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Matemáticas II IES María Guerrero
Collado Villalba
TEMA 11: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
1.- SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO
Un sistema de referencia del espacio euclídeo está formado por un punto y una base. En particular,
vamos a trabajar con el sistema de referencia
R={O ,
⃗
i ,
⃗
j ,
⃗
k}
, formado por el punto
O(0, 0, 0)
, llamado origen de coordenadas, y la base canónica
{
⃗
i ,
⃗
j ,
⃗
k }
.
Las coordenadas de un punto
P
en el sistema de referencia
R
son las del vector
⃗
OP
respecto
de la base
{
⃗
i ,
⃗
j ,
⃗
k }
.
1.1 COORDENADAS DEL VECTOR
Las coordenadas de un vector
⃗
AB
de origen
A (a
1
, a
2
, a
3
)
y extremo
B (b
1
, b
2
, b
3
)
son las
del extremo menos las del origen:
⃗
AB=(b
1
−a
1
, b
2
−a
2
, b
3
−a
3
)
Veamos por qué:
1.2 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Las coordenadas del punto medio del segmento de extremos
A (a
1
, a
2
, a
3
)
y
B (b
1
, b
2
, b
3
)
son:
M
(
a
1
+b
1
2
,
a
2
+b
2
2
,
a
3
+b
3
2
)
Veamos por qué:
1.3 PUNTOS ALINEADOS
Tres puntos
A
,
B
y
C
están alineados si y sólo si
⃗
AB
y
⃗
AC
tienen la misma
dirección, es decir, si sus coordenadas son proporcionales.
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2.- ECUACIONES DE LA RECTA (I)
2.1.- ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Sea
r
la recta que pasa por el punto
A (a
1
, a
2
, a
3
)
y que lleva la dirección
⃗v=(v
1
, v
2
, v
3
)
, y
sea
P(x , y , z)
un punto cualquiera del espacio.
Para que
P
pertenezca a
r
, el vector
⃗
AP
tiene que tener la misma dirección que
⃗v
, es
decir, sus coordenadas deben ser proporcionales a las de
⃗v
:
⃗
AP=λ⃗v
, con
λ ∈ℝ
. Como
⃗
AP=
⃗
OP−
⃗
OA
, tenemos que:
⃗
OP =
⃗
OA+λ
⃗
v , λ ∈ℝ
Diremos que
⃗v
es un vector director de la recta
r
.
2.2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
Sustituyendo en la ecuación vectorial los vectores
⃗
OP
,
⃗
OA
y
⃗v
por sus coordenadas, e
igualando coordenada a coordenada se obtienen las ecuaciones paramétricas:
(x , y , z)=(a
1
, a
2
, a
3
)+λ (v
1
, v
2
, v
3
)=(a
1
+λ v
1
, a
2
+λv
2
, a
3
+λ v
3
) ⇒
⇒
{
x=a
1
+λ v
1
y=a
2
+λ v
2
z=a
3
+ λ v
3
con λ ∈ℝ
2.3 ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Si las coordenadas del vector director
⃗v
son todas no nulas, se puede despejar el parámetro
λ
en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualar, obteniendo así la ecuación continua:
{
x=a
1
+λ v
1
y=a
2
+λ v
2
z=a
3
+λ v
3
⇒
{
λ=
x−a
1
v
1
λ=
y−a
2
v
2
λ=
z−a
3
v
3
⇒
x−a
1
v
1
=
y−a
2
v
2
=
z−a
3
v
3
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EJEMPLO: Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por
A (−1 ,2 ,−3)
y tiene como vector director
⃗u=(2,−2 , 3)
. Comprueba si los puntos
P(−5,6,−9)
y
Q(5,−4,5)
pertenecen o no a la recta e indica otro punto diferente que
también pertenezca a ella.
3.- ECUACIONES DEL PLANO
3.1.- ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO
Sea
π
el plano que pasa por el punto
A (a
1
, a
2
, a
3
)
y que lleva la dirección de los vectores
linealmente independientes
⃗u=(u
1
, u
2
, u
3
)
y
⃗v=(v
1
, v
2
, v
3
)
, y sea
P(x , y , z)
un punto
cualquiera del espacio.
