Daniela Aguilar
Para hacer ciencia (de cualquier tipo) se necesita hacer un buen manejo de lenguaje.
La argumentación cobra un rol fundamental ya que será la tarea que permitirá a las personas sostener y respaldar sus
posiciones en la tensión que implica diferenciarse de otras posturas.
La práctica argumentativa forma parte de nuestra vida diaria,
consiste en la producción y evaluación de argumentos.
Producimos argumentos para persuadir a los otros o a nosotros mismos.
Podríamos decir que es un fragmento de lenguaje, ya sea escrito u oral, es una definición demasiado amplia porque por
ejemplo una canción o un poema es un fragmento del lenguaje, pero no es argumento. NO todo fragmento del lenguaje
es un argumento.
Podríamos decir que un ARGUMENTO es un conjunto de oraciones, para ser más precisos, un ARGUMENTO es un
CONJUNTO DE ENUNCIADOS donde algunos se ofrecen a favor de otros.
Un enunciado son oraciones que afirman o niegan que algo sea el caso.
Las oraciones son la base material de un enunciado.
No todas las oraciones expresan enunciados. Las que si lo hacen se llaman
ORACIONES DECLARATIVAS, solo de ellas se
puede sostener que son verdaderas o falsas.
Los argumentos son conjuntos de enunciados que mantienen una estructura:
PREMISAS Y CONCLUCIONES
Las premisas pretenden sostener, establecer y dar razones a favor de la conclusión.
1. Puede a ver una o más premisas y una conclusión, cada conclusión de cada argumento será única.
2.
Un argumento puede ser formulado en una sola oración.
3. Se puede distinguir una ESTRUCTURA al momento de analizar argumentos, pero su FORMULACION no suele
respetar ningún orden preciso. Es decir que la conclusión no necesariamente estará al final.
4. No todos los argumentos presentan indicadores en su formulación.
Expresiones lógicas: y, o, pero, si… entonces…, siempre y cuando, no.
Daniela Aguilar
Proposición es aquello que las oraciones afirman o expresa, las oraciones son el soporte material.
Al momento de
reconstruir argumentos es necesario atender a las PREPOSICIONES y no a las oraciones.
Ejemplo: 1. Bárbara realizó importantes aportes a la genética
2. Importantes aportes en la genética fueron realizados por Barbara
Es claro que no son la misma oración, sin embargo; podemos decir que ambas se expresan la misma
PROPOSICIÓN.
Enunciados simples → no contienen expresiones lógicas, ni pueden descomponerse en otros enunciados.
Enunciados complejos
→ constituyen la combinación de enunciados mediante el uso de expresiones lógicas.
Pueden haber más de una expresión lógica dentro de un enunciado y así formar enunciados cada vez más complejos.
. Conjunciones
Tipo de enunciado complejo en el que se afirman dos o más enunciados llamados conyuntos, que se combinan entre sí
por la conectiva “y”.
Estos enunciados se denominan verdaderos solamente cuando ambos conyuntos son verdaderos
Por ejemplo:
Los perros y los gatos son mamíferos
. Disyunciones
Tipo de enunciado complejo que combina dos o más enunciados, pero sin afirmar que ambas proposiciones sean el caso.
Esta clasificación, a su vez se divide en dos, indicadas por el contexto de emisión, o expresiones características:
Inclusiva → Al menos uno de los conyuntos es verdadero, sin excluir la posibilidad de que ambos lo sean.
Se distingue por el uso de “o”
Exclusiva → Afirma que uno de los conyuntos es verdadero, pero excluye la posibilidad de que ambos lo sean. Se distingue
por el uso de “o bien…, o bien…”.
A
B
A o B
O bien A o bien B
1
V
V
V
F
2
V
F
V
V
3
F
V
V
V
4
F
F
F
F
A
B
A y B
1
V
V
V
2
V
F
F
3
F
V
F
4
F
F
F
2. Solo si un tsunami azota Bs. As., la ciudad se inunda
La ciudad se inunda → un tsunami azota Bs. As.
