoria
de la piedra y la de la botella.
10- Las coordenadas de un ave que vuela en el
plano xy son: x = 2,0 m – 3,6 m/s. t
y = 1,8 m/s
2
. t
2
a) Dibujar la trayectoria del ave.
b) Calcular los vectores velocidad y acelera-
ción en función del tiempo.
c) Dibujar los vectores velocidad y aceleración
para t = 3 s.
En un instante inmediatamente posterior a t = 3 s,
¿el ave está acelerando, frenando o su rapidez no
está cambiando?
d) Calcule los vectores desplazamiento, veloci-
dad media y aceleración media en el intervalo
comprendido entre los instantes t = 0 s y t = 3 s.
Cinemática
5
Física - CBC
α
g
a
h
Η
y
x
Cinemática
Movimiento circular
11- Un CD, de radio de 6 cm, gira a 2500 rpm.
a) Calcular el módulo de la velocidad angular
en radianes por segundo.
b) Calcular el módulo de la velocidad tangen-
cial de un punto sobre su borde.
c) Calcular la frecuencia en Hz.
12- Una varilla metálica de 30 cm de longitud
gira respecto a uno de sus extremos a 60 rpm.
Calcular:
a) El período y el número de vueltas en 30 s.
b) El módulo de la velocidad de un punto de la
varilla situado a 10, 20 y 30 cm del extremo fijo.
13- Un piloto de avión bien entrenado soporta
aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad,
durante tiempos breves, sin perder el conoci-
miento. Si un avión vuela a 2300 km/h, ¿cuál será
el radio de giro mínimo que puede soportar?
14- Si el período de un movimiento circular
uniforme (MCU) se triplica, manteniendo el radio
constante, ¿cómo cambian su:
a) velocidad angular?
b) frecuencia?
c) aceleración normal o centrípeta?
15- a) Calcular el módulo de la velocidad de un
punto situado sobre el ecuador en la Tierra.
b) Calcular el módulo de la
velocidad de un punto ubicado
en los trópicos, sabiendo que
el ángulo que forman con el
ecuador terrestre es
α
= 23º 27’
(latitud).
c) ¿Cuál es la velocidad de
un punto ubicado en los
polos?
R
Tierra
= 6 378 km
16- a) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta
de un objeto ubicado sobre el ecuador terrestre
como consecuencia de la rotación de la Tierra
sobre sí misma?
b) ¿Cuánto debería valer el período de rotación
de la Tierra para que el módulo de la aceleración
centrípeta en su superficie en el ecuador fuera
igual a 9,8 m/s
2
?
17- Una patinadora sobre hielo de 65 kgf de peso
se mueve sobre una pista horizontal a
18 km/h. En cierto instante toma el extremo de una
varilla , paralela a la pista y perpendicular a su tra-
yectoria, cuyo extremo está enganchado a un
poste vertical, de modo tal que su movimiento pos-
terior es una circunsferencia de radio igual a 1 m.
Determinar inmediatamente que toma la barra:
a) El módulo de la velocidad angular.
b) El módulo de la aceleración centrípeta.
c) ¿Cómo cambian los resultados a) y b) si la
patinadora pesa 50 kgf?
18- Teniendo en cuenta que la Tierra gira alre-
dedor del Sol en 365,25 días y que el radio de
giro medio es de 1,5 x 10
11
m, calcular (suponien-
do que la Tierra gira realizando un movimiento
circular uniforme):
a) El módulo de la velocidad angular en rad/día.
b) El módulo de la velocidad tangencial.
c) El ángulo que recorrerá en 30 días.
d) El módulo de la aceleración centrípeta.
19- Calcular cuánto tiempo transcurre entre dos
momentos en los cuales el Sol, Marte y Júpiter
están alineados, de este modo, (suponiendo que
ambos planetas se mueven con un movimiento
circular uniforme). El período de la órbita alrede-
dor del Sol de Marte es de 687 días terrestres y el
de Júpiter es de 11,86 años terrestres.
20- La Estación Espacial Internacional gira con
velocidad angular constante alrededor de la
Tierra cada 90 minutos en una órbita a 300 km de
altura sobre la superficie terrestre (por tanto, el
radio de la órbita es de 6 670 km).
a) Calcular el módulo de la velocidad angular.
b) Calcular el módulo de la velocidad tangencial.
c) ¿Tiene aceleración? En caso afirmativo, indi-
car sus características y, en caso negativo indicar
la razón por la cual no existe.
