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GEOMETRÍA
Recta y plano:
Vectores
Un vector es un segmento orientado, que tiene un origen y un extremo, es decir, hay un orden
entre ellos. Un vector se define por tres elementos:
• Dirección: Dada por la recta que lo contiene.
• Sentido: Fija el orden en que hayamos elegido los puntos extremos.
• Modulo: longitud del segmento.
Versor: es un vector de modulo uno (i ; j ; k) i = (1;0;0) j = (0;1;0) k = (0;0;1)
Componentes del vector:
• Proyecciones del vector sobre los ejes. (x;y;z). Es equivalente representar un punto por
sus coordenadas o por su vector posición.
Teniendo: A = (a
x
;a
y
;a
z
) y B = (b
x
;b
y
;b
z
)
• Diferencia de vectores: R = (Rx;Ry,Rz)
(a
x
- b
x;
a
y
- b
y;
a
z
- b
z
)
• Sumatoria de vectores: A + B = (a
x
+ b
x
; a
y
+ b
y
; a
z
+ b
z
)
• Multiplicar por un numero real:
k. A = (ka
x
; ka
y
; ka
z
)
Módulo de un vector |A|= √ x
a
² + y
a
²
+ z
a
²
Distancia entre 2 puntos: d
ab
= √ (x
a
– x
b
)² + (y
a
– y
b
) ²+ (z
a
– z
b
)²
Cosenos directores del vector
A = (a
X
; a
Y
; a
Z
)
cos α = Xa
|a|
cos β = Ya
|a|
cos γ = Za
|a|
2
cos α
2
+ cos β
2
+ cos γ
2
= 1
Producto Escalar
Sean los vectores: a = (a
X
; a
Y
; a
Z
) y b = (b
X
; b
Y
; b
Z
) se define el productor escalar como:
Donde θ es el ángulo formado por los vectores a y b
El producto escalar da como resultado un
numero
que se interpreta como el producto de la
longitud de uno de los vectores por la proyección del otro sobre el.
El producto escalar cumple las siguientes propiedades:
1. Propiedad conmutativa: a . b = b . a
2. Propiedad distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c
Ejemplo:
u = 2i – j – k v = 3i + 2j + 8k w = -4y +2j – 2k
(u + v) . w
Dos vectores con paralelos si:
Ax
=
Ay
=
Az
By By Bz
Dos vectores son perpendiculares si:
A . B = 0
Ecuación de la recta en el espacio
Ecuación vectorial
(X;Y;Z)= (x
0
;y
0
;z
0
) + t (a;b;c)
(x
0
;y
0
;z
0
)
un punto por el que pasa la recta
(a;b;c)
el vector director de la recta
t
es un parámetro
a . b = |a| . |b| . cos θ
A // B
A | B
3
Ecuación paramétrica:
X = x
0
+ t.a
Y = y
0
+ t.b
Z = z
0
+ t.c
Por eliminación del parámetro t se obtiene la:
Ecuación simétrica:
Paralelismo y perpendicularidad entre rectas:
Condición de paralelismo: Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelo, es
decir, iguales o proporcionales.
Condición de Perpendicularidad: Dos rectas con perpendiculares si el producto escalar de los
vectores asociados es 0.
Si, no son paralelas ni perpendiculares, pueden ser:
Alabeadas:
Dos rectas son alabeadas cuando no tiene ningún punto en común.
Intersección entre 2 rectas:
X = x
1
+ t
1
.r
1
Y = y
1
+ t
1
.r
1
Z = z
1
+ t
1
.r
1
X = x
2
+ t
2
.r
2
Y = y
2
+ t
2
.r
2
Z = z
2
+ t
2
.r
2
x – x
0
=
y – y
0
=
z – z
0
a b
c
x
1
+ t
1
.r
1
= x
2
+ t
2
.r
2
y
1
+ t
1
.r
1
= y
2
+ t
2
.r
2
t
1
?
t
2
?
Verificación:
z
1
+ t
1
.r
1
= z
2
+ t
2
.r
2
= se cortan = no se cortan (alabeadas)
4
Plano
Ecuación general o cartesiana:
a.x +b.y + c.z + D =0
Siendo:
(a,b,c) el vector normal al plano
Ecuación segmentaria:
X + Y + Z
=
1
A B C
Siendo:
A, B, C la intersección con los ejes coordenados
Ejemplo:
Dado el plano π de ecuación: x + 2y + 2z - 6 = 0. Hacer un grafico aproximado que
muestre su posición en el espacio.
x + 2y + 2z - 6 = 0
x + 2y + 2z = 6
x + 2y + 2z = 6
6 6 6 6
x + y + z = 1
6 3 3
Intersección de planos
Sea el plano Ax + By + Cz + D = 0, sus intersecciones con cada uno de los planos coordenados
son las llamadas trazas del plano. Sus ecuaciones están dadas por la solución de los sistemas
formados por las ecuaciones del plano y las ecuaciones de cada plano coordenado.
• Traza sobre plano (x ; y) = Ax + By + D = 0 ; z = 0
• Traza sobre plano (x ; z) = Ax + Cz + D = 0 ; y = 0
• Traza sobre plano (y ; z) = By + Cz + D = 0 ; x = 0
x
y
z
6
3
3
x
y
z
A
B
C
n = (a;b;c)
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Intersección de un plano con los planos coordenados: Trazas (da una recta)
Intersección con el plano (X;Y) para Z=0
Ax + By = D
Intersección con el plano (X;Z) para Y=0
Ax + Cy = D
Intersección con el plano (X;Y) para Z=0
By + Cz = D
Intersección de un plano con los ejes coordenados: (da 1 punto)
Intersección con X ➔ Y=Z=0
Ax = D
X= D/A ➔ (D/A;0;0)
Intersección con Y ➔ X=Z=0
By = D
Y= D/B ➔ (0;D/B;0)
Intersección con Z ➔ X=Y=0
Cz = D
Z= D/C ➔ (0;0;D/C)
Paralelismo y perpendicularidad entre planos:
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.
π1 // π2 si: A
1
= B
1
= C
1
A
2
B
2
C
2
n = (a
1
;b
1
;c
1
)
n = (a
2
;b
2
;c
2
)
6
Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es igual a
cero.
Donde A, B, C son las coordenadas del vector normal.
Paralelismo y perpendicularidad entre planos y rectas:
Condición de paralelismo:
Para que el plano sea paralelo a la recta,
el vector director de la recta y el vector normal
al plano tienen que ser perpendiculares, o sea
el producto escalar entre ellos tiene que ser 0:
v.n = 0
Condición de perpendicularidad:
Para que el plano sea perpendicular a la recta,
el vector director de la recta tiene que ser paralelo
al vector normal del plano, o sea tienen que ser
iguales o proporcionales
r
n = (a;b;c)
π
v = (v
1
;v
2
;v
3
)
r
n = (a;b;c)
π
v = (v
1
;v
2
;v
3
)
π1 | π2 si: A
1
. A
2
+ B
1.
B
2 +
C
1.
C
2
= 0
Ax + By + Cz + D = 0
FINAL simetria y grafos.doc
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