ÁLGEBRA
CIENCIAS ECONÓMICAS
Trabajos Prácticos
2015
CONTENIDO
PRÁCTICA 1
RECTAS Y PLANOS EN R
2
Y R
3
1
PRÁCTICA 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
9
PRÁCTICA 3
ESPACIOS VECTORIALES
16
PRÁCTICA 4
MATRICES
22
PRÁCTICA 5
PROGRAMACIÓN LINEAL EN R
2
33
PRÁCTICA 6
ALGORITMO SIMPLEX
40
EJERCICIOS DE FINAL
RECTAS Y PLANOS EN R
2
Y R
3
46
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47
ESPACIOS VECTORIALES
48
MATRICES
49
PROGRAMACIÓN LINEAL EN R
2
51
ALGORITMO SIMPLEX
52
Práctica 1
1
PRÁCTICA 1
RECTAS Y PLANOS EN R
2
Y R
3
1. a) Representar en R
2
los puntos:
A = (3,3) B = (−2,1) C = 2A D = −A
E = A + B F = B − A G = −B.
b) Calcular las coordenadas de C, D, E y F.
c) Representar en el plano 5 puntos de la forma kA, con k un número real.
d) Representar en el plano 5 puntos de la forma kF, con k un número real.
2. a) Encontrar un punto P de la forma (x,2x) que verifique P + (1,−2) = (3,2).
b) ¿Existe un punto Q de la forma (x, x+2) que verifique Q + (1,1) = (2,5)?
c) Encontrar todos los a y b en R para los cuales sea
2(a,−1) + (1,3) = (5,−b).
3. Representar en R
2
:
a) todos los puntos de abscisa 3
b) todos los puntos de abscisa mayor o igual que 3
c) todos los puntos de ordenada −1 y abscisa x tal que x
2
= 16.
4. a) Representar la recta que pasa por los puntos (1,−1) y (−2,2).
b) En cada caso decidir si el punto P pertenece a la recta representada:
i) P = (2,1); ii) P = (0,0); iii) P = (−2,3); iv) P = (x,−x) .
c) Representar la recta que pasa por los puntos (1,2) y (1,5).
5. Dar las ecuaciones paramétrica e implícita de las rectas del ejercicio 4.
6. Dar las ecuaciones paramétrica e implícita de la recta que pasa por los
puntos (3,1) y (4,−1).
7. a) Dar las coordenadas de dos puntos de la recta de ecuación x + y = −2.
b) Graficarla y dar su ecuación paramétrica.
8. Dar la ecuación:
a) implícita de la recta L: X = β (5,−1) + (2,1)
Práctica 1
2
b) implícita de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (−3,2)
c) paramétrica de la recta que pasa por los puntos (5,5) y (4,−1)
d) paramétrica de la recta L
1
: x + 3y = −1
e) implícita de la recta L
2
: X = α(1,5) + (2,0).
9. a) Escribir la ecuación implícita de las rectas de los ejercicios 8.c) y 8.d).
b) Determinar la pendiente de esas rectas.
10. Dar la ecuación de la recta:
a) de pendiente 2 que pasa por (−1,0)
b) de pendiente 0 que pasa por (1,3).
11. Hallar un punto P de modo que la pendiente de la recta que pasa por P y
por (3,1) sea −4.
12. Representar gráficamente, en el mismo plano, las rectas
L
1
: −x + 3y = 2 y L
2
: −x + 3y = −2.
Comparar sus pendientes.
13. a) Dar la ecuación paramétrica de la recta paralela a
L: X = β(2,−3) + (1,1) que pasa por (0,0).
b) Dar la ecuación implícita de la recta paralela a L: 3x + 2y = 3 que pasa
por (−1,1).
14. Las ganancias de cierta empresa crecen linealmente. El primer año
fueron de $ 750 y en el quinto año llegaron a $ 6750.
a) Plantear la ecuación que representa las ganancias en función de los
años transcurridos. Graficarla.
b) ¿Cuál será la ganancia a los 12 años de instalada?
c) ¿Cuándo llegará a ser de $ 21750?
