Práctica 0 a 6
Matemática
2019
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CONTENIDO
PRÁCTICA 0
PRELIMINARES 1
ALGUNAS RESPUESTAS 5
PRÁCTICA 1
NÚMEROS REALES 6
EJERCICIOS SURTIDOS 9
PRÁCTICA 2
FUNCIONES 11
FUNCIONES LINEALES
12
FUNCIONES CUADRÁTICAS 14
FUNCIONES
POLINÓMICAS
17
EJERCICIO
S SURTIDOS
19
PRÁCTICA 3
LÍMITE DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS 22
FUNCIONES
HOMOGRÁFICAS
26
COMPOS
ICIÓN DE FUNCIONES
27
FUNCIÓN
INVERSA
28
EJERCICIO
S SURTIDOS
30
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PRÁCTICA 4
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 32
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
33
EJERCICIO
S SURTIDOS
36
PRÁCTICA 5
DERIVADAS 38
EJERCICIO
S SURTIDOS
44
PRÁCTICA 6
INTEGRALES 46
EJERCICIOS SURTIDOS
52
EVALUACIONES
PRIMER PARCIAL 54
SEGUNDO PARCIAL
55
E
XAMEN FINAL
5
6
RESPUESTAS DEL EXAMEN FINAL
58
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LIBROS DE CONSULTA
ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C.
Matemáticas Universitarias. McGraw – Hill.
de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A.
Mat
emáticas. Bachillerato 1. ANAYA.
de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A.
Mat
emáticas. Bachillerato 2. ANAYA.
de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A.
Mat
emáticas. Bachillerato 3. ANAYA.
de GUZMÁN, Miguel y COLERA J.
Matem
ática II. C.O.U. ANAYA.
PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC
Mat
emática Teórica. CCC Educando.
PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D.
Cálc
ulo Diferencial e Integral. Prentice Hall.
SPIEGEL, Murray R.
Cá
lculo Superior. McGraw – Hill.
ZILL, Dennis G.
Álgebra
y Trigonometría. McGraw – Hill.
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PRÁCTICA0
1
PRELIMINARES
Ejercicio 1.- Calcular.
a.
52 31
63 46
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎝⎠
b.
2155
3526
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎝⎠
c.
12
42 51
39 62
−
⎛⎞⎛⎞
−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
d.
(
)( )
32
4 5 9 : 10 70+− −
e.
12 51
:
85 24
⎛⎞⎛⎞
+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
f.
2
2
3(5 1,2) 5,8
1
5:(32,1)
2
+−
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
g.
1
2
916 2
15 3
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
i.
3
0
127
58
⎛⎞
−+−
⎜⎟
⎝⎠
j.
2
34
7
11
55
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
⎢
⎥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
k.
1
64
22
:
55
−
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
l.
(
)
3
4
2
9
8
−
Ejercicio 2.- Reducir a una sola fracción.
a.
5
4
x
− b.
3
2
21
x
−
+
c.
2
2
2
x
xx
x
x
−
d.
3
44
x
x
x
−
+
−
−
e.
25
25
12
x
x
+−
−
f.
2
2
3
x
x
+
g.
2
515 5
:1
26 2
xx
x
x
⎛⎞
+
⎛⎞
+
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
⎝⎠
h.
221
3124
x
x
x
x
+
−
+
−
−
Ejercicio 3.- Resolver.
a. 259x += b. 411 57xx
−
=− +
c.
31
2
x
−=− d.
5
23
x
+
=−
e.
2
612
2
34
x
x
x
−
=
−
f. 32xx
+
=−
v
er resolucion
ejerc.
a,b,c y
d
h.
3
1
24
41
⎜⎟
916
−
⎛⎞
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
ver resolución de
ejercicios a,b y c
ver resolución de
ejercicios d, e y f
ver resolucion de
ejercicios e,f,g,h
ver resolucion de
ejercicios i,j,k,l
ver resolucion de
ejercicios g,h
ver resolución de
ejercicios a,b,c,d
ver resolución de
ejercicios e,f,gh
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PRÁCTICA0
2
g.
