Ejercicios Resueltos de Estadística:
Tema 3: Cálculo de Probabilidades
1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual es el
número mas probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.
SOLUCIÓN:
El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con distribución
binomial de parámetros B(20;0,6). El número mas probable de caras es
6,126,116,06,0204,06,020
≤
≤
⇒+⋅≤≤−⋅ mm . Luego el número mas probable de
caras es 12, y la probabilidad de 12 caras es:
0202,00007,00022,0
!8!12
!20
4,06,0
12
20
)12(
812
=⋅⋅
⋅
=⋅⋅
==XP
2. Sabiendo que P
(
)
I
6,0) =BA y que la de la P(A
I
B =0,2), se pide calcular la
probabilidad de A.
SOLUCIÓN:
P(A)= P[(A
IUI
BAB () )]= P(A
II
BAPB () + )=0,6+0,2=0,8
3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son variables
aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del
70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?
SOLUCIÓN:
Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. La probabilidad de
que solo suba una de ellas será:
p1 (1 - p2) + (1 – p1) p2 = 0,7 0,3 + 0,3 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42
4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A;
que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad
de su intersección es de 0,1. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de A. 2) ¿Qué suceso es
más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.
SOLUCIÓN:
1) Sea P(A) = x; entonces: P(B)= 2X. Además P[A
U
2,0] =B
y P[A
I
1,0] =B
P[A
U
=]B P(A)+P(B)- P
(
)
I
)BA =x+2x-0,1=3x-0,1
P[A
U
=]B 3x – 0,1=0,2. despejando x=1
Por tanto P(A) = 0,1 y P(B) = 0,2.
2) Las probabilidades condicionadas serían:
P(A/B)=
;5,0
2,0
1,0
)(
)(
==
BP
BAP
I
P(B/A)= 1
1,0
1,0
)(
)(
==
AP
BAP
I
Por tanto es más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A sabiendo
que ha ocurrido B.
5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de que
al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las
monedas están bien construidas.
SOLUCIÓN:
Para que salga solo una cara ha de ocurrir una de las dos cosas siguientes: que la primera
moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:
])()[(
I
UI CXXCP
= 0,4 12,07,06,03,0
=
⋅
+⋅ + 0,42 = 0,54
Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara y cruz son iguales a 0,5; por
tanto:
])()[(
I
UI CXXCP = 0,5 5,05,05,05,0
=
⋅
+
⋅
6. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A
produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:
1) Probabilidad de que sea defectuosa.
2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.
SOLUCIÓN:
Indiquemos por: M
A
= {la pieza procede de la maquina A}
M
B
= {la pieza procede de la maquina B}
Entonces = {300 piezas} = M
A
+ M
B
3
1
)( =ΜΡ
Α
3
2
)( =ΜΡ
Β
1) Sea D = {la pieza defectuosa}
0567,0
3
2
)06,0(
3
1
)05,0()()/()()/()( =⋅+⋅=⋅+⋅=Ρ
BBAA
MPMDPMPMDPD
2) Es la probabilidad de M
A
condicionada a la presencia de D
2941,0
0567,0
3
1
)05,0(
)()/()()/(
)()/(
)/( =
⋅
=
⋅+⋅
⋅
=
BBAA
AA
A
MPMDPMPMDP
MPMDP
DMP
7. Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra. La
primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de
que la segunda sea roja.
SOLUCIÓN:
Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer la
segunda, pueden ocurrir tres casos: que sea blanca, negra o roja, obteniéndose tres urnas
distintas, con probabilidad 1/4, 1/4 y 1/2 respectivamente. La tercera bola procede de una de
estas tres posibles urnas.
Sabiendo que la tercera bola es blanca, la probabilidad de que la segunda bola haya sido roja ,
equivale a la probabilidad de que la tercera bola provenga de U
3
.
