Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
1
Integrales Indefinidas
1.- INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN
En matemática estamos acostumbrados a hablar de operaciones inversas, la suma tiene su
inversa que es la resta; el producto, la división; etc. También podemos pensar que la operación
derivada tiene una inversa y esta será la integración o antiderivada (como la llaman algunos
autores).
En este capítulo nos referiremos a ella, para lo cual debemos tener en cuenta que en el cálculo
diferencial se expresó la derivada de una función de la siguiente manera:
si y = f (x) resulta y' = f' (x) =
dx
df(x)
y por lo tanto: d f(x) = f '(x) dx que constituye la expresión de la diferencial de una función f(x).
En el cálculo integral, trataremos de hallar una función cuya derivada conocemos, es
decir, calcularemos F(x) sabiendo como dato, que F'(x) = f(x). Si además tenemos en cuenta que:
d F (x) = F' (x) dx = f (x) dx
podemos decir que el problema de la integración es hallar una función cuya diferencial (y por
ende su derivada) conocemos.
La función F (x) que se logra como resultado de este proceso se llama integral de la
diferencial dada y recibe el nombre de primitiva o antiderivada de la función f (x).-
Por lo expuesto, podemos definir como función Primitiva o Antiderivada de una función f(x):
F(x) es una Primitiva o Antiderivada de f (x)
F'(x) = f (x)
Es necesario tener en cuenta que pueden existir muchas funciones que tienen la misma
derivada (infinitas) y que, por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, todas difieren en
una constante, por lo tanto, si F (x) es una primitiva de f (x) también lo será F (x) + C,
C
,
ya que se verificará: D [ F (x) + C ] = F'(x) = f (x), lo cual satisface la definición de primitiva.
Asimismo, teniendo en cuenta lo dicho al comienzo, podemos definir la integral de dos maneras
(que en realidad es solamente una):
"LA OPERACIÓN INTEGRAL ES BUSCAR UNA FUNCIÓN CUYA DIFERENCIAL
(Y POR ENDE SU DERIVADA) SE CONOCE"
Simbólicamente:
(x) f = (x) F = C + (x) F D C + (x) F = dx (x) f
El valor "C", que es una constante que pertenece al conjunto de los números reales, recibe
el nombre de "Constante de Integración" y debemos escribirla en todos los casos de integrales
indefinidas para tener en cuenta las infinitas primitivas que tiene una función y que difieren entre
si en dicha constante.
2.- INTEGRALES INMEDIATAS
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2
Para el cálculo de algunas integrales inmediatas o fáciles de resolver tendremos en cuenta que se
puede verificar el resultado obtenido aplicando la definición de integral, es decir, comparando la
diferencial del resultado con la diferencial a integrar, las que deben resultar iguales.
Considerando lo expuesto, vamos a calcular algunas integrales inmediatas o fáciles de resolver:
a) (1)
C +
1 + n
x
= dx x
1+n
n
,
1- n si
(2)
C + x ln =
x
dx
, si n = -1
b)
C + e = dx e
xx
c)
C +
3/2
x
= dx x = dx x
3/2
1/2
=
C x x
3
2
x
3
2
3
d)
C +
1+n-
x
= dx x = dx
x
1
1+-n
n-
n
e)
C + x cos - = dx x sen
f)
C + x sen= dx x cos
g)
C + x tg = dx x sec
2
h)
C + x sec= dx x tg . x sec
i)
C + x tg arc =
x + 1
dx
2
j)
C + x senarc =
x - 1
dx
2
k)
C + x cos arc =
x - 1
dx
-
2
Nota: La presente tabla no agota la totalidad de integrales que pueden ser consideradas como
inmediatas, sino se trató de ejemplificar las más usuales.
