Introducción al
Cálculo Integral
José Luis Alejandre Marco
Ana Isabel Allueva Pinilla
José Miguel González Sántos
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Zaragoza
versión digital basada en el libro "Introducción al Cálculo Integral"
ISBN 8-7733-503-6, de los mismos autores
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Índice
PRÓLOGO
CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE RIEMANN
1.1. Introducción
1.2. Partición
1.3. Definiciones
1.4. Integral de Riemann
1.5. Teorema
1.6. Algunas propiedades de la integral de Rieman n
1.7. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
1.8. Teorema del valor medio para integrale s
1.9. La función integral
1.10. Función primitiva o antiderivada
CAPÍTULO 2. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES.
2.1. Introducción
2.2. Teorema
2.3. Propiedades
2.4. Ejemplos
2.5. Integración de una función compuesta
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN
3.1. Integración por cambio de variable
3.2. Integración por partes
3.2.1. Producto de un polinomio por una exponencia l.
3.2.2. Producto de un polinomio por un seno o un coseno
3.2.3. Producto de una exponencial por un seno o un coseno
3.2.4. Producto de un logaritmo por otra función
3.2.5. Las tres funciones inversas arcsenx, arccosx, arctgx
3.2.6. Algunas funciones racionales e irracionales
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
4.1. Introducción
4.2. Raíces comunes
4.3. División entera de polinomios
4.4. Descomposición de un polinomio en producto de factores
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Introducción al cálculo integral
4.5. Método de fracciones simples
4.6. Método de Hermite
4.7. Problemas resueltos
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
5.1. Introducción
5.2. Cambios de variable
5.3. Transformación en sumas
5.4. Problemas resueltos
5.5. Integración por recurrencia
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES
6.1. Introducción
6.2. Integrales irracionales simples
6.3. Integrales irracionales lineales
6.4. Integrales irracionales de polinomios de grado dos no completos
6.5. Integrales irracionales de polinomios de grado dos completos
6.6. Integrales irracionales compuestas
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 7. INTEGRAL DEFINIDA
7.1. Introducción
7.2. Teorema de integrabilidad
7.3. El área como una integral definida
7.4. Propiedades
7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integra l
7.6. Cambios de variable para integrales definidas
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS
DE LA INTEGRAL DEFINIDA
8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas
8.2. Cálculo del área en coordenadas paramétricas
8.3. Cálculo del área en coordenadas polares
8.4. Cálculo del valor medio de una función
8.4.1. Interpretación geométrica
8.4.2. Valor medio de una función
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8.5. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas cartesianas
8.5.1. Diferencial de un arco de curva
8.5.2. Comparación del arco y de su cuerda .
8.6. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas paramétricas
8.7. Cálculo de la longitud de curva en coordenadas polare s
8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo
8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución
8.9.1. Método de discos
8.9.2. Método de las arandelas
8.9.3. Método de las envolventes cilíndricas (cortezas)
8.10. Cálculo del área lateral de un cuerpo de revolución
8.11. Cálculo del trabajo mediante la integr al definida
8.12. Coordenadas del centro de gravedad
8.12.1. Centro de gravedad de una curva plan a
8.12.2. Centro de gravedad de una figura plana
8.13. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definid a
8.13.1. Momento de inercia de una curva material.
8.13.2. Momento de inercia de una barra homogénea de longitud L
respecto a su extremo
8.13.3. Momento de inercia de una circunferencia material de radio r
respecto al centro
8.13.4. Momento de inercia de un círculo homogéneo de radio r
respecto al centro
Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas
Ejercicios propuestos para el cálculo de longitudes de curv a
Ejercicios propuestos para el cálculo de volúmenes
Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas laterales
Ejercicios propuestos para el cálculo de centros de graveda d
CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS
9.1. Límites de integración infinito s
9.2. Integrales con integrando que tiende a infinit o
9.3. Observaciones a las integrales impropias
Ejercicios propuestos
TABLA DE INTEGRALES
BIBLIOGRAFÍA
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Prólogo
Lo que se oye se olvida.
Lo que se ve se recuerda.
Lo que se hace se aprende.
Proverbio chino
Este texto ha sido elaborado a partir de las explicaciones y problemas de
clase de los distintos cursos impartidos en los últimos años por los autores en su
labor docente en el seno del Departamento de Matemática Aplicada de la
Universidad de Zaragoza.
Introducción al cálculo integral está pensado para ser utilizado en un curso
inicial de cálculo infinitesimal destinado a estudiantes de ingeniería,
matemáticas, ciencias químicas y ciencias físicas.