Daniela Aguilar
. Condicionales
Este tipo de enunciado complejo combina 2 enunciados simples.
No afirma ninguna de las proposiciones combinadas. Solo afirma que
EXISTE UNA RELACION entre ellas.
ESTRUCTURA: “Si, A entonces B”
➔ CONDICIONES SUFICIENTES
Ejem. Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda
condición suficiente lo que ocurrirá
antecedente consecuente
El enunciado afirma que es condición suficiente que suceda el tsunami para que se inunde la ciudad, pero no dice que sea
necesario.
Se puede expresar con Si…, entonces…; es suficiente… para…; basta que… para…; etc.
3. pese a que la consecuente es falsa decimos que la oración es
verdadera porque el antecedente es suficiente mas no se afirma que sea el único factor para que lo
que ocurrirá sea verdadero.
→ CONDICIONES NECESARIAS
Ejem. Solo si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda.
condición necesaria si o si tiene que suceder
consecuente antecedente
Es decir, si sucede la condición
necesaria, es la única opción.
Se puede expresar con Es necesario que… para que…; Únicamente si…, …; …, solo si…; etc.
La diferencia entre Condiciones suficientes y necesarias radica en el modo de identificar el antecedente y el
consecuente de la oración condicional.
Antecedente → consecuente
Condición suficiente → condición necesaria
1. Si un tsunami azota Bs. As, la ciudad se inunda
Un tsunami azota Bs. As → la ciudad se inunda
A
B
A → B
1
V
V
V
2
V
F
F
3
F
V
V
4
F
F
V
A → B
Antecedente → Consecuente
En las condiciones suficientes la C.S es ANTECEDENTE
En las condiciones necesarias la C.N es CONCECUENTE
Daniela Aguilar
➔ BICONDICIONALES
Establece una relación condicional que va en ambos sentidos:
Se puede expresar con Si y solo si… o siempre y cuando….
Ejem. Bs. As se inunda siempre y cuando sea azotado por un tsunami
. Negaciones
Tipo de enunciado en el que se niega que sea el caso en el que ocurra algo.
Se expresa con es falso que, no, no es cierto que, nadie; utilizando la partícula des- o in-
Ejem. A. Marte está habitado No A. Marte esta deshabitado
. Singulares Refieren a un individuo específico. Ejemplo: El obelisco mide más de 60 metros.
. universales Refieren a todos los miembros de un conjunto. Ej: A todos los estudiantes les duele la cabeza
Se analiza caso por caso para demostrar que la propiedad se cumpla siempre. VERDADERA
Si no se cumple es
FALSA
. existenciales Refieren a algunos miembros de determinado conjunto cumplan determinada propiedad. Ej: a
parte de los estudiantes les duele la cabeza
Solo basta encontrar un caso del conjunto que cumpla con lo implicado. VERDADERO
Se debe demostrar que cada caso NO CUMPLE con la propiedad.
FALSO
. pirobalísticas o estadísticas Refiere a un conjunto determinado, y establece una probabilidad de que
los miembros de tal conjunto cumplan con una propiedad. Pueden ser estadísticos (x%), o probabilísticos (la mayoría,
pocos, etc.).
A
B
A siempre y cuando B
1
V
V
V
2
V
F
F
3
F
V
F
4
F
F
V
A
No A
V
F
F
V
Afirma que la relación de condicional es tanto necesaria como suficiente
Los y su
Daniela Aguilar
Contingencias
Son aquellas que pueden resultar verdaderas o falsas según se dé o no el estado de las cosas firmado en ellas.
Su verdad o falsedad está determinado por su forma, si no,
depende del contenido de la oración
Necesito la verificación empírica.
