1
SIMETRÍA
Transformación geométrica que tiene una figura en el plano o un cuerpo en el espacio que
hace permanecer invariante la figura o cuerpo original.
Transformaciones simétricas: Clasificación
Simetría traslatoria, rotatoria y afín
Traslación: Queda definida por un vector que indica en que
dirección se traslada y cuanto se traslada.
Simetría Axial o reflexión: Dos puntos P y P´ son
simétricos respecto a una recta ¨r¨ llamada eje de simetría.
Si se encuentran sobre un mismo plano perpendicular a
dicha recta y equidistan de la misma.
Giro centro ¨o¨ y ángulo de giro ¨α¨: Es la
transformación que a todo punto P le hace corresponder
otro punto P´, tal que OP = OP´ y el angulo POP´ = α
Giro positivo, rotación antihoraria
Giro negativo, rotación horaria
Simetría central equivale a una rotación 180º
2
NUMERO DE ORO
El número de oro corresponde matemáticamente a la división de un segmento en media y
extrema razón. En efecto sea el segmento AB que se quiere dividir mediante un punto C en
dos partes de manera que:
AB = AC
AC CB
AC = a
CB = b
a+b
=
a
a b
1+ b = a
a b
Esta igualdad se puede escribir,
indicando con x = a como:
b
1+1= x
x
De donde resulta:
x
2
= 1+x
Esta ecuación de segundo grado en x,
tiene como solución positiva el siguiente
valor que no es mas que el numero de oro Ф.
x = 1 + √5 = 1,618...
2
Ф = 1,618...
Defina a partir de un segmento de 8 cm. el
número de oro:
AB = 1 + √5
AC 2
8 = 1,618
AC
AC = 4,94 cm
3
Sección Áurea
Un rectángulo es áureo, si sus lados están en la relación 1:Ф (número de oro). Un rectángulo
áureo puede dividirse en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo menor. Si se agrega al
lado mayor de un rectángulo áureo un cuadrado de la do igual al prpio lado mayor, se vuelve
a obtener un rectángulo áureo.
Obtención de un rectángulo áureo:
A partir de un cuadrado de lados = b; marcamos el punto medio de un lado. Unimos ese
punto con un vértice opuesto. Tomamos la medida de ese segmento y la trasladamos hacia el
lado donde marcamos el punto medio.
El rectángulo áureo tiene base a y altura b y se cumple:
a = Ф
b
Ejemplo:
A partir de un cuadrado de 12 cm. de lado, hallar gráficamente un rectángulo áureo. Hallar las
dimensiones, el perímetro y el área de dicho rectángulo. Comprobar que el rectángulo que
queda adosado al cuadrado original cumpla la relación Ф.
a= 19,42 cm
b= 12 cm
b= 12 cm
c
4
Despejo a:
a = 1 + √5 ➔ a= 1 + √5 . b ➔ a= 1 + √5 . 12cm ➔ a= 19,42 cm.
b 2 2 2
Calculo c:
c= a-b
c= 19,42-12
c= 7,42 cm.
Comprobar que el rectángulo que queda adosado al cuadrado original también es áureo:
c= 7,42 cm.
Ф = 1 + √5 = 1,618
2
Si el rectángulo es áureo debe cumplirse:
b = Ф ➔ 12
=
1.618
c 7.42
Ejemplos de utilización en la arquitectura:
Le Corbusier ideó un sistema proporcional al que llamó “Modulor” (derivado del modulo,
unidad de medida y de la sección áurea) que consiste en dos sucesiones de Fibonacci
interrelacionadas, la serie roja y la serie azul. La dimensión básica de la serie roja es 183 cm.,
la altura ideal del hombre, y la de la serie azul, 226 cm., la altura del hombre con el brazo
levantado. A partir de los dos términos consecutivos, es posible hallar toda al serie roja, y los
términos de la serie azul se obtienen duplicando los correspondientes de la serie roja. Le
Corbusier usó su modulor en numerosos proyectos: la Sede de las Naciones Unidas en Nueva
York y en la Unidad de vivienda del Boulevard Michelet en Marsella, entre otros.
5
GRAFOS
Teoría gráfica que permite hallar relaciones y morfologías de diferentes cuerpos y formas.
