Problemas y ejercicios
resueltos de
Termodinámica I
Julián Moreno Mestre
Estudiante de Ciencias Físicas
Universidad Complutense de Madrid
"Lo que hacemos por nosotros mismos, muere con nosotros. Lo que hacemos por los
demás y por el mundo, permanece y es inmortal." Albert Payne
Julián Moreno Mestre
1
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
2
Índice:
PRÓLOGO ………………………………………………………………………. 4
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA ……………………………………………… 5
CAPÍTULO 1º. Principio cero de la termodinámica y temperatura. Ecuaciones
de estado. Coeficientes termodinámicos importantes. Relaciones diferenciales en
termodinámica. …………………………………………………………….…….. 6
CAPÍTULO 2º. Trabajo en termodinámica. Relaciones entre las derivadas
parciales. Primer principio de la termodinámica. Coeficientes calorimétricos …. 22
CAPÍTULO 3º. Segundo principio de la termodinámica. Temperatura
termodinámica y entropía. Principio de aumento de entropía. Ecuación
fundamental de la termodinámica. Ecuaciones TdS. …………………………….. 42
CAPITULO 4º. Potenciales termodinámicos. Relaciones de Maxwell…………... 78
CAPÍTULO 5º. Transiciones de fase. Regla de las fases. ……………………….. 102
Julián Moreno Mestre
3
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
4
PRÓLOGO:
Tras muchos años cursando como alumno la asignatura de Termodinámica I en la
facultad de ciencias físicas de la Universidad Complutense de Madrid, decidí hacer un
recopilatorio de parte de los problemas que he estudiado y resuelto en la asignatura.
Mi experiencia positiva en las asignaturas de Mecánica y Ondas II y Electromagnetismo
I, en las que contribuí a escribir librillos de problemas con la academia INTEC con
Ramón Fernández Villegas, me ha llevado a hacer lo mismo con Termodinámica I. El
resultado en termodinámica fue un notable y conocer mejor la termodinámica, y fruto
del trabajo en la asignatura ha quedado además esta colección de problemas resueltos
que espero les sirva de ayuda.
Muchos de los problemas son ejercicios de clase de la asignatura. La mayoría de los
problemas provienen de libros de termodinámica. En cada uno he procurado contrastar
la solución final que daban los libros o en clase. No obstante, prefiero advertir que al ser
una publicación sin revisión puede ser posible encontrar no pocos errores. Si cualquiera
que lea este documento encuentra un error comuníquemelo al mail para su posterior
corrección y mejora de este texto.
No es un texto completo en problemas para la asignatura. La ausencia de colecciones de
problemas de sistemas abiertos, así como la ausencia de problemas y numerosos casos
prácticos en lo referente al equilibrio termodinámico y al tercer principio, dejan
incompleto este texto. No obstante estará abierta la posibilidad de un sexto capitulo o
ampliación de algunos que incluya y corrija la ausencia de estos temas que se imparten
en Termodinámica I.
Ideal sería dotar a este texto de un Capítulo 0 que trate sobre los métodos matemáticos
utilizados en Termodinámica I, como es la integración de ecuaciones diferenciales en
una y varias variables.
Quiero expresar mi agradecimiento a la profesora del departamento de Física Aplicada I
Vicenta Maria Barragán por la gran cantidad de dudas que me resolvió con los
problemas. Sin duda sus orientaciones me han servido para resolver ciertos problemas
que puedo presentar en el presente texto.
También mi agradecimiento al fallecido profesor José Aguilar Peris, del cual es
imposible no considerarse alumno suyo cuando he aprendido mucho de su libro Curso
de Termodinámica. No son pocos los problemas que he sacado de su libro.
Es mi deseo dedicarle este texto a todos los compañeros de la facultad de ciencias
físicas de la complutense, espero que les sirva de mucha ayuda, y espero me disculpen
por algún posible error que puedan encontrar.
Julián Moreno Mestre
Madrid, 25 de Marzo de 2008
julianmorenomestre@hotmail.com
Julián Moreno Mestre
5
BIBLIOGRAFÍA:
Para la elaboración de esta colección de problemas así de cómo los resúmenes de teoría
se ha consultado varios libros.
Curso de termodinámica. José Aguilar Péris. Ed. Alhambra Longman .
Termo I y II. Manuel Zamora Carranza. Ed. Universidad de Sevilla.
