•Cuando x toma valores cada vez mayores
se va acercando cada vez más a 1. Se
simboliza:
. Se lee: el
límite de f(x) cuando x tiende a más
infinito es 3.
• Cuando x toma valores cada vez menores
se va acercando cada vez más a 1. Se
simboliza:
. Se lee: el
límite de f(x) cuando x tiende a menos
infinito es 3.
LÍMITE
APROXIMACIÓN INTUITIVA AL CONCEPTO DE LÍMITE
1-
por la izquierda 2 por la derecha
LÍMITES LATERALES: se denomina así a los límites “por derecha”
Y “por izquierda” de una función.
1-
2
Valores de x cada vez menores Valores de x cada vez mayores
•Cuando los valores de x se aproximan a
2 por la derecha, la función f(x) va
tomando valores cada vez mayores, es
decir, va al infinito. Se simboliza:
. Y se lee: límite de f(x)
cuando x tiende a dos por la derecha es
más infinito.
•Cuando los valores de x se aproximan a
2 por la izquierda, la función f(x) va
tomando valores cada vez menores, es
decir, va al menos infinito. Se simboliza:
. Y se lee: límite de f(x)
cuando x tiende a dos por la izquierda
es menos infinito.
MUY IMPORTANTE:
Para que exista el límite de una función, los límites laterales deben
coincidir, es decir, ser iguales. En símbolos:
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE EJERCICIO N°2:
¿CÓMO SE RESUELVE? Reemplazo el valor al que tiende x, en donde está la variable en la función.
2)
= 3
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE EJERCICIO N°3:
En este caso, el punto a analizar es ya que la función 2x+1
va de
y la función
va desde .
Como el
.
Entonces,
LÍMITE EN EL INFINITO
EJERCICIO 8: Para poder hallar el límite de las funciones, se recomienda realizar un gráfico aproximado y luego
determinar el límite. Otra opción es analizar posibles asíntotas y luego asignarle valores a la función y ver a
qué valores se aproxima.
Ejemplo:
ACLARACIÓN: Cuando el infinito no tiene signo, quiere decir que es positivo.
INDETERMINACIONES
Cuando reemplazamos el valor a la que tiende x en la función y no nos da un número o no podemos
determinarlo, se llama INDETERMINACIÓN y existen varios tipos:
INDETERMINACIÓN
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE EJERCICIO N°10:
1)
Entonces, en ese caso, lo que debemos hacer es factorizar el numerador y/o denominador utilizando los casos
de factoreo con el objetivo de eliminar (simplificando) lo que nos provoca la indeterminación. Recordar que
también se puede utilizar la fórmula resolvente cuando nos aparece un polinomio de grado 2.
En este paso, en el numerador saqué factor común 2 y en el denominador utilicé el 5to
caso de factoreo (diferencia de cuadrados).
Si nos fijamos en lo que nos quedó, nos damos cuenta que (2-x) es muy parecido a (x-2) nada más que tengo
los signos cambiados, entonces en el numerador, saco factor común (-1) para que nos queden iguales: - (-2+x)
En este paso, multipliqué 2.(-1)= -2 y acomodé (-2+x) como (x-2)
Simplifiqué los factores semejantes.
Ahora, vuelvo a calcular el límite:
=
=
2)
Cuando me aparecen raíces, lo que tengo que hacer es multiplicar por el conjugado si tengo dos términos en
donde al menos uno tenga raíz o volver a multiplicar por la raíz si tengo solo un término sin cambiar de signo.
=
En el denominador quedó una diferencia de cuadrados, entonces, vuelvo al paso anterior del desarrollo de la
diferencia de cuadrados.
=
En el denominador simplifico raíz con potencia.
=
Simplifico (x-5) del numerador con (x-5) del denominador.
Entonces quedó:
= 2.
3)
En este paso, apliqué diferencia de cuadrados a
en el denominador y
simplifiqué potencia con raíz.
Simplifico (x+3) del numerador con (x+3) del denominador.
Entonces quedó:
=
=
Si aplico factorización o el conjugado y me queda:
•
•
• INDETERMINACIÓN
Voy a tener una indeterminación de
cuando x tiende a . En este caso, lo que debo hacer es dividir tanto al
numerador como al denominador por la x de mayor grado. Ejemplos:
1)
( Grado del numerador = Grado del denominador )
= 3
2)
(Grado del numerador < Grado del denominador )
= 0
3)
(Grado del numerador > Grado del denominador )
Como 5 es positivo es +
Si el 5 hubiera sido negativo el resultado sería
Por ejemplo: en
el grado del numerador es menor al grado del
denominador, entonces el resultado es cero. Va ser cero siempre que
eso suceda.
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