Volver a Análisis Matemático II
Materia: ANÁLISIS MATEMÁTICO II (Código: 284)
Cátedra: MARÍA JOSE BIANCO
TRABAJO PRÁCTICO INICIAL
NOTA A LOS ALUMNOS: Los temas que se incluyen en esta práctica se suponen
conocidos por ustedes. Como serán necesarios a lo largo del curso es fundamental que, a
modo de repaso, resuelvan estos ejercicios consultando bibliografía y/o al docente.
1) Dadas las matrices
511
312
A
43
32
21
B
172
530
151
C
251 D
3
2
1
E
Calcular:
a)
ED
b)
DE
c)
EAB )(
d)
t
BD ))(3(
e)
f)
CI
2
1
(I matriz
identidad)
2) Calcular los determinantes de las siguientes matrices.
42
61
A
512
791
281
B
1241
3112
0011
0202
C
200
720
283
D
700
050
002
E
3) Sea la matriz
33x
RA
ihg
fed
cba
A
Si
5)det( A
, hallar el determinante de las siguientes matrices usando las propiedades del
determinante.
a)
cibhag
cba
fed
B
333
b)
ihg
fed
cba
C
222
Trabajo Práctico Inicial
2
c)
ihg
fed
cba
E
3
3
226
d)
ihh
fee
cbb
F
2
2
2
e)
hig
efd
bca
G
3
3
3
4) Dadas las funciones:
a)
5)( xf
h)
2
1
1
)(
x
xg
b)
1
3
1
)( xxg
i)
2
23
)(
x
x
xm
c)
4)1()(
2
xxh
j)
1)(
x
ext
d)
5)(
2
xxr
k)
x
xh
3
1
)(
e)
882)(
2
xxxf
l)
xxf
2
1
log)(
f)
8)1()(
3
xxp
m)
)3ln()( xxg
g)
1)(
4
xxh
n)
4log)( xxp
Se pide:
i. Hallar dominio e imagen.
ii. Graficarlas.
iii. Hallar los conjuntos de ceros
0
C
, de positividad
C
y de negatividad
C
.
5) Dada la función
31)( xxf
, se pide:
a) Hallar dominio e imagen y graficar.
b) Hallar el conjunto de ceros
0
C
, de positividad
C
y de negatividad
C
.
6) Hallar el dominio de las siguientes funciones:
a)
3
9
)(
2
x
x
xf
j)
1
3
)(
x
x
xf
b)
04
04
)(
2
xx
xx
xf
k)
5
3
log)(
x
x
xf
c)
12
)(
2
xx
x
xf
l)
3
2
7
1
)(
xx
xf
d)
106
1
)(
2
xx
xf
m)
3
35)( xxf
e)
xxf 23)(
n)
xxf
2
log)(
f)
xxxf 5)(
2
o)
1log)(
2
xxf
g)
214)(
2
xxxf
p)
xxf
2
1
log)(
Trabajo Práctico Inicial
3
h)
94)(
2
xxxf
q)
x
xf
2
1
log
1
)(
i)
322
1
)(
2
x
xf
r)
)25log(
3
)(
x
e
xf
x
7) Calcular los siguientes límites:
a)
1
3
1
2
lim
x
x
x
e
g)
3
3
lim
3
x
x
x
b)
4
2
3
1
12
lim
x
x
x
xx
h)
x
x
x
1
1
lim
1
c)
)4(loglim
2
2
2
x
x
i)
x
x
x
73
4
lim
2
2
d)
x
xx
x
5
lim
2
0
j)
x
xsen
x
7
2
lim
0
e)
33
32
lim
23
2
1
xxx
xx
x
k)
)6(
)3(
lim
0
xsen
xtg
x
f)
23
2016
lim
2
23
2
xx
xxx
x
l)
)3(
)5cos(
lim
0
xtg
xx
x
8) Calcular los siguientes límites
a)
x
x
x
sen lim
0
b)
x
x
x
sen
lim
c)
2
lim
x
x
x
9) Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasificar.