Se llama grafo a una terna compuesta de tres elementos:
G = (V , A , φ)
Siendo:
V = Vértices
A = Aristas/Arcos
φ = Relaciona las aristas y los arcos con vértices.
El grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él.
Un vértice se dice aislado si su grado es nulo y pendiente si su grado es 1.
Dos o más aristas se llaman múltiples si tienen por extremos los mismos vértices.
Un lazo es una arista cuyos dos extremos coinciden en un vértice.
Dos aristas de un grafo se dicen adyacentes porque tienen un vértice en común
Tipos de grafos
Grafo vacío
: Es todo grafo que no posee aristas, aunque pueda contener vértices.
Grafo sencillo
: Es todo grafo que no tiene ni lazos ni aristas múltiples.
Grafo k – regular
: Es en el que todos los vértices tiene igual grado k.
Grafo completo de n vértices
: Es todo grafo sencillo en el que todo par de vértices determina
una arista. Todos sus vértices tienen grado n –1 y el número de aristas es n n-1
2
Grafo complemento de G (C
G
)
: Es el que tiene los mismos vértices que G y cuyas aristas no
pertenecen a G.
Subgrafo
: (cualquier parte de un grafo) Es cuando los vértices y las aristas están incluidos en
los vértices y las aristas de G. Pueden tomarse respecto de un vértice (se anula el vértice y
todas las aristas que en el inciden) o bien respecto de una arista (se anula la arista).
Elementos tangibles y reales
6
GRAFO ISOMORFO
Un grafo es isomorfo a otro si mantiene la misma cantidad de vértices, de aristas, y la misma
relación aunque la forma sea distinta. Las relaciones entre vértices y aristas son iguales en los
dos grafos. El grafo 2 es isomorfo al 1
Conceptos Orientados
• Vértices: Puntos que representan los elementos del conjunto V.
• Arcos: Líneas orientadas que unen pares de vértices y representan los elementos del
conjunto A.
• Extremos inicial y extremos final de un arco: Vértice del que parte un arco y vértice al
que llega.
• Camino: Sucesión de arcos adyacentes tales que el extremo final de uno coincide con el
extremo inicial del siguiente.
• Longitud: Numero de arcos del camino.
• Circuito: Camino en el que el vértice inicial coincide con el final.
• Lazo: Circuito de longitud 1.
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Conceptos no orientados
• Arista: Existe una arista entre dos vértices x e y distintos del grafo si existe un arco que
va de x a y o de y a x.
• Cadena: Sucesión de aristas adyacentes.
• Ciclo: Cadena finita en la que el vértice inicial coincide con el final.
GRAFO
DIGRAFO
Aristas
Arcos
Cadena
Camino
Ciclo
Circuito
Lazo
Bucle
Conexo o disconexo: hay uno o mas
elementos aislados
Conexo o disconexo
---
Fuertemente conexo: tienen que ser
conexos; se tiene que poder ir a cualquier
vértice desde todos los vértices (En cada
vértice tiene que salir y llegar una flecha)
Grafos dirigidos o dígrafos
Un dígrafo es un grafo cuyas aristas tienen un sentido u orientación determinado. En este
caso, las aristas se denominen arcos. El arco (ab) esta dado por un par ordenado: a es el
vértice inicial y b es el vértice final.
Un grafo es conexo si entre dos vértices cualquiera existe una cadena.
Es no conexo cuando tiene partes separadas.
Una componente fuertemente conexa es una parte del dígrafo que sea fuertemente conexa.
8
RECORRIDOS:
Euleriano general: Aquel recorrido que partiendo de un vértice cualquiera recorro todas las
aristas del grafo una sola vez sin repetir y sin levantar el lápiz de manera que si parto de un
vértice debo volver al mismo vértice. Todos los vértices tienen que ser de grado par.
Euleriano restringido: Partiendo de un vértice impar termino en otro impar pero recorro
una sola vez las aristas. Tiene que tener un solo par de vértices impares.
Hamiltoniano: Partiendo de un vértice se recorre todos los vértices una sola vez (no es
necesario pasar por todas las aristas)
General: se vuelve al mismo vértice del que se partió.
Restringido: se llega a otro vértice.