Físicoquímica I y II. Levine, Ed. Mac Graw Hil.
Problemas de Física Vol. III Termología. E. Gullón de Senespleda y M. López
Rodríguez. Ed. Librería internacional de Romo SL.
100 Problemas de Termodinámica. J. A. Manzanares y J. Pellicer. Ed. Alianza.
Calor y Termodinámica. Zemansky y Dittman. Ed. Mac Graw Hill.
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
6
CAPÍTULO 1º
Principio cero de la termodinámica y temperatura. Ecuaciones de estado.
Coeficientes termodinámicos importantes. Relaciones diferenciales en
termodinámica.
Resumen de teoría:
Principio cero de la termodinámica:
- Dos sistemas aislados A y B puestos en contacto prolongado alcanzan el
equilibrio térmico.
- Si A y B separadamente están en equilibro térmico con C, están también en
equilibrio térmico entre si. (Propiedad transitiva)
Temperatura empírica:
PT
16.273)(
x
x
x =
θ
Ecuaciones de estado importantes:
Gas ideal:
nRTpV
=
Sólido paramagnético (Ley de Curie):
HCTM
=
Gas de Van der Waals:
nRTnbV
V
an
p =−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ )(
2
2
Coeficientes termodinámicos importantes:
Dilatación cúbica Compresibilidad isoterma Piezotérmico
1
p
V
VT
β
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
1
T
T
V
Vp
κ
⎛⎞
∂
=−
⎜⎟
∂
⎝⎠
1
V
p
p
T
α
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
Julián Moreno Mestre
7
Problemas:
1º
Los sistemas A y B son sales paramagnéticas con coordenadas (H, M) y (H’, M’)
respectivamente, mientras que el sistema C es un gas con coordenadas (p, V). Cuando
A y C están en equilibrio térmico se cumple: 0
=
−
MpVnRcH , y cuando lo están B y
C se cumple: EMBED Equation.3 0)'''('
=
+
−
aMHcnRpVM , siendo los símbolos
n, R, a, c y c’ constantes:
a) ¿Cuáles son las funciones, del par de variables de cada sistema, iguales entre si
en el equilibrio térmico?
b)
¿Cuál es la relación que expresa el equilibrio térmico entre los sistemas A y B?
Solución:
a) Partiendo de las relaciones entre los sistemas en el equilibrio, las funciones del par
de variables iguales entre si en el equilibrio son:
0
(' ' ')
'(''')0
'
nRcH
nRcH MpV pV
M
nR c H aM
MpV nRcH aM pV
M
⎫
−=→=
⎪
⎪
⎬
+
⎪
−+=→=
⎪
⎭
(' ' ')
'
nRcH nR c H aM
pV
MM
+
==
b) La relación en el equilibrio entre los sistemas A y B la extraemos a partir de la
relación obtenida en el apartado a):
(' ' ')
'
nRcH nR c H aM
MM
+
=→
(' ' ')
'
R
cH R c H aM
MM
+
=
2º
Los sistemas A y B son gases ideales con coordenadas (p,V) y (p,V), respectivamente,
y el sistema C es una sustancia elástica de coordenadas (F,L). Cuando A y C están en
equilibrio térmico se cumple:
2
0
2
0
0
L
L
kpV FR
LL
⎛⎞
−
−=
⎜⎟
⎝⎠
Cuando están en equilibrio térmico A y B se cumple:
'( ' ) 0pV p V b
−
−=
siendo b, R, k y L
0
constantes. ¿Cuáles son las funciones del par de variables de cada
sistema, iguales entre sí en el equilibrio térmico? ¿Cuál es la relación que expresa el
equilibrio térmico entre los sistemas B y C?
