Volver a Cálculo Diferencial e Integral
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
1
Cálculo Diferencial e Integral
Unidad 4: Integrales Indefinidas
Definición
Sea una función f definida en un intervalo [a;b], es decir, f: [a;b] . Una función
F: [a;b] , se denomina primitiva o antiderivada de f(x) en [a;b] si F’(x) = f(x), x[a; b].
1
Simbólicamente:
F(x) es una primitiva de f(x) en a, b F’(x) = f(x), x [a; b].
Por ejemplo, las funciones x
2
, x
2
+ 3, x
2
+ 5,
2
x7
son primitivas de 2x. Si f(x) admite una
primitiva F(x) en [a; b], entonces admite infinitas, la familia (conjunto) de curvas F(x) + C,
para cada valor de la constante
C
. Por eso se dice una antiderivada en lugar de la derivada.
En este caso todas las primitivas de 2x son de la forma
2
xC
, C
.
Teorema: Las antiderivadas o primitivas difieren en una constante.
Si F
1
(x) y F
2
(x) son dos funciones primitivas de la función f(x) en el intervalo [a; b], su
diferencia es una constante.
Simbólicamente: F
1
(x) y F
2
(x) primitivas de f(x) en [a; b] x [a; b]: F
1
(x) – F
2
(x) = C,
C o bien F
1
(x) = F
2
(x) + C
Demostración
Sea la función H(x) = F
1
(x) – F
2
(x), x [a; b].
Como F
1
(x) y F
2
(x) son derivables (ya que son primitivas de f), la función H es derivable:
H’(x) = F
1
(x) – F
2
(x)’= F’
1
(x) – F’
2
(x) = f(x) – f(x) = 0, x (a; b). Por lo demostrado en la
unidad anterior (consecuencia del teorema de Lagrange), H es constante
C
/ H(x) = C,
x (a; b). Luego F
1
(x) = F
2
(x) + C,
C
1
Si x fuera uno de los extremos intervalo [a, b], basta con que F’(x) sea la derivada lateral correspondiente.
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
2
Definición
Si F(x) es una primitiva de f(x) en el intervalo [a; b]. Al conjunto de todas las primitivas de f(x)
en un intervalo [a; b], expresado por F(x) + C se denomina integral indefinida de f(x) y se
denota
CF(x)f(x)dx
,
C
.
Se lee: integral de f(x), diferencial x es igual a F(x) + C.
En este caso f(x) se llama integrando o función bajo el signo integral; f(x) dx, elemento de
integración o expresión bajo el signo integral y el símbolo
, signo de integración o de
integral. El número real C se denomina constante de integración.
Se le da el nombre de integral indefinida, porque el resultado no es único, no define una sola
función sino infinitas funciones, cada una depende del valor que se le asigne a la constante
C.
Integrar una función es encontrar la integral indefinida, o sea todas sus primitivas.
Por ejemplo
4
3
x
x dx = C
4
porque
'
4
3
x
Cx
4




, es decir se obtiene el integrando.
Significado geométrico
La derivada resuelve el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva
dada, en un punto de ésta. La integral indefinida permite encontrar una curva de la que se
conocen las pendientes de las rectas tangentes. Si m(x) es la pendiente de la recta tangente a
la curva y = f (x) en el punto (x; y), se tiene que
La integral indefinida es un conjunto de curvas, cada una de las cuales se obtiene mediante
el desplazamiento de una curva paralelamente a sí misma, hacia arriba o hacia abajo, es
decir a lo largo del eje y. Por ejemplo para la función f(x) = x
2
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
3
Ahora surge el interrogante: ¿Toda función f(x) tiene función primitiva?
La respuesta es no. Sin embargo, afirmamos, sin demostración, que toda función f(x) continua
en el intervalo [a; b], tiene una función primitiva y por lo tanto, integral indefinida.
Propiedades de la Integral Indefinida
1) La derivada de una integral indefinida es igual al integrando
d
f(x)dx ' f(x) o f(x)dx f(x)
dx


Demostración
Si F(x) es una primitiva de f(x), se verifica
f(x)dx F(x) C f(x)dx ' F(x) C ' f(x)