15. El costo de un viaje en taxi es una suma fija más una cantidad por cuadra
recorrida. Si cobra $ 3,90 por un recorrido de 10 cuadras y $ 6,24 por un
recorrido de 23 cuadras:
a) expresar el costo en función de las cuadras recorridas
Práctica 1
3
b) indicar la suma fija
c) indicar cuántas cuadras se recorrieron si se pagaron $ 5,16.
16. La factura mensual por el uso de un teléfono celular se compone de un
cargo fijo y cierta cantidad por minuto utilizado. Por un mes con
30 minutos de uso se pagaron $ 39 y por otro, con 23 minutos de uso, se
pagaron $ 36,20.
¿Cuál es el cargo fijo y cuál es la cantidad que se paga por minuto?
17. Hallar la intersección de las rectas L
1
y L
2
si:
a) L
1
: 3x + y = −3 y L
2
: X = α(1,3) + (2,0)
b) L
1
: −2x + 3y + 13 = 0 y L
2
: y = 7x + 2
c) L
1
: X = α(−4, 1) + (2,1) y L
2
: X = α(1,2) + (0,−1).
18. En cada caso graficar las rectas, analizar las posiciones relativas y
encontrar los puntos de intersección:
a) L
1
: 2x + y = 3 L
2
: 2x − y = 1
b) L
1
: x + 3y = 6 L
2
: −2x − 6y = 2
c) L
1
: x − 2y =−1 L
2
: 3x − 6y =−3
d) L
1
: x − y = 3 L
2
: −2x + y = 1
e) L
1
: x − y = 3 L
2
: 3x + y = 5
19. Sean L
1
: x − 2y = 2; L
2
: − 2x + y = −3 y L
3
: X = t (1,−7).
Dar la ecuación paramétrica de la recta L que pasa por el punto de
intersección de L
1
y L
2
y por el punto de intersección de L
2
y L
3
.
20. L es la recta que pasa por P = (1,−3) y Q = (2,−4). Hallar b tal que la
recta que es paralela a L y pasa por (b,5), también pase por (2,2).
21. Dos empresas familiares fabrican zapatos deportivos.
La empresa A hizo una inversión inicial de $ 2800 y cada par de zapatos
que vende le rinde una ganancia de $ 7. La ganancia de la empresa B
está dada, en función de los pares de zapatos vendidos, por la fórmula
g(x) = 11 x − 5500.
Práctica 1
4
a) ¿Cuál de las dos empresas hizo una mayor inversión inicial?
b) ¿Cuántos pares de zapatos debe vender la empresa A para recuperar
su inversión inicial?
c) ¿A partir de cuántos pares de zapatos vendidos, la ganancia de la
empresa B será mayor que la de la empresa A?
22. Un fabricante de guantes tiene costos fijos mensuales de $ 2100 y de
$1,20 por cada par de guantes que produce.
Si vende cada par de guantes a $5,40, encontrar el punto de equilibrio y
el costo de producción en ese punto.
Observación: El punto de equilibrio es el nivel de producción mensual
necesario para cubrir el costo de producción.
23. La fábrica de empanadas El Repulgo invirtió $ 5200 en instalaciones y
obtiene $ 3,60 de ganancia por la venta de cada docena de empanadas.
La fábrica Pachamama hizo una inversión inicial de $ 1600 y la ganancia
que obtiene por cada docena de empanadas es la mitad de la que obtiene
El Repulgo. ¿A partir de cuántas docenas de empanadas El Repulgo
obtiene más ganancia que Pachamama ?
24. Representar en R
3
: A = (2,0,0) B = (2,2,0) C = (2,2,2)
D = (0,0,−1) E = (0,3,1) F = (2,0,−1).
25. Si A = (0,0,2); B = (4,0,0) y C = A + B,
a) representar A, B y C
b) calcular las coordenadas de C.
26. Un cubo tiene vértices en (0,0,0); (2,0,0); (0,2,0) y (0,0,2);
escribir las coordenadas de los otros 4 vértices del cubo.
27. a) Si A = (1,1,−2); B = (−1,−3, 4) y C = (1,−1, 0),
hallar α tal que αA + B = C.
b) Encontrar, si es posible, α y β tales que
i) (1,3,0) = α(1,2,−1) + β(0,2,2)
ii) (1,2,2) = α(1,2,0) + β(0,2,0).