El objetivo de este texto docente es conseguir que el alumno/a domine el
cálculo integral, herramienta básica en todas las ramas de la ciencia y la
tecnología.
Sin abandonar el rigor formal en la exposición, hemos procurado hacer
asequible cada cuestión mediante ejemplos y ejercicios. Desde luego, no
hacemos ninguna aportación nueva, a no ser un pretendido cuidado en el
aspecto didáctico en un intento de que los estudiantes rompan con su rol
habitual de espectadores-oyentes, cumplidores de actividades mecanicistas, y
consigan una dinámica nueva de trabajo.
Para el estudio del contenido de este texto no se presupone ningún
conocimiento previo de cálculo integral, con lo que es asequible a todos los
alumnos/as desde el primer momento. Es decir, un estudiante con interés puede
seguir las explicaciones con facilidad. Se han incluido las demostraciones de
aquellos resultados que consideramos formativos y que desarrollan la capacidad
de razonamiento lógico y de análisis crítico. A lo largo de todo el texto hay gran
cantidad de ejemplos que ayudan a entender y asimilar los resultados
presentados. Cada capítulo finaliza con una lista de ejercicios propuestos, que
ayudará a cimentar los conocimientos adquiridos y debe servir para comprobar
que realmente se ha comprendido y asimilado el contenido del capítulo.
Damos las gracias a los alumnos/as, porque con su querer saber nos han
mostrado aquellas partes en las que encuentran mayores dificultades. Esperamos
que este texto sea de ayuda para los futuros estudiantes del cálculo integral.
Los autores.
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Capítulo 1
Integral de
Riemann
⌡
⌠
a
b
f(x) dx
⌡
⌠
a
b
f(x) dx
s( f ,P )
=
m
i
i =1
n
∑
( t
i
−
t
i −1
)
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http//sciencieword.wolfram.com/biography/Riemann.html
Capítulo 1
Integral de Riemann
1.1. Introducción
El cálculo integral tiene su origen en el estudio del área de figuras planas;
las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos eran ya
conocidas en la Grecia clásica, así como la de los polígonos regulares previa
descomposición en triángulos.
El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por
líneas curvas. Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.)
para calcular el área del círculo por el método de exhaución, es decir,
inscribiendo en él sucesivamente polígonos con más lados. La suma de estas
áreas se aproximaba cada vez más al área del círculo, estando en el «límite» el
valor exacto. Demostró además que, dados dos círculos de áreas
1
A y
2
A y
radios
1
r y
2
r , se verificaba que
2
2
2
1
2
1
r
r
A
A
= y que
2
krA = , siendo k una
constante que Arquímedes llamó π y cuyo valor dijo hallarse entre
7
22
> π
>
71
223
. Arquímedes (287-212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco
de parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo,
ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica. El
método utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos
polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región.
Desde los griegos hasta el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo
de áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies cerradas.
Pascal, Fermat y Leibniz comienzan un estudio engarzado con el cálculo
diferencial; así pues, aunque históricamente se estudian los primeros elementos
del cálculo integral antes que el diferencial, en el siglo XVII se estudian y
configuran a la par, relacionándose por medio de muchos e importantes
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Índice
14 Introducción al cálculo integral
resultados. Por esto la mayoría de los autores empiezan exponiendo, en primer
lugar, al menos, las primeras nociones de cálculo diferencial, antes de comenzar
el estudio del cálculo integral.
Veamos cuál sería la metodología a emplear para el cálculo de áreas de
superficies como las siguientes:
Podemos considerar el lado curvo como la gráfica de una función y = f(x).
Si llamamos A al área de la figura, se cumplirá que:
(
)
(
)
mabAnab −<<−
Pero esto no nos aporta en muchas ocasiones una idea suficientemente
aproximada del valor de A. Supongamos que el intervalo [a, b] lo dividimos en
tres partes:
btttta =<<<=
3210
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Integral de Riemann 15
Entonces, el valor del área que buscamos queda acotado entre dos
cantidades:
(
)
(
)
(
)
Amttmttmtts <−+−+−=
323212101
(
)
(
)
(
)
SmttmttmttA =−+−+−<
423312201
Si aumentamos el número de puntos en la división de [a, b], cada vez se
irán acercando más los valores de s y S, de modo que nos darán una información
más precisa sobre A.
Ésta sería la idea intuitiva, puesto que trabajaremos con funciones reales de
variable real.
1.2. Partición
Llamaremos partición P del intervalo [a, b] a un conjunto finito de puntos
{
}
n
t,,t,tP Κ
10
= tal que bttta
n
=<<<= Κ
10
.