2) La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración
d f(x)dx f(x)dx
Es consecuencia inmediata de 1)
3) La integral indefinida de la diferencial de una cierta función es igual a la suma de esta
función y de una constante arbitraria.
Cf(x)df(x)
Demostración
f(x) + C ' = f '(x) f '(x)dx = f(x) + C df(x) = f(x) + C

(Encuentre la justificación de las implicaciones)
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
4
4) La integral indefinida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma de
sus integrales.
Suponga que f y g tienen antiderivadas, entonces
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
Demostración 1
Si derivamos cada miembro de la igualdad en forma separada tenemos:
'
f(x) + g(x) dx f(x) + g(x)
Por propiedad 1
' ' '
f(x)dx g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx = f(x) + g(x)
Hemos aplicado la derivada de la suma de dos funciones
y luego la propiedad 1.
Las derivadas resultan iguales, luego las expresiones de ambos miembros son iguales o
difieren en una constante, es decir
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
Demostración 2
Si F'(x) = f(x) y G'(x) = g(x)
entonces
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx F(x) G(x) + C
(¿Por qué se suma una sola vez la
constante de integración? La respuesta no se encuentra en este apunte)
Para demostrar esta propiedad, tengamos en cuenta nuevamente la derivada de la suma de
dos funciones,
F(x) G(x) '= F'(x) G'(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) dx = F(x) G(x) + C
Por otro lado,
F(x) G(x) + C = f(x)dx + g(x)dx

De allí resulta la igualdad
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
En general:
(x)dxf...(x)dxf(x)dxfdx(x)f...(x)f(x)f
n21n21
5) Un factor constante se puede sacar fuera del signo integral. Es decir, la integral del producto
de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la
función. En otras palabras, todo factor constante se puede extraer fuera de la integral.
Suponga que f y g tienen antiderivadas y sea k una constante. Entonces:
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
5
k. f(x)dx k. f(x)dx;k

Demostración
Si derivamos cada miembro de la igualdad en forma separada tenemos:
'
k. f(x)dx k.f(x)
Por propiedad 1
''
k. f(x)dx =k. f(x)dx = k.f(x)

Hemos aplicado la derivada del producto de
una constante por una función y luego la
propiedad 1.
Las derivadas son iguales, luego las expresiones de ambos miembros son iguales o difieren
en una constante, es decir
k. f(x)dx k. f(x)dx;k

6) Por las propiedades 4 y 5, la integral indefinida verifica la propiedad de linealidad, es decir
es un operador lineal que puede resumirse en:
(x)dxfk...(x)dxfk(x)dxfkdx(x).fk...(x).fk(x).fk
nn2211nn2211
Integrales Inmediatas
La simple lectura de una tabla de derivada nos da una tabla de integrales. De allí el nombre de
integrales inmediatas
dx x +C
1
dx ln x +C,x >0
x
xx
e dx e +C
x
x
a
a dx C; a > 0,a 1
lna
senxdx cosx + C
cosxdx senx +C
2
2
1
dx = sec x dx =tgx+C
cos x

¿Cómo calcular a)
n
¿ x dx ?
b)
5
3
2
¿ x 6senx dx ?
x



c)
¿ ln x dx ?
?
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
6
Métodos de Integración
Los casos a) y b) mencionados anteriormente demuestran que la integral no se puede calcular
en forma inmediata, por este motivo, se estudian algunos métodos particulares.
1. Integración por descomposición
2. Integración por sustitución o cambio de variable.
3. Integración por partes.
4. Integración de funciones racionales por descomposición en fracciones simples.
5. Integración de potencias de funciones trigonométricas.
1. Integración por descomposición
Como el nombre lo indica, este método permite resolver la integral que no es inmediata,
cuando se puede descomponer el integrando en suma de funciones que integran de inmediato.
Por ejemplo
3
22
44
x +3.cosx dx x dx 3 cosxdx 4 dx 3senx 4ln x + C
x x 3
x