21- Un disco gira, con movimiento uniforme,
13,2 radianes cada 6 segundos. Ubicar el centro
del disco en el origen de coordenadas.
a) Calcular el módulo de la velocidad angular.
b) Calcular el período y la frecuencia de rotación.
c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar un
ángulo de 780º?
d) ¿Y en efectuar 12 revoluciones?
e) Si la trayectoria está descripta en el plano
(x, y), el giro es horario y el radio 1 m, expresar
usando versores los vectores v y a cuando un
punto del borde intercepta los ejes coordenados.
(Utilizar un sistema de coordenadas con el x
^
hacia la derecha y el y
^
hacia arriba)
22- Dos ruedas dentadas, cuyos ejes A y B se
encuentran a una distancia fija, se vinculan
mediante una cadena para formar un mecanis-
mo de transmisión similar al que puede obser-
varse en una bicicleta. Sus radios son r
A
= 3 cm,
y r
B
= 9 cm, respectivamente. Se hace girar a la
rueda A con velocidad angular constante en el
sentido indicado, a 100 rpm.
Considerando el pasaje de un eslabón sucesi-
vamente por los puntos X, Y, Z, determinar:
a) El módulo de su velocidad, en cada punto.
b) La frecuencia con que gira la rueda B.
c) El módulo de la aceleración que experimen-
ta el eslabón en cada punto.
6
Física - CBC
α
Ecuador
Trópico
23- Un cuerpo inicialmente en reposo, tal que
q(t = 0) = 0 yω (t = 0) = 0, es acelerado en una
trayectoria circular de 1,3 m de radio, de acuerdo
a la ley g = 120 s
-
4
t
2
- 48 s
-
3
t + 16 s
-
2
donde
gamma (g)es la aceleración angular medida en
seg
-2
; theta (q) se mide en radianes y la veloci-
dad angular omega (ω) en seg
-1
. Hallar:
a) q= q(t)
b) ω=ω (t)
c) Expresar los vectores v y a en t = 0,3 s.
24- Dos ruedas A y B, de radios R
A
= 20 cm y
R
B
= 40 cm giran en sentido horario. La frecuen-
cia de rotación de la rueda A es de 120 rpm y la
de la rueda B es de 240 rpm. En cierto instante se
le aplica un freno a cada rueda de forma tal que
A se detiene en 16 s y B en 8 s, ambas con ace-
leración angular constante.
a) Para cada rueda
expresar la aceleración
angular, la velocidad
angular y el ángulo en
función del tiempo.
b) ¿En qué instante tie-
nen ambas ruedas la misma velocidad angular?
¿En qué instante los puntos de la periferia tienen
velocidades de igual módulo?
c) Calcular el ángulo barrido por cada rueda
entre el instante en el cual se aplican los frenos y
cada uno de los instantes del item b).
25- En una autopista circular de 7,5 m de radio
dos competidores prueban sus motocicletas.
Ambos giran en sentido horario. Uno de ellos,
Gino, prueba su moto ejecutando un movimien-
to circular uniforme de frecuencia igual a 30 rpm.
El otro, Miguel, realizando un movimiento uni-
formemente acelerado, cuya velocidad angular
aumenta en forma constante a razón de π 1/s
cada segundo. Miguel pasa por B con una velo-
cidad angular de π 1/s en el mismo instante en el
que Gino pasa por A.
a) Escribir las ecuaciones
horarias q(t) para cada una de
las motos (especifique clara-
mente cómo mide el ángulo q).
Hallar el instante y la posición
en la cual ambos vehículos se
encuentran por primera vez .
b) Calcule los vectores velo-
cidad y aceleración de cada moto en el instante
de encuentro. Represéntelos en un esquema.
26- Suponer que un objeto sigue una trayec-
toria en espiral, como se muestra en la figura,
mientras viaja con una velocidad
de módulo constante.
¿Es constante la velocidad del
objeto?
¿Es constante su aceleración?
Si el módulo de la aceleración
no es constante, ¿aumenta o dis-
minuye?