Ejem. Francisco es hincha de Racing
Tautologías
Son oraciones VERDADERAS en CUALQUIER circunstancia
Son oraciones
NECESARIAMENTE VERDADERAS
Ejemplo: Estructuras:
1. Si llueve entonces llueve Si A entonces A
2. Llueve o no llueve A o no A
3. No es cierto que llueve y no llueve No (A y no A)
A y no A
Contradicciones
1 No (A entonces A)
2 A y no A
3 No (A o no A)
La lógica es una disciplina que provee estrategias claras para evaluar los argumentos
1. Permite considerar si la conclusión se encuentra apoyada y, si fuera el caso, en que grado se encuentra apoyada
por las premisas. VINCULO DE PREMISAS Y CONCLUSIÓN.
2. La evaluación de verdad de las premisas depende del contenido de lo afirmado en estas y de factores extra-
logicos.
Son oraciones simples o complejas pero que no me alcanza con la estructura de
la oración en si misma para determinar su verdad.
Son oraciones necesariamente verdadero no por su contenido, si no por su
estructura o forma lógica.
Son oraciones falsas no por su contenido, si no por su estructura o forma lógica.
Daniela Aguilar
Los argumentos son parte central de nuestra lingüística.
Un argumento es un fragmento del lenguaje en el que se pretende establecer una conclusión a partir de ciertas premisas
que
ofician de razones para la afirmación de la conclusión.
RAZONES concluyentes → Argumentos deductivos
alguna RAZÓN → Argumentos inductivos
• La conclusión queda establecida concluyente y necesariamente a partir de las premisas, es decir, quien acepta las
premisas debería aceptar la conclusión.
• Las premisas dan apoyo absoluto a la conclusión
• Estos argumentos son válidos, es decir, si las premisas son verdaderas la conclusión también lo es necesariamente.
Se preserva la verdad.
• LA FORMALIDAD forma o estructura:
A y B, por lo tanto, A
IMPOSIBLE premisas verdaderas y conclusión falsa.
Las premisas se toman como un conjunto: basta que una premisa sea falsa para considerar a “las premisas”
enteramente falsas.
PREMISAS
CONCLUSIÓN
ARGUMENTO
1
V
V
VALIDO
2
V
F
INVALIDO
3
F
V
VALIDO
4
F
F
VALIDO
DEDUCTIVO
Todos los perros son mamíferos
Simón es un perro
Simón es un mamífero
INDUCTIVO
Simón es un perro y mueve la cola
Frida es una perra y mueve la cola
Ñata es un apera y mueve la cola
Tim es un perro y mueve la cola
Todos los perros mueven la cola
A y B
A
Un argumento VÁLIDO que tiene sus premisas verdaderas es un argumento SÓLIDO.
Existen argumentos válidos que no llegan a ser sólidos.
Daniela Aguilar
Una forma de determinar la validez de un argumento, es considerar si las condiciones de verdad de las premisas garantizan
las condiciones de verdad de la conclusión.
Otra forma es usando reglas de inferencia para deducir la conclusión.
Una
DEDUCCIÓN es una secuencia de oraciones que parten de premisas, donde cada una de las líneas siguientes se
obtiene aplicando reglas de inferencia a las anteriores, y la última línea es la conclusión.
Todo argumento que pueda construirse bajo estas formas será válido.
Las reglas de inferencia preservan verdad de premisas a conclusión.
MODUS PONENS MODUS TOLLENS SILOGISMO HIPOTÉTICO SIMPLIFICACIÓN
ADJUNCIÓN SILOGISMO DISYUNTIVO INSTANCIACIÓN DEL UNIVERSAL
Pruebas por absurdo → es una estrategia demostrativa indirecta, que se aplica cuando el resto son inviables. El
procedimiento se basa en suponer que la conclusión que se quiere probar no es el caso, y a partir de ello, mediante reglas
de inferencia, llegar a una contradicción. Esto probaría que el supuesto provisional sería falso, puesto que las premisas
ya no serias todas verdaderas porque de otra manera no se habría llegado a una contradicción, y, por lo tanto, la
conclusión original sería verdadera.
