Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 3 – Sucesiones
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 1
Práctica 3
Sucesiones
1. Introducción
En la unidad anterior, hemos introducido el lenguaje con el que nos manejaremos en este curso.
Estudiaremos fenómenos que se pueden representar por medio de funciones numéricas y usaremos
los números reales para medir e introducir los conceptos en los que se basa el cálculo diferencial e
integral, y que nos permitirá abordar los dos problemas del cálculo.
Las sucesiones son una clase especial de funciones con las que podremos preparar el camino para
formular y entender el concepto de límite, objetivo central de esta unidad.
Las sucesiones son objetos matemáticos muy sencillos que se apoyan en la ordenación de un
conjunto (finito o infinito) de números reales. Por ejemplo, Galileo observó y anotó cuidadosamente
el espacio que en cada segundo, recorría una bolita al caer por un plano inclinado. Observando la
sucesión de números que obtuvo concluyó que el espacio recorrido en t segundos era proporcional
al cuadrado del tiempo (
2
at
) donde la constante a dependía de la inclinación del plano.
Las sucesiones sirven, por ejemplo, para estudiar, representar y predecir los fenómenos que ocurren
o se miden en el tiempo, en forma intermitente. El lenguaje de las funciones y de los números reales
serán vitales para su comprensión y para la obtención de propiedades que nos permitirán el
desarrollo de los conceptos centrales del curso.
1.1. Un problema a modo de presentación. La raíz cuadrada de 2
El problema consiste en encontrar un algoritmo (una receta) que calcule la raíz cuadrada de un
número dado (por ejemplo
2
), utilizando sólo las cuatro operaciones básicas.
Una solución al problema se basa en una idea geométrica:
Se construyen sucesivos rectángulos todos de área 2. La base de cada uno de ellos es el promedio de
la base y la altura del anterior.
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Designamos con
1
x
a la medida de la base del primer rectángulo, que elegimos que fuera igual a 1,
con
2
x
a lo que mide la base del segundo rectángulo, con
3
x
a la del tercero y así sucesivamente.
Entonces resulta:
1
1x
,
1
1
2
2
1,5
2
x
x
x
,
2
2
3
2
1, 4167
2
x
x
x
,….,
1
2
2
n
n
n
x
x
x
Geométricamente se observa que los rectángulos se van aproximando a un cuadrado de área 2, por
lo cual las bases
n
x
se van aproximando al lado del cuadrado de área 2, es decir
2
n
x
. (
n
x
se
aproxima a
2
).
Parte del objetivo de esta unidad, será darle sentido preciso a esta idea de que una lista de números
(los
n
x
en este caso) se aproximen a un límite (
2
en el ejemplo que estamos tratando).
1.2. Ejemplos de sucesiones
Consideramos los siguientes ejemplos:
1.
1 1 1
1, , , , ...
2 3 4
2.
1, 3, 5, 7, ...
3.
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
4.
1 2 3 4
, , , , ...
2 3 4 5
5.
0, 1, 0, 1, ...
6.
2, 4, 6, 8, ...
1
2
1 2
1, 5
2
2
1, 5
2
1, 5
1, 5
1, 4167
2
1, 4118
1 2 2
2
1, 5
1,5 2
1, 4167 1, 4118 2
Informalmente, una
sucesión
es una lista ordenada e
infinita de números
reales.
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Nos interesará el “comportamiento a la larga” de cada lista de números. En otras palabras, nos
interesará saber si, a medida que avanzamos en la lista de números, éstos se parecen o aproximan a
un número determinado. Habrá que dar más precisión a esta idea.
Observemos por el momento, que una lista ordenada de números se puede describir con el lenguaje
de las funciones que vimos en el primer módulo, usando como conjunto “ordenador” a los números
naturales.
Definición: Una sucesión es una función
:a
, se escribe
( )
n
a n a
.
Se lee “a sub n”. Indica el número real de la lista en la posición n.
Observemos la lista de sucesiones con las que comenzamos esta sección:
En la sucesión 1.
