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INTEGRALES
Aplicación física de las integrales:
TRABAJO MECÁNICO
Dada una fuerza constante, el trabajo será T = F. S (siendo S la distancia a la que se ha
desplazado el objeto).
Sin embargo, siendo F una fuerza no constante, se utilizara la integral definida para resolver el
trabajo en distintos intervalos; obteniendo el trabajo total al sumar dichos intervalos.
T =
a
∫
b
f(x) dx
Trabajo aplicado a resorte
Ejemplo de trabajo efectuado por una fuerza variable: estiramiento o compresión de un
resorte:
Ley de Hook:
la fuerza F requerida para alargar o comprimir un resorte es proporcional a la
longitud del estiramiento o compresión X del resorte:
F (x) = k. x
Siendo:
k = constante del resorte.
X= longitud
F= fuerza elástica
Si el resorte se estira desde un cierto punto a hasta un punto b:
T =
a
∫
b
k x dx = k
a
∫
b
x dx = k x²
b
= k (b²- a²)
2
a
2
F
a b
Dx
S
T = F. S
S = b-a
2
Aplicaciones geométricas de las integrales:
ÁREA
(Techo menos piso)
Regla de Barrow: Sea F (x) una primitiva de f (x):
a
∫
b
f(x) dx = F(b) – F(a)
VOLÚMEN DE REVOLUCIÓN
Defina y explique conceptualmente el problema de hallar el centro de gravedad de una figura
plana en el siguiente ejemplo: Área limitada por la curva Y= -X
2
+ 2X y la recta
Y= 0,5X. [ variante: Y= -X
2
+ 2X y el eje X]
Ejemplo: Calcular el área limitada por las curvas:
1. Y = 2x ; y = 0 x = 2
2. y = x
3
– 6x
2
+ 8x ; y=0
Ejemplo 2 = Calcular el volumen de revolución.
1. y = 2x
2
desde x = 0 hasta x = 5
2. x
2
+ y
2
= 4 desde x = -r hasta x = r
A=
a
∫
b
[g(x) – f(x)] dx
3
Aplicaciones físicas de las integrales:
MOMENTOS Y CENTRO DE GRAVEDAD
Momentos y centro de gravedad de un sistema de puntos materiales sobre una recta:
MOMENTOS:
DE 1er. ORDEN O MOMENTO ESTÁTICO: Respecto del origen o, suma de los productos de las
abscisas (x
1
, x
2
,x
N
) por las masas correspondientes.
M
O
(1)
= ∑ m
i
.x
i
DE SEGUNDO ORDEN O INERCIA: Respecto del origen o, suma de lso productos de las masas
por los cuadrados de las distancias al origen. Es una magnitud positiva.
M
o
(2)
= ∑ m
i
.x
i
²
MOMENTO POLAR:
M
O
(2)
= M
x
(2)
+ M
y
(2)
Si se desplaza el origen de coordenadas a un punto G sobre la recta de manera que el
momento estático con respecto a ese nuevo punto se anule y siendo x
G
la abscisa:
Centro de gravedad o punto baricentro o punto G
Baricentro G para un sistema de puntos materiales:
x
G
= M
(1)
m
t
Momentos y centro de gravedad de un sistema de puntos materiales sobre un plano.
MOMENTO DE PRIMER ORDEN:
Respecto del eje de las x:
M
x
(1)
= ∑ m
i
.y
i
Respecto del eje de las y:
M
y
(1)
= ∑ m
i
.x
i
m
2
m
1
m
3
x
2
0 x
1
x
3
4
LOS MOMENTOS DE INERCIA SON:
M
x
(2)
= ∑ y
i
2
.m
i
/ M
y
(2)
= ∑ x
i
2
.m
i
Baricentro G
x
G
= M
y
(1)
m
t
x
G
= M
x
(1)
m
t
Momentos y centro de gravedad de superficies y volúmenes.
Centro de gravedad de una superficie (lamina homogénea):
Teniendo una figura plana delimitada por la curva AB [ y = f (x) ] y el eje de las abscisas,
entonces el momento estático es:
M
x
(1)
= k
a
∫
b
xy dx M
y
(1)
= k
a
∫
b
y
2
dx
Teniendo en cuenta que las masa total M
T
de la figura es M
T
= k . A , siendo k la densidad y A
el área de la figura plana:
A =
a
∫
b
y dx
Baricentro G para un área plana entre curvas:
x
G
=
a
∫
b
x [f(x)-g(x)] dx
A
y
G
=
a
∫
b
[f²(x)-g²(x)] dx
2.A
Baricentro G para área entre curva y eje de abscisas
x
G
=
a
∫
b
x f(x) dx y
G
=
a
∫
b
f²(x) dx
Area 2.Area
Centro de gravedad de un sólido de revolución
Solamente se puede obtener el centro de gravedad de un sólido de revolución, mediante una
integral definida, ya que por razones de simetría el centro de gravedad estará ubicado sobre el
eje en que ha girado el arco de curva plana que forma el sólido.
Sólido generado por la rotación de la curva y= f(x) alrededor del eje de las x. Sobre el eje x
(y=0; z=0) la única coordenada será X
G
5
x
G
= π
a
∫
b
x.y
2
dx
V
Donde V es el volumen del cuerpo de
revolución:
V
= π
a
∫
b
y
2
dx
Momento de Inercia de Placas Planas
Placas planas: el espesor es despreciable.
Teorema de Steiner:
el momento de inercia respecto de un eje no baricéntrico es igual al
momento de inercia del eje baricéntrico paralelo más el producto entre la masa y el cuadrado
de la distancia entre ejes.
Este teorema se utiliza cuando el momento de inercia no tiene su centro en el eje en cuestión,
y se encuentra separado a una distancia d.
M
y
= b
3
.h + b.h (dy)²
12
M
x
= b.h
3
+ b.h (dx)²
12
Momento de Inercia de una superficie según su ubicación en el plano.
1. Cuerpo Rectangular apoyado sobre el eje:
M
XX
(2)
= b . h
3
M
yy
(2)
= h . b
3
3 3
2. Cuerpo Rectangular, el eje pasa por el centro:
M
XX´
(2)
= b . h
3
M
yy´
(2)
= h . b
3
12 12
3. Cuerpo Rectangular, el eje separado del cuerpo:
M
xx
(2)
= M
(2)
+ A.d
2
1
3
2
2
y
2
14 eje baricéntrico
2
x
10
FINAL simetria y grafos.doc
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