Si y = f(x) es una función definida y acotada en [a, b], designaremos por
(
)
{
}
( ){ }
≤≤∋=
≤≤∋=
−
−
iii
iii
txtxfM
txtxfm
1
1
sup
inf
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16 Introducción al cálculo integral
Notemos que estos valores existen, pues f(x) es acotada. Además, a través de
estos ínfimos y supremos de la función se definen:
)(),(
1
1
−
=
−=
∑ ii
n
i
i
ttmPfs
)(),(
1
1
−
=
−=
∑ ii
n
i
i
ttMPfS
como las sumas inferior y superior, respectivamente, de f(x) correspondientes a
la partición P. Estos valores son siempre números reales, y para cada partición P
distinta existirán, obviamente, distintas sumas inferiores y superiores.
Nótese que siempre se tiene que s(f, P) ≤ S(f,P) para la misma partición P,
puesto que
ii
Mm ≤ para todo i.
Podríamos tomar particiones más finas y así demostrar que cualquier suma
inferior está acotada superiormente por cualquier suma superior. Se define a
continuación este concepto.
1.3. Definiciones
Se dice que una partición P de [a, b] es más fina que otra Q si contiene los
mismos puntos de ésta y, al menos, uno más. Se denota Q ⊂ P.
Dada
{
}
n
i
i
P
1=
, una familia de particiones del intervalo [a, b] tales que
1+
⊆
ii
PP
para todo i, se tiene que
(
)
(
)
1+
≤
ii
P,fsP,fs
(
)
(
)
1+
≥
ii
P,fSP,fS
Así se generan dos sucesiones, una
(
)
{
}
i
P,fs creciente y otra
(
)
{
}
i
P,fS
decreciente. Además, como s(f,P) ≤ S(f,Q) para cualesquiera dos particiones de
[a, b], obtenemos una representación en la recta real de estas dos sucesiones:
(
)
1
P,fs
(
)
2
P,fs …….
(
)
n
P,fs → ←
(
)
n
P,fS .…
(
)
2
P,fS
(
)
1
P,fS
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Índice
Integral de Riemann 17
Intuitivamente, se ve que, si n → ∞ y ambas sucesiones convergen,
entonces coinciden los dos límites, cuyo valor será el del área buscada.
1.4. Integral de Riemann
Si sup {s(f , P)} = inf {S(f , P)} para toda partición P de [a, b], diremos que
y = f(x) es una función integrable de Riemann en [a, b], abreviadamente
f(x) ∈ R([a, b]), y a ese valor se le llamará integral (de Riemann) de f(x) en el
intervalo [a, b], denotándola por:
∫
b
a
f = sup {s(f, P)} = inf {S(f, P)}
Obsérvese que la integral de Riemann, caso de existir, de una función toma
un valor real.
1.5. Teorema
y = f(x) es una función integrable Riemann ⇔ ∀ ε >0 ∃ una partición P ∋
S(f,P) − s(f,P) < ε.
Demostración
⇒] Sea f ∈ R([a, b]), y sea ε >0
∫
b
a
f = sup {s(f, P)} ⇒ ∃
1
P partición de [a, b] ∋
∫
b
a
f
(
)
1
P,fs− <
2
ε
∫
b
a
f = inf {S(f, P)} ⇒ ∃
2
P partición de [a, b] ∋ −
∫
b
a
f +
(
)
2
P,fS <
2
ε
Sumando ambas desigualdades, miembro a miembro, se llega a:
(
)
(
)
ε<−
12
P,fsP,fS
Sea
21
PPP ∪= , entonces:
(
)
(
)
(
)
(
)
21
P,fSP,fSP,fsP,fs ≤≤≤
con lo que tenemos que:
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Riemann
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18 Introducción al cálculo integral
(
)
(
)
(
)
(
)
ε<−≤−
12
P,fsP,fSP,fsP,fS (c.q.d.)
<= ] Sabemos que inf {S(f, P)} ≤ S(f, P) para cualquier P
sup{s(f, P)} ≥ s(f, P) para cualquier P
Entonces, se tiene
0 ≤ inf {S(f, P)} − sup{s(f, P)} ≤ S(f, P) − s(f, P) < ε ∀ ε > 0
por hipótesis. Lo que nos lleva a que:
inf {S(f, P)} = sup{s(f, P)} ⇒ f ∈ R([a, b]) (c.q.d.)
