UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL HAEDO
CÁTEDRA DE TERMODINÁMICA
TOBERAS Y DIFUSORES
2023
Cátedra de Termodinámica Técnica
Profesor: Ing. Patricia Vita
JTP: Ing. Sebastián Romero
Ayudante Alumno: Christian Vitale
Tabla de contenidos:
1. Generalidades 2
1.1. Ecuación de la energía 2
1.2. Ecuación de continuidad 3
1.3. Velocidad del sonido y numero de Mach 3
2. Forma de toberas y difusores. 6
2.1. Toberas 6
2.2. Difusores: 8
3. Relación critica de presiones 8
4. Estado de estancamiento 11
5. Análisis de forma de toberas 12
6. Análisis en tobera convergente. 13
1. Generalidades
Se denomina tobera a un conducto que guía una vena fluida mientras se produce en ella una
conversión de energía de tipo potencial en energía cinética. Es decir, que, a lo largo de una tobera, la
velocidad de flujo aumentará.
En cambio, se denomina difusor a un conducto en que se produce el proceso energético inverso al que
ocurre en una tobera. Es decir, que al circular por un difusor un fluido se desacelera reduciéndose su
velocidad.
1.1. Ecuación de la energía
La ecuación de la energía, válida tanto para una tobera como para un difusor, en que circula un fluido
en régimen permanente, será la del primer principio de la termodinámica para sistemas circulantes.
15-1
Dado que tanto en toberas como en difusores no existirán mecanismos de intercambio de trabajo
entre el fluido y el medio
Además, podrá suponerse
, dado que las toberas y difusores serán cortos. Por último, como
limitaremos nuestro estudio al caso de toberas y difusores adiabáticos, .
Con lo que la 15-1 quedará reducida a:
Que puede escribirse
15-2
La 15-2 nos indica que en una tobera el aumento de energía cinética en el fluido se logra mediante una
reducción de su entalpia y que la disminución de energía cinética en un difusor se traducirá en un
aumento de la entalpia del fluido.
La 15-2 puede escribirse también en forma diferencial, si se consideran dos secciones en el conducto
muy próximas:
O sea
15-3
Tenemos presente que
O bien
Y por estar considerando toberas o difusores adiabáticos ; reemplazando en la 15-3
obtenemos.
15-4
La 15-4 nos indica que a un aumento de velocidad corresponderá una disminución de presión y
viceversa. Luego en las toberas la presión disminuirá de la entrada a la salida y en los difusores la
presión aumentará.
1.2. Ecuación de continuidad
El gasto masico, que designaremos como , o sea la masa que pasa por una cierta sección de un
conducto en la unidad de tiempo, puede expresarse:
15-5
En la que es la sección transversal y la densidad del fluido.
Dado que la densidad y el volumen especifico son inversos, la ecuación 15-5 puede escribirse:
Que en forma logarítmica será
Y diferenciando si el flujo es permanente, caso en que , nos da:
15-6
Que es la ecuación diferencial de continuidad.
1.3. Velocidad del sonido y numero de Mach
La velocidad del sonido en un medio fluido es la velocidad con que se propaga una pequeña
perturbación de presión en él, y la denominaremos c.
15-1 Es c- dw
15-2
En la figura 15-1 se indica el frente de onda de presión, como lo observaría un observador que se
encontrara en reposo, que lo vería pasar a una velocidad . A la izquierda del frente de onda el fluido
estaría perturbado estando a una presión , su densidad seria y su entalpia ; y a
la derecha los respectivos valores serian , y .
Suponiendo un flujo adiabático la variación de la entalpía originara una variación de velocidad de
acuerdo con la 15-3.
En la figura 15-2, se presenta la situación como la vería un observador que viajara con el frente de
onda.
Hagamos un balance de masas, considerando la sección por la que pasa el frente de onda, tendremos:
Que simplificando nos da
15-7
En la que despreciamos el diferencial de segundo orden .
El balance de energía seria
que simplificando y despreciando diferenciales de segundo orden nos da:
15-8
Pero, dado que el flujo es adiabático:
Que remplazando en 15-8 nos permite escribir:
15-9
Despejando de 15-7 obtenemos
Que reemplazado en 15-9 nos da
De la cual resulta es igaula a la anterior.
15-10
Si el proceso se supone reversible, será isoentrópico, con lo que podremos transformar la 15-10 en:
15-11
Si el fluido es un gas perfecto, entonces, para una transformación adiabática reversible es válida la
relación:
Que escrito en forma logarítmica es:
Diferenciando:
O sea:
Que llevada a la 15-11 nos permite escribir:
15-12
O también
15-13
Es decir, que la velocidad del sonido en un gas perfecto depende de la temperatura a que se encuentre
el gas.
El número de Mach es una relación adimensional entre la velocidad a que circula un fluido y la del
sonido en el mismo fluido, se define:
15-14
Se dirá que el flujo es subsónico cuando o sea . el flujo será sónico cuando o sea
y supersónico si es decir .