1- Un catamarán, en el Tigre, se mueve a velo-
cidad constante respecto de la orilla. Un emplea-
do de la embarcación, en su tiempo de descanso,
lanza una moneda en dirección vertical hacia arri-
ba desde su mano. Un pescador desde la orilla se
entretiene observando el movimiento de la mone-
da. Despreciando el rozamiento con el aire, cuáles
de las siguientes afirmaciones son correctas:
a) Para el pescador, la aceleración que tiene la
moneda es la misma que la que observa el
empleado.
b) Para el empleado, la moneda se mueve con
movimiento rectilíneo y uniforme, al igual que el
catamarán.
c) Para el pescador, hay en un instante en el
cual la moneda tiene velocidad nula.
d) La altura máxima que alcanza la moneda,
medida desde el nivel del agua, es mayor para el
empleado, que para el pescador.
e) Para el empleado la velocidad vertical, ins-
tante a instante, es menor que la que observa el
pescador.
f) Para el pescador, la velocidad de la moneda
en la dirección horizontal es en sentido opuesto
a la velocidad del catamarán.
g) Para el empleado, la moneda regresa a sus
manos con una velocidad cuyo módulo es menor
que la que tendría si el catamarán estuviese
quieto.
h) Para el empleado, la moneda regresa a sus
manos con la misma velocidad con que fue arro-
jada pero en sentido contrario.
i) El tiempo de vuelo (desde que arroja la mone-
da hasta que justo llega a sus manos) es mayor
cuanto mayor sea la velocidad del catamarán.
j) La moneda regresa a las manos del emplea-
do en el mismo tiempo en el que llegaría si el
catamarán estuviese quieto.
k) Respecto del catamarán, el desplazamiento
de la moneda desde que la arroja hasta que llega
a las manos del joven es nulo.
2- Un avión que vuela en dirección horizontal
a 300 m/s y a 800 metros de altura, deja caer un
paquete. Despreciando el rozamiento con el
aire, calcular, respecto del suelo y respecto del
avión, el punto dónde caerá el paquete y a qué
velocidad lo hará.
3- La ca sa de Juan se en cuen tra a 900 m (9
cua dras) de la ca sa de Dia na. Ca mi nan do con ve -
lo ci dad cons tan te, Juan tar da 10 mi nu tos en cu -
brir esa dis tan cia, mien tras que Dia na la re co rre
en 15 mi nu tos.
Cier to día sa len am bos a las 15 h, ca da uno
des de su ca sa y di ri gién do se a la ca sa del otro.
A par tir de un sis te ma de re fe ren cia en el cual
Dia na es tá en re po so en el origen de coorde-
nadas y cuyo sentido positivo apunta hacia la
casa de Juan:
Cinemática
7
Física - CBC
y
x
v
B
A
y
x
R
B
A
3_Movimiento relativo
Cinemática
a)
De ter mi nar las ve lo ci da des re la ti vas a di cho
sis te ma de los per so na jes y sus res pec ti vas ca sas.
b) Es cri bir las ecua cio nes ho ra rias co rres pon -
dien tes al mo vi mien to de Juan en ese sis te ma.
¿Cuál se rá su po si ción en el mis mo, al en con -
trarse con Dia na?
c) Ha llar el tiem po de en cuen tro, y la po si ción
de am bas ca sas en ese ins tan te, respecto de
Diana.
d)Tra zar los grá fi cos po si ción-tiem po y ve lo ci -
dad-tiem po co rres pon dien tes.
4- Dos carneros (uno blanco y otro negro) están
en reposo, uno frente al otro, distanciados 24 m. En
un instante dado, ambos parten para chocarse. Se
supone que sus aceleraciones son constantes, y
sus módulos 1,6 m/s² y 1,4 m/s², respectivamente.
A partir de un sistema de referencia en el cual
el carnero blanco está en reposo y con sentido
positivo apuntando hacia el carnero negro:
a) Escribir las ecuaciones horarias de ambos
carneros.
b) Trazar los gráficos correspondientes.
5- El ma qui nis ta de un tren que avan za con
una ve lo ci dad v
1
ad vier te de lan te de él, a una dis -
tan cia d, la co la de un tren de car ga que se mue -
ve en su mis mo sen ti do, con una ve lo ci dad v
2
cons tan te, me nor que la su ya.
Fre na en ton ces, con ace le ra ción cons tan te.
De ter mi nar el mí ni mo va lor del mó du lo de di -
cha ace le ra ción, pa ra evi tar el cho que.
SU GE REN CIA: Adop tar un sis te ma de re fe ren -
cia fi jo a uno de los tre nes.
6- Entre los muelles A y B, que están en la
misma orilla de un canal rectilíneo, hay una dis-
tancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 s en
ir de A hasta B, y 50 s en regresar.
Considerando constantes los módulos de las
velocidades del bote respecto del río (|v
BR
|) y de
la corriente respecto a la orilla (|v
RT
|), hallar el
valor de los mismos.
7- El muelle B se encuentra río abajo del mue-
lle A sobre la misma orilla de un canal rectilíneo.
