Capacitores y dieléctricos
Ejercicio 1 - Los capacitores del circuito de la figura valen C
1
= 4F; C
2
= 6F; C
3
= 12,6F; C
4
= 2F; C
5
= 8F. En
régimen estacionario, calcule:
a) la capacidad equivalente de la configuración;
b) la carga almacenada en cada capacitor;
c) la diferencia de potencial a la que se encuentra cada
capacitor;
d) la energía almacenada por cada capacitor y la del sistema
a)
Los capacitores C
1
y C
2
están en serie:
La serie de los capacitores se encuentra en paralelo con el capacitor C
3
:
Los capacitores C
4
y C
5
están en paralelo:
Los capacitores equivalentes C
123
y C
45
están en serie:
b)
La carga acumulada por el arreglo de capacitores es:
Las caídas de voltaje en los capacitores equivalentes C
123
y C
45
, resultan:
C
1
C
2
C
4
50
C
5
C
3
La carga acumulada en el capacitor C
1
es:
La carga acumulada en el capacitor C
4
es:
La carga acumulada en el capacitor C
5
es:
La carga acumulada en la serie de capacitores C
1
y C
2
es:
c)
d)
Ejercicio 2 - Entre las placas de un capacitor plano paralelo de
placas de área A y distancia interplacas d se introduce una lámina
metálica de espesor e < d y de igual área A que la placa.
a) calcule la nueva capacidad del capacitor;
b) demuestre que la ubicación de la placa dentro del capacitor es
irrelevante.
a) y b)
La estructura se corresponde con la de dos capacitores en serie, llamando x a la distancia entre la
placa superior y el borde superior de la lámina, se tiene un capacitor:
La distancia entre el borde inferior de la lámina y la placa inferior es d - x - e, se tiene entonces un
capacitor:
La capacidad equivalente resulta:
Ejercicio 3 - Sean los capacitores de la figura, para los que se cumple la
relación C
1
< C
2
< C
3.
a) justifique por qué el valor de la capacidad equivalente del sistema es
menor que C
1
;
b) si se retira el capacitor C
3
, justifique si la capacidad del sistema aumenta,
disminuye o permanece inalterada;
A
d
d
e/2)
d
e/2)
C
1
C
2
V
C
3
c) si se retira el capacitor C
3
, justifique si la carga almacenada por C
1
aumenta, disminuye o permanece
inalterada.
a)
La capacidad equivalente es la serie del capacitor C
1
con el paralelo de C
2
y C3, por lo tanto la
capacidad equivalente es menor que la capacidad de cualquiera de los capacitores que conforman la serie,
es decir que la capacidad equivalente es menor que la capacidad C
1
.
b)
Si se retira el capacitor C
3
, disminuye la capacidad del paralelo conformado por C
2
y C
3
, como
este paralelo está en serie con el capacitor C
1
, al disminuir el valor del paralelo, disminuye la capacidad
equivalente de la serie conformada.
c)
Al retirar el capacitor C
3
, disminuye la capacidad equivalente, por lo que disminuye la carga
almacenada. Como esta carga es igual a la almacenada por el capacitor C
1
en serie con el paralelo de C
2
y
C
3
, se infiere que la carga en el capacitor en C
1
disminuye.
Ejercicio 4 - La esfera metálica de radio r
1
tiene carga Q > 0 y se
halla rodeada por una cáscara metálica, esférica, concéntrica y
descargada, de radios r
2
y r
3
> r
2
. Calcule:
a) la diferencia de potencial entre las superficies de radios r
1
y r
3
;
b) el potencial de la esfera de radio r
1
;
c) la capacidad entre los conductores del sistema;
d) la capacidad de la esfera de radio r
1
, respecto de la
referencia de
potenciales supuesta en el infinito.
a)
El problema presenta simetría esférica.
Para un radio genérico comprendido entre r
1
< r < r
2
r
1
r
2
r
3
Q
La diferencia de potencial entre r
1
y r
2
, puede evaluarse circulando el campo entre dichos radios.
Circulando a través de una línea de campo (radial en este caso):
Por ser un conductor el potencial en r
3
es igual al potencial en r
2
:
Si la cáscara metálica está descargada, la carga encerrada por una superficie gaussiana esférica de
radio r > r
3
, sigue siendo Q, por lo que el campo en esa región resulta:
El potencial de la esfera de radio r
1
, respecto de la referencia tomada en el infinito, se obtiene por
circulación del campo:
c)
La capacidad entre los conductores del sistema se obtiene por el cociente entre la carga acumulada
en la esfera interior, dividida por la diferencia de potencial entre los conductores:
d)
La capacidad de la esfera de radio r
1
, respecto de la
referencia de potenciales supuesta en el
infinito, se obtiene por el cociente entre la carga acumulada en la esfera interior, dividida por la diferencia
de potencial de dicho conductor respecto de la referencia en el infinito:
Ejercicio 5 - Se cargan los capacitores de la figura
(a), inicialmente descargados, se desconecta la batería y
se los reconecta como en la figura (b). Para C
1
= C
2
=
2C
3
= 4F, calcule:
a) la carga final almacenada por el capacitor C
1
;
b) la energía almacenada por el sistema antes y después
de la reconfiguración.
a)
Se indicará mediante a
1
al punto de unión de la pila con el capacitor C
1
; mediante b
1
al punto de la
placa del capacitor C
1
unido al punto a
2
de la placa del capacitor C
2
; mediante b
2
al punto de la placa del
capacitor C
2
unido al punto a
3
de la placa del capacitor C
3
y mediante b
3
al punto de unión del capacitor
C
3
con la pila.