a)
235)(
2
xxxf
b)
)1(
1
)(
2
xx
x
xf
c)
1
1
)(
x
x
xf
d)
1
3
2
212
21
)(
2
x
x
xx
x
xf
Trabajo Práctico Inicial
4
e)
25
2
2
23
)(
2
x
x
x
xx
xf
10) Aplicando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones en el punto de
abscisa indicado.
a)
17)( xxf
en
3
0
x
b)
2
)( xxf
en
1
0
x
c)
xxf )(
en
9
0
x
11) Usando las reglas de derivación, hallar las derivadas de las funciones indicadas en su
dominio de definición.
a)
5
4
5)( xxxf
d)
3
2
1)( xxf
b)
x
xx
xf
121
)(
2
e)
xx
xf
ln3
2)(
c)
2
1
)(
x
ex
xf
x
f)
)2ln()( xexf
x
12) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las gráficas de las siguientes
funciones en los puntos que se indican.
a)
12)( xxf
en
2
0
x
b)
2
2
3
)(
x
xf
en
1
0
x
13) a) Calcular gráfica y analíticamente
f
y
df
para
2
0
x
y
1x
en cada una de las
siguientes funciones.
i)
2
2
1
)( xxf
ii)
4)(
2
xxf
b) Calcular el diferencial total de las funciones del inciso a).
14) Realizar el estudio completo de las siguientes funciones:
a)
31232)(
23
xxxxf
b)
1
22
)(
2
x
xx
xf
c)
4
8
)(
2
x
xf
d)
x
exxf
)(
Trabajo Práctico Inicial
5
15) Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de las siguientes funciones en el intervalo
indicado.
a)
163)(
24
xxxf
en
2,2
b)
1
1
)(
x
x
xf
en
4,0
16) Calcular las siguientes integrales indefinidas
a)
dxex
x
2
cos2
1
g)
dxxe
x 2
b)
dxxxx )1()1(
h)
dxxx ln
3
c)
dxxe
x
2
i)
dxxe
x 2
)(
d)
dx
x
xln
j)
dx
xx
x
3
3
e)
dx
x
e
x
1
k)
dx
xxx
234
2
3
f)
dx
x
x
4
2
25
l)
dx
x 1
1
4
17) Calcular las siguientes integrales definidas.
a)
4
1
)3( dxxx
b)
2
0
sen dxx
c)
e
dxxx
1
3
ln
18) Calcular el área de la región limitada por las siguientes funciones.
a)
642)(
2
xxxf
eje x
b)
1)(
3
xxf
9y
eje y
c)
1
2
xy
1 xy
d)
xy
xy 2
eje y
19) a) Hallar el polinomio de Taylor
i. de grado 5 en
1
0
x
para la función
f x x( ) ln
ii. de grado 2 en
4
0
x
para la función
f x x( )
.
b) Calcular aproximadamente utilizando los polinomios obtenidos en el ejercicio anterior
i)
)1,1ln(
ii)
38.
Trabajo Práctico Inicial
6
20) a) Hallar el producto escalar
BA
para los siguientes pares de vectores.
i)
)4,1(A
)5,1(B
ii)
)1,0,1(A
)3,1,2( B
b) Hallar los valores de k para que los siguientes pares de vectores resulten ortogonales.
i)
)3,,1( k
y
)0,2,(k
ii)
),1,3( k
y
),1,1( k
c) Calcular el módulo de los vectores de 5)a).
d) Hallar un vector unitario de
2
R
que sea ortogonal a
)2,1(v
.¿Es único?
21) Sean
)2,2(u
y
)0,1(v
, hallar:
a)
vu.
c)
v
b)
u
d)
vu
ˆ
22) Sea
)3,1,2(x
e
1,0,
2
1
y
, hallar:
a)
),( yxd
y
),( xyd
c)
x
y
y
b)
yx.
d)
yx
23) Hallar la ecuación implícita del plano que satisface las siguientes condiciones
a) Es perpendicular a
)1,2,1(N
y pasa por el punto
)1,2,3( P
b) Es ortogonal al vector
)0,5,1(N
y pasa por el origen de coordenadas.
