Volver a Matemática I
FINAL MATEMATICA
Final Marzo ’09 Para aprobar es necesario tener 50 puntos.
1) Defina mosaicos regulares. Qué polígonos permiten el recubrimiento y por qué.
De un ejemplo en donde a partir de un módulo y aplicando adición y sustracción de áreas se
pueda cubrir el plano. Explique el problema de coloración de grafos.
(15 puntos)
2) Definir superficie de revolución. Explicar el concepto mediante una ecuación del
“hiperboloide de dos hojas”. Mostrar un ejemplo numérico, sus secciones planas y las
secciones “familia de curvas”, los valores X,Y ó Z=K. Mostrar un caso de aplicación al diseño
(30 puntos).
3) Defina y explique conceptualmente el problema de hallar el centro de gravedad de una
figura plana en el siguiente ejemplo: Área limitada por la curva
Y= -X
2
+ 2X y la recta Y= 0,5X. (30 puntos) [ variante: Y= -X
2
+ 2X y el eje X]
4) En una caja que contiene varios elementos diferentes: mostrar mediante un ejemplo
numérico las reglas de cálculo de probabilidad para sucesos compatibles e incompatibles; para
sucesos independientes y condicionales. Explicar el concepto intuitivo de la probabilidad. (25
puntos)
Final Dic. ’08 Para aprobar es necesario tener 50 puntos.
1) Grafo poligonal. Construir un grafo a partir de un polígono de 9 caras. Verificar la formula
de Euler. (Hasta 15 puntos)
2) Definición de parábola. ejemplificar. Aplicación al diseño. (Hasta 30 puntos)
3) Explicar máximos y mínimos en materia de optimización. Dar un ejemplo donde se busque
minimizar el costo. (Hasta 30 puntos)
4) Definición de variable aleatoria. Dar un ejemplo y calcular la esperanza matemática y el
desvío estándar. (hasta 25 puntos).
Final Dic’ 09 Para aprobar es necesario tener 55 puntos.
1) Indicar como se muestra que un Grafo Plano tiene Recorrido Euleriano General y
Restringido. Condiciones para que un grafo sea plano, justificar la respuesta indicando cuántos
grafos son no planos. Dar ejemplo para cada caso. (15 puntos máximo)
2) Definir superficies cilíndricas. Definir mediante una ecuación el cilindro parabólico. Dar un
ejemplo numérico dibujando aproximadamente la superficie y sus trazas. (30 puntos máximo)
3) Concepto de función creciente y decreciente en un intervalo determinado. Explicar el
porque del uso de las derivadas para su determinación. Mostrar un ejemplo numérico de la
determinación de los puntos de inflexión a partir de la determinación de la concavidad de la
función en un intervalo determinado.(30 puntos máximo)
4) Defina probabilidad como concepto intuitivo y como frecuencia (ejemplifique). Enuncie los
axiomas (ejemplifique). Indique mediante un ejemplo de cálculo de probabilidad la diferencia
entre sucesos condicionados e independientes. (25 puntos máximo).
Final Julio 2010.
Tema 1:
1) Defina proporción áurea desde punto de vista matemático y Geométrico, partiendo desde
un cubo de 5 cm de base. Forma numérica y gráfica. Ambas. (15 puntos)
2) Paralelismo y perpendicularidad entre rectas, planos, y rectas y planos. Cálculo ángulo entre
recta y plano. Mostrar todo con ejemplos numéricos. (30 puntos)
3) Mostrar y explicar el uso de integrales para centro de gravedad en figura plana. Dar
ejemplo numérico. Explicar simplificación de un rectángulo (30 puntos)
4) Defina variable aleatoria. Dar un ejemplo concreto y mostrar como es el cálculo de una
probabilidad variable aleatoria continua. Esperanza matemática discreta.
Tema 2:
Ídem Tema 1.
2) Definición de superficie de revolución. Mostrar definición, ejemplo concreto, dar ecuaciones
y clasificación de otros de igual característica (30 puntos)
3) Mostrar y explicar el uso de derivadas en problemas de optimización. Ejemplo de mínimo
costo de un objeto geométrico. (30 puntos)
4) Cálculo de probabilidad. Como se clasifican los sucesos, explicar las reglas para cálculos de
probabilidad con ejemplo concreto. Fundamentar teóricamente. Probabilidad condicional (25
puntos).
Grafos y simetría:
1) Defina simetría. Explique cada transformación con un ejemplo gráfico. Defina a partir de un
segmento de 4 cm. el número de oro.
2) Simetría. Tipos con ejemplos, gráficos. Hacer la composición de un giro con una simetría
axial. Defina número de oro y sección áurea, de ejemplos de utilización en la arquitectura.
3) Deduzca el número de oro y construya un rectángulo áureo.
4) Como reconoce un grafo poligonal? Defina y explique condiciones de un grafo poligonal.
Realice un ejemplo en el que a partir de un poliedro se construya su grafo asociado y verifique
la fórmula de Euler.
[variantes: grafo puede ser plano?, qué es plano?]
