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sesion1-ejercicios-resueltos-de-chi-cuadrado
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APLICACIÓN 1
Una fábrica cuenta con tres máquinas para la producción de un mismo producto. Durante la última semana
de producción se han producido 135 artículos. El jefe de producción cree que las máquinas no producen en
cantidades similares. Por lo que ha solicitado clasifiquen cada producto según la máquina que la ha
producido. A continuación se presenta la tabla de frecuencia de las cantidades producidas por cada máquina:
Use nivel de significación 5% para probar si la cantidad producida es la misma en las 3 máquinas.
RESOLUCION:
1P) PLANEAMIENTO DE HIPÓTESIS:
H
o
: La cantidad producida es la misma en las tres máquina.
H
I
: L a cantidad producida es distinta en las tres máquinas.
2P) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:
5%
3P) CALCULO ESTADÍSTICO DE PRUEBA:
=
N°
Categoría
variable
1
A
43
0.3333
45
0.08888889
2
B
53
0.3333
45
1.42222222
3
C
39
0.3333
45
0.8
TOTAL
135
1.0000
135
2.31111111
4P) CRITERIOS DE DECISIÓN:
=2.3111
<
por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula.
=5.9915
5P) CONCLUSIÓN
A un nivel de significación del 5%, no se puede rechazar que la cantidad producida es la misma
en las 3 máquinas.
Con un nivel de significación de 5% no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la
hipótesis nula, es decir no se puede afirmar que las tres máquinas no producen lo mismo.
Máquina
A
B
C
Producción
43
53
39
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REPORTE EN MINITAB ( P VALOR)
1P) Planteamiento de Hipótesis:
H
o
: La cantidad producida es la misma en las tres maquina.
H
I
: L a cantidad producida es distinta en las tres máquinas.
P2) Nivel de significación: 0.05
P3) Cálculo y criterio de desición:
Conteos observados y esperados
Categoría
Observado
Conteos
históricos
Proporción
de prueba
Esperado
Contribución
a
chi-cuadrada
A
43
0.3333
0.333333
45
0.08889
B
53
0.3333
0.333333
45
1.42222
C
39
0.3333
0.333333
45
0.80000
Prueba de chi-cuadrada
N
GL
Chi-
cuad.
Valor
p
135
2
2.31111
0.315
Como p-valor= 0.315 > α=0.05; no se rechaza la hipótesis nula.
P4) Conclusión:
A un nivel de significación de 0.05, no hay evidencia para poder rechazar la hipótesis nula.
APLICACIÓN II:
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Con el fin de realizar afiliaciones a un seguro médico, un vendedor de pólizas de seguros hace cuatro
llamadas diarias. Una muestra de 210 días da como resultado las frecuencias del número de ventas
realizadas tal como se muestra en la siguiente tabla:
N° de ventas
realizadas
Numero de
días ( )
0
50
1
75
2
65
3
15
4
5
Se desea verificar si el número de ventas realizadas diariamente sigue una distribución Binomial a un
nivel de significación del 5%.
Resolución:
1P) PLANEAMIENTO DE HIPÓTESIS:
H
o
: El número de ventas realizado por el seguro diariamente sigue una distribución binomial
H
I
: El número de ventas realizado por el seguro diariamente no sigue una distribución binomial.
2P) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:
5%
3P) CALCULO ESTADÍSTICO DE PRUEBA:
La probabilidad de éxito nos ayudará para calcular la probabilidad teórica y así tener la frecuencia
esperada.
Binomial
=P(X=x)=
=P(X=0)=
=P(X=1)=
=P(X=2)=
=P(X=3)=
=P(X=4)=
N°
Número
de ventas
Número
de días
1
0
50
0
2
1
75
75
3
2
65
130
4
3
15
45
5
4
5
20
total
210
270
N°
Numero de
ventas
Número de
días
Probabilidad
teórica(
Frecuencia
esperada
E(x)=r.p =
=1.2857
r=4; 1.2857=4.p
P=0.3214
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=
4P) CRITERIO DE DECISIÓN:
=2.2033
<
por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula
=6,4378
5P) CONCLUSIÓN:
Con un nivel de significación del 5% no se puede rechazar que el número de ventas realizado por
el seguro sigua una distribución binomial, es decir no podemos afirmar que sea distinta a la
distribución binomial.
REPORTE EN MINITAB ( VALOR P)
Binomial con n = 4 y p = 0.3214
Conteos observados y esperados
Categoría
Observado
Conteos
históricos
Proporción
de prueba
Esperado
Contribución a
chi-cuadrada
1
50
0.212058
0.212058
44.5322
0.67135
2
75
0.401742
0.401742
84.3659
1.03976
3
65
0.285411
0.285411
59.9364
0.42779
4
15
0.090118
0.090118
18.9248
0.81396
5
5
0.010670
0.010670
2.2407
3.39792
1 (20.00%) de los conteos esperados son menores que 5.
