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NOMESALEN
PROBLEMASRESUELTOSDEFÍSICADELCBC
(Leyesdeconservación,choqueelástico,energíamecánica)
3.21Dosesferasdemasam
A
ym
B
estánsuspendidasdemodotalqueensu
posicióndeequilibriosuscentrosdemasaquedanalamismaaltura.Sesepara
laesferaAdelaposicióninicialyseladejacaerdesdeunaalturahcontrala
esferaB,conlaquechocaenformaperfectamenteelástica.
Larelaciónentresusmasasesm
A
/m
B
=3.Luegolaalturaalaquellegarála
esferaBserá:
a)2hb)1/4hc)h
d)9/4he)2,5hf)3/2h
Bueno,acátenésunproblemalargoycomplicado.Perotuconsignatienequeser:yo
voyahacertodalafísicaquepuedaconestechoqueelástico.Yteaseguro,coneso
alcanza.
Hiceunaseriedeesquemasconlasecuenciadeeventosencadenadosque
vincularemosdeados,siempredeados.Comodecostumbre,aprovecholos
esquemasparaponerlenombrealoseventosyacualquierotravariableque,después,
aparezcaeneldesarrollodelproblema.
Bueno,acátenés,todoempieza
enelinstante0.LabolaAse
separahastaalcanzarunaaltura
h
0A
.Caeenunprocesoestilo
pénduloyenformaque,damos
porsupuesto,esconservativa.
AhíchocaconlabolaB.La
velocidaddelabolaBjusto
antesdelchoquees0,yladela
bolaAnolaconozco,perose
llamav
1A
.
Elchoqueseproduceenforma
totalmenteelástica.Esonosda
dosinformacionesimportantes:
nosóloseconservalacantidad
demovimiento(delconjuntode
lasdosbolas)sinoquetambién
seconservalaenergíamecánica
delsistemabibolar(¿?).
Uninstantedespuésdelchoque,
eventoalquellamé2,lasbolas
salendespedidas(enestecaso
ambashacialaderecha)con
distintasvelocidades.
Cadauna,entoncesalcanzará
finalmente,F,diferentesalturas.
LaquealcanzalabolaAlallamé
h
FA
,ylaquealcanzalaB,h
FB
.
Estaúltimaeslaquepide
averiguarelenunciado.Vamosa
hallarambas,queesmuchomás
interesante.
ArranquemosconlabajadadelabolaA.Esunatransformaciónconservativademodo
que
E
MAo
=E
MA1
SitomoelcerodealturasenlaposiciónmásbajayrecuerdoquelabolaAsesuelta
desdeelreposo("seladejacaer")...
m
A
gh
0A
=½m
A
v
1A
²
dedonde
v
1A
²=2gh
0A
[1]
Ahoralesigueelchoque.Aunqueteenojesvoyaplantearlasecuacionescompletas,y
despuéstirotodoloquesobra.Acávaladeconservacióndelacantidadde
movimiento,valeparaTODOSloschoques,seandeltipoquesean.
m
A
v
1A
+m
B
v
1B
=m
A
v
2A
+m
B
v
2B
Yaquíladeconservacióndelaenergíaquesoloseaplicaenloschoques
perfectamenteelásticos(idealmenteelásticos)
½m
A
v
1A
²+½m
B
v
1B
²=½m
A
v
2A
²
+½m
B
v
2B
²
Ok...ahoratiramostodoloquesobra,v
1B
escero,sellevatodoeltérmino;½se
cancelaporqueapareceentodoslostérminos...¡Ylomásimportante!vamosarealizar
uninteligentereemplazoenambasecuaciones,utilizandoesedatocuriosoquenos
brindaelenunciado,asaber,quem
A
=3m
B
3m
B
v
1A
=3m
B
v
2A
+m
B
v
2B
[2]
3m
B
v
1A
2
=3m
B
v
2A
²
+m
B
v
2B
² [3]
Ahorapuedocancelarlasmasasyaqueaparecenentodoslostérminos.
3v
1A
=3v
2A
+v
2B
[4]
3v
1A
2
=3v
2A
²
+v
2B
² [5]
Estoyatieneotrocolor.Lavelocidadv
1A
nomepreocupa,yamedicecuántovalela
ecuación[1],perolasotrasdos...voyatratardeexpresarunaenfuncióndelaotra.