3
1
3
a
y
100
1
100
a
, en la sucesión 4.
4
4
5
a
y
1000
1000
1001
a
.
Lo que interesará es el comportamiento de
n
a
para “valores grandes” de n.
Ejercicio. Dada la sucesión
2
3
3
n
n
a
n
. Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión y
dar el valor de
10
a
.
Solución
El primer término se obtiene reemplazando en la fórmula de
n
a
, la variable n por el valor
1n
3
2
2
1
1
3 1
3
9
1
a
Los siguientes términos se obtienen reemplazando la variable n por los valores 2, 3, 4 y 5
respectivamente.
3
2
1
2
2
2
3 3 1
4 12
a
3 0
2
3
3
3 3 1
9 9
3
a
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34
2
4
4
3 3
16
a
3
5
2
2
5
5
3 3 9
25 25
a
De la misma forma, se obtiene el décimo término de la sucesión evaluando en su fórmula con el
valor
10n
3
10
7
2
10
10
3 3
21,87
100
a
1.3. Término general
Es la expresión de
n
a
para cada n. Analizamos cada una de las sucesiones de 1.2
1.
1
n
a
n
1 1 1
1, , , , ...
2 3 4
2.
2 1
n
a n
1, 3, 5, 7, ...
3.
1
( 1)
2
n
n
n
a
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
4.
1
n
n
a
n
1 2 3 4
, , , , ...
2 3 4 5
5.
0 si es impar
1 si es par
n
n
a
n
0, 1, 0, 1, ...
6.
1
( 1) 2
n
n
a n
2, 4, 6, 8, ...
Ejercicio. Tenemos la sucesión
n
a
cuyos primeros términos son
1 1 1
1,1, , 2, ,3, , 4...
2 3 4
a) Encontrar el término 10 y el término 11.
b) Encontrar el término general. ¿Cuáles son los valores de
100
a
y de
101
a
?
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Cambiamos el nombre de
la variable para distinguir
los dos casos
Solución
a) Como tenemos ocho términos de la sucesión, basta agregar tres términos, para llegar al término
10 y 11. Tenemos en cuenta el comportamiento que se infiere de los primeros términos y
destacamos en color los términos pedidos:
1 1 1 1
1,1, , 2, ,3, ,
54, , , ...
2 3 4
1
6
5
b) Se observa que la sucesión sigue un “patrón” para las posiciones impares diferente al “patrón”
que sigue para las posiciones pares. Veamos esto.
Destacamos las posiciones impares:
1 1 1
1
2 3
,1, , 2, ,3,
4
, 4...
Destacamos las posiciones pares:
1 1 1
1, , , , , , , ...
2 3 4
1 2 3 4
En el caso de las posiciones impares se tiene:
1
1a
,
3 2 1
1
2
a a
,
2
5
2* 1
3
1
a a
,
3
7
2* 1
4
1
a a
En general:
2 1
1
1
n
a
n
En el caso de las posiciones pares se tiene:
2
1a
,
4
2*2
2 a a
,
6
2*3
3 a a
,
8
2*4
4 a a
En general:
2
n
a n
En síntesis, el término general de la sucesión se puede presentar como
/ 2 si 2
2
si 2 1
1
k
k k n
a
k n
k
Para calcular
100
a
reemplazamos en el término general teniendo en cuenta que
100 2 50
.
100
50a
Lo mismo hacemos para calcular
101
a
teniendo en cuenta ahora que
101 2 50 1
.
101
1
51
a
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1.4. Representación gráfica
Como una sucesión es una función admite una representación gráfica. Veamos alguno de los
ejemplos de sucesiones de 1.2:
Sucesión 1.
1 1 1
1, , , , ...
2 3 4
Sucesión 3.
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
1
2
3
4
n
1
1 2
1 3
1 4
1 n
1
n
a
n
1
0
n
a
n
1
2
3
4
n
1 2
1 8
1 4
1 16
1
( 1) 0
2
n
n
n
a
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Sucesión 4.