3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
3.1. Derivada de la integral
Por definición de integral, podemos decir:
f(x) = (x) F =C] + (x) F [ D C + (x) F = dx (x) f
Si derivamos ambos miembros de la primera parte de la expresión de la definición de
integral tendremos, que se mantiene la igualdad, dado que si las funciones son iguales, también
lo son sus derivadas. Entonces:
] C + (x) F [ D = dx (x) f D
por lo tanto resulta que:
(x) F = dx f(x) D
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3
pero, por la definición de integral indefinida, resulta que:
(x) f = (x) F
y, por carácter transitivo podemos afirmar:
(x) f = dx (x) f D
es decir:
"La derivada de una integral de una función da como resultado la misma función"
Veamos un ejemplo:
C +
4
x
= dx x
4
3
resultado al que llegamos aplicando la fórmula de integración respectiva. Si derivamos a ambos
miembros, resulta:
3
34
3
x =
4
x 4
= C +
4
x
D = dx x D
con lo que se verifica numéricamente, la propiedad.
3.2 Integral de una diferencial
Teniendo en cuenta la definición de integral, podemos afirmar:
(x) f = (x) F C + (x) F = dx (x) f
si diferenciamos la segunda parte de esta expresión, resulta:
d [f (x)] = d [ F'(x) ]
resolviendo las diferenciales tenemos:
f'(x) dx = F" (x) dx
dado que la diferencial de una función es igual a la derivada de la misma, multiplicada por la
diferencial de la variable independiente. Calculemos ahora la siguiente integral:
dx (x) F = dx (x) f =(x)] [f d
pero resulta que:
(x) F =C] + (x)F [ D C + (x) F = dx (x) F
y como por la definición de integral resulta que:
f (x) = F'(x)
por carácter transitivo podemos afirmar:
C + (x) f =(x)] [f d
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
4
es decir:
"La integral de la diferencial de una función resulta igual a la misma función más la
constante de integración"
Veamos un ejemplo:
si f (x) = sen x resultará d [ f (x) ] = cos x dx
por lo tanto:
C + (x) f = C + x sen= dx x cos =(x)] [f d
3.3. Integral de una suma de funciones
Por la definición de integral indefinida resulta que:
(x) f = (x) F =C] + (x) [F D C + (x) F = dx (x) f
Si consideramos ahora la suma de dos funciones: F (x) = G (x) + H (x)
su derivada será: F'(x) = G'(x) + H' (x)
Teniendo en cuenta que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las
derivadas de cada una de ellas, y además:
F'(x) = f (x) entonces f (x) = G'(x) + H'(x) (1)
si llamamos:
g (x) = G' (x) entonces G (x) es primitiva de g (x)
y h (x) = H' (x) entonces H (x) es primitiva de h (x) (2)
reemplazando en (1) resulta: f (x) = g (x) + h (x); por lo tanto, si calculamos la integral
indefinida resultará:
C +(x)] H+ (x)[G = C + (x) F = dx(x)] h + (x) [g = dx (x) f
es decir:
C + (x) H + (x)G = dx(x)] h + (x)[g
(3)
Teniendo en cuenta lo expresado en (2) resulta que:
21
2
1
C + C + (x) H + (x)G = dx (x) h + dx (x) g
C + (x) H = dx (x) h
+
C + G(x) = dx (x) g
resultado que obtenemos sumando miembro a miembro las dos igualdades, que por supuesto da
otra igualdad. Además, si consideramos que la suma de dos constantes da siempre otra constante,
podemos hacer:
21
C +C = C
donde resulta:
(4) C + (x) H + (x)G = dx (x) h + dx (x) g
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5
Si comparamos ahora las expresiones (3) y (4) resulta que los segundos miembros de
ambas son iguales, por lo tanto, también tienen que ser iguales los primeros miembros, es decir:
dx (x) h + dx (x) g = dx(x)] h + (x) [g
por lo tanto:
"La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones"
Veamos un ejemplo:
C +
3
x
+
4
x
= dx x + dx x = dx )x + (x
34
2323
3.4 Integral de una constante por la función
Por definición de integral indefinida resulta:
(x) f = (x) F C + (x) F = dx (x) f
Sea: F (x) = k G (x) donde k es una constante cualquiera que pertenece al conjunto de los
números reales. Si derivamos ambos miembros resultará: F' (x) = K G' (x)
Dado que la derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la
constante por la derivada de la función.
Si además consideramos: G'(x) = g (x), entonces G (x) es una primitiva de g (x).