Práctica 1
5
28. Escribir la ecuación paramétrica de la recta:
a) que tiene dirección (1,−1,2) y pasa por el origen de coordenadas
b) que tiene dirección (1,−1,2) y pasa por el punto (0,2,−3)
c) que es paralela a L: λ (2,1,−1) + (−2, 4,1) y pasa por el punto (0,3,2)
d) que pasa por el punto (3,4,−1) y por el origen de coordenadas
e) que pasa por los puntos (1,5,1) y (−4,3,2).
29. Sean en R
3
las rectas L
1
: λ (1,2,−1) + (1,3,5) y L
2
que es paralela a L
1
y
pasa por el punto (3,2,4)
a) hallar el punto de L
2
que tiene coordenada x
3
= 0
b) decidir si los puntos (−1,−1,7) y (1,−2,6) están en L
2
.
30. Hallar todos los valores de k para los cuales la recta que pasa por los
puntos (1,−1,1) y (4, k,−2) es paralela a la recta L: t(1,2,−1) + (0,3,2).
31. Dadas las rectas L
1
: α(1,2,1) + (2,3,2) L
2
: β(0,1,−1) + (1,3,−1)
L
3
: (2,4,2) + (1,5,0) L
4
: (2,4,2) + (3,5,3)
a) hallar: i) L
1
∩ L
2
ii) L
1
∩ L
3
iii) L
2
∩ L
3
iv) L
1
∩ L
4
b) analizar las posiciones relativas de cada par de rectas.
32. Sean la recta L: β(1,1,−2) + (0,0,3) y el punto A = (3,1,0); determinar un
punto B tal que la recta que pasa por A y B sea paralela a L.
33. Dar las coordenadas de 3 puntos que estén:
a) en el plano coordenado x
1
x
2
b) en el plano paralelo al plano coordenado x
1
x
2
, que contiene al punto (0,0,1).
34. Escribir la ecuación paramétrica y representar en R
3
el plano:
a) que pasa por los puntos A = (0,0,0), B = (1,0,0) y C = (0,1,0)
b) que pasa por los puntos A = (0,0,1), B = (1,0,1) y C = (0,1,1)
c) coordenado x
1
x
2
, Comparar con a)
d) que pasa por los puntos A = (0,0,0), B = (2,0,1) y C = (1,0,3)
e) que pasa por los puntos A = (1,3,1), B = (2,1,1) y C = (3,4,1).
Práctica 1
6
35. Dar la ecuación implícita de:
a) todos los planos coordenados
b) todos los planos del ejercicio 34.
36. Hallar las intersecciones de los planos
1
y
2
en cada caso:
a)
1
: x
1
= 0
2
: x
3
= 0
b)
1
: x
2
= 0
2
: x
3
= 2
c)
1
: x
1
+ x
3
= 0
2
: x
2
− x
3
= 0
d)
1
: x
1
+ x
2
− 2x
3
= 0
2
: 2x
1
+ x
3
= 2
e)
1
: x
1
+ x
2
− x
3
= 0
2
: 2x
1
+ 2x
2
– 2x
3
= 3
f)
1
: x
1
+ x
2
− x
3
= 1
2
: 2x
1
+ 2x
2
– 2x
3
= 2
37. Dar las ecuaciones implícitas de las rectas:
a) L
1
: α(1,3,1) + (2,0,0)
b) L
2
: β(−3,0,1) + (1,1,1)
38. Dar la ecuación implícita de un plano que contenga a la recta
L: β(1,−1,0) + (2,0,1).
39. Encontrar el valor de a para que la recta que pasa por (1,a,2) y (1,5,4)
sea paralela a la recta dada por L:
1
23
x1
x x 5
.