APLICACIÓN III
1
0
50
0.2121
44.5323
0.6713
2
1
75
0.4017
84.3659
1.0397
3
2
65
0.2854
59.9363
0.4278
4 o mas
7
20
0.1008
21.1680
0.0644
Total
210
1.0000
210.00
2.2033
x
P( X = x )
0
0.212058
1
0.401742
2
0.285411
3
0.090118
4
0.010670
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Se cree que el número de accidentes automovilísticos diarios en un cruce de dos avenidas de determinada
ciudad tiene una distribución de Poisson. En una muestra de 80 días del año pasado se obtuvieron los
datos de la tabla adjunta. ¿Apoyan estos datos la hipótesis de que el número diario de accidentes tiene una
distribución de Poisson? Use nivel de significación 0.05 y concluya usando p-valor y el estadístico de
prueba
1P) PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS:
H
o
: El número de accidentes diarios tiene una distribución Poisson.
H
I
: El número de accidentes diarios no es una distribución Poisson.
2P) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:
α =0.05
3P) CÁCULO ESTADÍSTICO:
El parámetro de Poisson (γ) nos ayudará a encontrar la probabilidad teórica y así podremos
encontrar la frecuencia esperada:
=P(X=x)=
=P(x=0)=
=P(X=1)=
=P(x=2)=
=P(x=3)=
=P(x ≥4)= 1-∑P(x< 4)
N° accidentes
Oi
0
34
1
25
2
11
3
7
4
3
N°
N° accidentes(xi)
Frecuencia
observada
1
0
34
0
2
1
25
25
3
2
11
22
4
3
7
21
K=5
4
3
12
Total
80
80
E(x)=γ=vt=
=
= 1
γ=1
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4P) CRITERIO DE DECISION:
=4.3036
<
por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula
=5.9915
5P) CONCLUCIÓN:
Con un nivel de significación del 5% no se puede rechazar que el número de accidentes
automovilísticos diarios en un cruce de dos avenidas de determinada ciudad tiene una distribución de
Poisson
REPORTE EN MINITAB:
Conteos observados y esperados para N° de accidentes
N° de
accidentes
Probabilidad
de Poisson
Conteo
observado
Conteo
esperado
Contribución a
chi-cuadrada
0
0.367879
34
29.4304
0.70953
1
0.367879
25
29.4304
0.66693
2
0.183940
11
14.7152
0.93798
>=3
0.080301
10
6.4241
1.99047
Prueba de chi-cuadrada
Hipótesis nula
H₀: Los datos siguen una distribución de Poisson
Hipótesis alterna
H₁: Los datos no siguen una distribución de Poisson
GL
Chi-cuadrada
Valor p
2
4.30491
0.116
P>α; no se rechaza la hipótesis nula
N°
N°
accidente
Frecuencia
Observada
Probabilidad
teórica
Frecuencia
esperada
1
0
34
0.3679
29.43
0.7090
2
1
25
0.3679
29.43
0.6674
3
2
11
0.1839
14.71
0.9366
k=4
4 o m
10
0.0803
6.42
1.9906
total
80
1
80
4.3036
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APLICACIÓN IV
El jefe de una planta industrial desea determinar si existe relación entre el rendimiento en el trabajo y
turno laboral del empleado. Se tomó una muestra aleatoria de 400 empleados y se obtuvo los siguientes
resultados
Rendimiento
del trabajo
Turno Laboral
Mañana
Tarde
Noche
Total
Deficiente
23
60
29
112
Promedio
28
79
60
167
Muy bueno
9
49
63
121
Total
60
188
152
400
Con el nivel de significación 0.01 a) ¿La calificación del rendimiento del trabajador está asociada con el
turno en el que labora el empleado? Analice la magnitud de la asociación, si la hubiera.
1P) PLANEAMIENTO DE HIPÓTESIS:
H
o
: No existe una relación entre el rendimiento en el trabajo y turno laboral.
H
I
: Existe una relación entre el rendimiento en el trabajo y turno laboral
2P) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:
α= 0.01
3P) ESTADÍSTICO DE PRUEBA:
Mañana
Tarde
Noche
Total n.i
Deficiente
23
60
29
112
Promedio
28
79
60
167
Muy bueno
9
49
63
121
Total n.j
60
188
152
400
eij
16.8
52.64
42.56
25.05
78.49
63.46
18.15
56.87
45.98
4P) CRITERIO DE DESICIÓN:
=20.1789
>
por lo tanto se rechaza la hipótesis nula
=13.2767
2.2881
1.0291
4.3203
0.3474
0.0033
0.1886
4.6128
1.0891
6.3001
e
ij
=
=
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5P) CONCLUSIÓN:
Con un nivel de significación del 1% existe una evidencia para rechazar la hipótesis nula, es
decir, se puede afirmar que hay una relación entre el rendimiento en el trabajo y turno laboral del
empleado.
b) Para hallar el grado de disociación se usa el coeficiente de Pearson:
C=
C=
=0.2191
Esto quiere decir que hay una baja asociación entre el rendimiento del trabajo y el turno laboral.