SI tenemos en cuenta las igualdades vistas anteriormente, podemos decir que:
F'(x) = k G'(x) = k g (x) = f (x)
Si calculamos ahora la integral siguiente, resultará:
(1) C + (x)G k = C + (x) F = dx (x) g k =dx (x) f
y además:
1
C + (x)G = dx (x) g
por ser G (x) una primitiva de g (x)
multiplicando ambos miembros de esta igualdad por k, la misma se mantendrá, es decir:
11
C k +(x)G k =] C + (x)[G k = dx (x) g k
reemplazando k
1
C
= C por ser ambas constantes de integración, la expresión anterior quedará:
(2) C = G(x) k = dx (x) g k
Si comparamos las expresiones (1) y (2), los últimos miembros de ambas son iguales, por
lo tanto, por carácter transitivo también lo serán los primeros miembros, y entonces:
dx (x) g k = dx (x) g k
es decir:
"La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la
función"
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6
Veamos un ejemplo:
C x cos 3 - dx x sen 3 dx x sen3
4.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Como ya hemos mencionado, no siempre la integral de una función nos da una función
elemental conocida y además, no siempre la función a integrar responde a algunas de las
integrales llamadas inmediatas. En este último caso, es necesario aplicar algunos de los métodos
que veremos a continuación. Los mismos representan técnicas adicionales, aplicables en algunos
de los casos, para tratar de llevar la expresión a integrar a una forma inmediata o de más fácil
resolución.
En general, los métodos se basan en propiedades de las funciones de las integrales que ya hemos
considerado anteriormente.
4.1 Integración por Descomposición - Linealidad de la Integración
Este método se basa en las propiedades de las integrales vistas anteriormente en los puntos 3.3 y
3.4:
dx (x) g + dx (x) f = dx(x)] g + (x) [f
dx (x)f k = dx (x) f k
Su aplicación principal, aunque se usa en otros casos también, es en las funciones de tipo
polinómicas. Consideremos, por ejemplo el siguiente polinomio:
n
n
3
3
2
210
x a + ... + x a + x a + x a +a = (x) P
calculamos su integral:
dx )x a +...+ xa + x a + x a + (a = dx (x) P
n
n
3
3
2
210
al aplicar las propiedades vistas anteriormente, resulta que:
= dx xa + ... + dx x a + dx xa + dx a = dx P(x)
n
n
2
210
con lo cual se logra una serie de integrales de fácil resolución. Es decir:
C +
1+n
x
a + ... +
3
x
a +
2
x
a + x a = dx (x) P
1 + n
n
3
2
2
10
lo que nos permitió resolver el problema.
Veremos a continuación un ejemplo de aplicación del método que nos permitirá entender
mejor el problema. Calcularemos:
= dx
x
6
-
x
x3
+
x
x
= dx
x
6 - x 3 + x
= I
33
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7
= dx
x
6
- x x 3 + x
1-1/22
aplicamos el método de descomposición, donde resulta:
C + x ln 6 - x6 +
3
x
=
x
dx
6 - dx x 3 + dx x = I
3
1/2-2
con lo cual hemos logrado resolver la integral.
4.2 Integración por Sustitución
Este método es también conocido como "Integración por la Regla de la Cadena", por
similitud a la regla de la cadena utilizada en derivadas de funciones compuestas.
Este método se aplica, en general, cuando tenemos que integrar una función de función (o
función compuesta).
Consideremos dos funciones derivables: y = F (u)
u = g (x)
y = F [ g (x) ]
derivando, para lo cual hay que aplicar la regla de la cadena, resulta que:
y'= F'(u) . g'(x)
si además:
F (u) es primitiva de f (u) entonces F'(u) = f (u)
de donde:
y'- F' (u) . g' (x) = f (u) . g'(x) = f [ g (x)] . g' (x)
Ahora bien, si tenemos una integral del tipo:
dx (x) g .(x)] [g f
y teniendo en cuenta que: u = g (x)
du = g'(x) dx
reemplazando en la integral:
C +(x)] [g F = C + (u) F =du (u) f = dx (x) g(x)] [g f
que nos ha permitido resolverla.