Para que
P
pertenezca a
π
, el vector
⃗
AP
debe poder escribirse como combinación lineal de
⃗u
y
⃗v
:
⃗
AP=λ ⃗u+μ⃗v
, con
λ ,μ∈ℝ
. Como
⃗
AP=
⃗
OP−
⃗
OA
, tenemos que:
⃗
OP =
⃗
OA+λ
⃗
u+μ
⃗
v , λ ,μ ∈ℝ
Diremos que
⃗u
y
⃗v
son vectores directores del plano
π
.
3.2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO
Sustituyendo en la ecuación vectorial los vectores
⃗
OP
,
⃗
OA
,
⃗u
y
⃗v
por sus coordenadas, e
igualando coordenada a coordenada se obtienen las ecuaciones paramétricas:
(x , y , z)=(a
1
, a
2
, a
3
)+λ (u
1
,u
2
, u
3
)+μ(v
1
, v
2
, v
3
)=(a
1
+λu
1
+μ v
1
, a
2
+λu
2
+μ v
2
, a
3
+λ u
3
+μ v
3
) ⇒
⇒
{
x=a
1
+λ u
1
+μ v
1
y=a
2
+λ u
2
+μ v
2
z=a
3
+λ u
3
+μ v
3
con λ ,μ ∈ℝ
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3.3 ECUACIÓN IMPLÍCITA O GENERAL DEL PLANO
Como ya hemos dicho antes, para que
P
pertenezca a
π
, el vector
⃗
AP
debe poder escribirse
como combinación lineal de
⃗u
y
⃗v
. Es decir, los vectores
⃗
AP
,
⃗u
y
⃗v
deben ser
linealmente dependientes, y por tanto el rango de la matriz formada por sus coordenadas no podrá
ser tres. Luego el determinante de dicha matriz tendrá que valer cero:
|
x−a
1
u
1
v
1
y−a
2
u
2
v
2
z−a
3
u
3
v
3
|
=0 ⇒
|
u
2
v
2
u
3
v
3
|
(x−a
1
)−
|
u
1
v
1
u
3
v
3
|
( y−a
2
)+
|
u
1
v
1
u
2
v
2
|
(z −a
3
)=0
Si observamos cuáles son los coeficientes de
x
,
y
y
z
vemos que son las coordenadas del
vector producto vectorial de
⃗u
y
⃗v
(
⃗u×⃗v
), que es perpendicular a
⃗u
y
⃗v
a la vez, y por
tanto perpendicular al plano.
Operando obtenemos:
Ax+ By+Cz +D=0
,
donde el vector
⃗
n=( A , B , C)
es un vector perpendicular o normal a
π
.
3.4 ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO
La ecuación del plano que pasa por el punto
A (a
1
, a
2
, a
3
)
y es perpendicular al vector
⃗n=(n
1
,n
2
, n
3
)
es
n
1
(x −a
1
)+n
2
( y− a
2
)+ n
3
( z −a
3
)=0
EJEMPLO 1: Halla las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por el punto
A (1, 0,−3)
y lleva la dirección de los vectores
⃗u=(−2, 0, 1)
y
⃗v=(1,−1,1)
. Halla otro
punto del plano.
EJEMPLO 2: Halla unas ecuaciones paramétricas del plano
π :2 x−3 y +3 z−1=0
e indica
uno de sus puntos y dos vectores de dirección linealmente independientes.
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EJEMPLO 3: Escribe un vector director y un vector normal del plano
π :2 x−3 y+2 z−6=0
y
comprueba que son perpendiculares.
EJEMPLO 4: Halla las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por el origen de
coordenadas, por el punto
A (1,−1, 2)
y tal que uno de sus vectores de dirección es
⃗u=(−2 , 0 , 1)
. Además, obtén otro punto del plano.
EJEMPLO 5: Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano
π : x−2 y +z−4=0
y que
pasa por el punto
P(−1,2, 0)
.
EJEMPLO 6: Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es
perpendicular a la recta
r : x=2 y− 1=3 z
.