Un bote se desplaza con una velocidad de 15 m/s
respecto al agua. La velocidad de la corriente del
arroyo es de 5 m/s. Sabiendo que, partiendo de
A, tarda 3 minutos en su viaje de ida y vuelta a B
(despreciando el tiempo que tarda en invertir el
sentido), ¿cuál es la distancia entre muelles?
8- En un día de ve ra no en que no hay vien to se
des car ga un cha pa rrón, de mo do tal que las go -
tas de agua si guen tra yec to rias ver ti ca les.
El con duc tor de un au to mó vil que mar cha a
10 km/h ve que las go tas lle gan en di rec ción per -
pen di cu lar al pa ra bri sas.
Sa bien do que el pa ra bri sas for ma un án gu lo de
60° con la ho ri zon tal, hallar el módulo de las veloci-
dades con que descienden las gotas de lluvia vis-
tas desde tierra, y con la que golpean al parabrisas.
9- Un bote se mueve en dirección N 60º O, a
40 km/h con respecto al agua. La corriente es tal
que el movimiento resultante con respecto a la
orilla es hacia el Oeste a 50 km/h.
Calcular el módulo, la dirección y sentido de la
velocidad de la corriente con respecto a Tierra.
10- Un avión vuela desde un punto A hasta otro
punto B que se encuentra 400 km de distancia en
la dirección Este.
El viento sopla con velocidad de 100 km/h en
dirección S 60º E.
Si el módulo de la velocidad de avión respecto
al aire es de 300 km/h, calcular:
a) El ángulo con que el piloto debe orientar el
avión.
b) Cuánto tarda el avión en llegar a B.
11- Una bandera, línea gris en el gráfico, situa-
da en el mástil de un bote forma un ángulo de
β
= 143º como se muestra en la figura. Otra ban-
dera similar situada en una casa en la orilla del
río, forma un ángulo de
α
= 53º.
La velocidad del barco, respecto a tierra, es de
15 km/h paralelo a la orilla. Haga coincidir el versor
x
^
con la velocidad del barco, v
BT
y al versor y
^
per-
pendicular a la orilla, como muestra la figura.
Calcular:
a) el módulo del vector velocidad del viento
respecto de tierra.
b) el módulo del vector velocidad del viento
respecto del bote.
8
Física - CBC
N
EO
S
v
viento
60º
casa
bote
bandera
bandera
β
α
x
y
N
EO
S
v
BA
60º
12- Una lancha, que desarrolla una velocidad
de 10 km/h en aguas quietas, tarda 10 minutos en
cruzar un río de 1 km de ancho y llegar a un
punto situado a 500 metros río arriba (o sea en
sentido opuesto a la corriente) en la orilla de
enfrente.
a) ¿Qué ángulo forma con la costa la dirección
en la que está orientada la lancha?
b) ¿Cuál es el módulo de la velocidad de la
corriente?
c) Si las aguas estuvieran quietas y la lancha se
orientara en la misma dirección que la calculada
en el ítem anterior, calcular cuánto tiempo tarda-
ría en cruzar a la otra orilla y cuánto sería el
módulo de su desplazamiento paralelo a la orilla.
13- (opcional) Una llanta de radio R rueda sin
resbalar con velocidad del centro de masa cons-
tante v
0
a lo largo de un plano horizontal.
a) Verificar que la posición de un punto de su
borde, inicialmente en 0, está dada por las ecua-
ciones:
x = R(ω t - sen ωt)
y = R(1 - cos ωt),
donde ω = |v
0
| / R es la velocidad angular de la
llanta y t se mide desde el instante en que el
punto está inicialmente en contacto con el plano.
b) Hallar las componentes de la velocidad y de
la aceleración del punto.
c) Dibujar los vectores velocidad y aceleración
en un dado instante.
14- (opcional)
a) Encuentre el radio de curvatura del punto
más alto de la trayectoria de un proyectil dispa-
rado con un ángulo inicial α con respecto a la
horizontal. (Sugerencia: En el punto máximo, la
velocidad es horizontal y la aceleración vertical).
b) Evaluar para: α = 30º y |v
0
| = 10 m/s.
c) Con los datos del proyectil (b), calcule el
radio de curvatura cuando está en la mitad de
altura al subir y al bajar, interpretar.
Respuestas
Se ha adop ta do el mó du lo de g : | g | = 10 m/s
2
.
