PROBABILIDAD
La probabilidad de que ocurra un evento se mide por un número entre cero y uno, inclusive. Si un
evento nunca ocurre, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su
probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales,
fracciones o porcentajes. En el caso de utilizar fracciones para expresar probabilidades, las
mismas pueden ser simplificadas pero no es necesario hacerlo.
Existen diferentes formas para definir la probabilidad de un evento basadas en formas distintas
de calcular o estimar la probabilidad.
1.
Definición Clásica de Laplace, “A Priori” o Teórica
El enfoque clásico o "a priori" para definir la probabilidad es proveniente de los juegos de azar.
Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos
condiciones:
i. El espacio muestral (S) del experimento es finito (su número total de elementos es un
número natural n = 1, 2, 3, …).
ii. Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables (tienen la misma posibilidad
de ocurrir).
Bajo estas condiciones, suponga que realizamos un experimento. El número total de elementos
del espacio muestral del experimento es denotado como n(S). Dicho de otro modo, n(S) representa
el número total de eventos simples distintos posibles al realizar un experimento. Además, si A es
un evento de este experimento, el número total de elementos del espacio muestral contenidos
en A es denotado como n(A). Es decir, n(A) representa el número total de formas distintas en que
A puede ocurrir. Entonces, la probabilidad de que A ocurra la definimos como ocurra la definimos
como:
A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden
determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.
Ejemplo: Al lanzar un dado al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?
Solución: Suponga que A es el evento de obtener un número par al lanzar un dado al azar.
Notemos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y todos los resultados igualmente probables. Además, A puede
ocurrir de tres formas distintas (2, 4 ó 6).
P( A)
=
n( A)
=
número de formas distintas en que A puede ocurrir
n(S )
número total de eventos simples distintos posibles
.
Por lo tanto, n( A) = 3 y n(S)= 6, entonces
Ejemplo: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13
espadas A, 2, 3, … , 10, J, Q, K); 13 son tréboles); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes),
halle la probabilidad de que la carta sea
a. una K.
b. roja.
c. de diamante.
Solución:
a. Suponga que K es el evento de obtener una carta que sea K, entonces:
porque el evento de "extraer una K, consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables
b. Suponga que R es el evento de obtener una carta que sea roja, entonces:
porque el evento de "extraer una carta roja, consta de 26 de los 52 resultados igualmente probable
c. Suponga que D es el evento de obtener una carta que sea de diamante, entonces:
porque el evento de "extraer una carta de diamante, consta de 13 de los 52 resultados igualmente
probables
Ejemplo : ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia que tiene tres hijos, haya dos niñas y
un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?
2.
Definición Empírica, “A Posteriori”, Experimental o de Frecuencia Relativa
La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de
resultados igualmente probables. Lamentablemente, hay situaciones prácticas que no son de
este tipo y la definición “a priori” no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la
probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad
de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de
introducir resultados igualmente probables. Para responder a estas preguntas podemos
utilizar el enfoque empírico, en el cual para determinar los valores de probabilidad se requiere
de la observación y de la recopilación de datos. La definición empírica se basa en la frecuencia
relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de repeticiones del
experimento. En otras palabras, la definición empírica se basa número de veces que ocurrió
el evento entre el número total de repeticiones del experimento. También se le denomina a
posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número
grande de veces.
Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque realizamos el
experimento un gran número de veces y contamos cuántas veces A ocurre. Con base en
estos re Este enfoque de probabilidad no implica ningún supuesto previo de igualdad de
probabilidades.
Este enfoque de probabilidad no implica ningún supuesto previo de igualdad de
probabilidades.
Ejemplo:
Antes de incluir la cobertura para cierto tipo de problema dental C en pólizas
de seguros médicos para adultos, una compañía de seguros desea determinar la
probabilidad de ocurrencia de esta clase de problemas, para que pueda fijarse la prima
de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadística recopila datos
preguntando a 10,000 adultos que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y
encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año
anterior. Según los datos recopilados, ¿cuál es la probabilidad de que un adulto tenga este
tipo de problema dental durante el periodo de un año?