Solución: Partiendo de las relaciones de equilibrio:
2
0
2
2
0
0
2
0
0
'( ' ) 0 '( ' )
L
LFR
kpV FR pV
LL
L
L
k
LL
pV p V b pV p V b
⎫
⎛⎞
−−=→=
⎪
⎜⎟
⎛⎞
⎪
⎝⎠
−
⇒
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
−−=→=−
⎭
1
2
0
2
0
'( ' )
L
FR L
pV p V b
kLL
−
⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎝⎠
Partiendo de la relación entre el par de variables de cada sistema en el equilibrio,
podemos deducir la relación que expresa el equilibrio térmico entre B y C:
1
2
0
2
0
'( ' )
L
FR L
pV b
kLL
−
⎛⎞
−= −
⎜⎟
⎝⎠
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
8
3º
Un sólido dieléctrico tiene como variables la polarización , P, y el campo eléctrico E,
una sal paramagnética la imanación, I, y el campo magnético H y un gas tiene las
coordenadas presión, p, y la densidad
ρ
. Cuando están en equilibrio mutuo, el primero
y el segundo:
IPEH
β
χ
=
d
y cuando están en equilibrio el primero y el tercero cumplen la condición:
EP
d
p
ρχ
α
=
donde
α
y
β
son constantes y
d
χ
es la susceptibilidad dieléctrica del material no
conductor. ¿Cuál es la ecuación que expresa el equilibrio térmico entre el segundo y el
tercer sistema? Tomando como temperatura empírica la del gas ideal: mRMpVT /= ,
donde
M
es la masa molecular del gas, determinar las ecuaciones de estado de los tres
sistemas. (Carranza)
Solución: Despejamos E
d
χ
en las ecuaciones del equilibrio antes citadas:
IP
EH IP E=
IP P
H
E=
P
H
PEE=
dd
d
dd
p
p
p
β
χβχ
βα
χ
α
ρ
αρχ χ
ρ
⎫
=→
⎪
⎪
→=
⎬
⎪
=→
⎪
⎭
Por tanto el equilibrio entre el segundo y el tercero es:
I
H
p
β
α
ρ
=
En el problema la temperatura empírica del gas es:
p
T
α
ρ
=
Partiendo que la temperatura empírica del gas ideal es:
M
pV Mp V Mp M p
T
mR R m R R
ρ
ρ
== ==
Esto significa que la constante
α
es:
M
R
α
=
Por tanto la temperatura empírica del gas es:
M
p
T
R
ρ
=
Por la relación de equilibrio de la sal y el gas sabemos que la temperatura de la sal es:
I
H
T
β
=
Y por ello también sabemos que la temperatura empírica del sólido dieléctrico será:
IP
E= E
H
dd
PT PT
β
χχ
=
→=→
E
d
T
P
χ
=
Julián Moreno Mestre
9
4º
Tres sistemas, que llamaremos 1, 2 y 3 y que tienen el volumen y la presión como
variables mecánicas, se ponen en contacto térmico por parejas. Cuando el primero y el
tercero están en equilibrio térmico se cumplen:
12211
bpVpVp
=
−
y cuando lo están el segundo y el tercero:
(
)
aVpVpV
=
−
33223
donde a y b son constantes. ¿Cumplen estos tres gases el principio cero? Si lo hacen,
¿Cuáles son las funciones que se igualan en el equilibrio térmico? (Carranza)
Solución: Si lo cumplen, ya que existen dos ecuaciones que relacionan las variables de
estado de dos sistemas con uno de ellos, y esto implicará que todos los tres sistemas
van a estar ligados en el equilibrio por tres ecuaciones. Por tanto las funciones que se
igualan en el equilibro térmico son:
()
22 11 1
11 2 2 1
22 33
322 33
3
pV pV bp
pV pV bp
a
pV pV
VpV pV a
V
=−
⎫
−=
⎫
⎪
→→
⎬⎬
=+
−=
⎭
⎪
⎭
22 11 1 33
3
a
p
VpVbp pV
V
=−=+
5º
Tres gases 1, 2 y 3, cumplen las siguientes ecuaciones cuando se encuentran en
equilibrio térmico mutuo entre parejas:
α
α
β
α
lnln
1
22
1
+
+
=
p
Vp
V
β
lnln
3
22
3
+
+
=
hV
hVpk
p
donde
α
,
β
, k y h son constantes. Determinar las relaciones necesarias entre las
constantes para que se cumpla el principio cero y las funciones que definen la
temperatura empírica en cada sistema.
