Autoridades
Decana
Mirta Susana Iriondo
Vicedecano
Gustavo Alberto Monti
Secretaria Académica
Nesvit Castellano
Subsecretaria Académica
Fernanda Viola
Autores
Patricia Kisbye
David Merlo
Daniel Fridlender
Alejandro Tiraboschi
Elvio Pilotta
Monica Oddone
Nicolas Jares
Lourdes Aguiar Cau
Juan M. Scavuzzo
Coordinadoras Académicas de Edición
Cristina Beatriz Esteley
Patricia Kisbye
Diseño de Tapa
Micaela Ventureira
Colaboración Técnica
Fredy Restrepo
Ingreso a FAMAF: materiales de estudio / Patricia Kisbye ... [et al.]; contribuciones de Fredy Restrepo;
coordinación general de Cristina Beatriz Esteley.-1a ed. - Córdoba: Universidad Nacional de Córdoba, 2017.
186p.; 29 x 21 cm.
ISBN 978-950-33-1331-2
1. Álgebra. 2. Descripción de Funciones. I. Kisbye, Patricia II. Restrepo Fredy, colab. III. Esteley, Cristina, coord.
CDD 512
Av. Medina Allende s/n
Ciudad Universitaria
Cp:X5000HUA
Córdoba, Argentina. Año 2019
PALABRAS DE BIENVENIDA
Estimados jóvenes que hoy ingresan a la Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación y a
la Universidad Nacional de Córdoba (FAMAF-UNC); es para mí, y para el conjunto de la comunidad que
conforma esta institución, un honor y un placer darles la bienvenida a esta nueva etapa de la vida que tran-
sitaremos juntos. La elección de una carrera universitaria suele ser mucho más que la mera opción por una
actividad que realizarán durante cierto tiempo. Esta elección contribuirá a congurar lo que en un futuro serán
de una manera muy profunda y personal.
El curso de ingreso que ahora emprenden es la primera de muchas etapas que deberán sortear para llegar a
la meta. Las llamadas “ciencias duras”, aquéllas vinculadas especialmente a la matemática, la física, la compu-
tación, etc. tienen fama de ser “aburridas” y “difíciles”. Tal vez las propias experiencias con las que llegan a este
momento han abonado este mito...
Es cierto que el estudio de las asignaturas y la adquisición del conocimiento que comienza con este curso
requerirá concentración en las clases, dedicación al estudio en casa, horas de trabajo en los laboratorios entre
otras actividades; pero aún más cierto es que todo este esfuerzo será el contexto en el cual vivirán una de las
etapas más bellas y apasionantes de vuestras vidas.
Conocerán y establecerán amistad con compañeros y compañeras de diversas edades y lugares de origen,
serán acompañados por docentes que les entregarán lo mejor de sí, contarán con la asistencia del cuerpo no
docente de la Facultad y tendrán al alcance de sus manos, corazones y mentes, el universo lleno de posibilida-
des de la vida universitaria. Entre tanto, vuestros espíritus comenzarán a sumergirse en algunos de los logros
más notables de la humanidad, la dilucidación de los secretos de la naturaleza. Una aventura cuyos antece-
dentes se remontan a tiempos más antiguos que cualquier nación del continente que hoy habitamos, y cuya
proyección hacia el futuro llega más allá de lo que cualquier hombre o mujer pueda imaginar.
En el siglo XVII, el gran astrónomo, físico, matemático y lósofo italiano Galileo Galilei dijo que “las matemá-
ticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el universo”. Más allá de la veracidad, en toda su extensión,
de esta armación creo que es una muy precisa aproximación al poder que posee el conocimiento en el que
se adentrarán en estas aulas y pasillos, uno de cuyos eslabones es el estudio de las matemáticas, tema espe-
cíco de este material de estudio. No importa si en el futuro seguirán una vida académica, como docentes o
investigadores, o preferirán el ejercicio profesional en el sector público o privado; los saberes y las destrezas
que adquieran en este tiempo que ahora inicia, les permitirán “leer”, y el que lee tarde o temprano “escribe”,
algunos de los maravillosos secretos del mundo que nos rodea.