Movimiento rectilíneo y uniforme
1- 1) x
N
(t) = 2 m x
G
(t) = - 3 m + 3 m/s t
(t
E
= 5/3 s)
2) x
N
(t) = 3 m - 1 m/s t x
G
(t) = -1m/s t
(t
E
= no existe)
3) x
N
(t) = 1 m +1 m/s t x
G
(t) = 3 m - 3/2 m/s t
(t
E
= 0,8 s)
4) x
N
(t) = -1,5 m/s t x
G
(t) = 1 m/s t
(t
E
= 0 s)
5) x
N
(t) = -3 m + 3/2 m/s t x
G
(t) = 1 m/s (t - 1 s)
(t
E
= 4 s)
2- a) v = d/T
b) Origen A x(t) = (d/T) t
Origen B x(t) = - d + (d/T) t
3- De elaboración personal.
4- De elaboración personal. (t
E
≈ 2,92 hs).
5- De elaboración personal. (t
E
≈ 2,66 hs).
6- a) y b) De elaboración personal.
c) v
media
= <v > = 2 . v
1
.v
2
/ (v
1
+ v
2
) = 24 km/h
7- a) v
min
= 4 m/s
b) De elaboración personal.
c) v
min
= 6 m/s
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
8- a) De elaboración personal
b) x
1
(t) = 1 m + 0 m/s t + 3 m/s
2
t
2
x
2
(t) = 1 m + 2 m/s t + 3 m/s
2
t
2
x
3
(t) = -1 m - 2 m/s t + 3 m/s
2
t
2
x
4
(t) = –3 m – 4 m/s t - 3 m/s
2
t
2
x
5
(t) = 3 m + 0 m/s t - 3 m/s
2
t
2
x
6
(t) = 3 m + 4 m/s t - 3 m/s
2
t
2
9- a) El auto marcha adelante de la moto.
b) t
E
= 8 s; x
E
= 120 m.
c) |v
A
|= 5 m/s
d) y e) De elaboración personal.
10- De elaboración personal
Cinemática
9
Física - CBC
θ
1_Cinemática en una dimensión
Cinemática
11- a) De elaboración personal
b) |a
min
|= 4 m/s
2
c) |a
min
|= 4,54 m/s
2
d) De elaboración personal.
12- 0,75 m/s
2
≤ |a | ≤ 1,25 m/s
2
13- a) De elaboración personal.
b) v
media
= <v > = 0 m/s
c) 0 ≤ t ≤ 8 s:
a = 5 m/s
2
v (t) = 5 m/s
2
t
x (t) = 5/2 m/s
2
t
2
8< t ≤ 14 s:
a =
-
10 m/s
2
v (t) = 40m/s
-
10 m/s
2
(t - 8 s)
x(t) = 160 m + 40 m/s (t - 8 s)
-
5 m/s
2
(t - 8 s)
2
t > 14 s:
a = 0
v (t)) = -20 m/s
x (t) = 220 m
-
20 m/s (t
-
14 s)
14- a) t
E
= 20 s
b) x
E
= 500 m
c) |v
P
| = 50 m/s
d) De elaboración personal.
15- a)
16- Considerando y
^
hacia arriba e y = 0 m en el suelo
a) r (t = 3 s) = 40 m (y
^
);
v (t = 3 s) = 15 m/s (-y
^
);
a = g = 10 m/s (-y
^
).
b) t
suelo
≈ 4,7 s
c) t
E
= 1 s ; y
E
= 50 m.
d) De elaboración personal.
17- a) De elaboración personal.
b) |
v | = 112 m/s ; d = 620 m.
c) De elaboración personal.
d) |v| = 88 m/s ;
d = 380 m+ 2 x 7,2 m = 394,4 m.
18- a) H = 259,2 ; b) t
piso
= 7,2 s; c) |v |= 72 m/s
19- |v |= 50 m/s
20- a) d = 26 m; t = 1 s ;
b) |v
p
| = 20 m/s
c) d = 46 m; t = 3 s ; |v
p
| = 0 m/s
d) De elaboración personal.
21- a) t
E
= 2 s y
E
= 0 m.
b) De elaboración personal.
22- a) |v
max
| = 40 m/s
b) |y
max
|= 180 m
c) De elaboración personal.
23- a) t
E
≈ 3,7678 s x
E
≈ 2,82m
b) v
A
(t = t
E
) ≈ 18,11 m/s; v
B
(t = t
E
) ≈ –22,4 m/s.
c) De elaboración personal.