Solución: Realizamos un par de operaciones algebraicas:
22
1
1
122
1
1
122
ln ln
ln
ln
pV
V
p
VpV
p
V
p
pV
αβ
α
α
αβ
αα
ααβ
α
+
=+
+
=
=+
22
3
3
3
22
3
3
322
ln ln
ln
ln
kp hV
p
hV
p
kp hV
hV
p
hV k p hV
β
β
β
+
=+
+
=
=+
Si las constantes
k y h son proporcionales a
α
y
β
respectivamente, se cumplirá el
principio cero:
km
α
= hm
β
=
Donde m es una constante de proporcionalidad. Finalmente por igualación y
simplificación obtenemos:
3
1
22 1 3
ln ln
p
V
pV p V
αβα α
α
β
+= =
Se define la temperatura empírica como ( , )
X
Y
θ
θ
=
, en nuestro caso ( , )
p
V
θ
θ
= . Por
tanto las funciones que describen la temperatura empírica en los sistemas descritos son:
1
111 1
(,) ln
V
pV p
θα
α
=
222 2 2
(,)
p
VpV
θ
αβ
=
+
3
333 3
(,) ln
p
pV V
θα
β
=
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
10
6º
Los valores límites a 0→p del producto pV en un termómetro de gas a volumen
constante, en contacto térmico con dos sistemas,
θ
1
y
θ
2
, son 45.423 y 53.394 Pa·m
3
,
respectivamente. Calcúlese la relación de temperaturas T (
θ
1
)/T(
θ
2
), de los dos
sistemas. Si el sistema
θ
1
es una célula de punto triple del agua, ¿cuál es la temperatura
T(
θ
2
)?
Solución: Partiendo de la definición de temperatura en nuestro caso:
(,) (,)
X
YpVpV
θ
θθθ
=→==
Por tanto la relación de temperaturas:
11 1
22 2
()
45.423
0.851
( ) 53.394
TpVp
TpVp
θ
θ
=== =
7º
Supóngase que se define una escala absoluta de temperaturas, T’, tal que la diferencia
entre el punto triple del agua y el cero absoluto son 300 grados. ¿Cuál sería la
temperatura del punto de ebullición del agua? (La temperatura del punto de ebullición
del agua en la escala absoluta habitual es 373.15K).
Solución: Considerando la antigua temperatura en Kelvin, la aplicamos para conocer
las temperaturas en la nueva escala absoluta. Utilizamos la siguiente expresión:
3
( ) 273.16
x
Tx
x
=
Colocamos la temperatura del punto triple x
3
de la nueva escala absoluta de
temperaturas y consideraremos x como la temperatura de ebullición del agua en la
nueva escala, y T(x) , resultando la ecuación:
373.15
373.15 273.16 300
300 273.16
x
x=→==
409.81
8º
Un termómetro de gas, a volumen constante, se utiliza para determinar la temperatura
absoluta de un sistema. Las lecturas corregidas de la presión en el bulbo cuando, lleno
con diversas cantidades de gas, se pone en contacto con agua en el punto triple (p
0
) y
con el sistema (p) son:
p
0
(mmHg) 1000.00 800.00 500.00 200.00 100.00
p (mmHg) 1296.02 1036.86 648.11 259.30 129.66
Calcúlese la temperatura del sistema en la escala de los gases ideales.
Solución: Partiendo de la temperatura del agua en el punto triple y de la expresión:
0
00
273.16
p
p
TT
p
p
==
Determinamos cual es la temperatura calculada del sistema para cada muestra de gas:
p
0
(mmHg) 1000.00 800.00 500.00 200.00 100.00
p (mmHg) 1296.02 1036.86 648.11 259.30 129.66
T (K) 354.02 354.04 354.08 354.15 354.18
Haciendo una media aritmética de las temperaturas nos da como resultado aproximado
de la temperatura del sistema 354.09 K.
Julián Moreno Mestre
11
9º
Un termistor obedece la ley:
TB
eT
/
0
R)(R =
donde
0
R y B son constantes. Cuando se calibra dicho termistor en el punto triple del
agua se encuentra una resistencia
3
R = 938.7 Ω y en el punto de vapor R
v
= 1055.2 Ω.
Hallar la temperatura que mide ese termistor cuando su lectura es R = 1004,5 Ω.
