Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 1
Práctica 11
Series
Los procesos infinitos que hemos usado para desarrollar este curso fueron evitados históricamente
desde los griegos hasta el siglo XVII. Incluso el mismo cálculo diferencial e integral fue resistido
por filósofos y matemáticos durante largo tiempo hasta que Cauchy y otros matemáticos le dieran
forma y justificación plena.
Paradójicamente, esta última unidad que se ocupa del estudio de sumas infinitas, es precisamente
por donde empezaron los padres del cálculo sus descubrimientos en matemática. Tanto Newton
como Leibniz se aproximaron a la matemática estudiando series infinitas.
Los primeros descubrimientos de Newton, con 23 años de edad, se derivan de su habilidad para
expresar funciones en términos de sumas infinitas. Escribió Newton “todo lo que el álgebra hace
por medio de una cantidad finita de ecuaciones, se puede conseguir por medio de infinitas
ecuaciones… pues el razonamiento en este caso no es menos seguro que en el otro”.
Por su parte, Leibniz, desafiado por el físico Huygens, estudia diversas series numéricas, tal como
veremos en la introducción.
1. Introducción. Tres paradojas
1.1 Primera. Zenón de Elea
La doctrina pitagórica de que los “números constituyen el mundo entero” era resistida por otras
corrientes filosóficas. Entre ellos se encontraba Zenón de Elea que formuló una colección de
paradojas para refutar las teorías de los seguidores de Pitágoras.
En una de sus paradojas, Zenón, discípulo de Parménides, nos “demuestra” que el movimiento es
imposible y que es sólo una percepción de los sentidos. El razonamiento de Zenón era el siguiente:
Supongamos que queremos ir del punto A al punto B a velocidad constante. Supongamos también
que cuando llegamos a la mitad de camino ha transcurrido un minuto.
A
B
1 min
1
2
min
1
4
min
1
8
min
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 2
Para recorrer la mitad del camino restante, necesitaremos
1
2
minuto, desde allí hasta la mitad del
camino restante tardaremos
1
4
de minuto y así hasta el infinito. De modo que el tiempo total T que
necesitamos para ir de A hasta B se obtiene sumando todos estos tiempos parciales:
1 1 1 1
1 ...
2 4 8 16
T
Afirmaba Zenón que la suma infinita de tiempos daba infinito y por lo tanto era
imposible ir de A hasta B. Luego el movimiento no existe.
Tratando de retrucar a Zenón
Hagamos una cuenta con la suma T sacando factor común a partir del segundo término de la suma:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ( ...) 1 (1 ...) 1
2 4 8 16 2 2 4 8 2
T T
Entonces
1
1 2
2
T T T
Mediante esta cuenta deducimos lo que parece (y es) obvio: si tardamos 1 minuto para recorrer la
mitad del camino tardamos 2 minutos para recorrerlo todo. ¿Será que la afirmación de Zenón de que
sumar infinitos términos positivos es necesariamente infinito, no es verdad?
Veamos la segunda paradoja, que lejos de aclarar, oscurece…
1.2 Segunda. El origen del Ajedrez y un final inesperado
La leyenda sobre el origen del ajedrez está en muchos libros y sitios de Internet. Uno de ellos es
titulado El hombre que Calculaba de Malba Tahan (es un seudónimo). Lo que sigue es un resumen
muy apretado de esta leyenda.
La historia ocurre hace miles de años en un reino de la India, donde gobernaba el príncipe Iadava,
sabio y generoso.
Debido a una guerra fronteriza en la que resulta victorioso, pierde a su hijo en la batalla final y cae
en una profunda depresión que lo lleva a abandonar las cuestiones de gobierno, poniendo al reino en
grave crisis.
Desde los confines del reino un brahmán de nombre Sessa, acerca al palacio de Iadava un regalo
que no era otro que el juego del ajedrez. Aprendidas las reglas de juego, el príncipe se volvió
rápidamente un excelente jugador.
T
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 3
En una de las partidas que juega con uno de sus cortesanos, descubre que se ha reproducido en el
tablero la batalla final donde perdió a su hijo y que para ganar la partida debe sacrificar a un alfil de
la misma forma que su hijo se sacrificó para salvar al reino.
El príncipe agradece a Sessa por el regalo y por hacerle comprender
que para salvar a un reino hay que estar dispuesto a hacer grandes
sacrificios. Le dice a Sessa que pida lo que quiera en recompensa.
