PROBLEMARIO
SOLUCION DE SISTEMAS
DE
ECUACIONES LINEALES MEDIANTE
EL METODO DE GAUSS – JORDAN
JOSE BECERRIL ESPINOSA
LORENZO BENITEZ MORALES
IRENE RIVERA VALLADARES
CARLOS ZUBIETA BADILLO
INDICE
PRESENTACION
3
I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ¿PARA QUE?
4
II. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL 8
METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN
A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA 8
B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES 12
C) SISTEMAS SIN SOLUCION 16
D) SISTEMAS HOMOGENEOS
18
III ANALISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE
INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL
SISTEMA TENGA O NO SOLUCION
20
IV. USO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA PARA LA RESOLUCION
DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
25
V. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
31
VI. EJERCICIOS PROPUESTOS
34
VII. PROBLEMAS PROPUESTOS
37
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
43
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
44
BIBLIOGRAFIA 46
PRESENTACION
La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la
ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la
Ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales
sistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniería de la
UAM Azcapotzalco, en la materia Complementos de Matemáticas, se incluya el tema
solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan, por las
ventajas que éste ofrece.
Esperamos que estas notas sirvan de apoyo para aquellos alumnos que han llevado o lleven
el curso de Complementos de Matemáticas, que por alguna razón deseen contar con un
material sucinto del tema, con ejercicios similares a los que se proponen en los exámenes
departamentales. También resulta útil para quienes estén interesados en aprender y ejercitar
el método de Gauss-Jordan.
Por último, los ejercicios de estas notas se pueden resolver sin el auxilio de una calculadora
o computadora personal, sin embargo, incluimos una sección dedicada a la solución de
sistemas de ecuaciones lineales mediante el empleo de la calculadora TI-92, con
manipulación simbólica, ya que nos permite ilustrar cómo a través de estos instrumentos y
con el software adecuado, por ejemplo MATLAB o DERIVE (la TI-92 cuenta con
DERIVE) pueden obtenerse los mismos resultados. Las calculadoras graficadoras, dentro
del salón de clase, y las computadoras personales en casa o en los laboratorios escolares
son, sin duda, instrumentos de uso cotidiano.
3
I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ¿PARA QUE?
En esta sección se presentan cuatro problemas cuya solución requiere del planteamiento de
un sistema de ecuaciones lineales.
Problema 1.
Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de
níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de
mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de
cobre?
Solución:
¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?
Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina,
asignemos literales a esos números.
Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I.
y el número de toneladas que se extrae de la mina II.
Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales.
¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I? 0. x01.
¿Y de la mina II?
0
luego:
y02.
0 402.001. =+ yx
Análogamente para el cobre tenemos:
0 905.002. =+ yx
Así, para saber cuantas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
905.002.0
402.001.0
=+
=+
yx
yx
Problema 2.
Luis y Víctor son dos amigos que invierten en acciones bursátiles, entre ellos se entabla el
siguiente dialogo:
Víctor- He comprado acciones de alfa, peñoles y vitro.
Luis- ¿Qué cantidad tienes de cada una de ellas?
4
Víctor- ¡adivina!
Luis- Dime el valor total de tus acciones en tres días diferentes y te diré cuantas tienes de
cada una.
Victor- El martes 21 de noviembre del 2000 a precio de cierre las acciones valían 138900,
el 28 de noviembre valían 131220 y el 5 de diciembre 121280 pesos.
Luis conoce la siguiente información:
El 21 de noviembre el precio de alfa, peñoles y vitro era respectivamente 16.98, 9.0, 9.0; el
28 de noviembre 15.90, 8.72, 8.52 y el 5 de diciembre 14.08, 8.20, 8.76.
¿Qué cantidad de acciones tiene Víctor?
Solución:
¿Cuál es el problema? El número de acciones que tiene Víctor de cada tipo.
Asignemos literales, sean:
A la cantidad de acciones que tiene de alfa.
P la cantidad de acciones que tiene de peñoles.
V la cantidad de acciones que tiene de vitro.
Establezcamos relaciones algebraicas entre las literales.