Solución: Planteemos el sistema de ecuaciones exponenciales que se nos plantea para
calcular la temperatura que nos piden que mediría el termistor:
/273.16
0
/373.16
0
0
119.26 K
938.7 R
1452.6
1055.2 R
B
B
B
e
R
e
=−
⎫
=
⎬
=
Ω
=
⎭
Y ahora deducimos la temperatura del termistor sustituyendo las constantes:
119.26/
1004.5 1452.6 324.24 K
T
eT
−
=→=
10º
Un termopar se calibra manteniendo una de sus dos soldaduras en el punto de hielo,
t
h
= 0.00 ºC, y se obtiene:
2
)( ttt
βαε
+=
donde α = 0.04 mV/ºC y β = 4.00·10
-6
mV/ºC
2
. Determinar la fuerza electromotriz que
produce dicho termopar cuando una soldadura se encuentra en el punto de vapor,
t
v
= 100.00 ºC y la otra en el punto de fusión del cinc, t
Zn
= 419.53 ºC. (Carranza)
Solución: La fuerza electromotriz producida por el termopar entre las dos soldaduras
será debida a la diferencia de potencial generada en las dos soldaduras a distintas
temperaturas:
T
( ) ( ) 17.48 4.04 13.44 mV
Zn v
tt
ε
εε
=−=−=
11º
La resistencia de un termómetro de platino es de 18.56
Ω en el punto de fusión del
estaño y de 9.83 Ω en el punto triple del agua. En estos mismos puntos las presiones de
un termómetro de H
2
a volumen constante son 17.2 atm y 6.80 atm. Para otra cantidad
de gas en el bulbo se obtiene 1.85 atm y 1.00 atm. Además, las fuerzas electromotrices
de un termómetro cobre-niquel en los mismos puntos son 9.02 mV y 2.98 mV.
Determínese la temperatura de fusión del estaño en las distintas escalas termométricas.
Solución: Utilizaremos en los cálculos la expresión:
3
273.16
Sn
Sn
X
T
X
=
Calcularemos la temperatura ahora en cada termómetro:
Termómetro de platino:
18.56
273.16
9.83
Sn
T ==
515.76 K
Termómetro de gas H
2
:
12.7
273.16
6.8
Sn
T ==
510.17 K
Termómetro de otro gas:
1.85
273.16
1
Sn
T ==
505.35 K
Termómetro de Cu-Ni:
9.02
273.16
2.98
Sn
T ==
826.81 K
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
12
12º
La ecuación de estado de un gas perfecto es:
p
VnRT
=
Calcular el coeficiciente de compresibilidad isoterma y de dilatación cúbica.
Solución: Partiendo de las expresiones diferenciales de dichos coeficientes, derivando
determinaremos los mismos:
11
p
VnR
VT VpT
β
∂
⎛⎞
===→
⎜⎟
∂
⎝⎠
1
T
β
=
2
11
T
T
VnRT
Vp Vp p
κ
⎛⎞
∂
=
−==→
⎜⎟
∂
⎝⎠
1
T
p
κ
=
13º
Un mol de gas real, a presiones moderadas, cumple con la ecuación:
(
)
p
Vb RT−=
Donde R y b son constantes. Calcular el coeficiciente de compresibilidad isoterma y de
dilatación cúbica.
Solución: Partiendo de las expresiones diferenciales de dichos coeficientes, derivando
determinaremos los mismos:
1
p
VR
VT Vp
β
∂
⎛⎞
==→
⎜⎟
∂
⎝⎠
R
Vp
β
=
2
1
T
T
VRT
Vp Vp
κ
⎛⎞
∂
=
−=→
⎜⎟
∂
⎝⎠
2
T
R
T
Vp
κ
=
14º
Hallar el volumen final de 200 g de agua que sufre una compresión isoterma a 0 ºC
desde 1 bar hasta 300 bar.
Datos:
ρ
(0 ºC, 1 bar) = 999.84 kg/m
3
T
κ
= 0.50885 Gpas
–1
Solución: Sabiendo que:
1
ln ( )
TTT
T
VdV
dp V p f T
Vp V
κκκ
⎛⎞
∂
=− → =− → =− +
⎜⎟
∂
⎝⎠
Como es a temperatura constante, entonces ( ) ctefT
≡
:
ln
T
Vpk
κ
=
−+
Partiendo de los datos del problema, determinamos el volumen inicial ocupado por los
200 g de agua:
200
0.200032 L
999.84
i
m
V
ρ
== =
Y conocido el volumen inicial, convirtiendo las presiones y el coeficiente de
compresibilidad a pascales, obtendremos el volumen final:
() ()
()
ln
ln ln exp ln
ln
iTi
fiTfif iTfi
fTf
Vpk
V V pp V V pp
Vpk
κ
κκ
κ
=− +
⎫
−=− −→= − −
⎬
=− +
⎭
f
V
=
0.197012 L
Julián Moreno Mestre
13
15º
Una vasija contiene 8.450 g de agua a 0ºC y el resto de la misma se llena con parafina.
