MATEMÁTICA FINANCIERA
Contador Público – Licenciatura En Administración
Esp. Prof. SCHUNK, Eliana Página 1 de 7
MATEMÁTICA FINANCIERA
CONTADOR PÚBLICO
OPERACIONES SIMPLES
UNIDAD 2: DESCUENTOS
CONTENIDOS:
2.1. Descuento de interés. Concepto. Modalidades del descuento. Métodos de
cálculo.
2.1.1. Descuento comercial: Fórmula y evaluación técnica del método.
2.1.2. Descuento racional a Interés Simple: Fórmula y evaluación técnica del método.
2.1.3. Descuento compuesto: discreto y continuo: Conceptos y fórmulas.
2.1.4. Descuento con tasa de descuento: tasa de descuento. Concepto y fórmulas.
2.1.5. Comparación analítica entre distintos tipos de descuentos.
DESCUENTOS EN GENERAL
Son operaciones de descuento aquellas en las que conocido un valor que vence en el futuro,
tratamos de calcular su capital, de acuerdo a una ley financiera, en un momento anterior. Al
valor que vence en el futuro se lo denomina valor nominal (N), y al capital valor actual o
presente (V).
Las operaciones de descuento son operaciones inversas a las de interés, por cuanto el valor
conocido es el valor futuro, mientras que en las de interés lo es el capital.
Llamaremos Descuento (D) a la reducción que se practica sobre un valor futuro por su pago
antes del vencimiento. Es la diferencia entre el valor nominal y el valor actual:
D = N – V
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El importe del descuento depende del método de cálculo que se utilice: a) descuento comercial,
b) descuento racional a interés simple, c) descuento compuesto, d) descuento continuo y e)
descuento con tasa de descuento. Para distinguirlos utilizaremos subíndices.
DESCUENTO COMERCIAL
El descuento comercial utiliza una tasa de descuento que definiremos primero:
Llamaremos d, TASA DE DESCUENTO, a la tasa de interés que se aplica sobre el valor
nominal y la definiremos como el descuento practicado a una unidad de valor nominal en
una unidad de tiempo. A la tasa de descuento también se la denomina tasa de interés
adelantada.
Mientras la tasa de interés se aplica sobre el valor inicial de un período computado en el orden
cronológico para hallar el valor final, la de descuento es aplicada al valor final para hallar el
valor inicial, computando el tiempo en orden cronológico inverso. Gráficamente: en la parte
superior aplicamos 5% de interés en un período a un valor inicial de $100, y en la inferior el 5%
de descuento a un valor final también de $100, en ambos casos para un período.
Es evidente que no resulta lo mismo transformar un valor inicial de $100 en $105, que uno de
$95 en $100, para el mismo tiempo.
El descuento comercial o bancario (D
1
) es aquel en el que el descuento se calcula sobre el
valor nominal. Es el interés simple del valor nominal, como si este fuera el capital.
Aplicando la fórmula de interés simple al valor nominal se obtiene:
Como se observa, se calcula el interés sobre un valor futuro en lugar de hacerlo sobre un valor
actual, de ahí que se considere a la tasa que se utiliza en el descuento comercial como tasa
adelantada, a diferencia de las vencidas, que son las que se aplican sobre un valor actual.
El valor actual será:
Fórmulas derivadas:
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La condición de aplicabilidad de las fórmulas de descuento comercial es que la tasa y el plazo
deben estar expresados en la misma unidad de tiempo.
CRÍTICA AL DESCUENTO COMERCIAL
En la fórmula de valor actual puede observarse que cuando el producto de d por n da 1, el valor
actual se hace nulo, y si dicho producto fuera mayor que uno, el valor actual sería negativo.
Estas situaciones surgen como consecuencia de calcular el descuento sobre un valor futuro (el
nominal), en lugar de hacerlo sobre el valor actual, de ahí que este método sólo sea aplicable a
operaciones de corto plazo o cuando existen tasas pequeñas.
En un ejemplo: un documento de crédito a 10 años de plazo, descontado al 10% anual,
carecería de valor presente o actual:
DESCUENTO RACIONAL A INTERÉS SIMPLE
Se define al descuento racional a interés simple (D
2
) como el interés simple del valor actual
(V
2
). A diferencia del descuento comercial que trabaja con tasas adelantadas, en el descuento
racional se utilizan tasas vencidas, pues se aplican sobre el valor actual y no sobre el valor
nominal.