Trabajo Práctico Inicial
7
RESPUESTAS
1)
a)
15
d)
15
15
b)
6153
4102
251
e)
1512123
125822
c)
99
72
27
f)
2
1
2
7
1
2
5
2
1
0
2
1
2
5
2
1
2)
16)det( A
0)det( B
26)det( C
12)det( D
70)det( E
3)
a) – 5 d) 0
b) 10 e)
15
c)
30
4) a)
5 IfIRDf
0
C
Ø
IRC
C
Ø
b)
IRIfIRDf
3
0
C
),3(
C
c)
,4IfIRDf
1,3
0
C
),1()3,( 
C
)1,3(
C
5
3
1
- 4
1
Trabajo Práctico Inicial
8
d)
5, IfIRDf
0
C
Ø
C
Ø
IRC
e)
,0IfIRDf
2
0
C
2
IRC
C
Ø
f)
IRIfIRDf
1
0
C
),1(
C
)1,( 
C
g)
1, IfIRDf
1,1
0
C
)1,1(
C
),1()1,( 
C
- 5
2
8
1
1
1
- 1
Trabajo Práctico Inicial
9
h)
21 IRIfIRDf
2
3
0
C
2
3
,1C

,
2
3
)1,(C
i)
32 IRIfIRDf
3
2
0
C

,
3
2
)2,(C
3
2
,2C
j)
),1( IfIRDf
0
0
C
,0C
0,
C
k)
),0( IfIRDf
0
C
Ø
IRC
C
Ø
1
-2
3
- 2
- 1
- 1
1
3
1
Trabajo Práctico Inicial
10
l)
IRIfDf ),0(
1
0
C
1,0
C
),1(
C
m)
IRIfDf ),3(
4
0
C
),4(
C
)4,3(
C
n)
IRIfDf ),0(
4
0
10
C
),10(
4
C
)10,0(
4
C
5)
,3IfIRDf
2,4
0
C
),2()4,( 
C
)2,4(
C
6) a)
3 IRDf
j)
 ,3,-1-Df
b)
0 IRDf
k)
5,3-Df
c)
1 IRDf
l)
0;7-IRDf
d)
IRDf
m)
IRDf
2
1
1/2
- 1
AV: x = 3
10
5
- 3
- 1
Trabajo Práctico Inicial
11
e)
2
3
,Df
n)
 ,1Df
f)
 ,05,Df
o)
 ,2Df
g)
3,7Df
p)
1,0Df
h)
ODf
q)
1,0Df
i)
 ,4,-4-Df
r)
2
5
,22,-Df
7)
a)
2
e
d) 5 g)
32
j)
7
2
b)
2
7
e)
1
h)
2
1
k)
2
1
c) 3 f) 0 i) 24 l)
3
1
8) A cargo del alumno
9)
a) Continua
IRx
b)
10 xx
discontinua esencial
1x
discontinua evitable
c)
1x
discontinua esencial
d)
2x
discontinua esencial
1x
continua
e)
2x
discontinua evitable
10)
a) – 7 b) – 2 c)
6
1
11)
a)
5
4
3
5
1
20)(
xxxf
b)
3
32
2
141
)(
x
xx
xf
c)
2
2
2
1
2)()1)(1(
)(
x
xexxe
xf
xx
d)
3
22
)1(3
2
)(
x
x
xf
Trabajo Práctico Inicial
12
e)
x
xf
xx
3
12ln2)(
ln3
f)
)2ln(2
1
)(
xx
exf
x
12)
a)
94)(
2
1
4
1
)( xxnxxt
b)
2
1
2
3
)(
3
5
3
2
)( xxnxxt
13)
a) i)
2
2
5
dff
ii)
45 dff
b) i)
dxxdf
ii)
dxxdf 2
14)
a) Dominio IR,
No existen asíntotas
Crece
),2(1, 
Decrece
2,1
Máximo relativo
10;1
Mínimo relativo
)9;2(
Cóncava positiva
,
2
1
Cóncava negativa
2
1
,
Punto de inflexión
2
7
;
2
1
.
b) Dominio
1IR
Asíntota vertical
1x
Asíntota oblicua
1 xy
Crece
),2()0,( 
Decrece
)2,1()1,0(
Máximo relativo
)2;0(
Mínimo relativo
)2;2(
Cóncava negativa
)1,(
Cóncava positiva
),1( 
No existe punto de inflexión.