40. Hallar la intersección de la recta L con el plano si:
a) L: α(1,2,1) + (2,2,3) : x
3
= 0
b) L:
1 2 3
13
x x x 1
x x 2
: x
2
= 3
c) L:
1 2 3
13
x x x 1
x x 2
: α(1,0,0) + β(0,1,−2) + (0,0,1)
d) L: α(0,1, 1) + (0,1,1) : x
2
+ x
3
= 2
e) L: α(0,1, 1) + (0,1,1) : x
2
+ x
3
= 0
Práctica 1
7
41. Un emprendedor gastronómico dispone de un presupuesto de $ 900 sema-
nales para comprar lechuga, tomate y zanahoria. Un kilo de lechuga cuesta
$ 25, un kilo de tomate cuesta $ 30 y un kilo de zanahoria cuesta $ 10.
i) Plantear la ecuación presupuestaria y graficarla.
ii) Determinar la máxima cantidad de zanahoria que puede comprar con
ese presupuesto.
iii) Si compra 12 kilos de lechuga y 4 kilos de tomates, ¿cuántos kilos de
zanahoria debe comprar para agotar el presupuesto?
42. Se dispone de un presupuesto de $ 400 para la compra de cuadernos y
biromes. Cada cuaderno cuesta $ 16 y con ese presupuesto se pueden
comprar a lo sumo 80 biromes.
i) Plantear la ecuación presupuestaria y graficarla.
ii) Si se compran 32 biromes, ¿cuántos cuadernos se deben comprar para
agotar el presupuesto?
iii) ¿Cuál es la máxima cantidad de cuadernos que se pueden comprar?
43. La ecuación presupuestaria de un consumidor que dispone de $ 1800
para la compra de tres productos A, B y C es:
ax by 10z 1800
donde
x 0, y 0, z 0
.La máxima cantidad de unidades del producto A
que el consumidor puede comprar es 45. Si compra 20 unidades de A,
26 unidades de B y 22 unidades de C, el consumidor gasta todo el presupuesto.
i) Determinar los valores de a y b.
ii) ¿Cuál es el máximo de unidades que puede comprar del producto B?
iii) ¿Cuál es el precio de una unidad de cada producto?
44. Un consumidor dispone de un presupuesto fijo para la compra de dos productos
A y B. Una unidad del producto A cuesta $ 25.
Con ese presupuesto puede comprar no más de 15 unidades de B.
Si compra 8 unidades de A y 10 unidades de B, gasta todo el presupuesto.
i) Determinar la ecuación presupuestaria y graficarla.
ii) ¿Cuál es el presupuesto del consumidor?
iii) ¿Cuánto cuesta una unidad del producto B?
iv) ¿Cuál es el máximo de unidades de A que puede comprar?
Práctica 1
8
y
z
x
80
60
120
y
x
(45,10)
60
40
Ecuación presupuestaria – Recta balance – Plano balance
i) Supongamos que un consumidor recibe un ingreso fijo de $1200 semanales y los utiliza en la
compra de dos productos A y B.
Si 1 kilogramo de A cuesta $ 20, 1 kilogramo de B cuesta $ 30,
x es la cantidad de kilogramos de A , y es la cantidad de kilogramos de B, entonces
20x 30y 1200
donde
x 0, y 0
.
Las soluciones de esta ecuación, llamada ecuación presupuestaria dan las posibles
combinaciones de A y B que pueden ser compradas con $ 1200.
La gráfica de esta ecuación es la recta balance.
Observar que (45,10) pertenece a la recta. Esto significa que
si se compran 45 kg de A, entonces deben comprarse 10 kg de B
para gastar en total $ 1200.
Otras formas de la ecuación presupuestaria son:
20x 30y
1
1200 1200
;
xy
1
60 40
(ecuación segmentaria)
Observar que
60 kg es la máxima cantidad que se puede comprar de A,
40 kg es la máxima cantidad que se puede comprar de B.
ii) Supongamos que un consumidor recibe un ingreso fijo de $2400 semanales y los utiliza en la
compra de tres productos A, B y C.
Si 1 kilogramo de A cuesta $ 20, 1 kilogramo de B cuesta $ 30, 1 kilogramo de C cuesta $ 40,
x es la cantidad de kilogramos de A , y es la cantidad de kilogramos de B,
z es la cantidad de kilogramos de C, entonces
20x 30y 40z 2400
donde
x 0, y 0, z 0
.