Ejemplo:
- Si Pedro sale a correr, dormirá bien
- Si Pedro duerme bien, aprobará Química
- Pedro no aprobó Química
Por lo tanto, Pedro no salió a correr
A: Pedro sale a correr
B: Pedro duerme bien
C: Pedro aprobó Química
Si A entonces B
A
B
Si A entonces B
No B
No A
Si A entonces B
Si B entonces C
Si A entonces C
A y B
A
A y B
B
A
B
A y B
B
A
B y A
A o B
No A
B
A o B
No B
A
Todos los R son P
X es R
X es P
Si A entonces B
No A
No B
Por ejemplo:
Todos los patos tienen alas
Algunos animales con alas son amarillos
Algunos patos son amarillos
Todos los pingüinos tienen alas
Algunos animales con alas vuelan
Algunos pingüinos vuelan
Daniela Aguilar
1. Si A entonces B
2. Si B entonces C
3. No C
4. A (supuesto provisional) QUEREMOS DEMOSTRAR NO A
5. Si A entonces C (silogismo hipotético entre 1 y 2)
6. C (Modus Ponens de 5 y 4)
7. C y no C (adicción entre 6 y 3)
CONTRADICCIÓN
8. No A (por absurdo)
• POSIBLE premisas verdaderas y conclusión falsa
• Premisas verdaderas y conclusión verdadera puede ser INVALIDO
Ejem.
La verdad de la conclusión NO SE APOYA en la verdad de las premisas
Todo argumento que pueda construirse bajo estas formas será inválido.
FALACIA DE AFIRMACIÓN DEL CONCECUENTE FALACIA DE NEGACION DEL ANTECEDENTE
Podemos construir contraejemplos con estas formas.
Contraejemplo se utiliza para mostrar que un enunciado es invalido con otra idea.
Podríamos considerar este argumento como valido, sin embargo; acudiendo a realizar un contraejemplo.
Este argumento tiene la misma forma que el primero, pero sus premisas son VERDADERAS y su conclusión es FALSA. Por
lo tanto, es un argumento invalido. Como tiene la forma del ejemplo original, decimos que ese también es INVALIDO.
Dos más dos cuatro
La tierra esta en movimiento
Si A entonces B
B
A
Los y su
X1 tiene las características F, G, …, Z
X2 tiene las características F, G, …, Z
.…
Xn tiene las características F, G, …
Por lo tanto, Xn tiene la característica Z
El n por ciento (o la mayoría, o muchos) de los F son G.
X es F.
Por lo tanto, x es G.
Daniela Aguilar
En este tipo de argumentos, las premisas no ofrecen un apoyo absoluto a la conclusión (ofrecen apoyo parcial).
Es decir, no se habla de validez (pues teóricamente son argumentos inválidos), si no de si es bueno, malo, débil, o fuerte.
El criterio de fortaleza de un argumento no es algo único o concreto, si no gradual.
Para evaluarlos depende de cada tipo de argumento y contenido:
A partir de la comparación entre algunos casos que son iguales en algunos aspectos o propiedades, se concluye que
también lo son en otros.
Estructura:
Para su evaluación, los criterios a tener en cuenta son:
- Relevancia en las similitudes: Las propiedades o características que usamos para establecer la similitud deben ser
relevantes en la relación a la propiedad que quiero inferir en la conclusión
- Cantidad de propiedades relevantes: a más similitud, más fuerza tiene el argumento.
- Cantidad de casos relevantes: cuantas más veces haya sucedido el caso, más fuerte el argumento.
La información disponible en las premisas se utiliza para generalizar una conclusión a partir de las mismas.
Estructura:
Para su
evaluación, los criterios a tener en cuenta son:
- Cantidad de casos mencionados en las premisas: mientras mayor sea la cantidad, más fuerte será el argumento.
- Que la muestra base sea representativa: si esta es arbitraria, vuelve el argumento más débil.
Una de las premisas se basa en una generalización estadística que puede ser como: “el 80% de…” “la mayoría de…”
Para su evaluación, los criterios a tener en cuenta son:
Estructura:
Para su evaluación, los criterios a tener en cuenta son:
- Frecuencia relativa: cuanto mayor sea la frecuencia, más fuerte será el argumento. Ejemplo: 99% > 1%
- Evidencia disponible: a más propiedades que se relacionen entre sí, más fuerza tiene el argumento.