Movimiento con aceleración dependiente del tiempo
24- x (t = 10 s) = 1670 m v (t = 10 s) = 508 m/s
a(t = 10 s) = 108 m/s
2
25- a) v
media
= 4 m/s; a
media
= 16 m/s
2
.
b) De elaboración personal.
26- a) t = 5,27 s
b) a (t = 5,27 s) = 19,62 m/s
2
; a
m
= 3,8 m/s
2
.
c) De elaboración personal.
27- a) v (t) = v
0
+ a
0
(t – t
0
);
x (t) = x
0
+ v
0
(t – t
0
) + ½ a
0
(t – t
0
)
2
b) v (t)= v
0
+ a
0
/ω [sen (ω t) – sen (ω t
0
)];
x(t) = x
0
+v
0
(t – t
0
)–a
0
/ω
2
[cos (ω t)– cos(ω t
0
)]
– a
0
/ω sen (ω t
0
) (t – t
0
)
c) v (t) = v
0
+A/3 (t
3
– t
0
3
);
x (t) = x
0
+[v
0
– 1/3 A t
0
3
](t – t
0
)+ 1/12 A(t
4
–t
0
4
)
28- De elaboración personal.
29- x (t
0
= 0 s) = 0 m v (t
0
= 0 s) = 0 m/s
a) x (t) = A t
3
/6 – B t
4
/12 ;
v(t) = A t
2
/2 – B t
3
/3
b) De elaboración personal.
c) v
max
= A
3
/(6 B
2
) = 20 m/s
10
Física - CBC
1- b) Dr = 9 cm x
^
- 12 cm y
^
v
media
= 3 cm /s x
^
– 4 cm/s y
^
a
media
= –1,66 cm/s
2
x
^
+ 4 cm/s
2
y
^
c) La tra yec to ria de be pa sar por los pun tos K y L,
y ser tan gen te a los res pec ti vos vec to res ve lo ci dad,
te nien do en cuen ta el sen ti do del movimiento.
2- b) Tiem po:
Pa ra el cir cui to com ple to: = 57,12 s
Tra mo AB: = 14,28 s
Tra mo AC: = 28,56 s
c) Vec tor ace le ra ción me dia :
Tra mo AC: = - 0,35 m/s
2
x
^
Tra mo CD: = 0,35 m/s
2
x
^
+ 0,35 m/s
2
y
^
(x
^
tiene la dirección y sentido del movimiento
del corredor en A y y
^
la del corredor en D)
d) La aceleración instantánea en los puntos A y B
es nula, y en los puntos C y D apunta hacia el cen-
tro de la pista.
e) Vec tor ve lo ci dad me dia: 0
Ve lo ci dad es ca lar me dia: 5 m/s
Tiro oblicuo
3- a) t
V
= 6 s
b) H
max
= 45 m
c) x
alcance
= 240 m
d) v (t = 5 s) = (40, -20) m/s
e) v
final
(t = 6s) = (40, -30) m/s
f) Dr (t = 0 s →t = t
max
) = (120, 45) m
Dr (t =0 s →t = t
alcance
) = (240, 0) m
v
m
(t = 0 s→t = t
max
) = (40,15) m/s
v
m
(t = 0 s→t = t
alcance
) = (40, 0) m/s
a
m
(t = 0 s →t = t
max
) = (0,-10) m/s
2
a
m
(t = 0 s →t = t
alcance
) = (0,-10) m/s
2
4- a) d
encima
= 3,25 m
b) d
otro lado
= 4,5 m
5- a) H
partida
= 4,4 m
b) v
manos
= (6, –8) m/s; |v
manos
|= 10 m/s.
c) y (x) = 4,4 m
-
5 x
2
/ (36 m)
6- a) |v
A
| = 5 m/s; |Dy| = 7,5 m.
v
B
= (4,33 ; -12,5) m/s; | v
B
| = 13,23 m/s.
7- a) De elaboración personal.
b) De elaboración personal.
c) x
max
= v
o
² sen (2α) / g y
max
= v
o
² sen² (α) / (2g)
d) v
y max
= v
o x
x
^
; v
A
= v
o x
x
^
–v
o y
y
^
; a
y max
= a
A
= g (–y
^
)
( x
^
es horizontal en el sentido de movimiento; y
^
es vertical hacia arriba, el origen de coordenadas
está en el punto de lanzamiento)
8- a) x
alcance
= 42,2 m
b)v
piso
≈ (5,7 ; -63) m/s
9- a) ángulo ≈ 56°
b) H
impacto
≈ 1,2 m
c) De elaboración personal
10- a) De elaboración personal.
b) v
x
(t) = -3,6 m/s v
y
(t)= 3,6 m/s
2
t
a = (0 ; 3,6) m/s
2
c) acelerando, gira en dirección y
^
d) Dr = (-10,8 ; 16,2) m;
v
media
= (-3,6 ; 5,4) m/s;
a
media
=(0 ; 3,6) m/s
2
.