A continuación presentamos una serie de ejemplos que nos permitirá apreciar la mayoría
de los casos que se resuelven aplicando el método de integración por sustitución:
a)
= dx ax cos
si llamamos u = ax
du = a dx
a
du
= dx
entonces:
= C +u sen
a
1
=du u cos
a
1
=
a
du
u cos = dx ax cos
C + ax sen
a
1
4.3 Integración por partes
Es una técnica que se utiliza para transformar una integral a formas más sencillas que la
dada originalmente y así poder resolverla. Su justificación se basa en el cálculo de la diferencial
de un producto de dos funciones, es decir:
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d (u . v) donde u = u (x)
v = v (x) es igual a:
d (u . v) = D (u . v) dx = (u'v + v' u) dx = v u' dx + u v' dx
y si tenemos en cuenta que:
u = u (x)
du = u' dx
v = v (x)
dv = v' dx
Reemplazando:
d (u . v) = v du + u dv
De donde: u dv = d (u . v) - v du
Si integramos ambos miembros y aplicamos propiedades de la integral indefinida, tendremos:
du v - v .u =du v - v) .(u d = dvu
Luego:
du v - v .u = dvu
que resulta la fórmula a utilizar.
En general puede decirse que: "La integral del producto de una función por la diferencial
de otra, es igual al producto de ambas funciones menos la integral de la segunda por la
diferencial de la primera función".
Veamos el siguiente ejemplo. Primero lo resolveremos eligiendo correctamente los
factores y luego haremos la elección incorrecta de los mismos para que se vea como aparece una
segunda integral más difícil de resolver, que la primera.
Consideremos:
dx e x
x
si elegimos: u = x
du = dx
dv =
xxx
e = dx e = dv = v dx e
de donde:
C + e - e x = dx e - e x = dx e x
xxxxx
Nótese que la constante de integración "C" recién fue colocada al finalizar con las
integraciones y no en el cálculo de las integrales intermedias, es decir, al calcular la
dv
; esto se
hace, ya que, como veremos a continuación, el uso de la constante intermedia dan el mismo
resultado que si la colocamos al final. Como ejemplo calcularemos la misma integral anterior,
utilizando todas las constantes de integración, es decir:
= dx e x
x
si elegimos: u = x
du = dx
dv =
1
xxx
C + e = dx e = dv = v dx e
de donde resulta:
= dxC - dx e - C x + e x =
= dx )C + (e - )C + (e x = dx e x
1
x
1
x
1
x
1
xx
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
9
C + e - e x = C + C + e - e x =
= C + C x - C + e - C x + e x =
xx32
xx
312
x
1
x
Teniendo en cuenta que la suma de dos constantes es otra constante:
C = C + C
32
Con lo que se puede comprobar que el resultado obtenido es el mismo que el logrado colocando
la constante al finalizar todas las integraciones.
Veremos a continuación la manera incorrecta de resolverla:
=dx x e
x
si elegimos:
dx edu e =u
xx
dv = x dx
v =
2
x
= dx x = dv
2
de donde resulta:
dx e x
2
1
-
2
x e
= dx e
2
x
-
2
x
e = dx x e
x2
2x
x
22
xx
donde podemos observar que la integral que nos queda es más complicada que la original y este
hecho nos indica que la elección es incorrecta.
INTEGRALES DEFINIDAS
1.- INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN CAUCHY
Si consideramos una función y = f (x) positiva y contínua en un intervalo cerrado
a,b
, su
gráfica conjuntamente con el eje "x" y las ordenadas correspondientes a los extremos del intervalo limitan una
región del plano, cuya forma se designa como trapezoide y a cuya superficie o área (A) la llamaremos la integral
definida de la función entre los límites o extremos que corresponden a los del intervalo. Es decir :
b
a
dxxfA )(
A
a b
x
y
f(x)
Para calcular dicha área procedemos a dividir el intervalo
a b,
en un número finito de
subintervalos, cuyos tamaños o amplitud pueden ser todas iguales o distintos, lo cual va a constituir una partición
de dicho intervalo.-
La máxima distancia entre dos puntos cualquiera de un subintervalo constituye el diámetro del
mismo y el mayor de todos los diámetros de los subintervalos componentes de la partición , la norma de la misma.-
Además, si consideramos dos particiones distintas de un mismo intervalo y una tiene menor norma
que la otra, se dice que dicha partición es más refinada o más fina que la otra. Asimismo, es necesario tener, en
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
10
cuenta que si una función es continua en un intervalo cerrado, lo será también en cada uno de los subintervalos que
se generan en él mediante una partición cualquiera y si consideramos que una propiedad de la función continua en
un intervalo cerrado es la de alcanzar un máximo (M) y un mínimo (m) en dicho intervalo, esto mismo deberá
ocurrir en cada subintervalo. Es decir, podemos afirmar que en cada uno de los subintervalos que se originan por
una determinada partición del intervalo
a b,
existirá un máximo (M
i
) y un mínimo (m
i
).