10
5
2
x
=
+
h.
47
22 43 6
x
xxx
−=
−
−−
i.
37
2
6
x
x
−
=−
+
j.
53
22
x
x
xx
+
+=
−
−
k.
32
0
7
x
x
−
=
l.
22
352
x
xx x
−
=+−
m.
11
2326
xxx+
+
=+ n.
55
3
33
x
xx
+=+
−
−
Ejercicio 4.-
a. Desarrollar.
i.
()
2
5x − ii.
()
2
7x +
iii. (3)(1)xx−+ iv. ()()
x
yx y−+
b. Escribir como producto de dos factores.
i.
2
81x − ii.
3
11
x
x−
iii.
4
16x − iv.
432
35
x
xx++
v.
2
10 25xx−+ vi.
2
49x −
Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales.
a.
y ( , 0)ab a b a b ≥
b.
y ( , 0)ab a b ab
+
+≥
c.
1
y ( 0)
a
a
a
a
>
d.
()
2
22
y 2ab a abb+++
e.
()
2
22
y ab a b++
f.
y 1 ( 0)
ab b
a
aa
+
+
≠
g.
y (0)
ab a b
c
ccc
+
+
≠
h.
111
y ( 0, 0, 0)abab
ab a b
+
≠≠+≠
+
i.
5
35
3
yaa
ver resolución de
ejercicios e,f,g,h
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PRÁCTICA0
3
j.
22
y ( )( )ab abab−−+
k.
1
1
y ( 0)aa
a
−
≠
l.
1
y (0)aaa
−
−≠
m.
1
y ( 0, 0)
ab
ab
ba
−
⎛⎞
≠
≠
⎜⎟
⎝⎠
n.
: y ( 0, 0, 0)
ac ad
bcd
bd bc
≠
≠≠
Ejercicio 6.- Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la
base
b y a la altura h de un rectángulo.
a. La base excede en 2 unidades a la altura.
b. El perímetro del rectángulo es de 50 cm.
c. La base es el doble de la altura.
d. El área del rectángulo es 200 cm
2
.
e. La diagonal del rectángulo mide 5 cm.
f. El rectángulo es un cuadrado.
g. La altura es igual a
2
5
de la base.
Ejercicio 7.- El Gran Mago me dijo:
- Piensa un número.
- Súma
le 7.
- Multiplica por 3 el resultado.
- A lo que salga réstale 15
.
-
Divide por 3.
- Súma
le 2.
- Dime el resultado.
Le dije: 53 y el Gran Mago dijo: pensaste en el 49
.
¿Por qué pudo responder el Gran Mago?
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PRÁCTICA0
4
Ejercicio 8.- Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente.
I. El área de un triángulo es base
por altura dividido por 2
A. 73a
−
II. 7 menos el triple de un número
B.
3
a
b
−
III. La diferencia de dos cuadrados
C.
()
2
ab−
IV. El triple de un número menos 7
D.
2
bh
A
=
V. El cuadrado de la diferencia de
dos núm
eros
E. 37a
−
VI. La diferencia de dos números
dividida por 3
F.
22
ab
−
VII. La tercera parte de un número
m
e
nos otro
G.
3
ab
−
Ejercicio 9.- ¿Cuántos minutos hay en
3
8
de día?
Ejercicio 10.- ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes
de la mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero?
Ejercicio 11.- Un automóvil 0Km cuesta $ 38000. Si cada año pierde el 10% de su
valor, hallar cuánto valdrá dentro de 2 años.
Ejercicio 12.- Una pastilla que pesa 2 gramos, contiene 25% de aspirina, 35% de
vitamina C y el resto es excipiente. ¿Cuántos gramos de cada sustancia contiene?
Ejercicio 13.- Un patio rectangular mide 24 metros de perímetro; si el largo es tres
veces el ancho, ¿cuánto miden ambos?
