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ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
Energía cinética de un cuerpo rígido que rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa
por el centro de masa.
1 1 2 2
1 1 1 1
...
2 2 2 2
i i i i
ii
K m m m m

= + + = =



2 2 2 2 2 2 2 2
r r r r
11
22
i i i i
m v m
2 2 2
=r
Energía cinética de la i-ésima partícula:
Pero, la velocidad angular es la misma para todas las partículas en
rotación, así que, si sumamos, sale de factor común:
1
2
CM
KI
=
2
Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, entonces, tiene una energía cinética de rotación, que
no la habíamos tenido en cuenta cuando lo considerábamos una partícula, y que se puede expresar en términos
de la rapidez angular y el momento de inercia:
TRABAJO EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL
Recordemos el Teorema del Trabajo-Energía Cinética que aprendimos para la traslación de3 partículas:
La energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo efectuado para acelerar ese cuerpo desde el reposo.
Cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar si está en reposo, y
más difícil será detener su rotación si ya está girando.
TOT 2 1
W = K - K = K
11
22
−
22
21
F.s = m.v m.v
Suponga que una fuerza tangencial F
tan
actúa en el borde de un disco pivoteado; por ejemplo, una niña que corre
empujando una calesita
La rueda gira un ángulo infinitesimal dθ alrededor de un eje fijo durante un tiempo
infinitesimal dt.
El trabajo dW efectuado por F
tan
mientras un punto del borde se mueve una distancia
ds es dW = F
tan
ds. Si dθ se mide en radianes, entonces, ds = R dθ
Así:
Pero, F
tan
.R es el torque τ
z
, entonces:
Integrando:
Si τ
z
es constante sale fuera de la integral:


Podemos expresar el trabajo en términos del torque y el desplazamiento angular.

Trabajo efectuado por
un torque constante.

Trabajo efectuado por un
torque que varía con el ángulo.
Notemos la analogía con:
W = F.s
TRABAJO EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL


EL TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA PARA LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO QUEDA:


MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
L r p r mv= =
[kg.m
2
/s]
( )
L mvrsen mvl
==
Todas las cantidades rotacionales que hemos visto en los temas 13, 14 y 16 son análogas a cantidades que
definimos previamente para el movimiento traslacional de una partícula. El análogo al momento lineal o cantidad de
movimiento de una partícula en el movimiento rotacional, es el momento angular, una cantidad vectorial denotada
con
. Su relación con la cantidad de movimiento o momento lineal) es exactamente la misma que entre el torque
y la fuerza, Para una partícula de masa constante m, velocidad
momento lineal y vector de posición relativo
al origen O de un marco inercial, definimos al momento angular como
El valor de depende del origen O elegido, ya que en él interviene el vector
de posición de la partícula relativo al origen.
En la figura, el vector momento angular es perpendicular al plano xy. La regla de
la mano derecha para productos vectoriales nos indica que su dirección es en el
eje +z, y su magnitud es
Donde l es el “brazo de palanca” para el vector de momento lineal.
(1)
(2)
dL
rF
dt
= =
Si una fuerza eta actúa sobre una partícula, cambian su velocidad y su momento lineal, y también puede cambiar su
momento angular
. Podemos demostrar que la rapidez de cambio del momento angular es igual al torque de la fuerza
neta. Derivamos la ecuación (1) con respecto al tiempo usando la regla de la derivada de un producto:
El primer sumando es cero porque contiene el producto vectorial de dos vectores paralelos (y ). En el segundo
sumando, sustituimos
por la fuerza neta obteniendo:
La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual a la torca de la fuerza neta que actúa
sobre ella.
Compare este resultado con la ecuación:
- Podemos usar la ecuación (2) para calcular el momento angular total de un
cuerpo rígido que gira en torno al eje z con rapidez angular ω. Consideremos
primero una rebanada del cuerpo que está en el plano xy. Cada partícula de la
rebanada se mueve en un círculo centrado en el origen, y en cada instante su
velocidad
es perpendicular a su vector posición
como se indica. Por
consiguiente, en la ecuación (2), φ = 90° para todas las partículas.
- Una partícula de masa m
i
que está a una distancia r
i
de O tiene una rapidez v
i
igual a r
i
ω. Por la ecuación (2), la magnitud L
i
de su momento angular es:
- La dirección del momento angular de cada partícula, dada por la regla de la
mano derecha para el producto vectorial, es sobre el eje +z.
- El momento angular total de la rebanada que está en el plano xy es la suma de los momentos angulares Li de las
partículas. Haciendo la sumatoria de la ecuación tenemos:
El vector de velocidad angular también está sobre el eje de rotación. Así, para un cuerpo rígido que gira alrededor de un
eje de simetría,
y tienen la misma dirección, y tenemos la relación vectorial:
=I
En particular, si el centro de giro es el centro de masas:
.
CM CM
LI
=



Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría y
alrededor del C.M.
La suma involucra sólo los torque externos! Los torque producidos
por fuerzas internas se cancelan mutuamente!
0
ext
=
Si , entonces , y es constante.
0
dL
dt
=
L
Si el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular total del
sistema es constante (se conserva).
1 1 2 2
..
zz
II

=
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO



Si el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular total
del sistema es constante!!! (se conserva).
Suponga que una trapecista acaba de separarse de un columpio con los brazos y las piernas extendidos, y girando
en sentido antihorario alrededor de su centro de masa. Al encoger los brazos y las piernas, su momento de inercia Icm con
respecto a su centro de masa cambia de un valor grande I
1
a uno mucho menor I
2
. La única fuerza externa que actúa sobre
ella es su peso, que no tiene torque con respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Así, su momento angular

permanece constante, y su velocidad angular
aumenta al disminuir

. Esto es,
ROTOTRASLACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN COMBINADAS
¿Qué sucede si el eje de rotación se traslada?
En tal caso, el movimiento del cuerpo es de traslación y rotación combinados.
Cada posible movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como una combinación de movimiento
traslacional del centro de masa y rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
11
22
CM CM
K Mv I
=+
22
Cuerpo rígido con
traslación y rotación
ENERGÍA CINÉTICA TOTAL:
..
GRAV CM
U M g y=
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:
Para un cuerpo de masa total M, la energía potencial gravitacional U es simplemente:
..
GRAV CM
U M g y=
Para un cuerpo rígido en rotación, es válido aplicar los principios de energía vistos en la primer parte
de la materia para una partícula aislada.