El martes 21 de noviembre las acciones de alfa que adquirió Víctor valían 16.98A, las de
peñoles valían 9P, las de vitro valían 9V y todas juntas valían $138900 por lo tanto:
16 1389009998. =++ VPA
Análogamente para el 28 de noviembre se tiene:
15 13122052.872.890. =++ VPA
Y el 5 de diciembre:
14 12128076.820.808. =++ VPA
Luis sabrá el número de acciones que tiene Víctor sí resuelve el sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas:
15
12128076.820.808.14
13122052.872.890.
1389009998.16
=++
=++
=++
VPA
VPA
VPA
5
Problema 3.
En una fabrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada
prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se
elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para
cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2,
50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3,
65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes
se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y
empaquetar?
Solución.
Queremos saber cuantos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemos
literales.
Sea x el número de lotes de camisas del tipo 1 que se pueden producir.
Sea y el número de lotes de camisas del tipo 2 que se pueden producir.
Sea z el número de lotes de camisas del tipo 3 que se pueden producir.
Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.
El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30x, del tipo 2 es
50y, y del tipo 3 es 65z.
El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es:
30
zyx 6550 ++
Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar
∴
30 4806550
=++
zyx
Análogamente en coser se tiene:
40 4804050
=++
zyx
En planchar y empaquetar tenemos:
50 4801550 =++ zyx
Luego sí queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas.
40
480155050
4804050
480655030
=++
=++
=++
zyx
zyx
zyx
6
Problema 4.
Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del
fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del
compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una
unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A,
1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden
producir si se usa todo el material químico disponible?
Solución.
Queremos saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir,
asignemos literales.
Sea x el número de unidades del fertilizante del tipo I.
Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II.
Sea z el número de unidades del fertilizante del tipo III.
Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.
La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I es 10x, del
tipo II es 20y, y del tipo III es 50z.
El número total de kilogramos del compuesto A es:
10
zyx 5020 ++
Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A.
∴
10
16005020 =++ zyx
Análogamente para el compuesto B se tiene
30 120030
=+
yx
Para el compuesto C se tiene
60 32005050
=++
zyx
Así, para saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir , hay que
resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
30
3200505060
120030
1600502010
=++
=+
=++
zyx
yx
zyx
Al terminar la sección II el lector estará en condiciones de resolver los sistemas de
ecuaciones lineales anteriores.
7
II. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL
METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN
En esta parte el lector hallará la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el
Método de Gauss-Jordan. El tema se presenta en 4 secciones: A) sistemas con solución
única, B) sistemas con infinidad de soluciones, C) sistemas sin solución y D) sistemas
homogéneos.
A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-
Jordan.
3
45
342
132
=−−
−=−−
=++
zyx
zyx
zyx
Solución.
a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.
−
−−
−−
4
3
1
115
423
132
Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones
elementales en los renglones de la matriz, para ésto, escribiremos la matriz y a continuación
una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando
para que el lector pueda seguir el desarrollo.
Notación para las operaciones elementales en renglones
i
cR nuevo renglón i de la matriz aumentada.
ji
RR ↔ intercambio del renglón i con el renglón j.
ji
RaR + nuevo renglón j de la matriz aumentada.
b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.
−
−−
−−
4
3
1
115
423
132
→
1
2
1
R
−
−−
−−
4
3
115
423
1
2
1
2
1
2
3
→
+−
+−
31
21
5
3
RR
RR
−
−−
−−
2
3
2
9
2
1
2
7
2
17
2
11
2
13
2
1
2
3
0
0
1
8
→
−
3
2
13
2
2R
R
−− 37170
10
1
13
9
2
1
13
11
2
1
2
3
→
+
32
17 RR
13
192
13
9
2
1
13
96
13
11
2
1
2
3
00
10
1
→
3
96
13
R
2100
10
1
13
9
2
1
13
11
2
1
2
3
→
+−
+−
13
2
1
23
13
11
RR
RR
−
−
2
1
100
010
01
2
1
2
3
→
+−
12
2
3
RR
−
2
1
1
100
010
001
⇒
2
1
1
=
−=
=
z
y
x
c) Interpretación del resultado. La última matriz escalonada reducida indica que:
La solución del sistema es . 2,1,1
=−==
zyx
2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
5
234
73
1423
=++
−=−−
=++
zyx
zyx
zyx
Solución.
a) La matriz aumentada del sistema es:
−−−
2
7
1
134
315
423
El primer elemento del primer renglón queremos que sea uno, una manera de obtenerlo es
dividiendo entre 3, sin embargo, no es el único camino (ni el mejor) para obtenerlo, en este
caso obtendremos −1, primero y después haremos cero los demás elementos de la primer
columna, posteriormente obtendremos 1.
b) Desarrollo.