PRUEBA POR MINITAB
Filas: RENDIMIENTO Columnas: TURNO LABORAL
Mañana
Noche
Tarde
Todo
Deficiente
23
29
60
112
16.80
42.56
52.64
Muy bueno
9
63
49
121
18.15
45.98
56.87
Promedio
28
60
79
167
25.05
63.46
78.49
Todo
60
152
188
400
Contenido de la celda
Conteo
Conteo esperado
Prueba de chi-cuadrada
Chi-cuadrada
GL
Valor p
Pearson
20.179
4
0.000
Relación de verosimilitud
20.892
4
0.000
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APLICACIÓN V
Una empresa usa 4 máquinas para el llenado de bolsas de detergente. Todas las máquinas son de la misma
marca y modelo. Dichas máquinas están programadas para llenar 250 gr.en cada bolsa de detergente.El jefe
de producción se ha quejado de que las 4 máquinas presentan cierto nivel de variabilidad en la cantidad de
detergente de cada bolsa. Un especialista encargado por la compañía selecciona al azar 6 bolsas de c/u de
las máquinas y posteriormente pesa las bolsas. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Repetición
Máquinas
A
B
C
D
1
250.3
249.3
250
251.1
2
250.2
246.8
251.1
250.1
3
249.9
248.3
250.9
248.9
4
249.3
247.9
248.3
249.3
5
250.6
249.7
248.9
251
6
250.3
249.9
249.9
249.9
Total
1500.6
1491.9
1499.1
1500.3
Promedio
250.1
248.65
249.85
250.05
Si
0.2
1.44
1.20
0.78
a) Prueba el supuesto de normalidad los reportes.
P1)PLANTENAMIENTO DE HIPÓTESIS
H
o
: El peso de las bolsas de detergente se distribuye normalmente.
H
I
: El peso de las bolsas de detergente no se distribuye normalmente.
P2) Nivel de significación
α = 5%
P3) P-valor
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P4) CRITERIO DECISIÓN:
Máquina P-valor ; α = 0.05
A 0.254 ; Pvalor > α
B 0.576 ; P-valor>α
C 0.630 ; P-valor> α
D 0.621 ; P- valor> α
P5) CONCLUSIÓN:
Se cumple que el peso de las bolsas de detergente se distribuye normalmente.
b) Pruebe el supuesto homogeneidad de varianzas; α= 0.05
P1) PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS:
H
o
:
2
1
=
2
2
=
2
3
=
2
4
=
2
H
I
: Al menos una
i
2
es diferente = 1,2,3,4
P2) NIVEL DE SIGNIFICACION:
α = 5%
P3) PRUEBA ESTADÍSTICA:
No se rechaza
hipótesis nula
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4P) CRITERIO DE DESICIÓN:
Q=4.1311 Q>
por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula
=7.81473
5P) CONCLUSION:
Con un nivel de significancia del 5% no se rechaza la hipótesis nula; es decir las varianzas en los
4 grupos son homogéneos, por lo tanto se cumple el supuesto de homogeneidad de varianzas.
PRUEBA EN MINITAB:
Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para desviaciones estándar
Máquinas
N
Desv.Est.
IC
A
6
0.45166
(0.250789; 1.50089)
B
6
1.19958
(0.666077; 3.98626)
C
6
1.09499
(0.608000; 3.63868)
D
6
0.88487
(0.491332; 2.94046)
Nivel de confianza individual = 98.75%
Pruebas
Método
Estadística
de prueba
Valor p
Bartlett
4.13
0.248
Repetición
Máquinas
A
B
C
D
Total
1
250.3
249.3
250
251.1
1000.7
2
250.2
246.8
251.1
250.1
998.2
3
249.9
248.3
250.9
248.9
998
4
249.3
247.9
248.3
249.3
994.8
5
250.6
249.7
248.9
251
1000.2
6
250.3
249.9
249.9
249.9
1000
Total
1500.6
1491.9
1499.1
1500.3
5991.9
ni
6
6
6
6
ni-1
5
5
5
5
20
S^2
0.204
1.439
1.199
0.783
(ni-1)S^2
1.02
7.195
5.995
3.915
18.125
(n-1)lnS^2
-7.94817643
1.81974214
0.90743938
-1.22311291
-6.44410782
1/(ni-1)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.8
S^2p
0.90625
t=
4
Q=
4.1311
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