2. Integración por cambio de variables o por sustitución
Supongamos que se pretende hallar la integral
dxf(x)
pero no sabemos obtener
inmediatamente la función primitiva de f(x), aunque sabemos que ésta existe.
Por ejemplo queremos calcular
50
2
x +10 2xdx
Una forma de integrar sería escribir los 51 términos del desarrollo de (x
2
+ 10)
50
, aplicar
distributiva e integrar término a término, utilizando el método de descomposición, lo cual
resulta poco práctico. En lugar de ellos podemos pensar a x
2
+ 10 como una nueva variable u,
es decir u = x
2
+ 10, luego es du = 2xdx y sustituyendo en la integral obtenemos:
50
u du
que es fácil de integrar
51
50
u
u du = + C
51
. Como u es x
2
+ 10 debe ser:
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
7
51
2
50
2
x +10
x +10 2xdx = C
51
. Para verificar esto, calculamos la derivada de
51
2
x +10
C
51
y por las reglas de derivación obtenemos: (x
2
+ 10)
50
. 2x
Este método se llama sustitución o cambio de variable y a continuación lo veremos en forma
general.
Sea f una función continua sobre el intervalo I. Si u = g(x) es una función derivable cuyo rango
es I y F es una primitiva de f sobre I, entonces:
f [g(x)].g'(x)dx f (u).du

Obsérvese que la función compuesta del integrando tiene una función externa f y una función
interna g. Además, la derivada de g(x)’ = u’ se encuentra presente como factor en el integrando.
Demostración
Sean F’(x) = f(x), u = g(x), x I. Hallando la derivada de la función compuesta
[(F o g)]’ (x) = (F [g(x)])’ = F’ [g(x)]. G’(x), xI. Por definición de integral indefinida
F'[g(x)].g'(x)dx F[g(x)] + C f [g(x)].g'(x)dx f (u).du = F(u) + C
Directrices para efectuar una sustitución u
i. En la integral
f [g(x)].g'(x)dx
identifique g(x) y g’(x)dx y llámelos u = g(x) y
du = g’(x)dx. Generalmente, lo mejor es elegir la parte interna de una función
compuesta
ii.
Exprese la integral en términos de u y du. En la sustitución no debe haber variables x.
iii.
Realice la integración con respecto a la variable u.
iv.
Sustituir la variable u por g(x).
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
8
3. Integración por partes
Con frecuencia es necesario calcular integrales del tipo
2 2x
x .e dx
cuyo integrando es un
producto de dos funciones. Sabemos que la integral de x
2
es
3
x
3
y la de
2x
e
es
2x
e
2
(verificarlo,
se lo realiza por sustitución). Pero la integral de
2 2x
x .e
claramente no es
3 2x
xe
.
32
. En general,
la integral del producto de dos funciones no es el producto de las integrales porque la derivada
del producto no es el producto de las derivadas.
La derivada (o diferencial) del producto de dos funciones da lugar al método de integración por
partes.
Sean u = u(x) y v = v(x) dos funciones derivables. Entonces
u.dv u.v v.du

Demostración 1
Aplicando la derivada del producto de dos
funciones
(u.v)’ = u’.v + u.v’ u.v’ = (u.v)’ – u’.v
u.v'dx (u.v)'dx u'.vdx
u.v'dx u.v u'.vdx

Teniendo en cuenta que dv = v’dx y du = u’dx
la igualdad anterior se escribe:
u.dv u.v v.du

Demostración 2
Aplicando la diferencial del producto de dos
funciones
d(u.v) = v.du + u.dv u.dv = d(u.v) – v.du
u.dv d(u.v) v.du
u.dv u.v v.du

O equivalentemente,
u.v'dx u.v u'.vdx

Este método consiste en expresar la función integrando como el producto u.v’. Normalmente
una función se puede escribir de varias maneras como u.v’. Lo interesantes es elegir u y v de tal
manera que calcular
vdu
o u'.vdx
sea más fácil que calcular
u.dv o u.v'dx

Directrices para la integración por partes
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
9
i. Elija e integre dv en la integral dada. La función dv suele ser el factor más complicado
en el producto.
Aunque no es una regla general, se puede seguir la regla LIATE como ayuda para
escoger a la función u en una integración por partes. LIATE establece qué orden de
prioridad se debe tener a la hora de escoger a u siguiendo la siguiente lista de funciones:
(L) logarítmicas, (I) inversas, (A) algebraicas, (T) trigonométricas y (E) exponenciales.
ii.
Halle la diferencial de u en la integral dada. Luego forme
u.dv u.v v.du