El brahmán le da una última lección de humildad. Le pide una
cantidad de granos de trigo que deberá determinar colocando un
grano en el primer casillero del tablero de ajedrez, dos granos en el
siguiente, cuatro granos en el siguiente, y así siguiendo, siempre
duplicando la cantidad de granos hasta completar los 64 casilleros del
tablero. Para contarlos los ministros del príncipe tuvieron que
calcular la suma
2 3 63
1 2 2 2 ... 2 G
El resultado de esta suma es un número enorme:
18.446.744.073.709.551.615 granos.
Los contadores del príncipe concluyeron que sembrados todos los campos de la India no
darían en muchos años la cantidad de trigo requerido por Sessa.
Aquí termina la historia del ajedrez. Pero el matemático español Miguel de Guzmán imagina en
uno de sus libros de texto otro final para esta historia.
Molesto el príncipe por el papelón que Sessa le hiciera pasar delante de sus ministros, le dijo que
para demostrarle lo generoso que era no solo estaba dispuesto a darle la cantidad de granos
requerida sino que le iba a dar mucho más:
2 3 63 64
1 2 2 2 ... 2 2 .... G
Para calcular esta suma infinita seguimos la misma estrategia que usamos en el caso de Zenón:
2 3 63 64 2 62 63
1 2 2 2 ... 2 2 ... 1 2(1 2 2 ... 2 2 ...)G
Nos queda la ecuación:
1 2 1G G G
El príncipe Iadava, triunfante le dice a Sessa:
¡Me debés un grano!
G
1
2
4
8
Empezando a poner granos
en el tablero
…
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 4
¿Qué pasó?
¿Por qué la misma cuenta que nos dejó tranquilos con la paradoja de Zenón, nos da un resultado
absurdo en este caso? ¿Será que Zenón algo de razón tenía?
Volveremos a esta perplejidad un rato nomás.
1.3 Tercera. El descuido de Leibniz
Como ya sabemos Leibniz y Newton son los héroes de nuestro curso por ser los padres del cálculo
diferencial e integral. Curiosamente como dijimos al comienzo ambos comenzaron su actividad en
la matemática resolviendo cuestiones vinculadas a sumas infinitas.
Leibniz calculó con gran habilidad la suma de los inversos de los números triangulares. Es decir
2 2 2 2 1 1
... ... 2( ...)
1 2 2 3 3 4 ( 1) 1 2 2 3
S
k k
Para ello observó que cada término se puede escribir como
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 , , ,...,
1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 ( 1) 1k k k k
Entonces reemplazando cada término obtuvo (dividiendo por 2)
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ... ( ) ...
2 2 2 3 3 4 1
S
k k
Observando que a partir del segundo término cada uno se cancelaba con el siguiente, solo quedaba
sin cancelar el primer término de la suma. Así
1 2
2
S
S
Este resultado llenó de entusiasmo a Leibniz y lo llevó a calcular la siguiente suma
1 1 1 1 1 ....L
Usando la misma estrategia que nosotros, tanto en la paradoja de Zenón para calcular el tiempo
como en la leyenda del ajedrez para contar los granos, obtuvo:
1 1 1 1 1 .... 1 (1 1 1 1 ...) 1L L
Es decir
1
1
2
L L L
.
Sin embargo, podría haber hecho, entre otras cosas, lo siguiente:
(1 1) (1 1) (1 1) .... 0L
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 5
Otra vez estamos ante una paradoja.
Estas tres cuestiones hacen pensar que las sumas infinitas, en principio, no pueden manipularse con
la aritmética habitual sin que tengamos bien definido qué significan.
2. Series numéricas
Sea
1 2
, ,..., ,...
n
a a a
una sucesión de números reales. Construimos a partir de ella una nueva
sucesión, que llamaremos sumas parciales, de la siguiente manera:
1 1
S a
2 1 2
S a a
3 1 2 3
S a a a
……
1 2 3
...
n n
S a a a a
Definición. Diremos que la serie de término general
n
a
es convergente si la sucesión de
sumas parciales tiene un límite finito, es decir, si existe
S
tal que
lim
n
n
S S
.
En tal caso escribimos
1
n
n
S a
y decimos que S es la suma de la serie. En otro caso diremos que la
serie diverge.
La serie telescópica de Leibniz.
Calcular la suma de la serie
1
1
( 1)
n
n n
.
Solución
Siguiendo la idea de Leibniz, ahora con la definición de series a mano, calculamos las sumas
parciales:
A veces, si la serie
converge, pondremos
1
n
n
a
Si, en cambio, diverge,
pondremos
1
n
n
a
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 6
1
1 1
1
1 2 2
S
2
1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) 1
1 2 2 3 2 2 3 3
S
……..
