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Esp. Liliana Eva Mata Algebra Lineal y Geometría 1
Unidad nº1
ESPACIOS VECTORIALES.
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Unidad nº1: Espacios Vectoriales
Sistema de abscisas en la recta. Vectores
aplicados. Vectores libres. Espacios
Vectoriales Reales. Propiedades
Elementales.. Espacio Vectorial de Rn.
Isomorfismos de espacios vectoriales
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BIBLIOGRAFÍA
De Burgos, J. - “Algebra Lineal y Geometría cartesiana”-(2
da. Edición) –Mc Graw Hill- 2000
Rojo, Armando O -“Algebra I”,“Algebra II”-Librería “El
Ateneo” Editorial. Ed.1.980 (*)
Lic. Albino de Sunkel, María Helena- “Geometría Analítica
en forma vectorial y Matricial” – Ed. Nueva Librería S.R.L.
1989(*)
Steinbruch – Winterle- “Algebra LineaL”- Edit.Mac Graw
Hill Edición 1.993(*)
Stanley I.Grossman – “Algebra Lineal con aplicaciones”
Edit.Mc.Graw Hill- Ed.1993(*)
Seymour Lipschutz – Algebra Lineal – Edit Mc. Graw Hill –
Edición 1991(*)
Pita Ruiz, Claudio.- “Álgebra Lineal “-Ed.Mc.Graw Hill-Ed
1993
Juan De Burgos -“Algebra Lineal”
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Juan de Burgos, expresa:
“…la Geometría que estudiaremos se
sustenta en el álgebra, de la que hereda y
utiliza conceptos y métodos y modos de
hacer. Los vectores y las matrices son el
alma del Algebra Lineal.”
La lógica, gobierna. El camino lo marca la
didáctica.
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Sistema de Abscisas en la Recta.
ALGEBRA - GEOMETRIA
* Par : (a ; b) = ( b ; a ) Segmento ab
*Par ordenado Segmento orientado
*Rectas orientadas: es el sistema formado
por una recta r y un segmento orientado
ab no nulo de r.
r
b
a
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* Eje: o u a b e
sistema formado por los siguientes elementos:
1)una recta “r”
2)un segmento orientado en “r”, tal que con este
segmento orientador “r” es una recta orientada.
3)un punto de “r” , llamado origen , designado con la
letra “o”.
4)un segmento orientado “u”, no nulo llamado unidad,
y que está igualmente orientado que el segmento
orientador, es decir, u está positivamente orientado.
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Abscisas
Dado un eje “e” y un punto p del mismo, se llama
ascisa de p al número real x
p
=op/u
Observación: Si p coincide con o, x
p
=0
Si p no coincide con o:
x
p
>0: el segmento orientado op tiene igual
orientación a la del segmento unidad “u”,
x
p
<0: el segmento orientado op tiene
orientación opuesta a la del segmento unidad “u”.
Si x es la abscisa de p, x.u = op
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* Semiejes
SEMIEJE POSITIVO: semirrecta de origen O
que contiene al segmento unidad. Todos
sus puntos tienen abscisas positivas, o,
nula (en el caso de que el punto coincida
con el origen).
SEMIEJE NEGATIVO : semirrecta opuesta a
la anterior. Todos sus puntos tienen
abscisas negativas, o, nula (en el caso de
que el punto coincida con el origen).
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Vectores Aplicados.
Sean o y p dos puntos cualesquiera de
una recta, del plano o del espacio.
El segmento orientado op es el vector
aplicado en el punto o.
Dado un punto fijo o de la recta, del plano
o del espacio, llamaremos
V
o
, al conjunto
de todos los vectores aplicados en el
punto o, que serán vectores aplicados en
O de la recta, del plano o del espacio
respectivamente.
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Vectores Equipolentes
Dados dos segmentos orientados pq y
p´q’ diremos que son equipolentes, y
escribiremos pq
p’q’ si y solo si son lados
opuestos de un paralelogramo cuyos otros
lados son pp’ y qq’.
q
p q´
p´
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Vectores Libres.
Dado un segmento orientado cualquiera
pq, llamaremos vector libre pq* al
conjunto de todos los segmentos
orientados equipolentes a pq:
pq*={xy / xy pq}
El vector libre pq*, determinado por un
segmento orientado pq, es el conjunto de
todos los segmentos orientados paralelos
a pq, del mismo sentido y de igual
longitud, de cada punto del plano o del
espacio.
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Operaciones Fundamentales con
Vectores Aplicados.
Suma de vectores aplicados: Regla del
Paralelogramo. a + b Ley de composición
interna: V x V → V
a
a
a+b
b b
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Producto escalar-vector.
a
2a
-a
-3a
op = oq absc (oq)= absc(op)
 R, a V: . a V
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α op=oq. Efecto Geométrico.
< −1: oq es un vector de igual dirección que op,
oq>op y sentido contrario.
= −1: oq es un vector de igual dirección que op,
igual módulo y sentido contrario.
−1< < 0: oq es un vector de igual dirección que op,
oq<op y sentido contrario.
= 0: oq es el vector nulo.
0 < < 1: oq es un vector de igual dirección y sentido
que op, oq<op.
= 1: oq es coincidente con op.
> 1: oq es un vector de igual dirección y sentido que
op, oq>op.
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Espacios Vectoriales Reales.
Se dice que un conjunto V tiene estructura
de espacio vectorial sobre un cuerpo K
, si
y solo si en él están definidas dos
operaciones:
+: x, y V,  z V/ z = x + y
*: K, x V,  z V/ z = x

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