Movimiento circular
La unidad de frecuencia en el Sistema
Internacional (SI) es el
hertz, que implica ciclos por
segundo; la unidad SI de velocidad angular es el
radián por segundo. Aunque sería formalmente
correcto escribir estas dos unidades como segundo
a la potencia menos uno, el empleo de nombres
diferentes sirve para subrayar la diferente naturale-
za de las magnitudes consideradas. El hecho de uti-
lizar la unidad radián por segundo para expresar la
velocidad angular y el hertz para la frecuencia, indi-
ca también que debe multiplicarse por 2π el valor
numérico de la frecuencia en hertz para obtener el
valor numérico de la velocidad angular correspon-
diente en radianes por segundo.
11- a) ω = 83,3π rad/s
b) |v|= 15,7 m/s
c) f = 41,66 Hz.
12- a)1 s; 30 v ;
b) |v
10
| = 0,2 π m/s;
|v
20
| = 0,4 π m/s;
|v
30
| = 0,6 π m/s.
13- r = 5102 m (aproximadamente)
Cinemática
11
Física - CBC
2_Cinemática en dos dimensiones
Cinemática
14- a) ω = ω
0
/3
b) f = f
0
/ 3
c) |a
c
| = |a
c0
|/9
15- a) |v
E
| ≈ 463 m/s = 1665 km/h
b) |v
T
| ≈ 425 m/s =1530 km/h
c) |v
P
| = 0 m/s
16- a) | a
C
| = 0,034 m/s
2
b)
τ
= 5062 s ≈ 1,4 h
17- a) 5 rad/s;
b) 25 m/s
2
;
c) no cambia.
18- a) |ω| = 0,0172 rad/día
b) |v| = 29861 m/s (aprox.)
c) q = 0,516 rad = 29° 33'
d) |a
| = 5,9 10
-3
m/s
2
.
19- t = 816.6 días
20- a) |ω| = π/2700 rad/s
b) |v| = 7760 m/s.
c) De elaboración personal.
21- a) |ω| = 2,2 rad/s
b) T≈ 2,856 s; f ≈ 0,36 hertz
c) t
780º
≈ 6 s
d) t
12rev
≈ 34,33 s
e) v
1
(r = y
^
) = (2,2 m/s; 0); v
2
(r = x
^
)= ( 0; -2,2 m/s);
v
3
(r = - y
^
) = (-2,2 m/s; 0); v
4
(r = -x
^
) = ( 0; 2,2m/s);
a
1
(r = y
^
)= (0; -4,84 m/s
2
); a
2
(r =x
^
)= (-4,84 m/s
2
; 0);
a
3
(r = - y
^
)= (0; 4,84 m/s
2
); a
4
(r = -x
^
) = (4,84 m/s
2
; 0).
22- a) |v| = 31,4159 cm/s , en todos los puntos.
b) f
B
= 0,56 hertz
c) |a
x
|= v
t
2
/R
A
= 329 cm/s
2
; a
y
= 0 cm/s
2
;
|a
z
|= v
t
2
/R
B
= 109,7 cm/s
2
.
23- a) q(t) = 10 t
4
– 8 t
3
+ 8 t
2
b) ω(t) = 40 t
3
– 24 t
2
+ 16 t
c) En un sistema de referencia donde los
ángulos se miden a partir del versor x
^
en senti-
do hacia el versor y
^
.
v (t= 0,3 s) = –2,68 m/s x
^
+ 4,02 m/s y
^
a (t= 0,3 s) = –23,88 m/s
2
x
^
+ 3,42 m/s
2
y
^
24- En un sistema de referencia en que los ángu-
los se miden en sentido antihorario:
a) g
A
= π/4 1/s
2
ω
A
(t) = –4π 1/s + π/4 1/s
2
t
Dq
A
= –4π 1/s t + π/8 1/s
2
t
2
g
B
= π 1/s
2
ω
B
(t) = – 8π 1/s + π 1/s
2
t
Dq
B
= –8π 1/s t + π/2 1/s
2
t
2
b) t
ω
= 16/3 s ≈ 5,33 s; t
v
= 48/7 s ≈ 6,86s
c) Dq
A
(t
ω
) = –160/9 π rad≈ –17,8 π rad
Dq
B
(t
ω
) = –256/9 π rad ≈ –28,5 π rad
Dq
A
(t
v
) = –1056/49 π rad ≈ –21,55 π rad
Dq
B
(t
v
) = –1536/49 π rad ≈ –31,35 π rad
25- El ángulo q se mide desde el punto A en senti-
do antihorario.
