Introducción a la Matemática - Preguntas Teóricas Típicas de Parciales
Unidad 1: Números Reales y Desigualdades
1. Enuncie los Axiomas de orden. Ejemplifique cada uno de los axiomas.
2. Defina “Valor absoluto de un número real”. Enuncie las propiedades.
Sea a ∈ R,
el valor absoluto de a se denota |a| y es:
SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO
Propiedades:
1. |a| = |-a|
2. -|a| ≤ a ≤ |a|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. ||a| - |b|| ≤ |a – b|
5. |ab| = |a||b|
6. |x| ≤ a⇔ -a ≤ x ≤ a (a ≥ 0)
7. |x| ≥ a⇔ x ≤ -a o x ≥ a (a ≥ 0)
Unidad 2: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
3. Defina los distintos tipos de operaciones elementales de filas e indique en cada caso la operación
elemental de filas inversa.
Operaciones elementales de filas:
De tipo I: Multiplicar la fila i por el escalar no nulo k
De tipo II: Reemplazar la fila i por la suma de las filas i + jk i ≠ j
De tipo III: Intercambiar las filas i y j
Teorema (1)
Para cada operación elemental de filas e, existe una operación del
mismo tipo e(-1), que restituye la matriz original
A = e(-1) (e (A)) = e (e(-1) (A))
4. Defina “Matrices equivalentes por filas”. Enuncie las propiedades de la relación de equivalencia.
Sean A, B ∈ Rmxn,
A es equivalente por filas a B si B se obtiene, a partir de A, mediante una sucesión finita de
operaciones elementales de filas
A ∼B
Propiedades:
1. A 𝑓∼A Reflexividad
2. A 𝑓∼B ⇒ B 𝑓∼A Simetría
3. A 𝑓∼B y B 𝑓∼C ⇒ A 𝑓∼C Transitividad
5. Enuncie el teorema que relaciona las matrices equivalentes por filas con los sistemas de
ecuaciones lineales equivalentes.
Teorema (2)
Sean AX = X y A’X = H’ sistemas de ecuaciones lineales, [AH] y [A’H’] sus respectivas matrices
aumentadas:
Si [AH] 𝑓∼[A’H’], los sistemas AX = H y A’X = H’ tienen las mismas soluciones
6. Defina “Matriz escalón reducida por filas”.Ç
Sea A ∈ Rmxn
, A es una matriz reducida por filas si es nula o si cumple las siguientes condiciones:
1. El
primer elemento no nulo de cada fila no nula es 1 (elemento conductor)
2.
En las columnas de los elementos conductores (columnas principales) los restantes elementos
deben ser nulos
3. Si a la
izquierda de un elemento conductor hay otros elementos conductores, estos están en
filas superiores (“en escalera”)
4. Las filas nulas, si las hubiere, están debajo de las no nulas
Son matriz escalón reducida por filas:
7. Enuncie el Teorema de Rouché - Frobenius. Ejemplifique. Explique cómo se aplica el Teorema de
Rouché –Frobenius al caso de un sistema homogéneo.
Teorema de Rouché-Frobenius (4):
Sea AX = H un sistema de ecuaciones lineales
El sistema AX = H tiene solución si y sólo si en RX = H’ no hay ninguna ecuación del tipo 0x1 + 0x2 +
…
+ 0cn = h, con h ≠ 0
En RX = H’ no existe ninguna ecuación como la anterior si y sólo si r(A) = r (AH)
El sistema tiene solución siempre que r(A) = r(AH)
8. Enuncie el teorema que relaciona el Conjunto solución de un Sistema homogéneo con las
incógnitas no principales. Enuncie el Corolario del teorema anterior. Ejemplifique ambos.