Respuesta: Notemos que el especialista estudia 10,000 adultos para determinar
cuántos de ellos tuvieron el problema dental C en el año anterior. O sea, el especialista repitió
el experimento de preguntar a un adulto si había tenido el problema dental C el año anterior
10,000 veces y obtuvo 100 repuestas afirmativas a su pregunta. Por ello, la probabilidad de
ocurrencia de C en un adulto durante el periodo de un año es:
REGLAS DE LA PROBABILIDAD
➢ Regla 1. para cualquier suceso A
➢ Regla 2. P(S) = 1
➢ Regla 3 P() = 0
➢ Regla 3. Para cualquier suceso A, P(no ocurra A) = 1 − P(A)
➢ Regla 4. Regla de la suma:
• Sucesos mutuamente excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B)
Si A y B son sucesos disjuntos, entonces P(A o B) = P(A) + P(B)
• Sucesos no excluyentes P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Si A y B no son sucesos disjuntos, entonces P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB)
➢ Regla 5. Reglas de la multiplicación (2 o más eventos ocurran a la vez)
Eventos independientes:
Eventos dependientes:
REGLA DE LA SUMA
La regla de la suma es un método para calcular probabilidades que pueden expresarse de la forma
P(AOB) o P(AUB), es decir, la probabilidad de que A ocurra o de que B ocurra (o de que ambos ocurran)
Para calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B, primero debemos determinar
de cuántas formas distintas A ocurre y de cuántas formas distintas B ocurre, pero al computar el
número total de formas no podemos contar un mismo resultado más de una vez.
La palabra clave es “o”, que significa: uno o el otro o ambos.
En la notación de conjuntos, la regla de la suma es:
P( A
∪
B) = P( A) + P(B) − P( A
∩
B)
.
Ejemplo: A Una compañía le administra un examen a un grupo de 40 de sus empleados, que
aspiran a cierta posición, para cualificarlos. La siguiente tabla resume los resultados divididos
por género:
Masculino (M)
Femenino (F)
Positivo
7
2
Negativo
18
13
Si uno de estos empleados es seleccionado al azar, halle la probabilidad de que:
a. sea masculino o aprobó el examen
b. sea femenino o fracasó
Respuesta: Utilizando la regla de la suma, tenemos que:
a. P(M o aprobó) = P (M) + P(aprobó) – P(M y aprobó)
=
25
+
9
−
7
=
27
40 40 40 40
b. P(F o fracasó) = P(F) + P(fracasó) – P(F y fracasó)
=
15
+
31
−
13
=
33
40 40 40 40
Definición:
Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. Decimos que A y B son eventos
mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir A∩B=
por lo tanto, si
A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A∩B)=0
Ejemplo: En el experimento de lanzar un dado al azar, el espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si
A es el evento de obtener un número par y B es el evento de obtener un numero impar, entonces A
y B son eventos mutuamente excluyentes pues no pueden ocurrir simultáneamente (si uno ocurre el
otro no puede ocurrir).
La regla de la suma ya discutida establece que
P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A∩B)
Sin embargo, si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la regla de la suma será:
P(AUB)=P(A) + P(B)
Ya que P(A∩B)= 0
Claramente un evento cualquiera A y su complemento
son mutuamente excluyentes. Además, en
todo experimento uno de ellos ocurre. Esto es debido que o A ocurre o A no ocurre (lo que implica
que
ocurre). Entonces tenemos que:
P( A
∪
) = P( A) +
P(
) = 1
Este resultado de la regla de la suma da lugar a las siguientes tres formas equivalentes:
1.
P( A) + P(
) = 1
2.
P( A)
3.