7
4
2
1
7
2
4
1
7
2
4
1
7
1
2
1
7
2
)()/(
)()/(
)/(
3
1
33
3
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑
=I
ii
UPUBP
UPUBP
BUP
8. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que el
suplente solo para 5. el portero suplente juega, por termino medio, 15 minutos en cada
partido (90 minutos).
a) Si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad
de que se paren los tres?
b) Si se lanza un penalti y no se para ¿cuál es la probabilidad de que estuviera
jugando el portero titular?
SOLUCIÓN:
Se consideran los sucesos:
P= el portero para un penalti
T= juega el portero titular
S= juega el portero suplente (S=T
c
)
Con probabilidades:
6
5
6
1
1)(1)(,
6
1
90
15
)( =−=−===
SPTPSP
5
1
5
4
1)/(,
5
4
10
8
)/( =−===
TPPTPP
C
U
2/8 B
2/8 N
4/8 R
U
1
(1B, 2N, 4R)
U
2
(2B, 1N, 4R) Ω = U
1
+U
2
+U
3
U
3
(2B, 2N, 3R)
2
1
2
1
1)/(,
2
1
10
5
)/( =−===
SPPSPP
C
a) la probabilidad de que se pare un penalti cualquiera es, utilizando el teorema de la
probabilidad total, con los sucesos T y S como sistema completo de sucesos:
75,0
4
3
60
45
60
540
6
1
2
1
6
5
5
4
)()/()()/()( ===
+
=+=+= SPSPPTPTPPPP
Si se lanzan tres penaltis, se consideran los sucesos:
P
i
= El portero para el penalti i-ésimo
Mutuamente independientes, con probabilidades P(P
i
)= 0.75, i=1,2,3. La probabilidad de que se
paren los tres es:
4219.075.0)()()()(
3
321321
≈==∩∩ PPPPPPPPPP
b) para calcular P(T/P
c
) se aplica el teorema de Bayes, con los sucesos T y S como sistema
completo de sucesos:
6667.0
3
2
15
10
510
10
6
1
2
1
6
5
5
1
6
5
5
1
)()/()()/(
)()/(
)/( ≈==
+
=
+
=
+
=
SPSPPTPTPP
TPTPP
PTP
CC
C
C
9. En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20
alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía,
porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre
alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar.
a) ¿Qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?
b) Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de
quinto?
SOLUCIÓN:
Se consideran los sucesos:
A= la redacción es de un alumno de quinto
B= la redacción es de un alumno de sexto (B=A
c
)
F= la redacción tiene faltas de ortografía
Con probabilidades:
3.07.01)/(1)/(,7.0)/(
5.05.01)/(1)/(,5.0)/(
9
4
90
40
)(,
9
5
90
50
)(
=−=−==
=−=−==
====
BFPBFPBFP
AFPAFPAFP
BPAP
CC
CC
a)
5556.0
9
5
)( ≈=AP
b) Para calcular P(A/F) se aplica el teorema de Bayes, con los sucesos A y B como sistema
completo de sucesos:
6768.0
37
25
7.3
5.2
2.15.2
5.2
9
4
3.0
9
5
5.0
9
5
5.0
)()/()()/(
)()/(
)/( ≈==
+
=
+
=
+
=
BPBFPAPAFP
APAFP
FAP
10. Dados lo sucesos A y B tales que
0)( >AP y 0)( >
A
B
P , demuéstrese que
)(
)(
1)(
AP
BP
A
B
P −>
.
SOLUCIÓN:
Por definición de probabilidad condicional,
)(
)(
)(
AP
ABP
A
B
P
I
= (1)
Vamos a demostrar que
)()(1)( BPAPABP −−≥I :
)()()()( BAPBPAPBAP IU −+= )()(1)(1 BAPBPAP I−−+−=
;
)]([)]()(1[)( BAPBPAPBAP UI +−−=
0)( >BAP U
; por lo tanto,
)()(1)( BPAPABP −−≥I
)()()()(1 BPAPBPAP −=−−
;
)()()( BPAPBAP −≥I
(2)
sustituyendo (2) en (1),
)(
)(
1
)(
)()(
)(
)(
)(
AP
BP
AP
BPAP
AP
BAP
A
B
P −=
−
≥=
I
11. En un dado bien construido consideramos los sucesos A y B, tales que A es la obtención
de una puntuación mayor o igual que 4 y B la de 3 o 6. Utilizando los teoremas del cálculo
de probabilidades, determínese si:
(a) Los sucesos de A y B son disjuntos.