Ejercicio 14.- María tiene 36 años y Juan, 8; ¿dentro de cuántos años la edad de María
será el triple de la edad de Juan?
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PRÁCTICA0
5
ALGUNAS RESPUESTAS
1. a.
7
12
b. 3 c.
8
5
d. 4
e.
21
4
f. 10 g.
1
h.
13
8
i.
1
2
−
j.
1
25
k.
25
4
l.
1
4
2. a.
45x
x
−
b.
41
21
x
x
−
+
c.
3
2
x
d.
3
4
x
x
+
−
e.
2
4820
12
xx
x
−−−
−
f.
3
2
23
x
x
+
g.
2
5
25
x
x
+
h.
55
3( 4)
x
x
−
−
3. a.
2x
=
b.
2x
=
c.
8x
=
d. 1x
=
− e.
3
2
x
=
f. ningún x
g. 0x
=
h.
10
3
x
=
i. 1x
=
−
j.
1
x
=
k.
2
3
x
=
l.
1
4
x
=
m. 1x
=
− n. ningún x
7. La cuenta que hace el Mago es
3( 7) 15
24
3
x
x
+
−
+
=+. Es decir, debe restarle 4
al número que le dije.
9. 540 minutos.
10. El primero come
5
12
de la pizza, el segundo
7
16
de la pizza, que resulta ser una
porción mayor que la del primero.
11. $ 30780.
12. 0,5 gramos de aspirina, 0,7 gramos de vitamina C y 0,8 gramos de excipiente.
13. 9 metros de largo y 3 metros de ancho.
14. Dentro de 6 años.
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PRÁCTICA1
6
NÚMEROS REALES
Ejercicio 1.- Representar en la recta real.
a. Todos los números reales x tales que (1)0xx
−
=
b. Todos los números reales x tales que
2
16 0x
−
=
c.
{
}
/( 2)( 5) 0xxx∈−+=\
d.
{
}
2
/(5 )( 9) 0xxx∈−−=\
e.
{
}
2
/(3 )( 15) 0xxx∈−+=\
f.
{
}
/( 2)( 1)( 5) 0xxxx∈−+−=\
g.
{
}
2
/(2 3 ) 0xx∈−=\
h.
{
}
2
/690xxx∈++=\
i.
{
}
32
/690xxxx∈++=\
j.
{
}
3
/40xxx∈−=\
Ejercicio 2.-
a. Decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C.
i.
{
}
/3 2 4Cx x=∈ −<\
50ab
=
=
ii.
{
}
/2 8Cx x=∈ −<≤\ 34ab
=
−=
iii.
{
}
2
/250Cx x=∈ −>\ 05ab
=
=
iv.
{
}
3
/10Cx xx=∈ −>\ 51ab
=
=−
v.
1
/5 3
2
Cx x x
⎧⎫
=∈ −>−
⎨⎬
⎩⎭
\
21ab
=
−=
vi.
11
/3
24
xx
Cx x
−−
⎧⎫
=∈ −≤ −
⎨⎬
⎩⎭
\
94ab
=
=
b. Dar dos números que pertenezcan al conjunto A y dos que no
pertenezcan.
i.
{
}
/2 4Ax x=∈ −<≤\
ii.
{
}
2
/5Ax x=∈ >\
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PRÁCTICA1
7
Ejercicio 3.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a. Todos los números reales menores que 2.
b. Todos los números reales mayores o iguales que 1
−
.
c. Todos los números reales mayores que 3
−
y menores o iguales que 7.
d.
{
}
/3xx∈≥−\
e.
{
}
/6xx∈<\
f.
{
}
/1 4xx∈−≤<\
g.
{
}
/1ó5xx x∈<−>\
Ejercicio 4.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a.
{
}
/2 1 0xx∈−<\
b.
1
/5 3
2
x
xx
⎧
⎫
∈
−> −
⎨
⎬
⎭
\
c.