−−−
2
7
1
134
315
423
→
+−
13
RR
−
−
−−
−−
2
7
1
134
315
311
→
+
+
31
21
4
5
RR
RR
−
−
−
−
−
−−
2
12
1
1310
1260
311
→
−
−
2
6
1
1
R
R
−−
−
−
2
2
1
1310
210
311
→
+
32
RR
−
−
0
2
1
1100
210
311
→
3
11
1
R
−
−
0
2
1
100
210
311
9
→
+
+
13
23
3
2
RR
RR
0
2
1
100
010
011
→
+−
12
RR
−
0
2
1
100
010
001
∴
0
2
1
=
=
−=
z
y
x
c) Resultado.
La solución del sistema es . 0,2,1 ==−= zyx
3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
b
532
42
3
6
=−
=+
=+
−=−
da
dc
c
ba
Solución.
Escribiendo la matriz aumentada del sistema y reduciendo de acuerdo a la operación
indicada tenemos:
−
−−
53002
42100
30110
60011
→
+−
41
2 RR
−
−−
173020
42100
30110
60011
→
+−
42
2 RR
−−
−−
113200
42100
30110
60011
→
+
43
2 RR
−−
191000
42100
30110
60011
→
+−
34
2 RR
−
−−
191000
340100
30110
60011
→
+−
23
RR
−
−−
191000
340100
370010
60011
→
+
12
RR
−
191000
340100
370010
310001
∴
19
34
37
31
=
−=
=
=
d
c
b
a
10
4) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
038964
042164
0864
0461636
=+−++
=+−++
=++−+
=++−+
FEDB
FEDB
FEDB
FEDB
64389
44216
648
364616
−=+−+
−=+−+
−=++−
−=++−
FEDB
FEDB
FEDB
FEDB
Solución.
Escribimos la matriz aumentada y reducimos.
−−
−−
−−
−−
641389
414216
641181
3614616
→
↔
21
RR
−−
−−
−−
−−
641389
414216
3614616
641181
→
+−
23
RR
−−
−−
−−
−−
641389
414216
320880
641181
→
+−
+−
−
41
31
2
8
1
9
16
RR
RR
R
−−
−−
−
−−
512812800
102015201300
40110
641181
→
+−
+−
+
42
32
12
80
130
8
RR
RR
RR
−
−
−
−−
19286800
5001511000
40110
321701
→
4
4
1
3
5
1
R
R
−
−
−
−−
4821700
10032200
40110
321701
→
−
43
2217 RR
−
−
−
−−
6447000
10032200
40110
321701
→
−
4
7
1
R
−
−
−
−−
921000
10032200
40110
321701
→
+
+−
34
14
3 RR
RR
−
−
−
−
921000
17602200
40110
600701
→
3
22
1
R
−
−
−
−
921000
80100
40110
600701
→
+
+
23
13
7
RR
RR
11
−
−
−
921000
80100
40010
40001
Así .
92,8,4,4 −=−=−== FEDB
B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES
5) Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.
242
5323
=−+
=+−
zyx
zyx
Solución.
−
−
2142
5323
→
+−
12
RR
−
−
2142
3461
→
+−
21
2 RR
−−
−
49160
3461
→
2
16
1
R
−−
−
4
1
16
9
10
3461
→
+
12
6 RR
−−
4
1
16
9
2
3
8
5
10
01
La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de
donde obtenemos:
4
1
16
9
2
3
8
5
−=−
=+
zy
zx
despejando x, y
zy
zx
16
9
4
1
8
5
2
3
+−=
−=
luego x, y dependen de z, si z = t, t ∈ ℝ, tenemos
tz
ty
tx
=
+−=
−=
16
9
4
1
8
5
2
3
; t ∈ ℝ.
Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor
de t habrá un valor para x, y, z.
12
Por ejemplo, si t entonces 0= ,0,,
4
1
2
3
=−== zyx es una solución para el sistema de
ecuaciones.
Si t entonces 1=
,1,,
16
5
8
7
=== zyx es otra solución para el sistema de ecuaciones.