Teorema (5)
Sea AX = 0 un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas:
Si r(A) < n, entonces el sistema tiene otras soluciones además de la solución trivial (∞)
Corolario (5.1)
Sea AX = 0 un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas
Si m < n, entonces el sistema siempre admite otras soluciones además de la trivial
9. Defina “Rango de fila de una matriz”. Explique la relación del Rango de fila de la matriz de
coeficientes y del Rango de fila de la matriz aumentada con la Compatibilidad de un sistema de
ecuaciones lineales y con su Conjunto solución ( en qué casos existe única solución, en qué casos
no hay solución y en qué casos existen infinitas soluciones).
Sea A una matriz y R su matriz escalón reducida por filas.
El rango de fila de A, r(A), es el número de filas no nulas de R.
Relación Rango de Fila-Conjunto de Solución:
10. Defina “Suma de matrices”, “Producto de una matriz por un escalar” y “Producto de matrices”.
Enuncie las propiedades de cada operación.
Suma de Matrices:
Sean A, B ∈ Rmxn ; aij ∈ A ; bij ∈ B ; A + B = C tal que C ∈ Rmxn con cij ∈ C y cij = aij + bij
Se suman los elementos que se encuentren en la misma posición en ambas matrices
Propiedades:
1. A + (B + C) = (A + B) + C
2. A + B = B + A
3. A + 0 = A
4. A + (-A) = 0
Producto de una Matriz por un Escalar:
k ∈ R ; aij ∈ A ; kA = C tal que: C ∈ Rmxn y cij = kaij con cij ∈ C
Se multiplican todos los elementos por el escalar k
Propiedades:
1. k(A + B) = kA + kB
2. (k1 + k2)A = k1A + h2A
3. k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2)A
4. 1A = A
Multiplicación de matrices:
El producto de matrices, se puede generalizar en el producto entre una matriz 𝑚 × 𝑛 y una matriz 𝑛 ×
𝑝,
que asigna a cada par (𝐴; 𝐵)
formado por una matriz 𝐴 ∈ 𝐾 𝑚×𝑛 y una matriz 𝐵 ∈ 𝐾 𝑛×𝑝 , una matriz
𝐶 bien determinada de 𝐾 𝑚×𝑝 :
𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵
Propiedades:
Si las operaciones indicadas en los primeros miembros de las siguientes igualdades están definidas,
entonces las operaciones indicadas en los segundos miembros también lo están y se cumplen las
siguientes igualdades:
1. A(BC) = (AB)C
2. (A + B)C = AC + BC
F(G + H) = FG + FH
3. k(ab) = (kA)B = A(kB)
11. y 12 Defina “Combinación lineal de matrices”.
Combinación lineal de matrices:
Sea A1, A2, … , Ar ∈ Rmxn ; k1, k2, … , kr ∈ R
La matriz M = k1A1 + k2A2 + … + krAr es una combinación lineal de las matrices A1, A2, … , Ar según
los escalares k1, k2, … , kr
Se multiplica la matriz por su respectivo escalar k (correspondiente según el subíndice) y se suman
siguiendo los pasos de la suma de matrices
12. Defina “Matriz elemental”. Enuncie el teorema que relaciona el resultado de efectuar una
operación elemental de filas a una matriz cualquiera A con el producto de la matriz elemental
correspondiente a dicha operación elemental por la matriz A. Ejemplifique el teorema.
Sea A ∈ Rmxn
E es una matriz elemental si se obtiene de la matriz Identidad (In) mediante una sola operación
elemental de filas.
Siempre son cuadradas y respetan el tamaño de la matriz original
Teorema (a)
Sea e una operación elemental de filas tal que E = e(Im)
Entonces:
∀A ∈ Rmxn : e(A) = EA
Este teorema dice que
es lo mismo aplicar una operación elemental de filas e a una matriz Amxn que
multiplicar esta matriz por la matriz elemental E = e(Im) correspondiente a dicha operación
elemental
13. Ejemplifique el teorema cuyo enunciado es: "Sea A matriz m × n, e una operación elemental de
filas y E matriz elemental de orden m, tal que E = e(Im). Entonces e(A) = EA". Aclaración: Esta
pregunta se refiere al mismo teorema de la pregunta anterior.
15. Explique el teorema cuyo enunciado es: "con P un producto de matrices
elementales". Ejemplifique.