-1
1/2
2
-7/2
-9
10
2
2
Trabajo Práctico Inicial
13
c) Dominio
2;2IR
Asíntotas verticales
2x
y
2x
Asíntota horizontal
0y
Crece
)0,2()2,( 
Decrece
),2()2,0( 
Máximo relativo
)0;0(
Cóncava positiva
),2()2,( 
Cóncava negativa
)2,2(
No existe punto de inflexión.
d) Dominio IR
Asíntota horizontal
0y
Crece
)1,(
Decrece
),1( 
Máximo relativo
);1(
1
e
Cóncava positiva
),2( 
Cóncava negativa
)2,(
Punto de inflexión
)2;2(
2
e
.
15)
a)
)2,1(
y
)2,1(
son máximos absolutos;
)25,2(
y
)25,2(
son mínimos absolutos.
b)
)1,0(
es mínimo absoluto;
5
3
,4
es máximo absoluto.
16)
a)
kxesenxx
2
22
g)
kxxe
x
)22(
2
b)
kxxx
2
5
2
h)
kxx
4
1
ln
4
1
4
c)
ke
x
2
2
1
i)
kxxee
xx
32
3
1
)1(2
2
1
d)
kx
2
)(ln
2
1
j)
kxxx 1ln1ln2ln3
e)
kxe
x
)(2
k)
kxx
xx
ln61ln6
1
33
f)
kx
4
3
2
)25(
3
1
l)
kxxx arctg
2
1
1ln
4
1
1ln
4
1
1
2
2
2
e
1
e
Trabajo Práctico Inicial
14
17)
a)
10
101
b) 0 c)
)13(
16
1
4
e
18)
a)
3
64
c)
6
1
b) 12 d)
6
5
19)
a) i)
5432
)1()1(
4
1
)1(
3
1
)1(
2
1
)1()( xxxxxxP
ii)
2
)4(
64
1
)4(
4
1
2)( xxxP
b) i) 0,095318 ii) 1,949375
20)
a) i) 19 ii) 5
b) i)
0k
ii)
2k
o
2k
c) i)
16A
26B
ii)
2A
14B
d) Hay dos vectores solución:
5/5,5/525/5,5/52
21
vv
21)
a)
2vu
c)
1v
b)
2u
d)
3
2
ˆ
vu
22)
a)
2
93
),(),( xydyxd
c)
14x
y
2
5
y
b)
4 yx
d)
2
93
yx
23)
a)
02: zyx
b)
05: yx
Materia: ANÁLISIS MATEMÁTICO II (Código: 284)
Cátedra: MARÍA JOSE BIANCO
1
TRABAJO PRÁCTICO I
1) Hallar el interior, la clausura y la frontera de los siguientes conjuntos.
a) En
:
baA ,
b)
1/),(
222
yxyxA
c)
201/),,(
223
zyxzyxA
2) Indicar cuáles de los siguientes conjuntos son abierto, cerrados o nada justificando la
respuesta.
a) En
:
),( baA
;
baB ,
;
baC ,
;
baD ,
;
 ,aE
;
bF ,
;
 ,aG
;
),( bH 
b) En
:
13,51,7 A
;
)13,5()1,7( B
;
 ,21,3C
;
9,75,1 D
;
5,4,3,2,1E
c)
0/),(
2
xyxA
;
0/),(
2
xyxB
;
0/),(
2
xyxC
d)
1/),(
222
yxyxA
;
1/),(
222
yxyxB
;
1/),(
222
yxyxC
e)
4000/),(
222
yxxyyxyxA
;
011/),(
2
yxyxB
3) Analizar cuáles de los siguientes conjuntos son compactos.
a) Los conjuntos del ejercicio 2) a).
b) Los conjuntos del ejercicio 2) d).
c) Los conjuntos del ejercicio 2) e).
4) Analizar gráficamente la convexidad de los siguientes conjuntos.
121/),(
2
xyRyxA
xyxyRyxB /),(
2
x
yRyxC
1
/),(
2
4/),(
222
yxRyxD
baxyRyxE /),(
2
yxRyxF
22
/),(
baxyRyxG
22
/),(

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