1.6. Algunas propiedades de la integral de Riemann
1) f ∈ R([a, b]) ⇔ ∀ c ∈(a, b), f(x) es integrable en cada uno de los
intervalos [a, c], [c, b]. Además se verifica que:
∫
b
a
f =
∫
c
a
f +
∫
b
c
f
2) Si f ∈ R([a, b]), entonces kf ∈ R([a, b]), donde k es una constante
cualquiera. Además se verifica que:
∫
b
a
kf = k
∫
b
a
f
3) Si f , g ∈ R([a, b]), entonces f + g ∈ R([a, b]). Además se verifica que:
( )
∫
+
b
a
gf =
∫
b
a
f +
∫
b
a
g
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Índice
Integral de Riemann 19
4) Si f ∈ R([a, b]) y f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ⇒
∫
b
a
f ≥ 0
Si f ∈ R([a, b]) y f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b] ⇒
∫
b
a
f ≤ 0
5) Si f , g ∈ R([a, b]) y f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a, b] ⇒
∫
b
a
f ≤
∫
b
a
g
6) Si f ∈ R([a, b]) y se tiene que | f | ∈ R([a, b]) también, siendo | f | la
función definida por | f | (x) = | f(x) | ∀ x ∈ [a, b] , entonces se tiene que:
∫
b
a
f ≤
∫
b
a
|f| (Monotonía de la integral definida)
La conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral se tiene por
medio del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (conocido también como
Regla de Barrow).
1.7.
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Si una función y = f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces
( ) ( ) ( )
∫
−=
b
a
aFbFdxxf
donde F(x) es cualquier función tal que F '(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b].
1.8. Teorema del valor medio para integrales
Si y = f(x) es una función continua en [a, b], entonces existe un valor
intermedio c ∈ (a, b) tal que:
( ) ( )( )
∫
−=
b
a
abcfdxxf
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Índice
20 Introducción al cálculo integral
1.9. La función integral
La integral es un número si la calculamos sobre un intervalo [a, b], donde a
y b son números reales y fijos. Ahora bien, si dejáramos libertad al extremo b,
podríamos estudiar la integral de una función y = f(x) sobre el intervalo [a, x],
donde x es variable. Por lo tanto, la integral, al depender de x, sería variable
también, dependiendo a su vez de x, es decir, sería una función de x. Es lo que
llamaremos función integral, denotándola F(x) =
∫
x
a
f .
1.10.
Función primitiva o antiderivada
El problema de calcular
(
)
∫
dxxf se reduce a encontrar una función F(x),
llamada primitiva de f(x) tal que F '(x) = f(x).
(
)
∫
dxxf = F(x) + C o
( )
[
]
∫
dxxf
dx
d
= f(x)
donde C es una constante arbitraria.
Si P(x) es una primitiva de f(x), se tiene que P'(x) = f(x), o,
equivalentemente, utilizando la notación diferencial de Leibniz,
(
)
dx
xdP
= f(x), es
decir, dP(x) = f(x) dx (combina la notación diferencial con la integral). Así,
(
)
∫
dxxf = P(x) + C.
A pesar de la semejanza aparente, el símbolo
(
)
∫
dxxf , es
conceptualmente distinto del símbolo de integración
( )
∫
b
a
dxxf . Los dos han
sido originados por procesos completamente distintos: la diferenciación y la
integración.
Sin embargo, están relacionados por los teoremas fundamentales del
cálculo. El Primer Teorema Fundamental dice que se puede construir siempre
por integración una primitiva de una función continua (dos primitivas difieren
en una constante).
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Índice
Integral de Riemann 21
Esto indica que cualquier integral indefinida de y = f(x) es también
primitiva de y = f(x). Si P(x) =
( )
∫
x
x
o
dttf con
0
x cierto límite inferior,
(
)
∫
dxxf = P(x) + C se puede poner como
(
)
∫
dxxf =
( )
∫
x
x
o
dttf + C.
El símbolo
(
)
∫
dxxf se puede considerar como representante de una
integral indefinida de y = f(x) más una constante.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral expresa que para
cada primitiva P(x) de y = f(x) y para cada constante C se tiene
( )
∫
b
a
dxxf =
(
)
[
]
b
a
C
xP +
Si se sustituye P(x) + C por
(
)
∫
dxxf ,
( )
∫
b
a
dxxf =
( )
[
]
b
a
dxxf
∫
= F(b) − F(a), con F '(x) = f(x)
Debido a una larga tradición, muchos tratados de cálculo consideran el
símbolo
(
)
∫
dxxf como representante de una integral indefinida y no de una
función primitiva o antiderivada.
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Segundo
Teorema
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