Teorema (b)
Sean A, B ∈ Rmxn ; A 𝑓∼B ⇔ B = PA ; con P un producto de matrices elementales
En este teorema se aplica reiteradamente el teorema anterior: cada operación sobre una matriz
equivale a una multiplicación por la matriz elemental correspondiente
Supongamos:
16. Defina “Matriz inversible”. Demuestre que la inversa de toda matriz inversible es única.
Sea A ∈ Rnxn Si existe una matriz B ∈ Rnxn tal que:
AB = BA = In
entonces se dice que
A es inversible y que B es su inversa.
Se escribe:
Teorema (c)
Sea A ∈ Rnxn,
si A es inversible ⇒ A-1 es única
(si tuviera más de una inversa éstas serían iguales)
B y C inversas de A
(por definición de Matriz Inversible):
AB = BA = I
AC = CA = I
(por las propiedades del producto de matrices):
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
Se concluye que B = C y que, si A tuviera más de una inversa, serían iguales, por lo tanto, LA INVERSA
ES ÚNICA
17. Defina matriz reducida por filas. Demuestre que dos matrices que tienen la misma matriz escalón
reducida por filas son equivalentes por filas.
Una matriz 𝐴
es una matriz reducida por filas, si se cumplen que:
1) El primer elemento no nulo de cada fila no nula es uno.
2) La columna que tiene el primer elemento no nulo de una fila no nula, tiene el resto de los elementos
de la columna iguales a cero.
Teorema(d):
“Toda matriz de A elementos en un cuerpo,
es equivalente por filas a una ÚNICA MATRIZ ESCALÓN
REDUCIDA POR FILAS.
Observación: no siempre la matriz identidad es la matriz escalón reducida por filas de una matriz A.
EJEMPLO:
Podemos asegurar que SIEMPRE es posible obtener una única matriz escalón reducida por filas:
18. Defina "Matrices equivalentes por filas".
Sean A, B ∈ Rmxn,
A es equivalente por filas a B si B se obtiene, a partir de A, mediante una sucesión finita de
operaciones elementales de filas
A ∼ B (notación)
19. Demuestre que toda matriz inversible es simplificable.
Teorema (e)
Sean A, B ∈ Rnxn
Si A y B son Inversibles; entonces: A es simplificable
Demostración:
Sea A inversible y A-1 su inversa:
Supongamos:
AM = AN
Entonces: A-1(AM) = A-1(AN)
Por propiedad asociativa:
(A-1A)M = (A-1A)N
M = N
20. Demuestre: “Sean A y B matrices que pertenecen a Rm×n. Si A y B son inversibles, entonces el
producto A. B es inversible y (A. B)−1 = B−1. A−1”.
Sean A, B ∈ Rnxn
Si A y B son Inversibles; entonces: el producto AB es inversible y (AB)-1 = B-1A-1
Demostración:
Sean A y B inversibles; y A-1 y B-1 sus inversas:
Ambas desigualdades se verifican por la aplicación de la
propiedad asociativa del producto de
matrices. Por lo que se cumple la definición de MATRIZ INVERSIBLE para la MATRIZ A.B, y se tiene
que;
|(AB)-1 = B-1 . A-1|
21. Demuestre que toda matriz elemental es inversible. Ejemplifique.
Teorema (f)
“Toda matriz elemental es inversible”
Demostración:
Sea 𝐼 ∈ 𝐾 𝑛×𝑛 la matriz identidad 𝑛 × 𝑛.
Sea 𝑒 la operación elemental de fila tal que 𝑒(𝐼) =
E
Sea 𝑒−1 la operación elemental de fila inversa de 𝑒.
Sea 𝑒−1(𝐼) = 𝐸1.
Luego:
Luego, por definición de Matriz Inversa:
E es inversible
y
Corolario: La inversa de una matriz elemental es también una matriz elemental.
22. Indique en cada caso si el enunciado es equivalente a la siguiente afirmación:
“A es una matriz inversible”. Justifique la respuesta.
