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Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo
En el DABC rectángulo en C de la figura:
Se pueden establecer las siguientes semejanzas:
i)
DAHC : DACB (A,A)
CAH CAB (ángulo común)
AHC ACB (ángulos rectos)
De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones:
ii)
DBHC : DBCA (A,A)
CBH ABC (ángulo común)
BHC BCA (ángulos rectos)
De esta semejanza, se tiene:
iii)
DAHC : DCHB (A,A)
CAH BCH (porque BCH = 90º - ACH y CAH = 90º - ACH)
BHC BCA (ángulos rectos)
De aquí se obtienen las proporciones:
IMAGEN
Ahora de la primera semejanza se tiene:
de la segunda semejanza se tiene:
y de la tercera:
Estas tres relaciones obtenidas corresponden al Teorema de Euclides
.
1.1. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE AL CATETO
El cuadrado de un cateto equivale al producto entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la
hipotenusa.
a
2
= pc
: b
2
= qc
1.2. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE A LA ALTURA
El cuadrado de la altura respecto de la hipotenusa equivale al producto entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
h
2
= pq
Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una relación para determinar la altura respecto de la
hipotenusa, a través de los lados del triángulo rectángulo: Si tomamos las proporciones de la segunda
semejanza obtenemos:
=>
Por lo tanto, la altura respecto de la hipotenusa equivale al cuociente entre el producto de los catetos y la
hipotenusa.
Otro teorema importante en el triángulo rectángulo es el siguiente:
1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los
catetos.
c
2
= a
2
+ b
2
Podemos demostrar este teorema utilizando los teoremas anteriores, como veremos a continuación:
Por Euclides tenemos que: a
2
= pc y b
2
= qc
, entonces:
a
2
+ b
2
= pc+qc = c(p+q)
; pero p+q=c
, entonces si reemplazamos obtenemos:
a
2
+b
2
= c(p+q)=c . c = c
2
1.4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Diagonal de un cuadrado:
La diagonal de un cuadrado equivale al producto del lado por
Demostración:
Utilizando el teorema de Pitágoras:
d
2
= a
2
+ a
2
d
2
= 2a
2
/
Altura de un triángulo equilátero:
La altura de un triángulo equilátero equivale a la mitad del lado por
Demostración:
Según la figura, por tratarse de un triángulo equilátero la altura cae en el punto medio del lado opuesto.
Ocupando el teorema de Pitágoras tenemos:
Ejemplo:
En la figura, el polígono es un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm. ¿Cuánto mide la superficie
sombreada?
Solución: Cada uno de los triángulos sombreados corresponde a un triángulo equilátero de lado 12 cm,
luego, la altura de cada triángulo, según la fórmula anterior es:
y el área de cada triángulo sombreado es:
Por lo tanto, el área sombreada es:
cm
2
.
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