Si t entonces 4−=
,4,,4
2
5
−=−==
zyx
también es solución para el sistema de
ecuaciones.
Así una vez más, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.
6) Resolver el sistema de ecuaciones:
3
143
32
432
−=−+
=−+
=+−
zyx
zyx
zyx
Solución.
Desde un principio podemos escribir la matriz aumentada del sistema con su primer
renglón de coeficientes de la tercera ecuación, es decir, podemos reordenar las ecuaciones
−
−
−
−
3
4
1
123
312
431
→
+−
+−
31
21
3
2
RR
RR
−
−
−
−
6
6
1
1170
1170
431
→
+−
32
RR
−
−
−
0
6
1
000
1170
431
→
−
2
7
1
R
−
−
−
−
0
1
000
10
431
7
6
7
11
→
+−
12
3 RR
−−
0000
10
01
7
6
7
11
7
11
7
5
⇒
00
7
6
7
11
7
11
7
5
=
−=−
=+
z
zy
zx
⇒
7
6
7
11
7
11
7
5
−=−
=+
zy
zx
ó sea
zy
zx
7
11
7
6
7
5
7
11
+−=
−=
Nuevamente pongamos z = t, t ∈ ℝ, entonces el conjunto solución queda expresado como:
tz
ty
tx
=
+−=
−=
7
11
7
6
7
5
7
11
; t ∈ ℝ.
Por lo tanto, el sistema tiene una infinidad de soluciones.
13
7) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
−
4552
33223
232
1235
=+−+
=+−+
=++−
=+++
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
Solución.
−
−−
−
45152
33223
21312
12135
→
+
23
RR
−
−−
−
45152
33223
54111
12135
→
+
+−
+
42
32
12
2
3
5
RR
RR
RR
−−−−
−
1413170
129510
54111
2622680
→
↔−
21
RR
−−−−
−−−−
1413170
129510
2622680
54111
→
+
+
43
23
7
8
RR
RR
−−−
−−−−
−−−
−−−−
70503400
129510
70503400
54111
→
−
+−
3
42
R
RR
−−−
−−−−
00000
129510
70503400
54111
→
↔
32
RR
−−−
−−−−
00000
70503400
129510
54111
→
−
+
3
34
1
12
R
RR
00000
100
129510
75401
17
35
17
25
→
+−
+−
23
13
5
4
RR
RR
−−
00000
100
010
001
17
35
17
25
17
29
17
28
17
21
17
15
⇒
00
17
35
17
25
17
29
17
28
17
21
17
15
=
=+
=+
−=−
w
wz
wy
wx
⇒
17
35
17
25
17
29
17
28
17
21
17
15
=+
=+
−=−
wz
wy
wx
∴
wz
wy
wx
17
25
17
35
17
28
17
29
17
15
17
21
−=
−=
+−=
Si w = t, tenemos:
14
tw
tz
ty
tx
=
−=
−=
+−=
17
25
17
35
17
28
17
29
17
15
17
21
, con t ∈ ℝ.
∴
hay infinidad de soluciones.
8) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
−
33622
2543
1225
=−++
=−++
=−+−
wzyx
wzyx
wzyx
Solución.
−
−−
−−
33622
21543
12125
→
+−
13
2 RR
−
−−
−−−
33622
21543
541161
→
+−
+
31
21
2
3
RR
RR
−
−−−
−−−
131128140
131128140
541161
→
+
32
RR
−−−
−−−
00000
131128140
541161
→
−
2
14
1
R
−
−−−
00000
210
541161
14
13
14
11
→
+
12
6 RR
−
−
00000
210
101
14
13
14
11
7
4
7
5
⇒
00
2
4
13
4
11
7
4
7
5
=
=−+
=−+
w
wzy
wzx
⇒
4
13
4
11
7
4
7
5
2 =−+
=−+
wzy
wzx
;
wzy
wzx
14
11
4
13
7
5
7
4
2 +−=
+−=
Ahora tenemos que z y w pueden variar libremente, por lo tanto si con
números reales, el conjunto solución se expresa como:
,,
21
twtz ==
21
, tt
2
1
2
14
11
1
4
13
2
7
5
1
7
4
2
tw
tz
tty
ttx
=
=
+−=
+−=
, con t ∈ ℝ.
21
, t
15
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