1
Independencia y
dependencia
lineal de vectores
Herramientas
Matemáticas I -
Álgebra
2
Combinacion lineal de vectores
Un vector W es una combinación lineal de los vectores
de orden n, si existen escalares (números) m
1,
m
2 ,
m
3,
m
4……………
…
,
m
r
que verifiquen:
Así, por ejemplo, dados los vectores:
A = [-3, 2, 1]
B = [0, 2, 3]
C = [-1, 8, 12]
Y lo escalares:
m
1
= -2
m
2
= 5
m
3
= 3
Una combinación lineal W podría ser:
W = m
1
.A + m
2
. B + m
3
. C
W = (-2). [-3, 2, 1]+5. [0, 2, 3]+3. [-1, 8, 12]
W = [6,-4,-2]+[0,10,15]+[-3,24,36]
W = [3, 30, 49]
W es combinación lineal de los vectores A , B y C.
Independencia y dependencia lineal de vectores
Independencia lineal de vectores
Un conjunto de vectores {V
1
,V
2
,V
3
,V
4
,……..,V
r
,} es linealmente
independiente (LI) si la combinación lineal:
se verifica únicamente
para
Dicho de otra manera, la única forma de expresar al vector nulo como
combinación lineal de los vectores dados es que todos los escalares sean
iguales a cero.
Una combinación
lineal es un vector del
mismo orden que los
vectores que lo
componen.
3
Dependencia lineal de vectores
Un conjunto de vectores {V
1
,V
2
,V
3
,V
4
,……..,V
r
,} es linealmente dependiente
(LD) si la combinación lineal:
se verifica para al
menos un
Dicho de otra manera, existe al menos un escalar distinto de cero que
permite expresar al vector nulo como combinación lineal de los vectores
dados.
Ejemplo 1
Dado el siguiente conjunto de vectores:
A = [2, 3]
B = [-1, 2]
Para estudiar la dependencia o independencia lineal de dichos vectores,
tenemos que conocer los valores de los escalares.
Por esta razón, planteamos la combinación lineal:
Aplicamos las operaciones vectoriales:
Sumamos los vectores resultantes de la multiplicación de los escalares por
los vectores:
De la igualdad vectorial, podemos reescribir:
Resolvemos el sistema de ecuaciones con dos incógnitas. De la primera
ecuación obtenemos:
Reemplazamos en la segunda ecuación:
4
Por lo tanto,
El conjunto de vectores es linealmente independiente.
Ejemplo 2
Dado el siguiente conjunto de vectores, estudiamos la independencia o
dependencia lineal:
A = [2, 3]
B = [4, 6]
Planteamos la combinación lineal:
Aplicamos las operaciones vectoriales:
Sumamos los vectores resultantes de la multiplicación de los escalares por
los vectores:
De la igualdad vectorial, podemos reescribir:
Resolvemos el sistema de ecuaciones con dos incógnitas. De la primera
ecuación, obtenemos:
Reemplazamos en la segunda ecuación:
5
El sistema tiene infinitas soluciones.
De modo que
puede asumir cualquier valor real. El conjunto de
vectores es linealmente dependiente.
Teoremas sobre independencia y dependencia lineal
de vectores
Teorema 1
“Dos o más vectores son linealmente dependientes solo si al menos
uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros
vectores”(Checa,2009,p.38)
Así, por ejemplo, dado el conjunto de vectores V
1
V
2
V
3
:
{[-1,3 ,1],[0,-2,6],[2,-8,4]}
El vector V
3
= -2V
1
+V
2
[2,-8, 4]= -2. [-1,3 ,1]+ [0,-2,6]
Todo conjunto de vectores que contenga un subconjunto de
vectores linealmente dependientes es linealmente dependiente.
Así, por ejemplo, dado el conjunto de vectores V
1
V
2
V
3
:
{[-1, 3 ,1], [-2 6, 2],[1,0,-1]}
El vector V
2
= 2V
1
se expresa como una combinación lineal, es decir, el
subconjunto {V
1
, V
2
} es LD, de modo que el conjunto de vectores { V
1
V
2
V
3
}
es LD.
Si un conjunto es linealmente independiente, entonces cualquier
subconjunto de vectores de él también es linealmente
independiente.
Así, por ejemplo, dado el conjunto de vectores {V
1
V
2
V
3
V
4
}, es linealmente
independiente:
{[-1, 0 ,1, 0], [1, 3, 2,1],[ 0 ,0,-1,0], [2 ,1 0, 0]}
Entonces, cualquier subconjunto que arme { V
2
V
3
V
4
} ó { V
1
V
3
} ó { V
1
V
3
V
4
}
es LI.
6
El vector nulo es linealmente dependiente; por lo tanto, si un
conjunto de vectores contiene al vector nulo, entonces es
linealmente dependiente.
Por ejemplo:
{[-1,3,2,5],[1,0,5,6], [0,0,0,0],[3,2,4,6]} es LD.
El conjunto unitario, es decir, un único vector distinto del vector
nulo es linealmente independiente.
Por ejemplo:
{[0,2, 0,5,]} es LI.
Un conjunto de n vectores de m componentes, donde n>m es
linealmente dependiente.
Así, por ejemplo, dado el conjunto de vectores {V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
}:
{[-1, 3 ,1], [-2 6, 2],[1,0,-1], [1,5,8],[0,0,-3]} contiene más vectores que
componentes, de modo que es LD.
7
Referencias
Stanley, I., y Grossman, S. (2007). Álgebra lineal. México: McGraw Hill
Interamericana.
Checa, J. C. (2009). Algebra lineal para economía y administración.
Córdoba, Argentina: Ediciones Eudecor SRL.
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