5) Defina dígrafo. Cuando es conexo, y fuertemente conexo. Ejemplifique
6) Grafos no dirigidos: caracterizarlos, dar ejemplos ¿Qué es recorrido Euleriano y
Hamiltoniano? ¿Qué condiciones debe cumplir un grafo para ser Euleriano? Dar ejemplos.
Geometría:
Recta y plano:
1) Defina producto escalar. De sus propiedades. De un ejemplo para su aplicación.
2) Defina las ecuaciones de la recta en el espacio. De las condiciones para que sean: paralelas,
alabeadas, perpendiculares. Ejemplifique.
3) Defina plano. De las condiciones para que sean: paralelos, perpendiculares. Ejemplifique.
Cónicas:
4) Definir Hipérbola como conjunto de puntos en un plano, demostrar esta definición en un
ejemplo numérico de una hipérbola desplazada de eje vertical(mostrar su ecuación, las
coordenadas de los focos) Mostrar un caso de aplicación al diseño. [variante: dar ejemplo de
una parábola de eje Y]
5) Definir Parábola como conjunto de puntos en un plano, demostrar esta definición en un
ejemplo numérico de una parábola desplazada de eje horizontal (mostrar su ecuación, las
coordenadas de los focos y vértices, excentricidad) Mostrar un caso de aplicación al diseño.
6) Defina elipse como lugar geométrico. Escriba la ecuación en el caso de centro (0;0) y en el
caso de centro desplazado. Grafique y ubique las coordenadas del foco ¿Qué es la
excentricidad, qué valores puede tomar? Grafique distintos tipos de elipses y excentricidades.
7) Qué es la excentricidad. De ejemplos.
Cuádricas
8) Qué son las cuádricas? Hiperboloide de dos hojas, de su ecuación y trazas, haga un dibujo
aproximado y explique si puede ser de revolución y reglado.
9) Escriba las ecuaciones de los distintos paraboloides que conozca, graficando cada uno de
ellos. Determine las secciones planas y las intersecciones con los ejes coordenados en cada
caso. Analice si pueden ser de rotación.
10) Dada la siguiente cuádrica: X
2
+ Y
2
+ Z
2
- 2X+ 2Y- 4Z =3. Identifíquela. Determine las
secciones planas y las intersecciones con los ejes coordenados en cada caso. Analice si puede
ser de rotación o reglada. De ejemplos.
11) Defina cono cuádrico. Ejemplifique. Determine las secciones planas y las intersecciones
con los ejes coordenados en cada caso. Grafique. De un ejemplo relacionado con el diseño
industrial.
12) Deduzca la fórmula para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Ejemplifique.
13) Hiperboloide de dos hojas, trazas, intersección con los ejes. Gráfico.
Derivadas:
1) Concepto de derivadas y concepto de recta tangente y normal. Explicarlo a partir de una
ecuación.
2) Defina máximo y mínimo como concepto de optimización a partir de un ejemplo que busque
minimizar el costo. [variante: maximizar]
3) Definir máximos y mínimos. Ejemplo numérico con la ecuación x
3
– 3x. Gráfico.
4) Funciones: definición de la derivada. Explique en la función: 2x² - 8x – 4 en el punto x=4.
De en ella el concepto de tangente y normal con su expresión.
Integrales:
1) Qué es una integral? qué son los límites que la definen. Ejemplo.
2) Cómo calcular un área cuando la función cambia de signo dentro del intervalo. Y= X
2
3) Área de una figura plana. Desarrollar con ejemplos.
4) Dar las fórmulas para encontrar en centro de gravedad en una lámina homogénea. Explique
conceptualmente cómo se llega.
5) Defina momentos y centro de gravedad de un sistema d puntos materiales sobre una recta.
6) Defina momentos y centro de gravedad de una línea,una superficie y un volumen.
7) Defina momentos de inercia en placas planas.
8) Explicar trabajo con fuerza variable. Ley de Hook.
Probabilidad y Estadística
1) Defina probabilidad ¿Cuáles son sus axiomas? Explique el caso de los sucesos que no son
mutuamente excluyentes. Dar un ej. de este últimos caso y resolverlo.
2) Defina variable aleatoria. Realice un ejemplo numérico. Cálculo de esperanza matemática y
desvío estándar.
3) Hacer una serie de frecuencias donde n sea 100 con intervalos de 20 cada uno y
empezando en 20. definir media, mediana, varianza.
4) Explicar media, mediana y varianza. Resuélvalo a partir de un ejemplo de 5 intervalos de
amplitud 10 comenzando en (…)
5) Defina distribución normal. Ejemplifique.
6) en una secuencia de 0,1,2 y 3., determinar desvío estándar y mediana. Definir esperanza
matemática.
7) Concepto de valor medio y varianza, modo, desvío estándar en una serie de frecuencias.
Explique cómo se calculan. Realice un ejemplo numérico.
[variante]: Plantee un ejemplo de una serie de frecuencias determinando el valor medio y la
varianza. Considere 5 intervalos de clase. Realice un histograma.
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