2. Forma de toberas y difusores.
Podremos analizar la forma de las toberas y difusores partiendo de la ecuación de continuidad 15-6 de
ella:
15-15
Se pueden considerar dos casos:
Fluidos incompresibles: caso al que pueden asimilarse los líquidos.
En este caso . o sea y la 15-15 se reduce a
Por lo cual las toberas deberán ser convergentes, o sea de secciones decrecientes y los difusores
divergentes, dado que y deberán ser de signos diferentes.
Fluidos compresibles. Es el caso de gases y vapores, vale entonces completa la 15-15 y la forma
dependerá de la variación de velocidad y de la de volumen especifico del fluido, transformaremos la
15-15 de modo que aparezca en ellas la variación de presión.
De la 15-4 obtenemos:
15-16
Si suponemos que el fluido que circula es un gas perfecto que evoluciona en forma adiabática
reversible, tenemos que será válida:
O sea
De donde
15-17
Reemplazando las 15-16 y 15-17 en la 15-15 tenemos
Que puede escribirse
15-18
Con la 15-18 podemos analizar la forma de toberas y difusores para gases ideales.
2.1. Toberas
En el caso de toberas, a lo largo de ellas la presión disminuirá por lo que será
Si el flujo del gas es subsónico, entonces como ;
O sea
Es decir
Y en consecuencia la 15-18 nos dará
Es decir que las secciones deberán disminuir al avanzar en la tobera. Luego una tobera a que penetre
un flujo subsónico deberá tener una primera parte convergente.
Al avanzar el fluido por la tobera, su velocidad aumentará y al mismo tiempo la velocidad del sonido en
el fluido decrecerá, pues al expandirse disminuirá la temperatura. Podrá en consecuencia llegarse a
una sección que llamaremos critica en la que se alcance , o sea circulación sónica.
Tendremos entonces:
O sea
o lo que es lo mismo
Y finalmente
Condición que equivale a que la 15-18 se reduzca a:
15-19
Dado que las secciones venían disminuyendo la 15-19 significa que en el lugar correspondiente a la
tobera tendrá su sección mínima, será la denominada garganta de tobera.
Si la tobera continua se pasara luego a lugares en que el flujo será supersónico o sea , lo que
equivale a:
O sea
Y en definitiva
(VER GARCIA PAG 291)
Que con la 15-18 nos permite afirmar que en esta región:
O sea que la tobera deberá ser divergente.
En la figura 15-3 se representan los diagramas correspondientes a variaciones de presión, la velocidad
y sección transversal a lo largo de una tobera, en que el fluido pasa de un flujo subsónico a uno
supersónico. La tobera, en este caso, será convergente divergente y en la sección mínima el flujo será
sónico .
Las toberas en que el fluido penetra a velocidades subsónicas y en las que a la salida el flujo se
mantiene subsónico o a lo sumo sónico, serán solo convergentes y en ellas la menor sección será la de
descarga. Análogamente, las toberas en que el fluido penetra a velocidad supersónica, será solo
divergentes.
2.2. Difusores:
En el caso de los difusores, la presión irá aumentando de la entrada a la salida, o sea en ellos .
En consecuencia, se invertirán las condiciones y se tendrá:
a) En una región supersónica el difusor será convergente .
b) Con flujo sónico se tendrá la sección mínima .
c) En una región con movimiento subsónico, el difusor será divergente .
3. Relación critica de presiones
A fin de predecir si en una tobera determinada deberá existir o no garganta, es conveniente obtener la
llamada relación critica de presiones, o sea la relación entre la presión en la garganta y la presión a la
entrada, si la velocidad de entrada es despreciable o nula. La 15-14 relaciona la variación de presión
con la variación de velocidad:
Integrada entre dos secciones nos da:
15-20
Considerando el segundo miembro de la 15-20: si el fluido que circula en forma isoentrópica es un gas
perfecto es:
15-21
Con lo que la 15-20 se transforma en:
15-22
Aplicando la 15-22 a una tobera, en que el fluido penetra con velocidad despreciable para
una sección cualquiera, tendremos:
O sea
15-23
En la garganta tendremos la velocidad critica
, aplicando 15-23
15-24
Pero en la garganta la velocidad es igual a la del sonido en el gas
o sea:
15-25
Igualando los dos valores de
dados por las 15-24 y la 15-25 tenemos:
Simplificando tenemos
Pero
que pasado al segundo miembro nos da:
15-26
Como la expansión que experimenta el gas es adiabática isoentrópica se cumplirá:
De la cual
15-27
Que reemplazada en la 15-26 la transforma en:
Transponiendo
O bien
Y despejando
15-28
La 15-28 nos indica que la relación critica de presiones solo depende del gas de que se trate. Para
gases biatómicos resulta
Si se debe dimensionar una tobera a la que el fluido penetra con una velocidad despreciable,
conocidas las presiones a la entrada
y a la salida
determinada la presión critica con la
ecuación 15-28 pueden presentarse dos casos
En este caso la tobera deberá ser convergente divergente, ya que a la salida tendrá un flujo
supersónico.
Caso en el cual la tobera será solamente convergente pues la velocidad final en la misma alcanzará en
el caso extremos el valor de la velocidad del sonido y todo el flujo será subsónico.