Estando los capacitores inicialmente en serie y descargados, resulta
La carga total almacenada por la serie inicialmente descargada y por lo tanto la carga almacenada
en cada capacitor de la serie:
La polaridad de la pila implica que V
a1
> V
b1
= V
a2
> V
b2
= V
a3
> V
b3
Cuando se desconectan la pila y los capacitores, estos conservan la carga antes evaluada con su
respectiva polaridad. En la nueva configuración se conectan en serie los capacitores C
1
y C
2
uniendo los
puntos b
1
y b
2
de polaridad negativa; en paralelo con esta serie se conecta el capacitor C
3
uniendo los
puntos a
1
y a
3
entre sí y los puntos a
2
y b
3
entre sí. Por conservación de la carga para la isla comprendida
entre las placas de C
1
y C
2
(se supondrá a priori que en la isla la carga de C
1
es negativa y la de C
2
positiva)
C
1
C
2
C
3
C
1
C
2
10V C
3
(a)
(b)
Por conservación de la carga para la isla comprendida entre las placas de C
2
y C
3
(se supondrá a
priori que en la isla la carga en ambas placas es negativa)
Con las polaridades supuestas sobre la malla final debe cumplirse para las diferencias de potencial
que:
= (2. 10 5)
b)
La energía de campo electrostático inicial es:
La energía de campo electrostático final es:
Ejercicio 6 - Los capacitores C
1
y C
2
de la figura son de 25 nF y 20 nF,
respectivamente. El capacitor C
3
es de placas plano paralelas y sus dimensiones son:
área de placa A = 0,5 m
2
, distancia interplacas d = 0,1 mm, dieléctrico de constante
relativa
r
= 4 llenando todo el espacio interplacas. C
2
y C
3
están descargados, y C
1
se ha cargado a 60 V. Calcule:
a) el valor de la carga de cada capacitor cuando se cierra la llave K, una vez
alcanzado el régimen estacionario;
b) el valor de la diferencia de potencial en cada capacitor una vez alcanzado el régimen estacionario.
a)
Se supondrá que la polaridad inicial del capacitor C
1
es tal que la carga positiva se encuentra en la
placa conectada al punto K, su valor es:
La capacitancia del capacitor C
3
es:
Cuando se cierra la llave, por conservación de la carga para la isla comprendida entre las placas de
C
2
y C
3
(se supondrá a priori que en la isla las cargas de ambos capacitores es negativa)
Cuando se cierra la llave, por conservación de la carga para la isla comprendida entre las placas de
C
1
y C
3
(se supondrá a priori que en la isla la carga de C
2
es negativa y la de C
3
positiva)
Con las polaridades supuestas sobre la malla final debe cumplirse para las diferencias de potencial
que:
C
1
C
2
C
3
K
b)
Las diferencias de potencial entre placas resultan:
Ejercicio 7 - El capacitor de la figura es de placas plano paralelas, d = 5 mm y
A = 40 cm
2
. La mitad superior del espacio interplacas está llena con un
dieléctrico de constante
r1
= 2,3 y la otra mitad con un dieléctrico de constante
r
2
= 2,6. El arreglo se carga a potencial V = 1000 V. Calcule:
a) el valor del campo eléctrico en cada sector del arreglo;
b) el módulo del vector desplazamiento en cada sector del arreglo;
c) la cantidad de carga libre frente a cada uno de los dieléctricos.
a)
El campo eléctrico en todo el capacitor es constante (despreciando distorsiones de borde) y
resulta:
b)
R2
R1
El vector desplazamiento en cada dieléctrico resulta:
c)
Por condición de frontera en la interfase conductor dieléctrico:
La carga libre en la región de placa en contacto con cada dieléctrico, resulta:
Ejercicio 8 - Regresemos a la esfera del ejercicio 4 y supongamos que el espacio entre r
1
y r
2
se llena
con un dieléctrico de constante
r
= 3. Para Q = 1C, r
1
= 2 cm, r
2
= 4 cm y r
3
= 8 cm, calcule los valores
del campo eléctrico E y del vector desplazamiento D en los punto A, B y C ubicados respectivamente a
3 cm, 6 cm y 10 cm del centro del arreglo.
El problema presenta simetría esférica.
Para un radio genérico comprendido entre r
1
< r < r
2
, el medio es un dieléctrico:
Para r
A
= 3 cm (r
1
= 2 cm < r
A
< r
2
= 4 cm):
Para r
2
< r < r
3
, el medio es conductor, por lo que los tres vectores eléctricos son nulos en la
situación electrostática.