X1 es Z
X2 es Z
X3 es Z
Xn es Z
Por lo tanto, todos los X son Z
La principal contribución de Tales no fue la solución de problemas
geométricos si no el
TRATAMIENTO GENERAL de esos problemas.
Daniela Aguilar
ORIGEN DE LOS PRIMEROS CONOCIMIENTOS GEOMETRICOS
En los primeros documentos encontrados en la Mesopotamia (sumerios) y en Egipto sobre la geometría prehelénica, no
había métodos de resolución ni articulación entre los conocimientos.
Los textos matemáticos egipcios con respecto a el tratamiento de números y figuras:
concreto, no abstracto.
Concreto: 25 aceitunas más 15 aceitunas son 40 aceitunas
Abstracto: 25 + 15 = 40
Si bien estos conocimientos no integraban un sistema, permitieron la construcción de infraestructura, templos y
pirámides, reparticiones de tierra, cálculo de volúmenes, etc.
GEOMETRÍA GRIEGA
En el siglo VII a.C en las ciudades griegas de la costa egea del Asia Menor (influenciada vía mar por griegos, egipcios, y
cretenses, y vía terrestre por la misma Asia Menor), surgió lo que filósofos llamaron física, se intentaban dar
explicaciones de los fenómenos de la naturaleza, sin recurrir a elementos míticos y sobrenaturales.
Bajo este contexto surgieron pensadores como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Estos asentaron las bases
de lo que hoy llamamos ciencia, gracias a que reconocieron la teoría como organizadora de la práctica.
Todo conocimiento práctico tenía que poder explicarse a partir de nociones teóricas
Así el conocimiento griego y babilónico fue evolucionando hacia un carácter más abstracto y general mientras al mismo
tiempo lo integraban en un solo cuerpo de conocimiento.
Tales fue uno de los primeros matemáticos y astrólogos griegos, que usaba métodos deductivos en la geometría. Es decir,
justificar sus enunciados a partir de otros ya establecidos, dándole más importancia al método de resolución, que a la
solución del problema en sí.
EUCLIDES Y LA GEOMETRÍA
Euclides
, nacido entre los años 367 a.C. y 283 a.C., en Alejandría, es considerado el padre de la matemática.
Logró
sistematizar los conocimientos geométricos, con sistematizar nos referimos a presentar los enunciados
relacionados entre sí, deducidos unos de los otros.
Su obra Elementos, si bien no fue relevante en su momento, fue muy importante para el desarrollo de la geometría, ya
que perfeccionaba y sistematizaba conocimientos geométricos y matemáticos anteriores, desde una perspectiva
aristotélica, según la cual:
TEORIA ARISTOELICA La ciencia es un conjunto de afirmaciones sobre un determinado objeto, con el requisito de que ellas
sean generales y verdaderas. Además, deben estar articuladas de un modo orgánico, es decir, mediante un razonamiento
El enfoque euclidiano de la geometría no es empírico (como si era el
egipcio), ya que no hace referencia a ningún problema concreto.
Daniela Aguilar
lógico, que permita apoyar ciertas afirmaciones en otras que se toman como punto de partida (se toman como principios)
de los cuales no se exige demostración (pues son verdades evidentes).
Elementos se desarrolla en trece libros, siendo los cuatro primeros referidos a la geometría plana. En el primero, Euclides
establece una serie de principios, a partir de los cuales se puede demostrar el resto de los enunciados del sistema. Así,
distingue tres tipos de principios: postulados, nociones comunes, y definiciones.
• Los : hoy llamados axiomas, son aquellos que refieren a una ciencia en particular:
1. Desde un punto a otro siempre se puede trazar una recta.
2. Una recta se puede prolongar indefinidamente en cualquiera de sus dos direcciones.
3. Dado un punto y un segmento, se puede construir un círculo que tenga a ese punto como centro y a
ese segmento como radio.