Aclaración: dos enunciados equivalentes son enunciados tales que cada uno se cumple si y solo si se
cumple el otro.
a) El sistema AX=H tiene solución, b) La matriz escalón reducida por filas de A es la matriz identidad,
c) A es una matriz cuadrada, d) El sistema homogéneo AX=O tiene solución, e) A es un producto de
matrices elementales.
Sea A ∈ Rnxn
Los siguientes enunciados son equivalentes:
A) y D)
Sistema AX=0:
Tratándose de un
sistema homogéneo se puede trabajar con la matriz de coeficientes, sin tener en
cuenta la matriz segundo miembro, ya que sabemos que
se mantiene nula cualquiera sea la operación
elemental de filas que se realice
E)
Unidad 3: Vectores, Segmentos dirigidos, Recta y Plano
23. Defina “Segmentos dirigidos”, “Segmentos dirigidos equipolentes” y enuncie las propiedades de la
relación de equivalencia.
SEGMENTO DIRIGIDO:
Segmento con sus extremos dados en orden (primero el origen y después el segundo extremo)
Se caracteriza por:
- Longitud: tamaño del segmento
- Dirección: recta en la que está contenido
- Sentido: dos segmentos tienen el mismo sentido si al unir los orígenes y los segundos extremos se
forma un cuadrilátero
SEGMENTOS DIRIGIDOS EQUIPOLENTES (EQUIVALENTES):
Dos segmentos dirigidos no nulos son equipolentes si tienen igual longitud, dirección y
sentido. Los segmentos dirigidos nulos son equipolentes entre sí.
En cada punto del plano o del espacio es posible dibujar un segmento dirigido equipolente a uno dado
PROPIEDADES:
24. Defina “Vector libre asociado a un segmento dirigido”. Defina “Números de dirección de un
segmento dirigido” y “Componentes de un vector”. Ejemplifique.
VECTOR LIBRE ASOCIADO A UN SEGMENTO DIRIGIDO 𝐀𝐁 :
Es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a AB
u = {PQ/PQ~AB } u es el vector libre asociado a AB
Cualquier segmento dirigido PQ ∈ u es un representante del vector u
En todo punto del plano o del espacio existe un segmento dirigido que representa al vector u.
Los vectores libres quedan caracterizados por:
- Módulo: longitud de cualquiera de sus representantes ||u||
- Dirección: dada por la dirección de sus representantes. El vector nulo tiene la misma dirección que
cualquier otro vector
- Sentido: está dado por el sentido de sus representantes. Al vector nulo no se le asigna sentido
NÚMEROS DE DIRECCIÓN DE UN SEGMENTO DIRIGIDO:
Sean los puntos del plano P = (p1, p2) y Q (q1, q2), PQ segmento dirigido;
Entonces Q – P = (q1 - p1, q2 - p2) es el par ordenado de los números de dirección de PQ
Dos segmentos dirigidos son equipolentes si y sólo si tienen los mismos números de dirección
COMPONENTES DE UN VECTOR:
Sea u = {PQ/PQ ~AB } un vector
Q – P = (q1 - p1, q2 - p2) u1 = q1 - p1 y u2 = q2 - p2 son las componentes del vector u
Se escribe u = (u1, u2)
25. Defina “Vectores colineales” y “Vectores coplanares”.
Vectores colineales o paralelos:
Son vectores de igual dirección
Todo vector junto al vector nulo constituye un sistema de vectores colineales. (vector nulo + vector)
Vectores coplanares:
Son vectores
cuyos representantes con igual origen están contenidos en el mismo plano
Todo par de vectores junto con el vector nulo constituye un sistema de vectores coplanares (vector
nulo + par de vectores)