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4.- ECUACIONES DE LA RECTA (II)
4.1 ECUACIONES IMPLÍCITAS DE LA RECTA
Operando en la ecuación continua de la recta podemos obtener dos ecuaciones implícitas
(linealmente independientes). Ahora sabemos que cada una de esas ecuaciones implícitas es la
ecuación de un plano, por eso a esta forma de determinar una recta también se le llama
“intersección de planos”:
r≡
{
Ax+ By+Cz + D=0
A' x+B ' y +C ' z+ D '=0
El vector director de
r
será el producto vectorial de los vectores normales de los planos:
⃗
v
r
=
⃗
n
1
×
⃗
n
2
=( A , B , C)×( A ' , B' ,C ')
5.- ECUACIONES DE LOS EJES Y LOS PLANOS COORDENADOS
5.1.- ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS
Eje X: Un vector de dirección será
⃗
i =(1,0 , 0)
. Sus ecuaciones paramétricas e implícitas serán:
X ≡
{
x=λ
y =0
z=0
X ≡
{
y =0
z=0
Eje Y: Un vector de dirección será
⃗
j=(0 ,1 , 0)
. Sus ecuaciones paramétricas e implícitas serán:
Y ≡
{
x=0
y=λ
z=0
Y ≡
{
x=0
z=0
Eje Z: Un vector de dirección será
⃗
k =(1,0 , 0)
. Sus ecuaciones paramétricas e implícitas serán:
Z ≡
{
x=0
y =0
z=λ
Z ≡
{
y =0
z=0
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5.2 ECUACIONES DE LOS PLANOS COORDENADOS:
Plano XY: Dos vectores de dirección linealmente independientes serán
⃗
i =(1,0 , 0)
y
⃗
j=(0 ,1 , 0)
. Sus ecuaciones paramétricas e implícitas serán:
XY ≡
{
x=λ
y=μ
z=0
XY ≡z =0
Plano YZ: Dos vectores de dirección linealmente independientes serán
⃗
j=(0 ,1 , 0)
y
⃗
k =(0 , 0 ,1)
. Sus ecuaciones paramétricas e implícitas serán:
YZ≡
{
x=0
y=λ
z=μ
YZ≡x=0
Plano XZ: Dos vectores de dirección linealmente independientes serán
⃗
i =(1,0 , 0)
y
⃗
k =(0 , 0 ,1)
. Sus ecuaciones paramétricas e implícitas serán:
XZ≡
{
x=λ
y=0
z=μ
XZ≡ y=0
EJEMPLO 1: Halla la ecuación del plano paralelo a XY y que pasa por
A (−1, 2,−2)
.
EJEMPLO 2: Dado el tetraedro de vértices
A (2, 0 , 0)
,
B (0, 3,0)
,
C(0,0 ,5)
y el origen de
coordenadas, halla las ecuaciones de los planos que contienen a sus cuatro caras.
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6.- POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS
6.1.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Dados los planos
π≡Ax +By+Cz +D=0
y
π '≡ A ' x+B ' y +C ' z+D '=0
, para estudiar sus
posiciones relativas estudiaremos el sistema de ecuaciones formado por ambos, es decir,
analizaremos los rangos de las matrices
M=
(
A B C
A ' B ' C '
)
y
M
*
=
(
A B C D
A ' B ' C ' D'
)
• Si
rg(M)=rg(M
*
)=1
los planos son coincidentes.
• Si
rg(M )=1 < rg(M
*
)=2
los planos son paralelos.
• Si
rg(M )=rg(M
*
)=2
los planos son secantes.
También podemos fijarnos en sus vectores normales,
⃗n
π
=( A , B , C)
y
⃗n
π '
=( A ' , B ' , C ')
. Se
pueden dar los siguientes casos:
• Si son proporcionales, es decir si
A
A '
=
B
B '
=
C
C '
, entonces los planos tienen la misma
dirección, y por tanto serán paralelos o coincidentes. Para saber cuál de los dos casos es,
basta con tomar un punto de uno de ellos y ver si pertenece al otro. Si pertenece, serán
coincidentes (pertenecerán todos); si no pertenece, serán paralelos (no pertenecerá
ninguno).
• Si no son proporcionales, entonces los planos son secantes.