Las soluciones de esta ecuación, llamada ecuación presupuestaria dan las posibles
combinaciones de A, B y C que pueden ser compradas con $ 2400.
La gráfica de esta ecuación es el plano balance.
Observar que (60,20,15) pertenece al plano. Esto significa que
si se compran 60 kg de A y 20 kg de B, entonces deben comprarse
15 kg de C para gastar en total $ 2400.
Otras formas de la ecuación presupuestaria son:
20x 30y 40z
1
2400 2400 2400
;
x y z
1
120 80 60
(ecuación segmentaria)
Observar que
120 kg es la máxima cantidad que se puede comprar de A,
80 kg es la máxima cantidad que se puede comprar de B,
60 kg es la máxima cantidad que se puede comprar de C.
Práctica 2
9
PRÁCTICA 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Decidir cuáles de los puntos A,B,C,D, son solución del sistema S en cada
caso
a) S
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
x 2x 3x 2
x 5x 5x 3
A = (0,0,0) B = (2,1,2) C = (1,2,3) D =
41
( , ,0)
33
b) S
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 4
x x 2x 0
2x x x x 0
x 3x x 0
3x 2x x 0
A = (0,0,0,0) B = (2,1,4,3) C = (2,5,13,4) D = (1,1,1,1)
2. Dar en forma paramétrica las soluciones de cada uno de los sistemas.
a)
1 2 3
23
x 2x x 0
2x x 0
b)
1 2 3
23
x 2x x 3
2x x 4
c)
1 2 3
23
3
x x x 1
x x 3
2x 4
d)
1 2 3
34
4
x x x 7
x x 3
x1
e)
14
24
x x 0
x x 0
f)
14
24
x x 1
x x 2
3. Aplicar el método de Gauss para llevar el sistema a la forma triangulada, y
luego escribir las soluciones en forma paramétrica. Interpretar
geométricamente.
Práctica 2
10
a)
1 2 3
1 2 3
x 2x 2x 1
x x x 7
b)
12
1 2 3
13
3x x 1
x x x 5
2x x 0
c)
1 2 3
12
1 2 3
2x x 4x 1
2x x 3
4x 3x 2x 7
4. Para cada una de las siguientes matrices, encontrar una matriz triangulada
por filas equivalente y determinar su rango.
a)
1 0 2 1
2 1 2 0
1 1 2 2
1 0 0 1
b)
2 2 2 1
1 0 3 2
3 2 3 2
3 4 3 5
c)
3 3 2 0 9
1 2 4 3 1
0 2 2 4 0
1 8 4 8 0
0 1 0 0 5
d)
2 2 4 4 5
2 1 3 1 0
4 3 7 3 5
0 1 1 5 5
8 3 11 6 5
5. Para cada uno de los siguientes sistemas:
a) aplicar el método de Gauss para triangularlo
b) hallar el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz
ampliada
c) decidir si es: incompatible, compatible determinado o compatible
indeterminado
d) si es compatible, resolverlo.
S
1
1 2 3
12
13
2x x x 1
x x 3
3x 4x 1
S
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
2x x 3x 2
5x x 11x 3
S
3
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 4
x x 2x 1
2x x x x 2
x x 3x 1
3x x 2x 2
S
4
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
x x x 0
x 2x x 5x 0
x x 2x x 0
x 3x 2x 0
Práctica 2
11
S
5
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
x x x 0
x 2 x x 5x 0
x x 2x x 0
x x 2x 0
S
6
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
2x x x 3x 1
x x 2x 3
3x 2x 3x 4x 1
S
7
1 2 3 4 5
1 3 4
1 2 3 4 5
12
x 3x 4x 4x 3x 2
2x x x 2
x x x x x 0
x x 2
6. Hallar las soluciones del sistema
1 2 3
1 2 3
12
x x x 0
x 3x 2x 1
3x 2x 1
que verifican la ecuación
2
x0
.
7. Encontrar las coordenadas de todos los puntos de la recta de ecuación
X = (2,2,2)+(0,1,0) que son soluciones del sistema
x y z 1
x y 1
8. Dadas las ecuaciones
3x y z 3
x 2y 3z 1
agregar una tercera ecuación de manera que el sistema lineal de tres
ecuaciones con tres incógnitas resultante tenga a (0,2,1) como única solución.