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... (1 ) ( ) ... ( ) 1
1 2 2 3 ( 1) 2 2 3 1 1
n
S
n n n n n
Entonces
1
lim lim(1 ) 1
1
n
n n
S
n
. Es decir
1
1
1
( 1)
n
n n
Observación: Esta serie la podemos también escribir en la forma
2
1
1
( 1)
n
n n
.
Así la usaremos en un momento más.
Hallar la suma de una serie no es tarea sencilla. Nos proponemos simplemente determinar si una
serie es convergente o no. Para ello nos tenemos que hacer de una “agenda” de series de las cuáles
sepamos si son o no convergentes para que, comparando con ellas, podamos determinar la
convergencia o no de nuevas series. Las series geométricas y las series p que damos a continuación
apuntan a este objetivo.
2.1 Series geométricas
Vamos a estudiar una familia de series que jugarán un papel importante en lo que sigue.
Para cada
r
, consideramos la serie geométrica
2 3
0
1 ...
n
n
r r r r
Para calcular la suma parcial de orden n hacemos
n n
S rS
ya que se cancelan casi todos los
términos. Al parámetro r se lo llama razón de la serie geométrica:
2 2 1
1 ......
n n
n
S r r r r
2 3 1
.........
n n
n
rS r r r r r
1 0 0 0 .... 0 ... 0
n
n n
S rS r
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 7
Es decir
(1 ) 1
n
n
r S r
Si
1r
obtenemos una expresión sintética de la suma parcial de orden n
1
1
n
n
r
S
r
La serie geométrica es convergente si la suma parcial tiene límite finito. Se tiene
1
si 1
1
1
lim lim
1
si 1
n
n
n n
r
r
r
S
r
r
Tenemos entonces que la serie geométrica converge para
1 1r
y su suma vale
0
1
1
n
n
r
r
,
1 1r
Nos falta estudiar los casos
1r
y
1r
.
Caso
1r
1 1 ... 1
n
S n
Es claro que
n
S n
.
Entonces la sucesión de sumas parciales no converge a un límite finito. La serie en este caso es
divergente.
Caso
1r
1
1S
,
2
1 1 0S
,
3
1 1 1 1S
,
4
1 1 1 1 0S
…
En general
1 si impar
0 si par
n
n
S
n
La sucesión de sumas parciales no tiene límite, por lo que la serie es divergente también en este
caso. En síntesis
0
n
n
r
diverge si
1r
0 si 1
n
r r
si 1
n
r r
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 8
2.2 La resolución de las tres paradojas
Las series geométricas nos dan las respuestas a las tres paradojas planteadas al comienzo
Primera. Zenón y el movimiento
La serie
1 1 1
1 ... ...
2 4 2
n
T
es una serie geométrica de razón
1
2
r
. Para este valor
obtuvimos que la serie es convergente y su suma es igual a
1
2
1
1
2
T
.
Zenón se equivocaba cuando afirmaba que sumar infinitos números es infinito.
Segunda. La leyenda del ajedrez
La cantidad de granos que el príncipe quería entregarle a Sessa es la serie geométrica de razón
2r
2 3
1 2 2 2 ... 2 ...
n
G
que vimos que es divergente.
El cálculo del príncipe era falaz y la ecuación
1 2G G
no tiene sentido porque G no es un
número.
Tercera. El descuido de Leibniz
La serie
1 1 1 1 ...L
que a Leibniz le dio como suma
1
2
es la serie geométrica de razón
1r
que acabamos de ver que es divergente.
Esto explica el error del genio. Le faltaba una buena definición de suma infinita.
Se pueden hacer los ejercicios del 1 al 5 de la Práctica.
2.3 La serie armónica
1
1
n
n
Otra familia de series que servirán como “testigos” para comparar con series que querramos
estudiar son las llamadas series p. Para cada
0p
, se considera la serie
1
1
p
n
n
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 9
Veremos, en términos de p, cuándo esta serie converge y cuándo diverge. Por ahora , estudiemos el
caso
1p
.
Los términos de
1
1
n
n
son todos positivos. Zenón sospecharía de ella. ¿Tendría razón en este caso?
Consideremos las sumas parciales de 1 término, de 3 términos, de 7 términos,…de
2 1
n
términos
y agrupemos tales términos de a uno, después de a dos, después de a cuatro y así hasta terminar con
ellos:
1
1S
,
3
1 1
1
2 3
S
,
7
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7
S
2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ... ...