(b) Los sucesos de A y B son independientes.
SOLUCIÓN:
(a) Los sucesos de A y B son disjuntos.
Si los sucesos de A y B son disjuntos, se verificara que;
0)(
=
BAP I .
Obtendremos el suceso intersección
BA I :
)6()6,3()6,5,4( == II BA ;
.06/1)6()( ≠== PBAP I
Por tanto, A y B no son disjuntos.
(b) Los sucesos de A y B son independientes.
Si A y B son independientes,
)()()( BPAPBAP
⋅
=
I
;
6
3
)( =AP
;
6
2
)( =BP
).(
6
1
6
2
3
2
)()( BAPBPAP
I==⋅=⋅
Luego los sucesos A y B son independientes.
12. Consideremos una moneda truncada de tal forma que la probabilidad de cara = P(C)
=0.3. Si se arroja la moneda 5 veces, calcúlense las probabilidades de los siguientes
sucesos:
(a) Cinco caras.
(b) Dos cruces.
(c) En las dos primeras tiradas han de salir cruces y en las restantes caras.
(d) Al menos tres caras.
(e) Mas de una cara y menos de cuatro.
SOLUCIÓN:
(a) Probabilidad de 5 caras =
)(CCCCCP
El suceso que al arrojar la moneda cinco veces salga cinco caras es un suceso compuesto por la
intersección de cinco sucesos: (CCCCC). Los sucesos son independientes , ya que el que
haya salido cara en una tirada no influye en que salga cara en la siguiente. Al ser
independientes, se verifica que
01681.07.0)()()()()()(
5
==⋅⋅⋅⋅= CPCPCPCPCPCCCCCP IIII
Probabilidad de dos cruces.
El suceso de dos cruces aparece cuando al arrojar la moneda salen dos cruces y tres caras:
ccCCC
. Como en el caso anterior , es un suceso compuesto por la intersección de cinco
sucesos independientes:
32
7.03.0)()()()()()( ⋅=⋅⋅⋅⋅= CPCPCPcPcPCCCccP IIII
En este suceso no se fija el orden en el que han de salir los resultados, por lo cual serán
equivalentes a él todas las tiradas cuyo resultado dos cruces y tres caras, sin importar el orden de
salida, es decir,
(dos cruces y tres
caras)=
)()(
)()()()()()()()(
CcCcCCcCCc
cCCCccCCCccCCcCcCcCCCCCccCCccCCccCCccCCC
UU
UUUUUUU
En general, el numero de sucesos que equivalen al del primer miembro podemos obtenerlo
teniendo en cuenta que son las permutaciones con repetición de cinco elementos, C y c, de los
cuales el primero se repite tres veces y el segundo dos; este numero es igual a
10
!3!2
!5
3,2
5
=
⋅
=P
La probabilidad buscada es igual a la probabilidad de la unión de diez sucesos disjuntos, igual a
la suma de las probabilidades.
Probabilidad de dos cruces =
3087.07.03.010
32
=⋅⋅
(b) Probabilidad de que en las dos primeras tiradas aparezcan dos cruces y en las restantes,
caras =
)(ccCCCP
.
La situación es análoga a la anterior, excepto en que se fija el orden en que han de aparecer las
distintas posibilidades de la moneda; por lo tanto,
0309.07.03.0)()()()()()(
32
=⋅=⋅⋅⋅⋅= CPCPCPcPcPCCCccP IIII
(c) Probabilidad de que aparezcan al menos tres caras.