iii.
Realice la integración de
v.du
Por ejemplo sea calcular
x 1 x dx
. Debemos escribir el integrando como el producto u.dv
Elegimos u = x; dv =
1x
dx =
1
2
1 x dx
du = dx ; v =
3
2
2
1x
3
(¿Cómo se determina v?)
Luego
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
x 1 x dx = x. 1 1 x .dx = x 1 1 x .dx =
3 3 3 3
xx
3 5 3 5
2 2 2 2
2 2 2 2 4
x 1 . . 1 x + C = x 1 1 x C
3 3 5 3 15
xx
4. Integración de fracciones racionales por descomposición en fracciones simples
Este método se utiliza para encontrar primitivas de funciones racionales:
P(x)
dx
Q(x)
, es decir de
aquellas funciones que sean cociente de dos funciones polinómicas P(x) y Q(x) de grado m y n
respectivamente.
Si gr(P) = m < gr(Q) = n se obtiene una función racional propia.
Si gr(P) = m gr(Q) = n se obtiene una función racional impropia. Si así lo fuera, basta con
realizar la división de polinomios y se aplica el método a la expresión resultante. O sea, es
posible encontrar dos polinomios M(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).M(x) + R(x)
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
10
P(x) Q(x).M(x) + R(x) R(x)
= M(x)
Q(x) Q(x) Q(x)

, siendo M(x) y R(x) el cociente y el resto de la
división respectivamente y la función racional
R(x)
Q(x)
es propia (¿Por qué?)
Observación: solo interesa el caso en el que la función racional
P(x)
Q(x)
sea irreducible, es decir
en el caso en que P(x) y Q(x) no tengan raíces comunes, ya que antes de integrar, los factores
comunes en la descomposición en factores de esos polimonios se simplifican. Tampoco
interesa el caso en que P(x) = k. Q’(x), pues es el caso de una integral inmediata
kQ'(x)
dx = k.ln Q(x) +C
Q(x)
En este curso, proponemos la siguiente
Definición: Una función racional se dice que es una fracción simple si es de uno de los
siguientes tipos:
A
xa
o
n
A
, A, a ,n
xa

.
Teorema: Toda función racional propia
P(x)
Q(x)
puede ser expresada en forma única como suma
de un número finito de fracciones simples.
En las condiciones dadas, si
1 2 3 n
x ,x , x ,...,x
son las raíces
2
de Q(x), es decir Q(x
i
) = 0 para todo
i = 1,2,3…, n. El cociente
P(x)
Q(x)
(fracción propia) se puede expresar:
1. Si las n raíces son reales y distintas
3
1 2 n
1 2 3 n
A
A A A
P(x)
...
Q(x) x x x x x x x x
Luego
3
1 2 n
1 2 3 n
A
A A A
P(x)
dx dx dx ... dx
Q(x) x x x x x x x x
2. Si alguna/s de las n raíces reales tiene un orden de multiplicidad mayor a 1. Por
ejemplo si x
1
es raíz triple, es decir x
1
= x
2
= x
3
3
1 2 4 n
23
1 4 n
11
A
A A A A
P(x)
...
Q(x) x x x x x x
x x x x

, entonces
3
1 2 4 n
23
1 4 n
11
A
A A A A
P(x)
dx dx dx dx dx ... dx
Q(x) x x x x x x
x x x x

2
Por el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio se puede factorizar como
Q(x) = q
n
(x – x
1
) (x – x
2
)… (x – x
n
), siendo q
n
el coeficiente principal y
1 2 3 n
x ,x , x ,...,x
las n raíces.
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
11
En cualquiera de los dos casos, la integral de la función racional propia se reduce al cálculo de
una suma de integrales, todas calculables por sustitución.
Pasos a seguir en la resolución de este tipo de ejercicios:
i. Verificar que el grado del denominador sea mayor al del numerador y que el numerador no
sea un múltiplo de la derivada del denominador; si así no fuera, realizar la división de
polinomios. En el segundo caso, aplicar el método de sustitución.
ii. Determinación de las raíces del denominador. Es decir buscar aquellos valores que
verifican Q(x) = 0.
iii. Cálculo de los coeficientes de las fracciones simples (numeradores). Ver ejemplo
iv. Reemplazo de la suma de fracciones en la integral original.
v. Aplicación de la propiedad de linealidad y cálculo de las integrales por sustitución.
Ejemplo: sea calcular
2
7x 1
dx
x x 6