2 3 4 5 6 7 8 15 2 1
n
n
S
Observemos que
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 4 5 6
,
1 1 1 1 1
2 3 4 4
7 8 8 8 8 2
.
2
, . .
Es decir
2 1
1
2
n
S n
. Al ser una serie de términos positivos, sus sumas parciales son
crecientes (cada vez que agrego un término, la suma parcial es mayor). Luego
La serie armónica
1
1
n
n
es divergente.
2.4 Propiedades de linealidad
Las series heredan de la noción de límite las propiedades de linealidad. Esto es:
Si las series
1
n
n
a
y
1
n
n
b
son convergentes entonces vale:
1 1 1
( )
n n n n
n n n
a b a b
1 1
n n
n n
ka k a
Ejercicio. Calcular la suma de la serie
1
2 5
6
n n
n
n
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 10
Solución
Escribimos el término general como suma de dos potencias
2 5 2 5 1 5
6 6 6 3 6
n n n n n
n n n n n
Observemos que cada término deviene en una serie geométrica de la cual sabemos calcular su suma.
Usamos la linealidad para escribir
1 1 1 1 1
2 5 1 5 1 5
6 3 6 3 6
n n
n n n
n n n
n n n n n
Solo nos queda calcular cada una de las series geométricas que nos han quedado. Hay una sutileza:
las sumas comienzan desde
1n
y los cálculos generales que hicimos precedentemente fueron
desde
0n
. Tenemos que atender a esta sutileza en el cálculo, sumando y restando el término
correspondiente a
0n
.
La primera serie geométrica es de razón
1
3
r
1 0
1 1 1 3 1
1 1
1
3 3 2 2
1
3
1
n n
n n
La segunda serie geométrica es de razón
5
6
r
.
1 0
5 5 1
1 6 1 5
5
6 6
1
6
1
n n
n n
Entonces
1
2 5 1 11
5
6 2 2
n n
n
n
Sumamos desde n = 0
y lo volvemos a restar
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 11
2.5 Una condición necesaria
Si bien vimos que Zenón se equivocaba cuando decía que suma infinita de números positivos debe
dar infinito, el ejemplo de la serie armónica nos hace pensar que algo de razón lo asistía. El término
general no puede comportarse de cualquier manera. El siguiente teorema arrima un poco de luz a
esta cuestión.
Teorema. Si la serie
1
n
n
a
es convergente entonces
lim 0
n
n
a
Demostración
Si la serie converge existe
lim
n
n
S S
. Además
1
n n
n
a S S
.
Tomando límite:
1
lim lim( ) 0
n
n n
n
n
a S S S S
.
Si
lim 0
n
n
a
no es cierto que la serie sea convergente, como lo muestra el ejemplo de la serie
armónica.
Esta condición necesaria es útil en su versión “negativa”. Es decir:
Si
lim
n
n
a
no es cero entonces la serie
1
n
n
a
es divergente.
Esta formulación es la que usaremos en la práctica
Ejercicio. Dadas las series
1
100 1
n
n
n
y
1
1
5
n
n
, decidir si es convergente la serie
1
1
100 1 5
n
n
n
n
Solución
Observemos que el término general de la primera serie no tiende a cero. Veamos que con eso nos
alcanza para decidir:
1 1 1 1
lim lim lim 0
100 1 5 100 1 5 100 100
n n
n n n
n n
n n
Como el término general no tiende a cero y eso es condición necesaria para que la serie sea
convergente, resulta divergente.
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 12
3. Series de términos positivos
3.1 Criterios de comparación
Las series de términos positivos son más fáciles de estudiar por el siguiente hecho que conocemos
de las sucesiones:
Si
0
n
a
entonces la sucesión de sumas parciales es creciente:
1 1 1 1
...
n n n
n n n
S a a a S a S
Por lo tanto, para que la serie sea convergente bastará con que las sumas parciales estén acotadas
superiormente, ya que una sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite finito.
En base a esta idea daremos criterios de convergencia y divergencia de series, comparando series
desconocidas con series conocidas.
En lo que sigue y hasta nuevo aviso, todas las series serán de términos no negativos. La serie
1
n
n
a
será la serie a estudiar. La serie
1
n
n
c
será una serie convergente y la serie
1
n
n
d
será una serie
divergente.
3.2 Primer criterio de comparación
Primer criterio de comparación
(a) Si
n n
a c
entonces
1
n
n
a
es convergente.
(b) Si
n n
a d
entonces
1
n
n
a
es divergente.