El suceso al menos tres caras se verifica si salen tres caras o cuatro o cinco, es decir,
)_()_()_()___( carascincocarascuatrocarastrescarastresmenosal UU=
Los tres sucesos del segundo miembro dos disjuntos:
8370.01681.03602.03087.0)___(
1681.07.0)_(
3602.03.07.0103.07.0)_(
3087.03.07.0103.07.0)_(
5
441,4
5
23233,2
5
=++=
==
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
carastresmenosalP
carascincoP
PcarascuatroP
PcarastresP
(d) Probabilidad de mas de una cara y menos de cuatro.
El suceso mas de una cara y menos de cuatro es igual al suceso dos o mas caras y tres o menos.
)_()_()32()41( carastrescarasdosCC U=≤≤=<<
4410.03087.01323.0)_______(
3087.03.07.0103.07.0)_(
1323.03.07.0103.07.0)_(
23233,2
5
32323,2
5
=+=
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
cuatrodemenosycaraunademasP
PcarastresP
PcarasdosP
13. Calcúlense, en el juego del poker, las probabilidades siguientes:
(a) De póker.
(b) De full.
(c) De color: 1. Sin excluir las escaleras de color; 2. Excluyendo las escaleras de color.
(Se supondrá una baraja de cuarenta cartas.)
SOLUCIÓN:
(a) Probabilidad de poker.
Para obtener poker se necesitan cuatro cartas del mismo punto. Como hay 10 puntos, se tendrán
10 pokeres básicos. La quinta carta será cualquiera de las 36 restantes; por consiguiente, habrá
10 36 pókeres. El número total de manos es igual a (
40
5
) grupos distintos de 5 cartas.
La probabilidad de póker es
.000547.0
658008
360
)(
3610
ker)(
40
5
==
⋅
=PóP
(b) Probabilidad de full.
El full se compone de una pareja y un trío. Cada punto esta repetido cuatro veces (uno por cada
palo), por lo que se pueden formar (
4
2
) parejas del mismo punto y , como hay 10 puntos, (
4
2
) 10
parejas.
Cada pareja debe ir acompañada por un trío. Cada punto está repetido cuatro veces (uno por
cada palo), por lo cual se deben formar (
4
3
) 10 tríos, pero, una vez fijada una pareja una pareja,
no puede haber un trío de la misma puntuación, teniendo, por tanto, (
4
3
) 9 tríos disponibles por
pareja y, en total, (
4
2
) 10 (
4
3
) 9 fulles.
La probabilidad de full es
003283.0
)(
9)(10)(
)(
40
5
4
3
4
2
=
⋅⋅⋅
=fullP
(c) Probabilidad de color.
1. Cada palo consta de 10 puntos, y el color se compone de 5 cartas del mismo palo,
habiendo (
10
5
) jugadas de color por palo y , en total, (
10
5
) 4 colores.
000383.0
)(
4)(
)(
40
5
10
5
=
⋅
=fullP
2. El numero de escalera de color de cada palo es de 6 y, como hay 4 palos, 24; por tanto,
el numero de manos de color sin escaleras será
244)(
10
5
−⋅
y la probabilidad,
.000347.0
)(
24-4)(
)(
40
5
10
5
=
⋅
=ColorP
14. En unos almacenes hay 500 clientes: 130 hombres y 370 mujeres.
(a) ¿Cual es la probabilidad de que salga a la calle un hombre (H) y luego una mujer
(M) si no sabemos que el primero ha vuelto a entrar antes de la salida de la mujer?
(b) ¿y si salen dos hombres?
SOLUCIÓN:
(a) El suceso HM puede darse de dos formas: o bien el hombre sale y no entra, o bien sale y
entra. El suceso HM es la unión de dos sucesos disjuntos:
H ( sale y no entra) M(sale)
H(sale y entra) M(sale)
)()__(
)()___(
saleMentraysaleH
saleMentranoysaleH
I
I
Por tanto,
[][][]
[
]
[
]
MesHPMenosHPMesHMenosHPHMP ).()..().()..()(
+
=
= U
En el primer caso, la probabilidad de salida de la segunda persona (M) se ve afectada por la
salida de la primera, puesto que no vuelve a entrar, y el colectivo se modifica, lo que nos indica
que no son independientes. En el segundo caso no sucede esto, ya que el hombre vuelve a entrar
y el colectivo no sufre variación.