Por definición será:
Como el valor actual es desconocido, pues los datos con que habitualmente contamos son los
de valor nominal, tasa y plazo, lo despejamos de:
Como se observa, las fórmulas que se utilizan en el descuento racional a interés simple
coinciden con las de interés simple, en las que reemplazamos el capital por el valor actual, el
monto por el valor nominal y el interés por el descuento.
Además podemos deducir una fórmula directa para obtener el descuento a partir del valor
nominal:
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DESCUENTO COMPUESTO
El descuento a interés compuesto (D
3
) de una obligación es el interés compuesto calculado
sobre el valor actual de la misma.
Las fórmulas que se aplican en el descuento compuesto son las mismas que se aplican en el
interés compuesto, reemplazando capital por valor actual (V
3
) y monto por valor nominal.
La condición de aplicabilidad es la misma que para el interés compuesto: la tasa y el plazo
deben estar expresados en la unidad de tiempo de la capitalización.
Si queremos hallar directamente el descuento:
DESCUENTO CONTINUO
Si al descuento compuesto le aplicamos capitalización continua, nos encontramos frente al
descuento continuo (D
4
), cuyas fórmulas coinciden con las de monto máximo, reemplazando al
capital por valor actual (V
4
) y al monto máximo por valor nominal.
El descuento será:
DESCUENTO CON TASA DE DESCUENTO
El descuento con tasa de descuento consiste en aplicar un descuento periódico, a una
determinada tasa de descuento, durante una cantidad de períodos sobre el valor descontado
del período anterior. Se trata de un método de descuento compuesto con tasa adelantada.
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La fórmula del valor actual (V
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) surge del siguiente desarrollo:
Fórmulas derivadas:
COMPARACIÓN ANALÍTICA ENTRE DISTINTOS TIPOS DE DESCUENTOS
Para comparar los distintos métodos de descuento debe analizarse la influencia que ejercen
esos métodos por sí mismos en los resultados, para idénticos valores nominales, tiempo y tasa.
COMPARACIÓN ENTRE LOS DESCUENTOS COMERCIAL Y RACIONAL:
Partiendo de las respectivas fórmulas de descuento:
Y haciendo d = i resulta
Para n = 0:
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Para n > 0:
por ser
Si restamos miembro a miembro:
Entonces:
La diferencia entre el descuento comercial y el racional es igual al interés simple del descuento
racional.
Se puede hallar el valor nominal conociendo los descuentos comercial y racional. Si partimos
de la fórmula anterior:
COMPARACIÓN ENTRE LOS DESCUENTOS COMERCIAL Y COMPUESTO:
Para realizar la comparación se dividen miembro a miembro ambas expresiones. (Ver
demostración analítica en bibliografía, Gianneschi pág. 90).
Desarrollando se llega a la conclusión:
. El descuento comercial es mayor que el
compuesto para cualquier valor de n positivo. Cuando n = 0, ambos descuentos se
hacen nulos.
La demostración es válida para concluir que el descuento comercial también es mayor que el
descuento continuo.
COMPARACIÓN ENTRE LOS DESCUENTOS RACIONAL Y COMPUESTO:
En esta comparación se aplican las conclusiones a que hemos arribado al comparar el interés
simple con el interés compuesto:
Para n = 0:
Para n = 1:
Para 0 < n < 1:
Para n > 1:
COMPARACIÓN ENTRE LOS DESCUENTOS COMERCIAL Y CON TASA DE DESCUENTO:
Si comparamos ambos descuentos:
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Resulta:
Para n = 0:
Para n = 1:
Para n > 1, desarrollamos las fórmulas de ambos descuentos: (Ver demostración analítica en
bibliografía). Obtenemos:
Para 0 < n < 1:
Para n > 1:
COMPARACIÓN GRÁFICA ENTRE DESCUENTOS Y VALORES ACTUALES
En base a las comparaciones analíticas realizadas podemos graficar los tres tipos de
descuentos que se utilizan en la práctica:
Y la representación gráfica de los valores actuales será:
MF - Unidad 2 Descuentos - SCHUNK, Eliana Uncaus.pdf
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