Grafos Planos
Un grafo es plano si existe un grafo isomorfo que puede dibujarse en el plano de modo que
las aristas solo se crucen en los vértices solamente.
Un grafo es no plano cuando no existe un isomorfo que pueda dibujarse en el plano sin que
sus aristas se crucen.
9
Teorema de Kuratowski
La condición necesaria para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K
3,3
ni del tipo K
5.
Siendo estos los grafos no planos que definen toda una familia de subgrafos no
planos. Solo vértices de grado mayor o igual que 4 son candidatos para el K
5
, y solo vértices
de grado mayor o igual que 3 son candidatos para el K
3,3
.
Grafos poligonales
Todo grafo conexo plano que es reunión de ciclos, tal que existe un ciclo mínimo y otro
máximo dividiendo al grafo en zonas poligonales. El interior de cada ciclo se llama CARA. La
parte infinita exterior que rodea al grafo es una cara, la cara del infinito que tiene como ciclo
limitante el ciclo máximo del grafo.
En todo grafo poligonal se cuenta no solamente el numero de vértices V y el de aristas A, si no
también el de caras C, incluida la cara del infinito.
Un grafo poligonal es
regular
si a cada vértice concurren igual número de aristas. Un grafo es
completamente regular si es regular y además cada cara tiene el mismo número de aristas
limitantes.
10
Si se consideran los 5 poliedros regulares (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro)
se puede comprobar que, entre el numero C de caras y el numero V de vértices y el numero A
de aristas, vale la formula de Euler:
C + V = A + 2
La formula de Euler es también valida en cualquier grafo poligonal.
Grafos duales
Sea G un grafo plano y conexo, si se construye un grafo G´
• A cada cara de G le corresponderá un vértice de G´
• A cada vértice de G le corresponderá una cara de G´
• A cada arista de G le corresponderá una arista de G´
• Dos vértices de G´ están unidos por una arista si las caras correspondientes de G
tienen una arista en común. Entonces G´ es el grafo dual de G
Dado un grafo plano y conexo G, si se construye su grafo dual G´ y luego el dual G´´ de G´ ,
G Y G ´´ son isomorfos.
Grafo p – coloreado
: Son grafos de V vértices y p subconjuntos de pares no ordenados de
elementos de V, determinados por otras tantas aplicaciones φ. Un grafo p – coloreado posee
aristas de p clases distintas que se colorean en forma diferente.
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Mosaicos regulares
Es un tipo especial de recubrimiento del plano. Los diferentes tipos de mosaicos se obtienen
siguiendo un principio general de repetición de un modulo en dos direcciones, con condiciones
restrictivas de acoplamiento y regularidad. Se toman polígonos regulares del mismo tipo como
módulo con la condición de que los vértices se toquen con otros vértices. No puede haber
huecos ni superposiciones. La arista de un modulo tiene que ser coincidente con la arista del
otro. La sumatoria de los ángulos que concurren de los vértices tiene que ser 360°.
Cada ángulo interior del polígono mide:
(n - 2) . 180°
n
FÓRMULA
360° = n° entero
(n - 2). 180°
n
Siendo
n= número de aristas del polígono.
Como este numero debe ser entero, para n > 2, n tiene que ser igual a 3 , 4 o 6. Esto significa
que plano puede recubrirse totalmente con mosaicos triangulares, cuadrados y hexagonales.
Cada uno de estos mosaicos es un grafo poligonal, también se puede cubrir el plano con
cualquier grafo isomorfo a los anteriores.
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Coloración de grafos
Cuatro colores bastan para cualquier mapa poligonal.
Cuatro colores son la mínima cantidad de colores necesarios para colorearlo de forma tal que
las zonas de frontera común tengan colores diferentes.
El problema de los 4 colores: El mapa geográfico puede considerarse como un grafo donde los
vértices son los puntos en que se unen 3 o mas líneas, y las aristas líneas que constituyen la
frontera de cada territorio. Como los mapas posibles son muy numerosos es preciso emplear la
teoría general de grafos en la cual dado un mapa cualquiera, hallar la mínima cantidad de
colores necesarios para colorearlo de forma tal que las zonas con frontera común tengan
colores diferentes.
FINAL simetria y grafos.doc
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