6.2.- POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Dados los planos de ecuaciones
π≡Ax +By+Cz +D=0
,
π'≡ A ' x+B ' y +C ' z+D '=0
y
π ''≡ A '' x+B '' y +C '' z+ D''=0
, para estudiar sus posiciones relativas estudiaremos el sistema de
ecuaciones formado por los tres, es decir, analizaremos los rangos de las matrices
M=
(
A B C
A ' B ' C '
A '' B '' C ''
)
y
M
*
=
(
A B C D
A ' B ' C ' D '
A '' B '' C '' D ''
)
• Si
rg(M)=rg(M
*
)=1
el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad
(dos parámetros). Por tanto los tres planos son coincidentes.
• Si
rg(M )=1 < rg(M
*
)=2
el sistema es incompatible. Como
rg(M )=1
, todos los
planos tienen la misma dirección. Por tanto o bien los tres planos son paralelos o bien dos
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son coincidentes y el tercero es paralelo a ambos. Para determinar cuál de las dos posiciones
es, se estudia la posición de los planos de dos en dos.
• Si
rg(M )=rg(M
*
)=2
el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad
(un parámetro). Por tanto los tres planos se cortan en una recta. Esto puede ocurrir siendo
dos de ellos coincidentes y el tercero secante, o siendo los tres secantes. Para saber cuál de
los dos casos es basta ver si hay un par de planos coincidentes.
• Si
rg(M )=2 < rg( M
*
)=3
el sistema es incompatible. O bien los planos se cortan dos a
dos en rectas que son paralelas entre sí (formando un prisma), o bien dos planos son
paralelos y el tercero los corta a ambos. Para saber cuál de los dos casos es basta ver si hay
un par de planos paralelos.
• Si
rg(M )=rg(M
*
)=3
el sistema es compatible determinado. Los tres planos se cortan en
un punto, formando un triedro.
EJEMPLO 1: Halla la posición relativa de los siguientes planos:
π≡
{
x=λ+μ
y=1−λ
z=2+2 λ+μ
y
π '≡x−2 y +z=1
EJEMPLO 2: Halla la posición relativa de los siguientes planos:
π≡x−3 y−2 z=2
,
π '≡−2 x +6 y +4 z=−4
y
π ''≡3 x−9 y−6 z=6
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7.- POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
Para estudiar las posiciones relativas entre una recta y un plano es conveniente tener la ecuación
implícita del plano y las paramétricas de la recta:
π≡Ax +By+Cz +D=0
y
r≡
{
x=a
1
+λ v
1
y=a
2
+λ v
2
z=a
3
+λ v
3
Sustituiremos las ecuaciones paramétricas en el plano. Se pueden dar los siguientes casos:
• Si
λ
puede tomar cualquier valor real, existen infinitos puntos comunes entre la recta y el
plano. Por tanto, la recta está contenida en el plano.
• Si no existe ningún valor de
λ
que cumpla la ecuación, esto significa que no hay ningún
punto en común entre la recta y el plano. Por tanto, la recta es paralela al plano.
• Si hay un único valor de
λ
que cumpla la ecuación, entonces será que hay un único punto
común entre la recta y el plano. Por tanto, la recta corta al plano en un punto P (cuyas
coordenadas obtenemos sustituyendo el valor de
λ
en las ecuaciones paramétricas).
También podemos estudiar sus posiciones relativas analizando cómo son el vector normal del plano
⃗n=( A , B , C)
y el de dirección de la recta
⃗v=(v
1
, v
2
, v
3
)
:
• Si
⃗n
y
⃗v
son perpendiculares (es decir, si
⃗n · ⃗v=0
), entonces la dirección de la recta
es una de las direcciones del plano, por lo que la recta o bien está contenida en el plano o
bien es paralela a él. Para saber cuál de los dos casos es, basta con tomar un punto
cualquiera de la recta y ver si pertenece al plano. Si pertenece, la recta estará contenida en
el plano (pertenecerán todos); si no pertenece, la recta será paralela al plano (no
pertenecerá ninguno).
• Si
⃗n
y
⃗v
no son perpendiculares (es decir, si
⃗n · ⃗v≠0
), entonces la recta corta al
plano en un punto P.
EJEMPLO 1: Estudia la posición relativa de la recta
r≡
{
x=1−2 λ
y=1+2 λ
z=3+5 λ
y el plano
π≡2 x +2 y +z=0
.