TEOREMA DEL TRABAJO-ENERGÍA MECÁNICA
La energía potencial gravitacional asociada a cualquier cuerpo rígido de masa M, es la misma que si
sustituimos el cuerpo por una partícula de masa M situada en el centro de masa del cuerpo.
Si pasamos restando los tres primeros términos, nos queda como antes, que el trabajo de las fuerzas no conservativas
es igual al cambio en la energía mecánica. Hemos aquí incorporado en el término cínético K, la suma de las energías
cinéticas de traslación y rotación. Asimismo, la energía potencial gravitatoria calculada como la ec. (3).
(3)
RODADURA (RODAR SIN DESLIZAR)
R es el radio de la rueda y ω su rapidez angular alrededor del centro de masa.
.
CM
aR
=
Condiciones para rodar sin resbalar
Un caso importante de traslación y rotación combinadas es el de rodar
sin deslizar:
.
CM
vR
=
y
Si un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento no realiza trabajo!!! Ya que el punto de
contacto está instantáneamente detenido, no hay desplazamiento (
= 0).

.
z CM z
I

=
.
ext CM
F M a=
CM
I
es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa.
z
incluye todos los torques externos con respecto a este eje.
Si un cuerpo tiene movimientos traslacional y rotacional al mismo tiempo, necesitamos dos ecuaciones
de movimiento independientes para el mismo cuerpo.
Describe la rotación alrededor del eje
que pasa por el centro de masa.
Describe la traslación del centro de masa.
DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO
- Si la suma de las fuerzas externas es cero, diremos que el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación.
- Si la suma de los torques externos es cero, diremos que el cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación.
- Si ambos son cero, diremos que el cuerpo está en EQUILIBRIO.
Ejercicios
1- ¿Una sola fuerza aplicada a un cuerpo puede alterar tanto su movimiento de traslación como su movimiento rotacional?
Explique por qué.
2- Un automóvil con tracción en las cuatro ruedas acelera hacia delante partiendo del reposo. Demuestre la dirección en
que giran las ruedas del vehículo y cómo esto origina una fuerza de fricción debida al pavimento, que acelera el auto hacia
delante.
3- Al encenderse un motor eléctrico, tarda más en alcanzar su rapidez final si hay una rueda de afilar conectada al eje. ¿Por
qué?
4- El trabajo efectuado por una fuerza es un producto de fuerza y distancia. El torque debido a una fuerza es también un
producto de fuerza y distancia. ¿Implica esto que torque y el trabajo sean equivalentes? Explique por qué.
5- Imagine que, usted está de pie en el centro de una mesa giratoria horizontal grande, que comienza a girar libremente
sobre cojinetes sin fricción (ningún motor la impulsa). Si camina hacia el borde de la mesa giratoria, ¿qué pasa con el
momento angular combinado de usted y la mesa? ¿Qué sucede con la rapidez de rotación de la mesa? Explique su
respuesta.
6- Calcule el torque (magnitud y dirección) alrededor del punto O debido a la fuerza en cada una de las situaciones. En
todos los casos, la fuerza y la varilla están en el plano de la página, la varilla mide 4.00 m de largo y la fuerza tiene
Una magnitud de 10.0 N.
7- Una piedra de 2.00 kg tiene una velocidad horizontal con magnitud de 12.0 m/s cuando está
en el punto P de la figura. a) ¿Qué momento angular (magnitud y dirección) tiene con respecto a
O en ese instante? b) Suponiendo que la única fuerza que actúa sobre la piedra es su peso,
calcule la rapidez del cambio (magnitud y dirección) de su momento angular en ese instante.
8- En ciertas circunstancias, una estrella puede colapsarse formando un objeto extremadamente
denso constituido principalmente por neutrones y llamado estrella de neutrones. La densidad de
tales estrellas es unas 10
14
veces mayor que la de la materia sólida ordinaria. Suponga que
representamos la estrella como esfera sólida rígida uniforme, tanto antes como después del
colapso. El radio inicial era de 7 10
5
km (comparable al del Sol); y el final, de 16 km. Si la estrella
original giraba una vez cada 30 días, calcule la rapidez angular de la estrella de neutrones.
9- Una puerta de madera sólida de 1 m de ancho y 2 m de alto tiene las bisagras en un lado
y una masa total de 40.0 kg. La puerta, que inicialmente está abierta y en reposo, es golpeada
en su centro por una bola de lodo pegajoso con masa de 0.5 kg, que viaja en dirección
perpendicular a la puerta a 12.0 m/s justo antes del impacto. Calcule la rapidez angular final de
la puerta. ¿Es apreciable la aportación del lodo al momento de inercia?
10- Un disco sólido rueda sin resbalar en una superficie plana con rapidez constante de 2.5 m/s. a) ¿Hasta qué altura
puede subir por una rampa de 30.0° antes de parar? b) Explique por qué su respuesta anterior no depende de
la masa ni del radio del disco.

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