4. Los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una línea recta corta a otras dos rectas de manera que la suma de los ángulos interiores de un mismo
lado sea menor que dos ángulos rectos, entonces dichas rectas, prolongadas suficientemente, se cortarán
del mismo lado de la primera línea recta en que se encuentren aquellos ángulos cuya suma es menor que
dos rectos. → postulado de las paralelas
• Las hacen referencia a cuestiones generales que pueden aplicarse tanto a la geometría,
como a otros ámbitos de la ciencia o vida cotidiana.
• Las
implican un desapego del lineamiento aristotélico (según el cual los principios no se
definen), con la intención de dar descripciones de los objetos con los que trata la geometría, para así minimizar
el margen de error en las demostraciones.
Euclides obtiene una serie de enunciados a los que llamó proposiciones (o en terminología contemporánea teoremas).
Estos, tienen la estructura de enunciados universales y verdaderos, debido que se obtienen a partir de la deducción de
los postulados y nociones comunes.
Postulados + nociones comunes = proposiciones/teoremas que se obtienen de forma deductiva
Él construye demostraciones de las proposiciones o teoremas, en las que a partir de las premisas deduce la conclusión
por reglas de inferencia, sin especificar cuáles usa.
Daniela Aguilar
EL PROBLEMA DEL QUINTO POSTULADO
Si bien los primeros cuatro axiomas eran evidentes, la
formulación del quinto es mucho más compleja y poco
evidente en comparación. El mismo Euclides parece haber
tenido dudas, ya que evitó su uso en las demostraciones.
Esta falta de evidencia hizo que los geómetras siguientes a Euclides se planteasen que su postulado era un teorema. Esto
implicaría que el quinto postulado no fuese independiente de los otros cuatro, si no, que podría ser demostrado a partir
de ellos.
Los primeros intentos de esto, se remontan al siglo I a.C (Posidonio y Gémino). Sin embargo, recién en el siglo XVI, con la
ciencia activa que se retomaron los intentos de demostrarlo.
El matemático escocés, Playfair (1748-1719), elaboró otra versión del quinto postulado, aún vigente.
EL TRABAJO DE SACCHERI
En 1733 Saccheri intentó demostrar el quinto postulado mediante una demostración indirecta (o por absurdo), a partir
de los otros cuatro postulados. Saccheri usó la formulación de Euclides, pero ahora usamos la de Playfair.
Negar que “Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta”, implica dos opciones:
1. Por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela → logró contradicciones
2. Por un punto exterior a una recta, pasan más de una paralela → no logró contradicciones, pero como obtuvo
teoremas extraños, asumió que prácticamente las había encontrado.
(hubo avances importantes, pero nadie logró demostrarlo)
GEOMETRIAS NO EUCLADEANAS
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
El matemático alemán Gauss fue el primero que logró ver la independencia del quinto postulado, reemplazándolo por
“Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse infinitas paralelas a dicha recta” (una versión del segundo caso de
Saccheri). Con éste, y manteniendo los demás postulados, demostró propiedades y teoremas que no lo llevaban a ninguna
contradicción.
Diversos intentos de demostración de esto sucedieron, pero todos fracasaron, debido a que no se partía solo de los
cuatro postulados, sino que se utilizaba otro enunciado, que siempre resultaba equivalente en proposición al quinto
postulado, pretendiendo demostrar un postulado desde otra versión de sí mismo.
Daniela Aguilar
En 1823, un matemático húngaro, Bolyai, publicó un texto en el que exploraba la hipótesis de infinitas paralelas, al igual
que Gauss, quien incluso revisó el trabajo.
En 1826, el matemático ruso
Lobachevsi (1792-1856), presentó un trabajo en el que desarrolló un sistema geométrico
que usaba los cuatro primeros axiomas de Euclides, y agregaba otro en el que afirmaba la existencia de infinitas paralelas,
tal como Gauss y Bolyai.
Esta geometría, que se conoce como
geometría hiperbólica, incluye teoremas en común con los de Euclides (aquellos
deducidos a partir de los cuatro primeros axiomas), y otros que no lo son (aquellos deducidos a partir del quinto
postulado), como, por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor a 180° (la teoría original
implicaba que era igual a 180°).