1 2 3 4
, , , , ...
2 3 4 5
2. Noción de límite
Intuitivamente, una sucesión tiende a un valor determinado L si los valores de
n
a
están cerca de L
cuando n es grande. Un poco más precisamente: el error que se comete al aproximar L con
n
a
es
pequeño (menor que épsilon (
)) si n es bastante grande (más que
0
n
en el gráfico)
La definición precisa de límite es la siguiente:
Se dice que
n
a
tiene límite L si, cualquiera sea
0
, existe un número natural
0
n
tal que si
0
n n
, entonces
n
L a L
(o sea
n
a L
si
0
n n
)
Se escribe
lim
n
n
a L
o
n
a L
, se lee “el límite de a sub n cuando n tiende a infinito es L”.
Idea geométrica
A partir de
0
n
la franja
verde capta a todos los
n
a
0
n
L
L
L
1
1
n
n
a
n
1
2
3
4
n
1
1 2
2 3
3 4
4 5
n
a
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También se dice en tal caso que
( , )
n
a L L
para casi todo n (pctn). En general, una
propiedad vale para casi todo n si vale para todo n salvo un número finito de valores de n. Se pone
pctn.
Un análisis más detallado de la definición de límite se puede encontrar en la entrada
Noción de
límite.
2.1. Sucesiones divergentes
No todas las sucesiones convergen a un límite
L
.
La sucesión 2 de los ejemplos 1.2, diverge a más infinito (o tiende a más infinito), la sucesión 5,
oscila finitamente y la sucesión 6. oscila infinitamente.
2 1
n
a n
1, 3, 5, 7, ...
Ejemplos de sucesiones que no convergen
2 1
n
a n
tiende a más infinito.
0 si es impar
1 si es par
n
n
b
n
oscila finitamente.
1
( 1) 2
n
n
c n
oscila infinitamente.
lim(2 1)
n
n
Para todo
0K
existe
0
n
tal que si
0
n n
,
2 1n K
(en el sector verde)
1
2
3
n
1
3
5
K
n
0
2 1n
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0 si es impar
1 si es par
n
n
b
n
0, 1, 0, 1, ...
1
( 1) 2
n
n
c n
2, 4, 6, 8, ...
1
2
3
4
1
lim
n
n
b
no existe
En este caso se dice que
n
a
oscila finitamente
1
2
3
4
8
4
6
2
Se dice que
n
c
tiende a infinito
(sin especificar el signo) o
que oscila infinitamente
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3. Propiedades del límite
La mayoría de las veces, el problema consistirá en calcular el valor de
lim
n
n
a
. La definición no será
útil para ello porque presupone conocer el valor de L, de modo que nos valdremos de propiedades y
diversos recursos algebraicos para poder determinar el valor del límite en los ejemplos que
estudiemos. La definición de límite es imprescindible para poder obtener esas propiedades y para
introducir casi todos los conceptos de la materia que se basan en esta noción. En la práctica no
haremos un uso directo de dicha definición.
Las siguientes propiedades se deducen de la definición de límite y nos servirán para desarrollar
técnicas que nos permitan calcular algunos límites.
3.1. Unicidad del límite
Una sucesión no puede converger a dos límites distintos
3.2. Acotación de las sucesiones convergentes
Si
n
a
es convergente, entonces el conjunto
:
n
A a n
es acotado
Si así fuera todos los
n
a
a
partir de
0
n n
tendrían que
estar simultáneamente
en
las dos franjas y eso no es
posible.
1
2
3
4
1
L
2
L
0
n
0
n
L
1L
1L
M
m
Se elige
1
o cualquier otro.
Una vez que
n
a
queda dentro
de la franja verde para
0
n n
,
es fácil encontrar cotas
superiores e inferiores de A.
M
es cota superior y
m
es cota
inferior de A.