Demostración
(a) No hay mucho que decir:
1 1 2
... ...
n n n n
S a a c c c C
Como
1
n
n
c
es convergente resulta que
n
C
tiene límite y por lo tanto está acotada. Luego
n
S
también está acotada y como dijimos, con eso alcanza para asegurar que tiene límite.
La desigualdad
alcanza que sea
cierta desde un
n en adelante.
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 13
Ejemplos. Más sobre series p. La serie
2
1
1
n
n
es convergente.
Prueba
Recordemos que la serie telescópica
2
1
( 1)
n
n n
es convergente y que es evidente que
2 2
( 1) n n n n n
.
Entonces
2
1 1
( 1)
n
c
n n n
para
2n
.
Luego, usando el criterio de comparación precedente, la serie
2
1
1
n
n
es convergente.
La serie
1
1
p
n
n
con
2p
es convergente.
Prueba
Misma idea:
2
p
n n
si
2p
. Entonces
2
1 1
n
p
c
n
n
Entonces, el criterio de comparación nos asegura que
1
1
p
n
n
es convergente si
2p
.
La serie
1
1
p
n
n
con
0 1p
es divergente.
Prueba
Misma idea:
p
n n
si
0 1p
. Entonces
1 1
n
p
d
n n
asociada a una serie divergente.
Entonces
1
1
p
n
n
es divergente si
0 1p
.
Por ejemplo, la serie
1
1
n
n
es divergente porque
1
1
2
p
.
Nos queda por saber qué pasa cuando
1 2p
. Paciencia.
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 14
3.3 Criterios de comparación con paso al límite
Criterio de comparación con paso al límite
(a) Si
lim [0, )
n
n
n
a
l
c
entonces
1
n
n
a
es convergente.
(b) Si
lim (0, ) ó
n
n
n
a
l l
d
entonces
1
n
n
a
es divergente.
Demostración
(a) Si
lim [0, )
n
n
n
a
l
c
entonces la sucesión está acotada. Es decir
n
n n
n
a
k a kc
c
En virtud de las propiedades de linealidad la serie
1 1
n n
n n
kc k c
es convergente. Entonces por el
criterio de comparación también lo es
1
n
n
a
.
(b) Si
lim (0, )
n
n
n
a
l
d
, por conservación de signo
0
n
n
a
k
c
. Esto también es cierto si
l
. Entonces
n n
a kd
. Entonces, por el criterio de comparación
1
n
n
a
es
divergente al igual que
1
n
n
kd
.
Ejercicio. Estudiar la convergencia de las siguientes series:
(1)
3
1
3
2
n
n
n n
(2)
1
2
2 2011
n
n
n
(3)
2
2
1
1
10 5 3
n
n
n n
(4)
4
3
1
1
n
n
n
Soluciones
Por qué
0l
en (b)
2
1
n
a
n
(convergente)
1
n
d
n
(divergente)
1
0
n
n
a
d n
. El criterio no sirve
en este caso
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 11 – Series
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 15
(1) Un análisis heurísitco nos dice que
3
3
2
n
n n
se comporta como
2
1
n
que deviene en una serie
convergente (serie p con
2 1)p
. Comparamos pasando al límite para confirmar esto:
3
3
3
2
3
3
2
3
1
2
n
n
n n
n n
n
Entonces, como
2
1
1
n
n
converge, la serie
3
1
3
2
n
n
n n
converge.
(2) Aquí, el análisis intuitivo nos dice que
2
2 2011
n
n
se parece a
1
n
que deviene en una serie
divergente.
Otra vez comparamos pasando al límite:
2
2 1
2 2011
( 0)
1
2
2 2011
n
n n
n
n n
n
Entonces la serie
1
2
2 2011
n
n
n
es divergente.
(3) Aquí, si bien se puede aplicar el criterio de comparación de paso al límite, vemos que el término
general no tiende a cero:
2
2
1 1
0
10 5 3 10
n
n n
Entonces la serie
2
2
1
1
10 5 3
n
n
n n
es divergente.
(4) El análisis previo nos dice que
4
1
n
n
se parece a
3
1
n
por lo que
3
4
1
n
n
se parecerá a
1
n
que
deviene en la serie armónica, divergente. Comparamos pasando al limite:
3
3
4 4
3
4
3
4
3 3
4 4
1
1( 0)
1
1
1 1
n
n n n n
n
n
n n
n
Este documento contiene más páginas...
Descargar Completo
Matematicas I - Sucesiones y Series.pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.