Volver a Introducción a la Matemática
1
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición:
( ) ( )
1a0a>con
x
axf;:xf =→ y
La base
a = 1
se excluye porque es el caso de la función constante
f (x) =
1
.
a 0
puesto que para exponentes fraccionarios, por ejemplo
x = 1 / 2
, si
a
< 0
se tendría una raíz con índice par y radicando menor que cero,
operación que no está definida en 𝕽. Por ejemplo, la función
x
)2(y
−=
,
para
2
1
x
=
, no estaría definida en 𝕽, pues
2x −=
no tiene solución en el
conjunto de los números reales.
Para ejemplificar como son los gráficos de estas funciones le daremos
valores a
x
y obtendremos los valores de
y
para
a = 2
y para
a = 1 / 2
.
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
2
Se puede observar que el gráfico de las funciones exponenciales presenta
las siguientes características:
Si
a > 1
:
1) Para todo valor de
x
la función es mayor que
0
.
2) Cuando
x
tiende a
- ∞
,
y
tiende a
0
. El gráfico se aproxima al eje
de las
x
pero nunca lo alcanza.
3) Cuando
x = 0
,
y = 1
. Los gráficos de todas las funciones
exponenciales pasan por
( 0 , 1 )
.
4) Cuando
x
tiende a
∞
,
y
tiende a
∞
.
Pregunta: ¿Cómo varía el gráfico de una función exponencial
y = a
x
, con
a > 1
, para valores crecientes de a. Por ejemplo, qué diferencia tienen
los gráficos de las funciones
y = 2
x
e
y = 4
x
?
Si
a < 1
:
1) Para todo valor de
x
la función es mayor que
0
.
2) Cuando
x
tiende a
∞
,
y
tiende a
0
. El gráfico se aproxima al eje
de las
x
pero nunca lo alcanza.
3) Cuando
x = 0
,
y = 1
.
4) Cuando
x
tiende a
- ∞
,
y
tiende a
∞
.
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
3
Pregunta: ¿Cómo varía el gráfico de una función exponencial
y = a
x
, con
a < 1
, para valores decrecientes de
a
. Por ejemplo, qué diferencia
tienen los gráficos de las funciones
y = ( 1 / 2 )
x
e
y = ( 1 / 4 )
x
?
FUNCIÓN LOGARITMO
Logaritmo de un número
b
en base
a
Definición:
El logaritmo de un número
b
en base
a
(se escribe 𝒍𝒐𝒈
𝒂
𝒃) es el
exponente al que se debe elevar
a
para obtener
b
.
De acuerdo con esta definición se puede establecer la siguiente
equivalencia:
b
c
acb
a
log ==
Ejemplos:
416
2
log =
porque
16
4
2 =
porque
8
3
2
1
=
−
01
4
log =
porque
1
0
4 =
12,0
5
log −=
porque
2,0
1
5 =
−
Propiedades
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
4
1)
q
a
logp
a
logpq
a
log +=
El logaritmo de un producto es igual a
la suma de los logaritmos.
2)
q
a
logp
a
log
q
p
a
log
−=
El logaritmo de un cociente es igual al
logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
3)
( )
= p
a
logq
q
p
a
log
El logaritmo de un número
p
elevado a
un exponente
q
es igual al exponente
q
multiplicado por el logaritmo
del número
p
.
Ejemplifique estas propiedades.
Intente demostrar las propiedades. En caso que le resulte dificultosa la
demostración consulte con el libro del Cursillo de Ingreso.
Dos casos particulares son el logaritmo en base 10 y el logaritmo natural.
El logaritmo en base 10 se expresa sin colocar la base:
plogp
10
log =
El logaritmo natural es el logaritmo en base
e
.
e
es el número de Euler. Es un número irracional trascendente (no se puede
obtener como solución de una ecuación algebraica).
e=2,718182…..
Se expresa de la siguiente manera:
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
5
Se puede comprobar que la función logaritmo es la función inversa de la
función exponencial.
Consideremos la función exponencial, cuyo conjunto imagen definiremos de
modo tal que la función sea biyectiva:
x
e)x(f;
0
:)x(f
=
→
Al despejar
x
, se tiene que
ylnx =
Si ahora intercambiamos
y
por
x
, para utilizar la notación usual, se tiene
xlny =
En esta última función el dominio natural (mayor conjunto para el cual está
definida la función) es
R
>0
y el conjunto imagen es
R.
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
6
Con lo que se tiene la función
)x(lny;
0
:)x(g =→
De modo que la función exponencial es la
función inversa de la función logaritmo. Consecuentemente los gráficos de
ambas funciones son simétricos respecto de la recta
y = x .
Se puede observar que el gráfico de la función logaritmo presenta las
siguientes características:
Si
a > 1
:
1) La función es creciente en todo su dominio.
2) Cuando
x
tiende a
0
,
y
tiende a
-
∞
. El gráfico se aproxima al eje
de las
y
pero nunca lo alcanza.
3) Cuando
x = 1
,
y = 0
. Los gráficos de todas las funciones
logarítmicas pasan por
( 1 , 0 )
.
4) Cuando
x
tiende a
∞
,
y
tiende a
∞
.
Si 0<
a < 1
:
1) La función es decreciente en todo su dominio.
2) Cuando
x
tiende a
0
,
y
tiende a
∞
. El gráfico se aproxima al eje de
las
y
pero nunca lo alcanza.
3) Cuando
x = 1
,
y = 0
. Los gráficos de todas las funciones
logarítmicas pasan por
( 1 , 0 )
.
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
7
4) Cuando
x
tiende a
∞
,
y
tiende a
-
∞
.
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
FILADD.COM
Funciones exp y log.pdf
browser_emoji Estamos procesando este archivo...
browser_emoji Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
. . . . .