GEOMETRÍA ELÍPTICA
En 1854 Riemman (1826-1866) presentó su tesis doctoral ante un jurado integrado, entre otros, por Gauss. En ésta,
exploraba la
geometría elíptica, que surgía a partir de la negación del quinto postulado, suponiendo la inexistencia de
rectas paralelas. Este sistema implica a su vez, una modificación del segundo postulado, ya que aquí la recta es cerrada
(en el original es infinita), y esto evitaba las contradicciones halladas por Saccheri. A su vez, se puede probar como teorema
que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°.
Los dos sistemas propuestos anteriormente, son incuestionables desde una perspectiva lógica. Aun así, en un principio,
solo fueron interpretados como muestras del alcance del ingenio e imaginación humanos. Progresivamente, estos
sistemas axiomáticos fueron concebidos como
estructuras formales, que permitían construir estructuras coherentes y
consistentes (de ellos no deriva una contradicción), desde el punto de vista lógico, aunque no hacen referencia a una
entidad concreta.
SISTEMAS AXIOMÁTICOS CONTEMPORÁNEOS
En un sistema axiomático se encuentran dos categorías de enunciados:
1. Axiomas → enunciados que se aceptan sin demostración y constituyen puntos de partida de las demostraciones
(equivalente a los postulados según Euclides). A diferencia de Aristóteles e Euclides, no se exige que los axiomas
sean verdades evidentes, ya que, al ser formales, la exigencia de verdad pierde sentido.
2. Teoremas → enunciados que se demuestran, se obtienen deductivamente a partir de otros enunciados mediante
reglas de inferencia, las cuales tienen que ser incluidas en modo explícito, para garantizar la verdad de las
conclusiones.
Daniela Aguilar
Demostración → su definición más contemporánea implica una secuencia finita de pasos en donde cada uno se deriva
de un enunciado anterior, que es o bien un axioma, o bien otro teorema que ya ha sido demostrado.
Estos enunciados están compuestos por términos (expresiones lingüísticas con significado), que pueden ser lógicos, y no
lógicos
(específicos del área, pueden ser primitivos y aceptarse sin definición, o ser definidos a partir de los primitivos).
Euclides, por ejemplo, no hizo esta distinción, e hizo una definición incluso de términos primitivos.
Siglos después, el matemático alemán Hilbert (1862-1943), desarrolló una nueva sistematización de la geometría
euclideana, tomando punto, recta, y plano, como términos primitivos, y los usó para definir otros términos como paralela.
Reglas de formación → reglas de los sistemas axiomáticos que indican cómo combinar diferentes términos para dar
lugar a expresiones complejas bien formadas. Es decir, explican cómo construir sintácticamente los enunciados que
cumplirían el rol de axiomas o teoremas.
LA SELECCIÓN DE LOS AXIOMAS
Es necesario aceptar algunos axiomas como punto de partida (sin ofrecer definición), porque si no se puede caer en una
regresión al infinito o un círculo vicioso. Entonces, hay que establecer puntos de partida, de los que no cabe preguntarse
su verdad hasta que el sistema haya sido
interpretado (puesto en práctica en un sistema concreto).
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS
Independencia → Un enunciado se dice independiente cuando no puede ser demostrado a partir de los demás enunciados
del sistema. Para que un sistema axiomático sea considerado independiente, todos sus axiomas deben serlo. Este
requisito no es necesario, ya que no supone ninguna objeción lógica, pero es apropiado para poder distinguirlo más
fácilmente de los teoremas.
Consistencia → Un sistema se dice consistente cuando no contiene contradicciones dentro de un mismo sistema.
Completitud → Un sistema se dice completo cuando permite demostrar todo lo que está dentro del sistema, es decir,
cuando se garantiza que ninguna verdad queda fuera éste.
PARCIAL 1 IPC UBA XXI CATEDRA BUACAR.pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.