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3.3. Conservación de signo
Si
n
a
converge a un límite L mayor que cero, entonces la sucesión
n
a
es mayor que cero para
casi todo n. Es decir:
Si
lim 0
n
n
a L
entonces
0
n
a
pctn
3.4. Álgebra de límites
En lo que sigue consideremos dos sucesiones convergentes
n
a a
y
n
b b
Hablando informalmente, para valores grandes de n los valores de
n
a
se parecen al número a,
mientras que los valores de
n
b
se parecen al número b. Cabe preguntarse qué sucede cuando
realizamos con dichas sucesiones alguna operación elemental como suma o producto. En otras
palabras, también informalmente hablando, podemos pensar que
n
a
es una aproximación de a y que
n
b
es una aproximación de b. Es esperable que
n n
a b
sea una aproximación de
a b
y que
n n
a b
sea una aproximación de
ab
.
El siguiente teorema recoge esta idea y resulta ser una herramienta eficaz para el cálculo de límites.
Álgebra de límites. Si
n
a a
y
n
b b
, entonces
n n
a b a b
n n
a b ab
. En particular
n
k a ka
si
k
Si
0b
entonces
n
n
a
a
b b
n
a a
Si
0a
entonces
n
n
b
b
a a
0
n
L
2L L
2L L
Se elige
2 L
, de modo
que
2 2 0 L L L
Esto asegura que la franja
verde esté por encima del
eje de las x.
Así
0
n
a
si
0
n n
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Ejemplo. Calcular
3
1 2
lim
1
n
n
n n
.
Solución
Tenemos que
1
lim 0
n
n
Sucesión 1 de los ejemplos 1.2.
2
lim 2 lim 2 1 2
1 1
n n
n n
n n
Sucesión 4 de los ejemplos 1.2.
Entonces:
3
3
1 2
lim (0 2) 8
1
n
n
n n
Ejercicio. Calcular el
2
2
3 2
lim
2 5
n
n
n n
Solución
El álgebra de límites requiere que las sucesiones involucradas sean convergentes a un número real.
Por ello, en este ejemplo, no podemos aplicar el álgebra de límites en forma directa ya que un
primer análisis de la sucesión nos dice que tanto numerador como denominador tienden a más
infinito y el teorema de álgebra de límites se refiere a valores numéricos del límite. Se suele decir
que estamos en presencia de una indeterminación en este caso, del tipo
" "
entendiendo este
símbolo como el cociente de sucesiones que tienden ambas a infinito. El nombre de
indeterminación es porque no hay, como veremos en los próximos ejemplos, una propiedad general
que nos indique el valor del límite en una situación como esta.
Sin embargo, no hay que desesperar: hablando otra vez
informalmente, para valores grandes de n,
2
(3 2)n
se
parece en “términos relativos” a
2
3n
así como
2
(2 5 )n n
se parece a
2
2n
. En otras palabras, para
valores grandes de n podemos “despreciar” el término
2 en el numerador y el término
5n
en el denominador
frente a los términos
2
3n
y
2
2n
respectivamente. Para poner de manifiesto esta idea en forma
algebraicamente correcta, sacamos factor común, tanto en el denominador como el numerador, a
2
n
y simplificando luego:
Se parecen en “términos relativos”
Si, por ejemplo
1000n
resulta
2
300 0 23 02 0 n
y
2
30 003 000n
mientras que
2
202 5 05000n n
y
2
20 002 000n
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Factor común
2
n
en
el numerador y en el
denominador.
Se simplifica el
factor
2
n
Factor común
2
n
en
el numerador y
3
n
en el denominador.
Se simplifica el
factor
2
n
Se prepara para
usar álgebra de
límites
2
2
2 2
2
2
2 2
(3 ) 3
3 2
lim lim lim
5 5
2 5
(2 ) 2
n n n
n
n
n n
n n
n
n n
Ahora estamos en condiciones de aplicar el teorema de álgebra de límites ya que el numerador
tiende a 3 y el denominador tiende a 2.