Pero elegir el estudio de la ciencia no es, o no debe ser, una mera opción para la satisfacción personal o
familiar para conseguir un lugar en la sociedad. La ciencia sólo encuentra su justicación última en la mejora
de la condición humana en todas sus múltiples y diversas dimensiones, y el primer espacio humano al que
nos debemos es el de la propia sociedad a la que pertenecemos. Uds. no ingresan sólo a la Universidad, están
ingresando a una Universidad pública y gratuita, en la cual, para que puedan estudiar, el conjunto de nuestro
pueblo está realizando un esfuerzo sostenido, y a veces duro, para brindarles esta oportunidad extraordinaria.
III
IV
Vuestrosestudios son posibles incluso por el sacricio de quienes nunca podrán acceder a ellos por las adversas
condiciones de vida que les ha tocado en suerte. Cada vez que el más pobre de los argentinos compra un
pedazo de pan, el Impuesto al Valor Agregado que abona vendrá, en una parte importante, a sostener vuestro
privilegio de estudiar y gozar de la Universidad. La deuda y la responsabilidad que ello deposita sobre Uds.
no se cuenta en dinero ni en las cifras de un préstamo o una cuota, se mide en la magnitud del compromiso
que deberán honrar para que en el futuro todo lo que recibieron vuelva acrecentado a la sociedad que lo hizo
posible.
Dra. Ing. Mirta Iriondo
Decana FAMAF
PRÓLOGO
Ingresando a FAMAF-Material de Estudio, es un texto preparado para quienes ingresan a la Facultad de
Matemática,Astronomía,FísicayComputación.Elmismo tiene por objetivo acercar alos ingresantes aquellos
contenidos considerados fundamentales para iniciar el trayecto en las carreras que ofrece la facultad.
El material está conformado por cinco capítulos y cada uno de ellos ha sido escrito por docentes o miembros
del Centro de Estudiantes de la FAMAF. La producción de estos capítulos se realizó en base a materiales que
formaban parte de los Cuadernillos destinado a los ingresantes a las carreras de grado que se dictan en la facul-
tad. Tales materiales fueron modicándose en estos dos últimos años a partir de las sugerencias de docentes
que dictaron el Curso Nivelación en ese tiempo, de los aportes de algunos estudiantes, de las dicultades ob-
servadas, de las breves encuestas realizadas, del análisis de los contenidos de los Diseños Curriculares vigentes
y de los conocimientos o procedimientos reconocidos como básicos para el cursado de las materias de primer
año.
Durante estos dos años se fueron recopilando de manera sistemática fortalezas y debilidades en cuanto a
contenidos, presentación escrita o visual del material, tiempos requeridos para la presentación en clases de
los mismos como así también la calidad, tipo y cantidad de ejercicios a presentar.
Este libro recoge todo ese trabajo con el n de mejorar las posibilidades de quienes transitan el Curso de
Nivelación. El hecho de conformar con los materiales creados un libro signicó un esfuerzo especial para que
cada capítulo no pierda identidad pero a la vez conformen una unidad.
Los contenidos que se seleccionaron para incluir en este libro se organizan en cinco capítulos los que se se-
cuencian tomando como referencia aquellos contenidos reconocidos como familiares para los estudiantes
para luego ir aproximándose a aquellos menos familiares. De manera similar los aspectos simbólicos y forma-
les van creciendo en complejidad y profundidad.
El primer capítulo de este texto corresponde a Introducción a la Vida Universitaria. Este capítulo busca que
el ingresante se reconozca como miembro activo de la Universidad Nacional de Córdoba. En el mismo se
ofrecen discusiones acerca del sentido de ser estudiante en una universidad pública, sus derechos como tales
y las ideas de un conjunto de normativas básicas que hacen al funcionamiento de la universidad y el medio
para ejercer el derecho a la educación.
El segundo capítulo titulado Cálculos Algebraico tiene por nalidad ofrecer herramientas elementales del
cálculo algebraico inicial con un recorrido por números y sus operaciones para luego avanzar sobre expresiones
algebraicas y a partir de ellas iniciar el trabajo simbólico y la introducción a entidades algebraicas como son las
ecuaciones o los polinomios. Lo tratado en este capítulo guarda vínculos con todas las materias de primer año
y sienta las bases de algunas ideas necesarias para Álgebra I.