{
}
/3 2 5xx x∈+≤−−\
d.
{
}
/5 3xxx
∈
−<−+\
e.
{
}
/3 2 3 5xxx∈−≤+\
f.
{
}
11
/3
24
xx
xx
−
−
∈
−< −\
g.
{
}
/3 2 1 7xx∈<−≤\ h.
{
}
/1113 2xx
∈
−≤− <−\
Ejercicio 5.- Juan salió de su casa con $ 120. Gastó $ 5 en llegar a la Facultad y $ 25 en
el almuerzo. En la librería hay una oferta de cuadernos a $ 15. Si debe reservar $ 5 para
regresar, ¿cuántos cuadernos puede comprar?
Ejercicio 6.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a.
{
}
/( 1) 0xxx∈−>\ b.
{
}
/( 1)( 4) 0xxx
∈
−+<\
c.
{
}
2
/
x
xx∈≥\
d.
{
}
2
/40xx
∈
−≤\
Ejercicio 7.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a.
{
}
24
/0
5
x
x
x
+
∈>
−
\
b.
{
}
3
/0
54
x
x
x
−
∈
>
−
\
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PRÁCTICA1
8
c.
{
}
/0
32
x
x
x
∈<
−
\ d.
{
}
1
/0
5
x
x
x
−
∈
<
+
\
e.
11
/2x
x
⎧⎫
∈<
⎨⎬
⎩⎭
\
f.
15
/3x
x
⎧
⎫
∈
>
⎨
⎬
⎩⎭
\
g.
25
/32x
x
⎧⎫
∈+>−
⎨⎬
⎩⎭
\ h.
41
/x
x
x
⎧
⎫
∈≤
⎨
⎬
⎩⎭
\
i.
8
/4 0
1
x
x
⎧⎫
∈−<
⎨⎬
−
⎩⎭
\ j.
2
/1
3
x
x
x
+
⎧
⎫
∈
<
⎨
⎬
−
⎩⎭
\
k.
9
/3
2
x
x
−
⎧⎫
∈>
⎨⎬
+
⎩⎭
\
l.
75
/3
1
x
x
x
+
⎧
⎫
∈
≤
⎨
⎬
−
⎩⎭
\
Ejercicio 8.- Representar en la recta real.
a. Todos los números reales que están a distancia 3 del 0.
b. Todos los números reales cuya distancia al 0 es menor o igual que 5.
c. Todos los números reales cuya distancia al 3 es menor o igual que 2.
d.
{
}
/4xx∈=\
e.
{
}
/3xx∈<\
f.
{
}
/2xx∈=−\
g.
{
}
/5xx∈≥\
h.
{
}
/1xx∈≥−\
Ejercicio 9.-
a. Representar en el plano los puntos
(3,1); (4,2); (0,2); (1,0);
AB C D==−= =−
13
(5, ); ( , 2); (0, 5); (7,0); (3, 2)
22
EF G HI==−−=−==−
b. Hallar y graficar en el plano los puntos simétricos de A, B, F, G, H e I
respecto de
i. el eje x
ii. el eje y
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PRÁCTICA1
9
Ejercicio 10.-
a. Hallar la distancia entre A y B.
i. (3, 2) , (7,5)AB==
ii. (1,0) , (3,2)AB=− = −
iii. (0, 2) , ( 4,1)AB=− =−
b. Hallar el perímetro del triángulo de vértices
(2,1), (1,3)y (2,3)AB C=− = − =− −
c. Dar cinco puntos del plano que estén a distancia 2 del punto (3,1)A = .
Graficar.
d. Hallar todos los puntos del eje x a distancia 5 del punto (1,3)A
=
. Graficar.
e. Decidir si existe algún punto del eje x a distancia 2 del punto (2, 3)A =−.
f. Hallar todos los puntos de la forma ( , 2) ,Aa a
=
−∈\ , que están a distancia
5 del punto (0,1)B = .
g. Hallar todos los puntos de la forma ( , ) ,Aaaa
=
∈\ , que distan 13 del
punto (5, 12)Q
=
− .
h. Hallar todos los puntos del plano que equidistan de los puntos (0,0)A = y
(4,0)B = . Graficar.
i. Hallar todos los puntos de la forma ( ,2 1) ,Aaa a
=
−∈\ , que están a
distancia 5 del punto (3,3)B
=
.