Dos vectores siempre son coplanares, 3 o más pueden o no serlo
26. Defina “Suma de vectores” y enuncie sus propiedades.
Sean u y v vectores
Si en un punto cualquiera A se dibuja un representante de u AB , y en B se dibuja un representante BC ,
entonces el segmento dirigido AC,
representa al único vector u + v
PROPIEDADES:
Sean u, v, w vectores;
1. u + (v + w) = (u + v) + w Asociatividad
2. u + v = v + u
Conmutatividad
3. u + 0 = u ∃
Elemento neutro, el vector nulo, 0
4. u + (-u) = 0 ∀ vector u,
∃ elemento opuesto -u
27. Defina “Producto de un escalar por un vector” y enuncie sus propiedades.
Sea u ≠ 0 un vector, k ≠ 0 un número real,
El producto ku es un vector tal que:
||ku|| = |𝑘| ||u||
u y ku tienen la
misma dirección (rectas paralelas)
Si k > 0, u y ku tienen el
mismo sentido
Si k < 0, u y ku tienen
sentidos opuestos
Si u = 0, entonces ku = 0 Si k = 0, entonces ku = 0 } Vector nulo
PROPIEDADES:
Sean u, v vectores, k, k1, k2 ∈ R
1. k(u + v) = ku + kv Distributividad con respecto a la suma de vectores
2. (k1 + k2)u = k1u + k2u Distributividad con respecto a la suma de escalares
3. k1(k2u) = (k1k2)u
= k2(k1u) Homogeneidad
4. 1u = u
Existe elemento identidad, 1
28. Enuncie la relación entre vectores colineales y la operación producto de un vector por un escalar.
Ejemplifique.
u // v si y solo si: u=k.v
(uno de los vectores
es paralelo o colineal al otro, si y solo si; uno de los vectores (u ó v), se obtiene de
la multiplicación de un escalar por el vector restante
29. Defina “Módulo de un vector” en R2 y R3. Deduzca las fórmulas de cálculo en ambos casos.
Sea u vector y OP un representante de u:
El módulo del vector u:
AGREGAR DEDUCCIÓN DE LA FORMA DE CÁLCULO
30. Defina “Ángulo entre vectores”.
Sean u, v vectores no nulos:
El ángulo entre u y v es el ángulo θ, 0 ≤ θ ≤ π definido por los representantes de u y de v con igual
origen
Siempre se usa el ángulo menor o igual a 180°
31. Defina “Producto punto entre dos vectores”. Enuncie sus propiedades.
Ejemplifique el procedimiento de cálculo.
Sean u y v vectores de cualquier tipo (R1, R2, R3)
El producto punto de u y v es el escalar:
En R2: u.v = u1.v1 + u2.v2
En R3: u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3
PROPIEDADES
Sean u, v, w vectores de Rn, k ∈ R:
1. u.v = v.u
Simetría
2. u.(v + w) = u.v + u.w
Distributividad
3. k(u.v) = (ku).v = u.(kv)
Homogeneidad
4. u.u ≥ 0 y u.u = 0 ⇔ u = 0
Positividad
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO:
32. Deduzca la fórmula de cálculo del producto punto en R2.
33. Defina vector unitario. Deduzca la expresión que permite obtener un vector unitario de un vector
dado. Ejemplifique.
VECTORES UNITARIOS:
Si ||u|| = 1 se dice que u es un vector unitario
Sea v ≠ 0, u es vector unitario de v si u es vector unitario y tiene la misma dirección que v
DEDUCCIÓN DE LA EXPRESIÓN DEL VECTOR UNITARIO DE UN VECTOR V:
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
34. Deduzca las expresiones de las proyecciones de un vector en dos direcciones perpendiculares
(Proyección ortogonal de un vector sobre otro y Proyección de un vector ortogonal a otro).
Ejemplifique.
DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES:
Sean u y v vectores no nulos, u1 y u2 son vectores tales que:
u1 // v → u1 = kv
u2 ⊥ v → u2 . v = 0
u1 + u2 = u
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
35. Defina “Producto vectorial” ejemplifique y enuncie sus propiedades.
Sean u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) pertenecientes a R3;
El producto vectorial de u y v es el vector:
u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
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PREGUNTERO TEORICO - INTRODUCCION A LA MATEMATICA 2023.pdf
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