Haymilesdecaminosposibles,aversitegustaéste.Laecuación[4]laelevoal
cuadrado(ojo,miráqueelsegundomiembroesunbinomio),esaesla[6].Yaellale
restola[5]multiplicadapor3,queeslaecuación[7].Notepierdas.
9v
1A
2
=9v
2A
²
+v
2B
2
+6v
2A
.v
2B
[6]
9v
1A
2
=9v
2A
²
+3v
2B
² [7]
Supongoqueyatedistecuentaparaquémultipliquéla[5]por3.Mirácómoqueda
esaresta...[6]—[7]=[8](vistequeplomoqueeselálgebra...noentiendocómo
haygentequelegusta)
0
=0—2v
2B
2
+6v
2A
.v
2B
[8]
entonces
2v
2B
2
=6v
2A
.v
2B
yfinalmente
v
2B
=3v
2A
[9]
ahoraconestasencillarelaciónpuedovolverparaatrás,porejemploalaecuación
[4]yreemplazarla
3v
1A
=3v
2A
+3v
2A
v
2A
=(1/2)v
1A
[10]
ysimetola[9]enla[10]
v
2B
=(3/2)v
1A
[11]
laselevoalcuadradola[10]yla[11]yaparecen
v
2A
²=(1/4)v
1A
²
[12]
v
2B
²=(9/4)v
1A
²
[13]
Todavíafaltalasubidadecadaboladesdeelevento1(justodespuésdelchoque)
hastaelF(laalturamáximaquealcanzan).Sonascensosconservativosasíque...
½m
A
v
2A
²=m
A
gh
FA
½m
B
v
2B
²=m
B
gh
FB
Simplificandounpocolacosa:
h
FA
=v
2A
²/2g
[14]
h
FB
=v
2B
²/2g
[15]
Metola[12]enla[14],yla[13]enla[15].
h
FA
=(1/4)v
1A
²/2g
[16]
h
FB
=(9/4)v
1A
²/2g
[17]
Yallegamos.Reemplazola[1]enla[16]yenla[17]yaparecelarespuesta
h
FA
=(1/4)h
0A
h
FB
=(9/4)h
0A
respuestad)
Bueno,comoviste,esteproblematiene90%deálgebray10%defísica.Peroyaque
nostomamostantotrabajo...hagamosunalindadiscusiónyvasaverquevalióla
pena.Haymásfísicaesperándote.
DISCUSION:Porsimplecuriosidad...¿cuántoteparecequedebevalerlaenergía
mecánicafinaldelsistema?¡Lamismaquelainicial,claro!¡Sitodaslas
transformacionesquehubofueronconservativas!Ylaenergíamecánicafinales
puramentepotencial,porqueenFloscuerpostienenvelocidadcero.Entonces
E
MF
=E
PFA
+E
PFB
=m
A
gh
FA
+m
B
gh
FB
=m
A
g(1/4)h
0A
+m
B
g(9/4)h
0A
yreemplazandolarelacióndemasasm
B
=(1/3)m
A
=m
A
g(1/4)h
0A
+(1/3)m
A
g(9/4)h
0A
=m
A
g(1/4)h
0A
+m
A
g(3/4)h
0A
=m
A
gh
0A
=E
M0
!!!
DESAFIO:Elsistemaevolucionadeestamanera:Lasbolasvuelvenabajaryvuelven
achocar...¡justoenelpuntomásbajodelatrayectoria!Setratadeunencuentro
formidable,unacitaespectacular.Eneseencuentro,enesenuevochoquelabolaB
empujaalaA,transfiriéndolesuenergia,deformatalquelaBsequedadetenidayla
Aganavelocidadparapoderalcanzarlaalturainicial...yasísigueeternamente.
Contarloesdivertido,¡ydemostrarloessúpersencillo!Eseeseldesafío:mealcanza
conquedemuestresqueaunquelasdosbolassalieroncondistintasvelocidadesy
alcanzarondistintasalturas...sevanavolveraencontrarenlamismaenlaposición
quechocaronantes,alquelleganenelmismoeincreíbleinstante.
Algunosderechosreservados.Sepermitesureproduccióncitandolafuente.Dijo
AlbertEinstein:"toycansado".Últimaactualizaciónnov06.BuenosAires,
Argentina.
TRABAJO Y ENERGIA, teoria energia cinetica.pdf
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