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos al conjunto A.
a.
12
/
x
Ax
x
x
+
⎧⎫
=∈ <
⎨⎬
⎩⎭
\ b.
1
/2
3
x
Ax
x
+
⎧
⎫
=
∈≤
⎨
⎬
−
⎩⎭
\
c.
/1
1
x
Ax
x
⎧⎫
=∈ >
⎨⎬
+
⎩⎭
\
d.
{
}
2
/2 3
A
xxx=∈ ≥\
e.
{
}
/(1 2 )(2 ) 0Ax x x=∈ − −≥\ f.
2
6
/3
25
x
Ax x
x
⎧
⎫
=∈ >
⎨
⎬
−
⎩⎭
\
ver resolución de
ejercicio 10 c
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PRÁCTICA1
10
Ejercicio 2.- Hallar todos los 0x < que pertenecen al conjunto
4
/111Ax
x
⎧
⎫
=
∈+<
⎨
⎬
⎩⎭
\ .
Ejercicio 3.- Dados los puntos (2,1)A
=
− ; (,1)
B
a
=
; (1, 1)C
=
− y (3,2)D =− , hallar
los valores de a para que la distancia entre C y D sea igual a la distancia entre A y B .
Ejercicio 4.- Hallar todos los puntos
(,7)Pa
=
que están a distancia 5 del punto
(1,4)Q =−
.
Ejercicio 5.- Hallar todos los puntos ( ,3 )Paa
=
que están a distancia 3 del punto
(1, 0)Q = .
Ejercicio 6.- Hallar todos los k ∈\ para los cuales la distancia entre ( , 1)Ak=− y
(4, )
B
k=− es igual a 3.
Ejercicio 7.- Hallar todos los puntos del eje y que están a distancia 5 del punto
(4, 2)A =−.
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VECTORES EN
2
\
Ejercicio 9.- Dados los vectores. (3,1)v =
G
y (2, 5)w
=
−
J
G
a) Graficarlos en el plano.
b) Calcular y representar gráficamente
i. vw+
GJG
, w−
JG
, vw−
GJG
ii. 3 v
G
, 2 w−
J
G
, 3 2vw−
G
JG
iii.
1
2
w
JG
,
1
2
vw+
GJG
iv. 22vw+
G
JG
,
(
)
2 vw
+
G
JG
c) Representar en el plano 5 vectores de la form
a
kv
G
y 5 vectores de la forma kw
JG
, con
k un número real.
d) Representar en el plano los conjuntos
{
}
/kv k∈
G
\ y
{
}
/kw k∈
J
G
\
.
Ejercicio 10.- Hallar, si es posible, k
∈
\ tal que
a)
()
(1, 2)3,6kk−+=
b)
()()
2, 3 4, 1kk−+ + = −
c)
()()
(3, 2) 6,2 3, 4k −+− = −
Ejercicio 11.-
a) Dados en
2
\ los vectores (3, 4)v
=
−
G
y (1, 2)w =
J
G
, calcular:
v
G
, w
JG
,
vw+
GJG
,
v
G
+ w
JG
, vw−
G
JG
,
2 v
G
,
()
2 v−
G
, 2 v
G
,
1
v
v
G
G
b) Graficar en el plano el conjunto S = {(
x, y) ∈ R
2
/
),( yx
= 5}.
c) Hallar todos los vectores de la forma (4, )
vk=
G
tales que 5v
=
G
.
d) Hallar todos los vectores de la forma ( 2,1)
vk=−
G
tales que 1v
=
G
.
PRÁCTICA1
11
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