El grado del denominador (gr = 2) es mayor que el grado del numerador (gr = 1), por lo que el
método es aplicable directamente.
Buscamos las raíces del denominador, es decir
2
x x 6 0
, las cuales son x
1
= -2 y x
2
= 3.
Las raíces son reales y distintas, la descomposición resulta
12
2
AA
7x 1
x x 6 x + 2 x 3

Sumando las fracciones y teniendo en cuenta la factorización del polinomio en función de sus
raíces
2
7x 1
x x 6

12
12
A x 3 +A x + 2
AA
x + 2 x 3
x + 2 x 3
12
7x 1 = A x 3 +A x + 2
Para hallar los números reales
1
A
y
2
A
, asignamos valores convenientes a x. Así:
x = -2
12
7.(-2) 1 = A 2 3 +A -2 + 2
11
15 5A A 3
x = 3
1
7.3 1 = A 3 3
2 2 1
+A 3 + 2 20 5A A 4
Si no hubiéramos dado esos valores, nos hubiera quedado un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas. Finalmente:
2
7x 1 3 4 1 1
dx dx dx 3 dx 4 dx 3.ln(x 2) 4.ln(x 3) C
x x 6 x + 2 x 3 x + 2 x 3
o bien
2
7x 1
dx
x x 6

34
ln (x 2) ln (x 3) ln k = ln k.(x 2).(x 3)
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
12
5. Integración de potencias de funciones trigonométricas
Solo nos ocuparemos de las potencias positivas del seno y coseno. Se presentan dos casos:
Primer caso: el integrando es una potencia positiva impar de la función seno o coseno.
Potencia del sen x
Potencia del cos x
Supongamos que queremos integrar
n
sen xdx
. Primero expresamos el
exponente impar como n = 2k + 1, n, k
.
Entonces:
Empezamos por separar el factor
n 2k+1 2k
sen x = sen x = sen x . sen x
, donde
2k es par.
Usamos la identidad pitagórica
22
sen x = 1 cos x
, para volver a escribir
kk
2k 2 2
sen x = sen x = 1 cos x
Luego
k
n2
sen xdx = 1 cos x .senxdx

y
quedaría escribir esa integral como suma
de integrales una vez desarrollada la
potencia k.
En el caso de una potencia impar del coseno
n
cos xdx
, el procedimiento es similar,
excepto que escribimos
n 2k+1 2k
cos x = cos x = cos x . cos x
, usamos la
identidad
22
cos x = 1 sen x
y escribimos a
integral
k
n2
cos xdx = 1 sen x .cosxdx

y
la integral original se expresa como suma de
integrales, una vez desarrollada la potencia k.
Segundo caso: el integrando es una potencia positiva par de la función seno o coseno.
Si n es un entero positivo par, el cálculo de las integrales de las potencias del seno y coseno
depende de las identidades de la mitad de un ángulo para el seno y el coseno:
22
1 cos2x 1+ cos2x
sen x = ; cos x =
22
k
k
n 2k 2
1 cos2x
sen xdx = sen xdx = sen x dx = dx
2



k
k
n 2k 2
1+ cos2x
cos xdx = cos xdx = cos x dx = dx
2



Por ejemplo, sea calcular la integral
3
sen xdx
Lic. Mosqueda Daniel – 2020
13
El exponente es impar, luego 3 = 2 + 1.
3 2 2 2
sen x dx = sen x.senx dx = 1 cos x .senx dx = cos x.senx dx =senx
3
2
2
cos x
= cos x.senx dx = senx dx + cosx .(-senx) dx= -cosx + C
3
senx 
, donde en la
última integral, utilizamos el método de sustitución.
Referencias Bibliográficas
Gregoret, A., Albione, M., y Núñez, A. (2013). Cálculo diferencial e integral en una variable
(1.
a
ed., T.1). Cengage Learning.
Larson, R., Hostetler, R. y Edwars, B. (2010). Cálculo esencial. Cengage Learingn Editores.
Repeto, C. (1981). Manual de análisis matemático (segunda parte). Ediciones Machhi.
Zill, D., Wright, W. e Ibarra, J. (2015). Matemáticas 1. Cálculo integral (2.
a
ed., Jones y
Bartlett Learning, trad.). (Original publicado en 2010).
CDI - FCE - APLICAC. DEL CÁLCULO INTEGRAL.pdf
browser_emoji Estamos procesando este archivo...
browser_emoji Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
. . . . .