Por tanto.
385.0
500
130
500
130
499
370
500
130
)()()()()( =⋅+⋅=⋅+⋅= HPHP
H
M
PHPHMP
(b) Mediante un razonamiento analogo,
135.0
500
130
500
130
499
129
500
130
)()()()()( =⋅+⋅=⋅+⋅= HPHP
H
M
PHPHMP
15. Tenemos cien urnas de tres tipos. El primer tipo contiene 8 bolas blancas y 2 negras; el
segundo, 4 blancas y 6 negras y el tercero, 1 blanca y 9 negras.
Se elige una urna al azar y se extrae de ella una bola, que resulta blanca. Se devuelve la
bola a la urna y se repite el proceso, siendo ahora la bola extraída negra.
Si sabemos que 16/39 es la posibilidad de que , siendo la bola blanca, proceda del primer
tipo de urna y que 30/61 es la posibilidad de que, siendo la bola negra, proceda del
segundo tipo de urna, calcúlese el numero de urnas de cada tipo.
SOLUCIÓN:
Sean x, y y z el numero de urnas de cada tipo y su composición,
)9,1(),6,4(),2,8( nbznbynbx
Sabemos que
100=
+
+ zyx
Aplicando l teorema de Bayes en cada extracción tenemos:
39
16
10037
8
10048
8
48
8
10
1
10010
4
10010
8
100
10
8
100
)
3
()3()
2
()2()
1
()1(
)
1
()1(
)
1
(
=
++
=
−−++
=
++
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=
yx
x
yxyx
x
zyx
x
zyx
x
b
PP
b
PP
b
PP
b
PP
b
P
61
30
90037
6
962
6
)
3
()3()
2
()2()
1
()1(
)
2
()2(
)
2
(
=
+−−
=
++
=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=
yx
y
zyx
y
n
PP
n
PP
n
PP
n
PP
n
P
de las ecuaciones anteriores con incógnitas, x e y:
39
16
10037
8
=
++
yx
x
61
30
90037
6
=
+−−
yx
y
.50;20 == yx
Recordando que
.30,100
=
=++ zzyx
Hay 20 urnas del primer tipo, 50 del segundo y 30 del tercero.
16. Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de acciones, solicita
un informe a tres asesores financieros para que se pronuncien de forma favorable o
desfavorable a la compra. Por experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe
que los tres asesores tienen actitudes ante el riesgo diferente e independiente. Esta
situación se refleja en las probabilidades de aconsejar a compra de este tipo de
operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3
Con esta información a priori calcule:
a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.
b) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de acciones.
SOLUCIÓN:
Se definen los siguientes sucesos:
A= “El asesor A aconseja la compra”
B=”El asesor B aconseja la compra”
C=”El asesor C aconseja la compra”
Cuyas probabilidades son:
P(A)= 0.8 P(B)= 0.5 P(C)=0.3
a) Con las definiciones anteriores, A
∪ B ∪ C representa el suceso “al menos uno de los tres
aconseja la compra”, cuya probabilidad se calcula utilizando:
P(A
∪ B ∪ C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A
∩
B)-P(A
∩
C)-P(B
∩
C)+P(A
∩
B
∩
C)
Como los sucesos son mutuamente independientes, estas probabilidades son:
P(A
∩ B)=P(A) P(B)=0.4
P(A
∩
C)=P(A) P(C)=0.24
P(B
∩ C)=P(B) P(C)=0.15
P(A
∩ B ∩ C)=P(A) P(B) P(C)=0.12
Sustituyendo estas cantidades, tenemos:
P(A
∪ B ∪ C)=0.08+0.5+0.3-0.4-0.24-0.15+0.12=0.93
b) En este caso debemos calcular:
17. Un mayorista tiene 200 clientes clasificados en la siguiente tabla según si realizan
pedidos regularmente o de forma esporádica y según si efectúan el pago al contado o a
través de créditos:
Forma de pago
Tipo de pedido Al contado Crédito
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