a) g
G
(t) = 0 1/s
2
ω
G
(t) = – π 1/s
q
G
(t) = – π 1/s t
g
M
(t) = – π 1/s
2
ω
M
(t) = – π 1/s – π 1/s
2
t
q
M
(t) = π /2 – π 1/s t – π/2 1/s
2
t
2
t
E
= 1 s ; q
M
(t
E
) = q
G
(t
E
) = –π rad
b) ω
G
(t
E
) = – π rad/s
v
G
(t
E
) = 7,5 π m/s y
^
a
G
(t
E
) = 7,5 π
2
m/s
2
x
^
ω
M
(t
E
) = – 2 π rad/s
v
M
(t
E
) = 15 π m/s y
^
a
M
(t
E
) = 7,5 π m/s
2
y
^
+ 30 π
2
m/s
2
x
^
26 - De elaboración personal
12
Física - CBC
1- De elaboración personal.
Verdaderos: a)-h)-j)-k)
2- Respecto de tierra |Dx| = 3795 m y |Dy |= 800 m;
repecto del avión |Dx| = 0 m y |Dy |= 800 m.
v
PT
(y = 0 m) = (300,-126,5) m/s
v
PA
(y = 0 m) = (0,-126,5) m/s.
(x
^
es horizontal en el sentido del mov del avión e
y
^
vertical apuntando hacia arriba).
3- a) v
JD
= -2,5 m/s x
^
(v
JT
=-1,5 m/s x
^
; v
DT
= 1 m/s x
^
) ;
v
casaJ D
= -1 m/s x
^
v
casaD D
= -1m/s x
^
b) x
JD
(t) = 900 m - 2,5 m/s t → x
JD
(t
E
) = 0 m
c) t
E
= 360 s (6 min)
x
casaJ D
(t
E
)= 540 m
x
casaD D
(t
E
)= -360 m
d) De elaboración personal
4- a) a
NB
= -3 m/s
2
v
NB
(t) = -3 m/s
2
t
x
NB
(t) = 24 m – 1,5 m/s
2
t
2
b) De elaboración personal
5- |a| ≥ (v
1
- v
2
)
2
/ (2.d)
6- |v
BR
| = 9 m/s
|v
RT
| = 1 m/s
7- d = 1200 m
8- |v
gT
| = 5,77 km/h
|v
gA
|= 11,54 km/h
9- |v
cT
| = 25,227 km/h S 37,55° O
10- a) |v
aT
| = 382,4 km/h E 9,6° N
b) t
vuelo
= 1,05 h
11- a) |v
VT
| = 9 km/h
b) |v
VB
| = 12 km/h
12- a)
α
= 37°
b) |v
RT
| = 5 km/h
c) Dt = 10 min; d ≈ 1333m
Opcionales
13- a) De elaboración personal.
b) v
x
= R ω [1 – cos (ωt)];
v
y
= R ω sen (ωt);
a
x
= R ω
2
sen (ωt);
a
y
= R ω
2
cos (ωt).
c) De elaboración personal.
14- a) R = (v
0
. cos
α
)
2
/ g
b) v
x
2
/g ≈ 7,5 m
c) sube v
x
= 8,66 m/s v
y
= 3,5 m/s
h
max
= 1,25 m h
max
/2 = 0,625 m
1) t
subida
= 0,146 s |v
subida
|
2
= 87,56 (m/s)
2
β (0,146 s)=arctan v
y
/v
x
= 22,24°
a
n
= 10 m/s
2
. cos β = 9,256 m/s
2
R(t= 0,146s)= 87,56 (m/s)
2
/ 9,256 m/s
2
= 9,45 m
2) Da lo mismo por la simetría del problema,
hagámoslo:
t
bajada
= 0,854 s |v
bajada
|
2
= 87,56 (m/s)
2
β (0,854s) = arctan (v
y
/v
x
) = – 22,24°
a
n
= 10 m/s
2
. cos β = 9,256 m/s
2
R(t = 0,854 s) = 87,56 (m/s)
2
/9,256m/s
2
= 9,45 m
Cinemática
13
Física - CBC
3_Movimiento relativo
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