El tercer capítulo Lógica y Teoría de Conjuntos utiliza y generaliza ideas tratadas en el capítulo anterior y
da bases para los dos capítulos siguientes. En este capítulo, se desarrollan conocimientos reconocidos como
básicos para trabajar principalmente en Matemática o en Ciencias de la Computación. Se desarrollan las ideas
de proposiciones y conectivos lógicos y se avanza sobre nociones básicas de conjuntos.
V
VI PRÓLOGO
El cuarto y quinto capítulo se focalizan en herramientas próximas al trabajo analítico y toma como ideas cen-
trales al conjunto de los números reales y al concepto de función. El cuarto capítulo Funciones presenta y
dene las cuestiones fundamentales referidas a dicha noción, discute acerca de la construcción de grácos e
ilustra con imágenes las ideas presentadas. Avanza también en el estudio de funciones lineales, cuadráticas y
denidas por partes. Enel quinto capítulo Trigonometría se particulariza en el análisis de las funciones trigono-
métricas y algunas aplicaciones de las mismas a contextos geométricos u otros. Los conocimientos trabajados
en estos capítulos son de gran importancia para todas las materias de primer año pero muy especialmente
para Análisis Matemático.
Te invitamos a transitar por este texto y, en el trayecto, ir dejando tus huellas sobre las hojas destacando
con marcadores las ideas reconocidas como principales, escribiendo notas sobre los márgenes , resolviendo
ejercicios, haciendo diagramas o guras para pensar sobre lo realizado, colocando comentarios sobre lo que
entiendes, o destacando aquello que te produce especial dicultad.
Al nal del trayecto, con todas tus marcas, este texto será tu propio texto.
Dra. Cristina Esteley
Coordinadora Académica de Edición
Índice general
PALABRAS DE BIENVENIDA III
PRÓLOGO V
1. VIDA UNIVERSITARIA 1
1.1. Ser estudiante en la UNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
La UNC te abre sus puertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Estudiantes: ciudadanos de la Universidad pública . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Derechos de los estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
En la UNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
En la facultad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Participación estudiantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Órganos Institucionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Órganos gremiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Textos para reexionar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
La relevancia de la Universidad pública . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
La ciencia y la tecnología como fuerzas destransnacionalizadoras . . . . . . . . . . . . . . . 14
Jóvenes de ayer, jóvenes de hoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
La Universidad y el desafío de la inclusión de género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. CÁLCULO ALGEBRAICO 27
2.1. Los conjuntos numéricos y sus operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
VII
VIII ÍNDICE GENERAL
Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Generalización de fórmulas y propiedades numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Incógnitas y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Ecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Sistemas compatibles e incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4. Resolución de ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
El discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Clasicación de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Propiedades de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Resolución de ecuaciones de grado par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5. Expresiones algebraicas fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Simplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ecuaciones con expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
ÍNDICE GENERAL IX
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3. LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS 83
3.1. Elementos de lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Conectivos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Propiedades de la conjunción y la disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2. Otros conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Condicional o implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
La implicación y el razonamiento deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Recíproca y contrarrecíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Reglas de precedencia para los conectivos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3. Teoría básica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Conjuntos y pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
El conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Unión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Intersección de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
X ÍNDICE GENERAL
Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Propiedades entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Relación con la lógica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. Cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Funciones poposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Negación de proposiciones cuanticadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Funciones proposicionales de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Renombre de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Pares ordenados y producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Representación en ejes cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4. FUNCIONES 121
4.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Denición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Grácos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Desplazamientos y reexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Denición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Gráco de funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3. Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Denición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Gráco de funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4. Funciones denidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
ÍNDICE GENERAL XI
Denición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5. TRIGONOMETRÍA 155
5.1. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Distancia en el plano y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
La circunferencia unitaria o trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2. Las funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Denición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Grácos e identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Amplitud y período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3. La función tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Denición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Funciones secante, cosecante y cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4. Aplicación sobre triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Triángulos rectángulos y razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.5. Apéndice de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Fórmula para cos(t −s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Fórmula para sen(t + s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
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