Por lo tanto, si hacemos una partición del intervalo considerado en "n" partes, que pueden ser todas
iguales o distintas, nos quedarían los siguientes subintervalos:
n1ni1i322110
x,x,...,x,x,...,x,x,x,x,x,x
Donde resulta que:
bxxxxxxa
ni1i210
y además podemos suponer que dicha partición tiene una determinada
norma
.
Debemos considerar asimismo, que existirán un máximo y mínimo en cada uno de los subintervalos,
que llamaremos:
n1nnn
i1iii
2122
1011
x,xdel los mM
x,xdel los mM
x,xdel los mM
x,xdel los mM
Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente podemos calcular un área inferior y otra superior en
cada subintervalo de la partición. A manera de ejemplo, lo haremos en un subintervalo genérico de ella:
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
11
A continuación y para mayor claridad haremos el gráfico con el subintervalo genérico únicamente,
entendiendo que lo mismo ocurre en los " n" subintervalos correspondientes de la partición considerada :
En el cual se puede apreciar claramente que el área superior corresponde a la superficie de un
rectángulo de base igual a la amplitud del subintervalo y de altura, el máximo del mismo. De manera similar, el área
inferior tiene la misma base, pero su altura corresponde al mínimo. Por lo tanto:
1iiiI
1iiiS
xxmA
xxMA
i
i
y además, se puede expresar el área de un rectángulo intermedio, comprendido entre los otros dos,
teniendo en cuenta que entre el máximo y el mínimo del subintervalo van a estar comprendidos todos los valores de
la función . Por lo tanto:
iiiii1i
M)c(fmxcx
Es decir, podemos plantear el área media de la siguiente manera:
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
12
)xx()c(fA
1iii
i
M
de tal forma que se cumpla siempre que:
i
S
i
M
i
I
AAA
Esto mismo deberá cumplirse para cada uno de los subintervalos en que se encuentra dividido el
intervalo mediante la partición. Por lo tanto, podemos expresar:
1
s
1
M
1
I
AAA
AAA
2
S
2
M
2
I
AAA
iii
sMI
N
S
n
M
n
I
AAA
y si sumamos las "n" desigualdades planteadas, obtendremos otra desigualdad del mismo sentido que
resulta:
n
S
2
S
1
S
n
M
2
M
1
M
n
I
2
I
1
I
AAAAAAAAA
Es decir:
A A A
I
i
n
M
i
n
S
i i
n
i i i
1 1
Ahora bien, si tomamos particiones cada vez más refinadas (aumentando el número de subintervalos)
las tres áreas se aproximan entre si, por lo tanto se puede suponer que si el número de subintervalos tiende a infinito
(por consiguiente la norma tiende a cero) las tres áreas tenderán a igualarse.- Teniendo en cuenta esto, podemos
suponer que en el límite para el número de subdivisiones tendiendo a infinito serán iguales, por lo tanto:
n
1i
S
n
n
1i
M
n
n
1i
I
n
iii
AAA
limlimlim
y a dichos límites los denominaremos la integral definida de la función y = f(x) en el intervalo
cerrado
a b,
y ello nos posibilita calcular el área real encerrada por la función, el eje de las absisas (x) y las
ordenadas correspondientes a los extremos del intervalo, Es decir:
a
b
n
1i
1iii
n
n
1i
M
n
R
dx)x(f)xx(.)c(fAA
limlim
i
Lo que constituye la definición de la Integral definida (según Cauchy).
3- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
13
Las propiedades de la linealidad de la integral indefinida vistas y demostradas anteriormente, se
verifican en el caso de la integral definida, de manera similar.
3.1.- Integral definida de una suma de funciones
Demostraremos a continuación que:
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f
para ello vamos a considerar la definición de integral definida:
)c(g)c(f)xx(
xd)x(g)x(f
ii1i
n
1i
i
n
b
a
lim
donde podemos aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
n
1i
i1iii1ii
n
)c(g)xx()c(f)xx(
lim
si luego tenemos en cuenta la propiedad de la sumatoria de una suma que puede descomponerse en
dos sumatorias resulta:
n
1i
n
1i
i1iii1ii
n
)c(g)xx()c(f)xx(
lim
si aplicamos ahora la propiedad del límite de una suma, que es igual a la suma de los límites, tenemos
que:
i
n
1i
1ii
n
i
n
1i
1ii
n
cgxxcfxx
limlim
y si consideramos que:
i
n
1i
1ii
n
b
a
n
1i
i1ii
n
a
b
cg xx dx xg
cf xx dx xf
lim
lim
reemplazamos en la expresión anterior:
b
a
b
a
b
a
dx xgdx xfdx xgxf
3.2.- Integral definida del producto de una función por una
constante
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
14
Vamos a demostrar que:
b
a
b
a
dx xfkdx xfk
Al igual que en la propiedad anterior, se usará la definición de la integral definida:
n
1i
i1ii
n
b
a
cf k xxdx xfk
lim
Si aplicamos primero las propiedades de las sumatorias que nos permiten sacar fuera del signo las
constantes y luego la del límite del producto que nos dice que es igual al producto de los límites, resultará:
i1ii
nn
n
1i
i1ii
n
cfxx k
cfxxk
limlim
lim
Si calculamos a continuación los límites, tendremos que el primero es el límite de una costante que
resulta igual a la misma constante y el segundo es la definición de la integral definida de una función, por lo tanto:
b
a
b
a
dx xfkdx xfk
A continuación veremos otras propiedades, que son propias de la integral definida:
3.3.- Integral definida con extremos de integración iguales
En esta propiedad vamos demostrar que:
0dx xf
a
a
Para ello tendremos en cuenta lo visto en la definición de integral definida:
n
1i
1iii
n
1i
n
1i
1iii1iii
xxM xx cf xxm
(1)
además, si llamamos M al máximo y m al mínimo de todo el intervalo cerrado
a b,
debe resultar
que:
mmMM
ii
por lo tanto se debe verificar:
xxM xxM
1ii1iii
n
1i
1ii
n
1i
1iii
xxM xxM
n
1i
1ii
n
1i
1iii
xxM xxM
Análisis Matemático I - F.I. - U.N.N.E.
15
abM xxM
n
1i
1iii
donde se pudo extraer M del signo sumatoria por no depender de los subintervalos considerados, es
decir de "i", y además, la sumatoria de todos los subintervalos de la partición nos va a dar el intervalo completo. De
manera similar se puede analizar para el mínimo. Por consiguiente :
xx m xxm
1ii1iii
n
1i
1ii
n
1i
1iii
xxm xxm
n
1i
1ii
n
1i
1iii
xxm xxm
ab m xxm
n
1i
1iii
si remplazamos en la formula (1):
abM xx cf ab m
n
1i
1iii
y como se quiere hallar la integral cuyos extremos de integración coinciden, entonces el intervalo será
a a,
cuya amplitud es : a - a = 0
Por lo tanto:
0 xx cf 0
n
1i
1iii
y si aplicamos el límite para ¨n¨ tendiendo a infinito :
0 xx cf 0
n
1i
n
1iii
nn
limlimlim
y como resulta que el límite de cero es el mismo valor por ser una constante y teniendo en cuenta el
Teorema de Confrontación entre límites podemos ver que:
0 xx cf
n
1i
1iii
n
lim
y dicho límite resulta la integral definida, por lo tanto :
0 dx xf
a
a
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