Si la velocidad a la entrada de la tobera tiene un valor no despreciable, es decir
entonces la
relación 15-28 no será aplicable. Habrá que definir y determinar lo que se denomina estado de
estancamiento o remanso.
4. Estado de estancamiento
Se denomina estado de estancamiento al estado que alcanzaría un fluido que se encuentra en
movimiento cuando se lo desacelera hasta alcanzar el reposo. Evidentemente partiendo de un cierto
estado inicia, el estado de estancamiento al que se llega dependerá del tipo de proceso de
desaceleración que experimenta. Si aplicamos la expresión del primer principio para sistemas
circulantes a un proceso que conduce a un fluido al estado de reposo, en forma adiabática a partir de
un estado con velocidad
y entalpia
tendremos
15-29
En la que
sera la entalpia del estado de estancamiento. Sea reversible o irreversible el proceso que
conduce al estado de estancamiento siempre será válida la expresión 15-29 y la entalpia del estado de
estancamiento será la misma. Pero el estado de estancamiento alcanzado no será el mismo dado que
en el proceso adiabático irreversible el fluido incrementará su entropía.
15-4
En la figura 15-4 se indican un proceso isoentrópico y uno adiabático irreversible en el diagrama
entálpico. En el caso reversible, el estado de estancamiento estará representado por el punto 2 y la
presión de estancamiento será
. En cambio, si el proceso es irreversible, el estado de estancamiento
estará representado por el punto 3 y la presión será
.
Determinaremos los parámetros del estado de estancamiento ideal a partir de los del fluido en el
estado de movimiento en que se encuentra para el caso de un gas ideal.
De la ecuación 15-29 obtenemos:
Y por ser un gas perfecto el fluido, la diferencia de entalpias se puede expresar como
que
reemplazada en la anterior permite despejar la temperatura del estado de estancamiento.
15-30
Como la transformación es adiabática cuasi estática, valdrá:
O sea
De donde despejando la presión del estado de estancamiento será:
15-31
Que se obtiene de 15-28 reemplazando pe por la presión del estado de estancamiento
.
Puede obtenerse también una relación critica de temperaturas. Consideraremos a tal efecto el estado
de estancamiento y el estado en la garganta, la ecuación de balance de energía será:
Que puede escribirse
15-32
Pero
y por tratarse de un gas perfecto
Que reemplazando en 15-32 nos dan:
15-33
Pero
que reemplazando en 15-33 nos conduce a
Simplificando y despejando obtenemos:
15-34
Que es la relación critica de temperaturas para un gas biatómico con resulta
, o sea
que la temperatura en la garganta es un 17% menor que la temperatura en estado de estancamiento.
5. Análisis de forma de toberas
Dados los datos para el diseño de una tobera, que serán la presión
, la temperatura
y la
velocidad
del gas a la entrada y la presión de descarga
, con el objeto de predecir la forma
que corresponderá se procede del siguiente modo:
Se determinan los parámetros del estado del estancamiento
.
Luego se calcula la presión critica, con la relación critica de presiones, ecuación 15-31.
Obtenida la presión critica pueden ocurrir tres casos:
I. Si
, corresponde a una tobera convergente divergente, en que se acelera el fluido
desde una velocidad subsónica hasta una supersónica a la salida.
II. Si
, corresponde una tobera solo convergente, en toda ella la circulación será
subsónica.
III. Si
, corresponde una tobera solo divergente, en ella el fluido circula a velocidades
supersónicas.
6. Análisis en tobera convergente.
Supongamos tener una tobera convergente en la que puede regularse con una válvula la presión final
en la descarga
El gasto masico por dicha tobera por unidad de superficie de la sección de salida
estará dado de
acuerdo con la ecuación de continuidad por:
15-35
Pero si el flujo es adiabático isoentrópico, el gas es un gas perfecto y la velocidad de entrada es nula,
tendremos:
15-36
Y
15-37
Reemplazando 15-36 y 15-37 en la 15-35 obtenemos:
Que también puede escribirse:
O bien
15-38
La 15-38 nos dará que el gasto será lo para
lo cual es correcto, que dicho gasto se
incrementara si se hace
hasta alcanzar su valor máximo, cuando
correspondiente a la
presión
y que luego disminuirá hasta llegar nuevamente a cero cuando
. Esto ultimo no
coresponde a la realidad física, la ecuación 15-38 tendra validez únicamente para valores
. Si
la presión de descarga toma valores menores que la presión critica, su valor no influirá en el gasto
masico que circulará por la tobera.
15-5
En la fitura 15-5 se representa el gasto masico por unidad de sección en función de la relación de
presiones
Cuando esta relación es menor que la relación critica de presiones, su valor no influirá en el gasto que
circulará por la tobera.
El gasto máximo que corresponderá a la relación critica de presiones valdrá:
15-39
La velocidad critica, que será la del sonido estará dada por:
15-40
En cuanto a la densidad, puede obtenerse mediante
Y reemplazando los valores de las relaciones críticas de temperaturas y de presiones
O sea
15-41
Empleando 15-40 y 15-41, la 15-39 de transforma en
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