P(
)
= 1 − P(
)
= 1 − P( A)
Ejemplo: Una compañía que produce radios sabe que el 2.5% de los radios que produce salen
defectuosos. Si seleccionamos al azar uno de estos radios, ¿cuál es la probabilidad de que el radio
no esté defectuoso?
Respuesta: Sea D el evento de que salga defectuoso. Notemos que su complemento
será
que no salga defectuoso. Como 2.5% = 0.025, entonces:
P(
)=1 – P(D)
P(
)=1 – P(0.025) = 0.975
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Ya presentamos la regla de la suma que se utiliza para calcular P( A o B) o P( A B). Ahora
discutiremos la regla de la multiplicación, la cual nos provee un método para calcular
probabilidades que pueden expresarse de la forma P(A y B) o P( A ∩B). Es decir, la probabilidad
de que A ocurra y de que ocurra B al mismo tiempo. Para calcular la probabilidad de que ocurra
el evento A y el evento B al mismo tiempo, primero debemos determinar de cuántas formas
distintas A ocurre y luego determinar de cuántas formas distintas B ocurre, dado que ya ocurrió
A. Otra forma de hacerlo es, primero determinar de cuántas formas distintas B ocurre y luego
determinar de cuántas formas distintas A ocurre, dado que ya ocurrió B.
Ejemplo: En un grupo de 25 personas hay 16 de ellas casadas y 9 solteras. ¿Cuál es la
probabilidad de que si dos de estas personas son seleccionadas aleatoriamente sean ambas
casadas?
Respuesta:
Notemos que, al seleccionar la primera persona, la probabilidad de que sea
casada es
Pero al seleccionar la segunda persona quedan 24 posibles ya que una ha
sido seleccionada. Ahora dado que la primera persona seleccionada es casada, entonces
quedan 15 casadas posibles para la segunda selección. Por lo tanto, la probabilidad de que la
segunda sea casada dado que la primera fue casada es
. Luego, utilizando la regla de la
multiplicación, tenemos que:
P(1ra sea casada y 2da sea casada) = P(1ra sea casada) P(2da sea casada | 1ra sea casada)
=
16
15
=
2
25 24 5
Definición:
Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. Decimos que A y B son eventos
independientes si y sólo si la probabilidad de que uno de ellos ocurra no es afectada por la
ocurrencia del otro. Si los eventos A y B no son independientes, se dice que son dependientes.
La anterior definición tiene las siguientes implicaciones:
1.
Si A y B son eventos independientes, entonces
P( A| B) = P( A)
y
P(B | A) = P(B)
.
Esto dice que la probabilidad de que A ocurra dado que B ocurrió es la misma que tiene A antes
de B ocurrir. Por otro lado, la probabilidad de que B ocurra dado que A ocurrió es la
misma que tiene B antes de A ocurrir.
2.
Si A y B son eventos independientes, entonces
P( A y B) = P( A) P(B | A)
= P( A) P(B)
Esto dice que la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo es el producto de sus
probabilidades
3.
Si
P( A y B) =
P( A) P(B)
, entonces A y B son eventos independientes
Ejemplo: Una caja contiene 5 canicas verdes, 2 azules y 3 rojas. Si escogemos dos
canicas al azar ( una primero y luego la otra) de esta caja, halle la probabilidad de que ninguna
de ellas sea roja:
a. con reemplazo (echando a la caja la primera canica antes de la segunda
selección). ¿Son los eventos independientes o dependientes?
b. sin reemplazo (la primera canica queda fuera de la caja para la segunda
selección). ¿Son los eventos independientes o dependientes?
Ejemplo: Una caja contiene 5 canicas verdes, 2 azules y 3 rojas. Si escogemos dos
canicas al azar ( una primero y luego la otra) de esta caja, halle la probabilidad de que ninguna
de ellas sea roja:
a. con reemplazo (echando a la caja la primera canica antes de la segunda
selección). ¿Son los eventos independientes o dependientes?
b. sin reemplazo (la primera canica queda fuera de la caja para la segunda selección).
¿Son los eventos independientes o dependientes?
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