2
2
2
2
3
3 2 3
lim lim
5
2
2 5
2
n n
n
n
n n
n
Ejercicio. Calcular el
2
3
3 2
lim
2 5
n
n
n n
Solución
Valen las mismas consideraciones que en el ejercicio anterior. Estamos ante una indeterminación
del tipo
" "
. Usamos la misma idea de sacar como factor común al término de mayor grado (que es
el que crece más rápido) en el numerador y en el denominador para luego simplificar y ver si
estamos en condiciones de aplicar el álgebra de límites.
2
2
2 2 2
3
3
2 2 2
2 2 2
(3 ) 3 3
3 2 1
lim lim lim lim
5 5 5
2 5
(2 ) (2 ) 2
n n n n
n
n
n n n
n
n n
n n
n n n
Se puede ahora aplicar álgebra de límites ya que
1
0
n
y
2
2
2
3
3
5
2
2
n
n
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1
25
Entonces
2
2
3
2
2
3
3 2 1 3
lim lim 0 0
5
2
2 5
2
n n
n
n
n
n n
n
Calcular el
4
2
1
lim
25
n
n
n n
Solución
Nuevamente estamos ante una indeterminación del tipo
" "
. Misma técnica que en los ejemplos
anteriores (sacar factor común el término que va más rápido a infinito, tanto en el numerador como
en el denominador, simplificar y preparar para usar álgebra de límites)
4 2
4
4 4 4
2
2
2
1 1 1
(1 ) (1 ) 1
1
lim lim lim lim( )( )
1 1 1
25
(25 ) 25 25
n n n n
n n
n
n n n
n
n n
n
n n n
Sin embargo, en este ejemplo hay una pequeña sutileza. Si prestamos atención al último límite,
vemos que el primer factor (
2
n
) tiende a más infinito mientras que el segundo (
4
1
1
1
25
n
n
) tiende a
1
25
. Si bien no podemos aplicar el teorema de álgebra de límites que requiere que ambos límites
sean números, sí podemos enunciar un resultado ad hoc para este caso que es verdadero y que se
deduce a partir de la definición de límite:
Si
n
a
y
0
n
b L
entonces
n n
a b
Aplicado a nuestro caso, resulta
4
4
2
2
1
1
1
lim lim( )( )
1
25
25
n n
n
n
n
n n
n
Veamos un ejemplo más del tipo
" "
Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 3 – Sucesiones
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Se saca factor común n
teniendo en cuenta cómo
opera la raíz cuadrada:
2
algo algo n n
Calcular el
2
1
lim
5 2
n
n n
n
Solución
La diferencia con los ejemplos anteriores es que no es el cociente de dos polinomios. Sin embargo,
haciendo un análisis intuitivo vemos que si despreciamos el 1 (dentro de la raíz) del numerador,
para valores grandes de n, éste se parece a
2n
y si despreciamos el 2 del denominador nos queda
5n
de modo que, siempre intuitivamente, el límite del cociente es 2/5. Como en los casos anteriores,
tenemos que hacer una cuenta que ponga de manifiesto esta idea intuitiva. Tal como lo hicimos
previamente, sacamos factor común a n tanto en el numerador como en el denominador,
simplificamos y vemos si el álgebra de límites es aplicable después de estas operaciones
algebraicas.
2
2 2
1 1
( 1 1) 1 1
1
lim lim lim
2 2
5 2
(5 ) 5
n n n
n
n n
n n
n
n
n n
Quedamos en condiciones de aplicar el álgebra de límites:
2
2
1
1 1
1 1 1 2
lim lim
2
5 2 5 5
5
n n
n n
n
n
n
3.5. Indeterminaciones
Los ejemplos precedentes son todos del tipo
" "
. Sin embargo, los resultados fueron variados
(
0, y 5 2
). En otras palabras no podemos predecir el valor del límite en estos casos en forma
general. Es necesario, en cada caso, aplicar alguna técnica algebraica que permita “salvar” la
indeterminación y calcular el límite. No es el único tipo de indeterminación con el que nos vamos a
encontrar.
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