EJEMPLO 2: Estudia la posición relativa de la recta
r≡
{
x=1+λ
y=−2+2 λ
z=3−λ
y el plano
π≡3 x− y +z=0
.
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8.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Para estudiar la posición relativa de dos rectas
r
y
s
en el espacio, elegimos primero un punto
y un vector de dirección cada una de ellas. Sean
A (a
1
, a
2
, a
3
)
un punto y
⃗v=(v
1
, v
2
, v
3
)
un
vector de dirección de
r
, y sean
B (b
1
, b
2
, b
3
)
un punto y
⃗u=(u
1
, u
2
, u
3
)
un vector de
dirección de
s
.
Construimos las matrices
M=
(
v
1
v
2
v
3
u
1
u
2
u
3
)
y
M ' =
(
v
1
v
2
v
3
u
1
u
2
u
3
b
1
−a
1
b
2
− a
2
b
3
−a
3
)
y calculamos
sus rangos. Pueden darse los siguientes casos:
• Si
rg(M )=rg(M ')=1
, entonces las rectas son coincidentes.
• Si
rg(M )= 1<rg(M ')=2
, entonces las rectas son paralelas.
• Si
rg(M )=rg(M ')=2
, entonces las rectas son secantes.
• Si
rg(M )=2<rg(M ')=3
, entonces las rectas se cruzan.
EJEMPLO: Estudia la posición relativa de las rectas
r≡
{
x=λ
y=−1+2 λ
z=1−λ
y
s≡
{
x=2 λ
y=2+λ
z=2−3 λ
.
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9.- HACES DE RECTAS Y PLANOS
9.1.- HAZ DE RECTAS PARALELAS
Dada una recta
r
con vector de dirección
⃗v (v
1
, v
2
, v
3
)
, el conjunto de todas las rectas paralelas
a ella forman el haz de rectas paralelas a
r
.
Lo podemos expresar de la forma
x−λ
1
v
1
=
y−λ
2
v
2
=
z−λ
3
v
3
con
λ
1
, λ
2
, λ
3
∈ℝ
.
EJEMPLO: Dada la recta
r≡
x
− 2
=
y −1
3
=z+1
, escribe la ecuación continua de la recta
s
paralela a ella y que pasa por el origen de coordenadas.
9.2.- HAZ DE RECTAS SECANTES
El conjunto de todas las rectas que pasan por el punto
P(x
0
, y
0
, z
0
)
forma el haz de rectas
secantes de vértice P.
Se puede expresar de la forma
x−x
0
λ
1
=
y− y
0
λ
2
=
z−z
0
λ
3
con
λ
1
, λ
2
, λ
3
∈ ℝ ∖{0}
, añadiendo las
rectas cuyo vector de dirección tenga alguna coordenada nula expresadas de otra manera (por
ejemplo, en paramétricas).
EJEMPLO: Escribe las ecuaciones de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas.
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9.3.- HAZ DE PLANOS PARALELOS
El conjunto de todos los planos paralelos a
π≡Ax +By+Cz +D=0
forma el haz de planos
paralelos a
π
.
Se puede expresar de la forma
Ax +By+Cz +λ=0
, con
λ ∈ℝ
.
EJEMPLO: Escribe la ecuación del plano paralelo a
π≡2 x− y+z−3=0
que pasa por el
punto
M (−1, 3,1)
.
9.4.- HAZ DE PLANOS SECANTES
El conjunto de todos los planos que contienen a la recta
r≡
{
Ax+By+Cz+D=0
A ' x +B ' y+C ' z+D '=0
forma el
haz de planos secantes que contienen a
r
.
Se puede expresar de la forma
Ax +By+Cz +D+λ ( A ' x+B ' y +C ' z+D ' )=0
, con
λ ∈ℝ
y
añadiendo el plano
A ' x+B ' y +C ' z+D '=0
para que quede completo.
EJEMPLO: Halla la ecuación del haz de planos secantes a la recta
r≡
{
x+ y=1
x+z=2
. Calcula la
ecuación del plano de ese haz que pasa por el punto
P(2, 1,−1)
.
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. . . . .