9. Una compañía de enchapados para joyas de fantasía fabrica dos mezclas
distintas, ambas a base de plata y oro.
La mezcla Premium lleva 7 g de polvo de oro por cada 3 g de polvo de plata.
La mezcla Standard lleva 4 g de polvo de oro por cada 6 g de polvo de plata.
La compañía posee en este momento un stock de 35 kg de polvo de oro y 30 kg
de polvo de plata. ¿Cuántos kg de cada tipo de mezcla debe fabricar para
agotar el stock?
10. Las harinas de soja, garbanzos y trigo burgul intervienen en la composición de
tres alimentos: Soji, Garbi y Burgui, fabricados por una empresa.
Práctica 2
12
En la siguiente tabla se detalla la composición de los mismos.
Soja
Garbanzos
Trigo burgul
Soji
50 %
30 %
20 %
Garbi
10 %
50 %
40 %
Burgui
20 %
20 %
60 %
La empresa pretende agotar los insumos que reciba.
La cantidad de toneladas de cada tipo de harina a recibir está entre una de las
tres opciones siguientes:
Opción I
Opción II
Opción III
Soja
2
4
6
Garbanzos
3
3
6
Trigo burgul
5
3
8
Determinar las cantidades de los tres alimentos que pueden producirse para
cada opción de insumos recibidos.
11. Un turista que viajó a Europa visitó Berlín, Roma y Praga.
En Berlín gastó por día $150 en hospedaje y $ 100 en alimentos;
en Roma gastó por día $100 en hospedaje y $ 150 en alimentos;
en Praga gastó por día $100 en hospedaje y $ 100 en alimentos.
Por conceptos varios gastó $ 50 por día en cada una de las tres ciudades.
A su regreso, el registro de gastos indicaba en total, $ 1700 en hospedaje,
$ 1600 en alimentos y $ 700 en gastos varios.
Calcular cuántos días estuvo el turista en cada una de las tres ciudades, o
bien mostrar que el registro es incorrecto.
12. Para cada ítem, dar todas las posibilidades, teniendo en cuenta que las
soluciones deben ser números enteros no negativos.
i) Una compañía de detergentes fabrica los productos: LAV, BRI, CIC y PRO
a partir de tres sustancias AS, SP y TS.
La tabla siguiente muestra, en cientos de kg, las cantidades de materia
prima necesarias para fabricar un envase de cada producto y el stock.
Práctica 2
13
LAV
BRI
CIC
PRO
stock
AS
4
8
4
4
60
SP
2
5
2
3
36
TS
3
7
4
3
50
Encontrar el número de envases de cada producto que se puede fabricar
utilizando todo el material disponible.
ii) Una empresa tiene tres máquinas para fabricar cuatro productos diferentes.
Para producir una unidad del producto A se requieren 1h de la máquina I,
2h de la máquina II y 1h de la máquina III.
Para producir una unidad del producto B se requieren 2h de la máquina I
y 2h de la máquina III.
Para producir una unidad del producto C se requieren 1h de la máquina I,
1h de la máquina II y 3h de la máquina III.
Para producir una unidad del producto D se requieren 2h de la máquina I
y 1h de la máquina II.
Determinar cuántas unidades se deben fabricar de cada producto en un día
de 8 horas, suponiendo que cada máquina se utiliza 8 horas completas.
iii) Una compañía de transportes posee tres tipos distintos de camiones, que
están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada.
Los camiones de tipo A pueden transportar 2 máquinas de la clase I.
Los de tipo B pueden transportar 1 máquina de cada clase.
Los de tipo C pueden transportar 1 máquina de la clase I y 2 de la clase II.
La empresa debe transportar 32 máquinas de la clase I y 10 máquinas de
la clase II.
Determinar cuántos camiones de cada tipo se requieren para transportar
todo el pedido, suponiendo que cada camión debe ir con la carga completa.
13. Una empresa prepara tres clases de alimentos para perros A, B y C.
Dispone de 660 kg de hueso molido, 680 kg de carne disecada y 760 kg de
salvado de cereal.
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