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DERIVADAS
Definición:
La derivada de un función y= f (x) en un punto x
o
de su dominio, indicada por f´(x),
es un numero real que mide la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la
función.
Dada una función la recta tangente a la función en el punto (X
o
; f
(x0)
)
y-y
0
= f’x
0
.(x-x
0
)
Recta normal a la tangente en el mismo punto:
y-y
0
= -1 .(x-x
0
)
f’x
0
Ejemplo:
Definición de la derivada. Explique en la función: 2x² - 8x – 4 en el punto x=4. De en ella el
concepto de tangente y normal con su expresión.
Hallar la recta tangente a la función
F(x)= 4 - x²
en el punto P= (1;3).
Derivo la función:
F’(x)= -2x
Y= -2x+b
3= -2.1 + b
b=5
Recta tg → y= -2x+5
para hallar la recta normal a la tangente:
m
tg
=2
m
rn
=1/2
y=1/2 x + c
3=1/2.1 + c
c= 5/2
Recta normal → y=1/2 x + 5/2
Recta tangente
2
Funciones crecientes y decrecientes
• F(x) es creciente en un intervalo (a , b) si f (x
1
) < f (x
2
) y su derivada resulta f´(x) > 0
• F(x) es decreciente en un intervalo (a , b) si f (x
1
) > f (x
2
) y su derivada resulta f´(x)<0
Concavidad de las funciones
La función f(x) en un intervalo (A,B) será cóncava hacia abajo si la derivada de la función en ese
intervalo es creciente. Si la derivada segunda de la función es positiva (para todo x en el
intervalo) la derivada de la función es creciente y por lo tanto la función es cóncava.
Si f ’’ (x)= + ; f’(x) es creciente; f(x) es cóncava hacia arriba
Si f ’’ (x)= - ; f’(x) es decreciente; f(x) es cóncava hacia abajo
Si f ’’ (x)= 0 ; no es cóncava, hay que ver que pasa a izquierda o derecha
Punto de inflexión: cambio de concavidad de la función
1ero: f ’’(x)=0
2do: realizar análisis de concavidad a izquierda y derecha.
Máximos y mínimos de un función
Hallar extremos relativos: pueden ser máximos o mínimos
MÁXIMO RELATIVO: punto de coordenadas (X
0
;f
(x0)
) si en torno a ese punto en un intervalo
acotado no existe otro punto mayor a ese.
Máximo absoluto: el máximo de los máximos relativos
MÍNIMO RELATIVO: punto de coordenadas (X
0
;f
(x0)
) si en torno a ese punto en un intervalo
acotado no existe otro punto menor a ese.
Determinación de máximos y mínimos:
Criterio de la primera derivada: dada una función f(x) hallar la derivada e igualarla a cero para
determinar los puntos críticos
Criterio de la segunda derivada: se halla f ’’(x) y se reemplaza los valores x,y críticos
f ’’ (x,y) > 0 ➔ mínimo relativo en (xy, f(xy))
f ’’ (x,y) < 0 ➔ máximo relativo en (xy, f(xy))
f ’’ (x,y) = 0 ➔ no puede dar 0.
Ejemplo numérico con la ecuación x
3
– 3x. Gráfico.
A B
A B
3
OPTIMIZACIÓN
Definición:
Método para determinar los valores de las variables que hacen mínimo o máximo el
rendimiento de un proceso o sistema.
MAXIMIZAR (problema)
Se desea cercar una superficie rectangular con una pared en uno de sus costados y se dispone
de 100 m. de alambre para cerco. Determinar el área máxima que se puede abarcar con esta
cantidad de alambre.
Sea “x” el ancho e metros de la superficie a cercar e “y” su longitud, de modo que y=100-2x
El área total está dada por:
A(x)= x.y = x(100-2x)
A(x)= 100x -2x
2
Derivo la función A(x)
A’(x)= 100-4x
Para buscar el valor de x que maximize la función, igualo a cero para hallar los puntos críticos
A’(x)=0
100 – 4x =0
x=25
Para verificar que en x=25 existe un máximo, hallo la derivada segunda:
A’’ (25) < 0 → A’’ (x)= -4
Como da negativo, es un máximo.
Ahora reemplazo lo que averigüé: x=25 en la ecuación original para averiguar el valor de y
A(x)= 100x -2x
2
y=100-2x
A(x)= 100.25 -2.(25)
2
y=100-2.25
A(x)= 2500 - 1250 y=50
A(x)= 1250
Área total= 1250 m. y=50 ; x=25
Pared
y = 100-2x
4
MINIMIZAR (problema)
Dimensionar una lata cilíndrica de 1 litro de contenido de manera que el costo de la misma sea
mínimo (utilizando la mínima cantidad de material posible).
Volumen= 1 L = ᴨr².h → despejo h → h= 1
ᴨr²
Superficie total= 2ᴨr² + 2ᴨrh
Reemplazo h: S(r)= 2ᴨr
ᴨr²
S(r)= 2ᴨr² + 2 Función a minimizar
r
Derivo: Derivada segunda:
S’(r)= 4ᴨr- 2 S’’(r)= 4ᴨ + 4
r² r
3
4ᴨr- 2 =0 da positivo, es un mínimo
r²
hallamos h
4ᴨr= 2 h= 1 = 2r
r² ᴨ(1/2ᴨ)3/2
r
3
= 2 h= 2r
4ᴨ
r= √1 ᴨ
2
La altura siempre es igual al diámetro
h
2ᴨr
ᴨr²
ᴨr²
h
5
Derivadas
Aplicaciones físicas: (velocidades)
Ejemplo: Desde una plataforma ubicada a 20 m de altura se arroja un proyectil verticalmente y
hacia arriba, con una velocidad inicial de 50 m/seg. Si la ecuación horaria del mismo es
s(t) = 20 + 50t + 5t
2
Calcular. La velocidad del proyectil en el instante t = 2.
Si se deriva la ecuación se tiene la velocidad instantánea.
S´(t) = 50 - 10t
S´(2) = 50 - 10 . 2 = 50 – 20 = 30 m/seg
FINAL simetria y grafos.doc
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