Cuando el agua se congela a 0ºC, se expulsan 0.620g de parafina. La densidad de la
parafina a 20ºC es 0.800 g/cm
3
y su coeficiente de dilatación 9.0·10
-4
K
-1
. Calcúlese la
densidad del hielo. Considérese la densidad del agua igual a 1g/cm
3
.
Solución: Integramos la ecuación diferencial del coeficiente de dilatación lineal de la
parafina:
1
ln ( ) ( ) ( )·
p
T
VV
TVTfpVTfpe
VT V
β
ββ β
∂∂
⎛⎞
=→ =∂→ = + → =
⎜⎟
∂
⎝⎠
A partir de la expresión de la densidad:
()
T
mm
e
Vfp
β
ρ
−
==
pensemos que al ser un proceso isobárico entonces f (p)
≡
cte , y que la masa de la
parafina es también constante, por tanto la expresión de la densidad de la parafina es:
()
T
Tke
β
ρ
−
=
Conociendo a 20 ºC = 293 K la densidad de la parafina, averiguamos el valor de la
constante k:
4
·9·10 293
(293) 0.8 1.041kg/Lke k
ρ
−
−
==→=
La densidad de la parafina a 273 K es:
4
·39·10 273
(273) 1.041 0.814 g/cme
ρ
−
−
==
El volumen de parafina desalojado es:
3
0.620
0.763cm
0.814
m
V
ρ
== =
La vasija a 0 ºC tenía inicialmente agua líquida y parafina, pero a 0 ºC el agua se
congela y cambia su densidad cambiando por tanto su volumen, el volumen de parafina
expulsado de la vasija es equivalente a la ganancia de volumen del agua al convertirse
en hielo. Por tanto el volumen del hielo será:
3
HO(s) HO(l)
22
8.450 0.763 9.212 cmVVV=+=+=
Teniendo en cuenta que toda la masa de agua líquida se convierte en hielo, la densidad
del hielo es por tanto:
HO
2
HO(s)
2
HO(s)
2
8.450
9.212
m
V
ρ
===
3
0.917 g/cm
Ejercicios y problemas de Termodinámica I
14
16º
Un hilo metálico de 0.0085 cm
2
de sección, sometido a una fuerza de 20 N y a la
temperatura de 20 ºC, está situado entre dos soportes rígidos separados 1.2 m.
a)
¿Cuál es la fuerza recuperadora final si la temperatura se reduce a 8ºC?
b) Si además de la anterior disminución de temperatura los soportes se acercan
0.012 cm, ¿cuál será la fuerza recuperadora final?
Supóngase que en todo momento el hilo se mantiene rectilíneo y que el coeficiente de
dilatación lineal y el módulo de Young isotermo tienen valores constantes e iguales a
1.5·10
-5
K
-1
y 2·10
11
N/m
2
, respectivamente.
Solución: A partir de las correspondientes relaciones diferenciales:
1
L
F
L
LT
β
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
T
LF
AL
ϕ
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
Procedemos a integrar las ecuaciones diferenciales:
1
LL
F
LL
T
LT L
ββ
∂∂
⎛⎞
=→∂=
⎜⎟
∂
⎝⎠
ln ( )
L
TLgF
β
=+
T
LF L F
AL LA
ϕ
ϕ
∂
∂∂
⎛⎞
=→=
⎜⎟
∂
⎝⎠
ln () () ln
FF
LfTfTL
AA
ϕ
ϕ
=+ → =−
Tras este proceso podemos distinguir la ecuación de estado más un término constante:
ln
L
F
TL cte
A
β
ϕ
=−+
Con un valor inicial, determinamos el valor del término constante.
5
611
20
1.5·10 ·293 ln1.2 30227.1
0.85·10 ·2·10
cte cte
−
−
=− +→=−
Por tanto:
ln 0.177808
L
F
TL
A
β
ϕ
=−−
Ahora respondemos a los apartados del ejercicio:
a) Tenemos que calcular la fuerza cuando la temperatura es 8 ºC.
5
611
1.5·10 ·281 ln1.2 0.177808
0.85·10 ·2·10
F
−
−
=− − →
50.6 NF
=
b) No solo la temperatura es de 8º C, sino que además cambia la longitud:
5
611
1.5·10 ·281 ln(1.19988) 0.177808
0.85·10 ·2·10
F
−
−
=− −→
33.8 NF =
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