Para r
B
= 6 cm (r
2
= 4 cm < r
B
< r
3
= 8 cm):
Para r > r
3
, se supone vacío y estando la cáscara conductora descargada, la carga encerrada por la
superficie gaussiana esférica que la encierra sigue siendo Q:
En particular para r
C
= 10 cm > r
3
= 8 cm):
Ejercicio 9 - En una región del espacio de constante relativa
r1
= 3 existe un
campo eléctrico de intensidad 10
4
V/m, que forma un ángulo de 60° con la
superficie que lo separa de otro medio, de constante relativa
r2
= 18. Calcule:
a) las componentes normal (E
n
) y tangencial (E
t
) del campo eléctrico en la
región con dieléctrico de constante
r2
= 18;
b) el ángulo que forma el vector D (respecto de la superficie de separación) en
R
=3
R
=18
E
60°
la región con dieléctrico de constante
r2
= 18
a)
En el medio de constante
r1,
las componentes normal y tangencial del campo eléctrico en la
interfase son:
La componente tangencial del campo eléctrico debe ser una función continua:
La componente normal a la interfase del vector desplazamiento, en ausencia de distribuciones
superficiales de cargas libres sobre la misma, debe ser una función continua:
Los vectores campo eléctrico y desplazamiento eléctrico son colineales en los respectivos medios
por lo que llamando
2
al ángulo que forman con la superficie de separación de los medios en la zona del
dieléctrico de constante
r2
, resulta:
Ejercicio 10 - Dos placas plano paralelas de área A = 0,2 m
2
se
hallan separadas una distancia d = 4 mm, y conectadas a una fuente
de potencial V = 50 V. Se desconecta la fuente (abriendo la llave K)
y se llena la mitad del espacio interplacas con un dieléctrico de
constante relativa
r1
= 10 y la otra mitad con otro dieléctrico, de
constante
r2
= 30, como muestra la figura. Calcule el valor
a) de la capacidad en vacío;
b) de la capacidad final de la configuración;
c) de la carga inicial y discuta por qué no cambia su valor al desconectar la batería;
d) de la diferencia de potencial entre las placas luego de que se introducen los dieléctricos;
V
K
e) de los vectores E, D, P en todo punto del espacio dentro de cada dieléctrico;
f) de la carga libre y de la carga de polarización en cada superficie;
g) de la energía antes y después de introducir los dieléctricos. Discuta a qué se debe que la energía
disminuya.
a)
La capacitancia del capacitor en su estado inicial, suponiendo modelo de placa plana sin
dieléctrico entre placas y despreciando distorsiones de borde (campos normales a las placas) es C
0
:
b)
La configuración final puede considerarse como dos capacitores de placa plana conectados en
paralelo, cada uno de ellos con el respectivo dieléctrico agregado, ocupando la mitad del espacio entre
placas cada uno:
c)
La carga no varía ya que luego de retirar la batería el sistema queda aislado.
d)
La diferencia de potencial entre placas luego de retirada la batería e introducidos los dieléctricos
es:
e)
En este modelo de placas planas sin distorsión de borde los tres vectores eléctricos son constantes
en cada dieléctrico. Además por ser el campo eléctrico tangencial a la superficie de separación de los
dieléctricos, debe ser función continua, por lo que se infiere que para esta configuración el campo
eléctrico es constante en todo el capacitor y no varía de un dieléctrico a otro.
f)
Por condición de frontera en la interfase conductor dieléctrico:
La carga libre en la región de placa en contacto con cada dieléctrico, resulta:
Por condición de frontera en la interfase conductor dieléctrico:
La carga de polarización en la región de los dieléctricos en contacto con las placas, resulta:
Para el tipo de dieléctrico del problema (homogéneos, isotrópicos y lineales) sin carga libre, la
densidad volumétrica de carga de polarización es cero en todos los puntos. La carga de polarización se
distribuye superficialmente sobre los dieléctricos, en la frontera con las placas y con signo opuesto a la de
las cargas libres.
g)
La energía de campo electrostático del capacitor en su estado inicial es
La energía de campo electrostático del capacitor en su estado final es
Si el proceso de introducción de los dieléctricos se asume cuasiestacionario y a temperatura
constante, resulta que en el reacomodamiento de cargas se disipará calor, además el trabajo que el medio
realiza sobre el sistema es negativo ya que la fuerzas que se generan entre las cargas libres de la placa y
las de polarización en el dieléctrico son de atracción y por ende el medio debe realizar trabajo negativo
para introducir el dieléctrico en forma cuasiestacionaria. De esta manera se infiere que la energía del
campo electrostático debe disminuir.
Ejercicio 11- Repita el ejercicio anterior suponiendo ahora que los
dieléctricos se conectan como muestra la figura. Asuma que cada
dieléctrico ocupa la mitad del espacio interplacas.
a)
La capacitancia del capacitor en su estado inicial, suponiendo modelo de placa plana sin
dieléctrico entre placas y despreciando distorsiones de borde es C
0
:
V
K
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