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SUPERFICIES
• CILÍNDRICAS
• CUÁDRICAS
Regladas: Se puede construir mediante rectas. Se llama superficie reglada a la
superficie que cumple con la condición de que por cada una de sus puntos pasa al
menos una recta, llamada generatriz rectilínea, que tiene en común con la superficie
un segmento que contiene dicho punto.
Revolución: Se llama superficie de revolución a la superficie que se obtiene rotando
una curva plana en torno a un eje. Se dice que la curva genera la superficie. Al
seccionar la superficie con un plano, da una circunferencia.
Teniendo una curva generatriz (C) definida sobre el plano (y,z) y siendo z el eje de
revolución, un punto cualquiera P
O
describirá una circunferencia de centro M y de radio
MP
O
= MP (siendo P un punto de la superficie de revolución).
Teniendo la ecuación de la curva F (y,z) = 0 entonces tenemos que
y = √ x
2
+ y
2
de modo que la ecuación de la superficie de revolución será:
f (x; √ x
2
+ y
2
;z) = 0
Ejemplo:
x
2
+ 4z
2
= 16 gira en el eje x
Entonces:
z = √ z
2
+ y
2
Reemplazando esta ecuación en la original tengo:
x
2
+ 4(√ z
2
+ y
2
)
2
= 16
x
2
+ 4y
2
+ 4z
2
= 16
Regladas y/o de revolución
O ninguna
2
CILÍNDRICAS
Una superficie es cilíndrica cuando está conformada por el conjunto de todos los puntos que
son generados por una recta móvil llamada generatriz que se traslada y recorre de forma
paralela una curva fija llamada directriz.
ESFERA: Rotación de una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros. Conjunto de
puntos que equidistan de un punto dado C= (x;y;z)
FÓRMULA:
(x-x
0
)² + (y-y
0
)² + (z-z
0
)² = r²
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Para z=0
Es una circunferencia: (x – x
O
)
2
+ (y – y
O
)
2
= r
2
La traza sobre el plano (x;z)
Para y=0
Es una circunferencia: (x – x
O
)
2
+ (z – z
O
)
2
= r
2
La traza sobre el plano (yz)
Para x=0
Es una circunferencia: (y – y
O
)
2
+ (z – z
O
)
2
= r
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0 (+x;0;0)
Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;+y;0)
Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;+z)
3
CUADRICAS
Definición: Son superficies en el espacio, generadas por curvas cónicas. Pueden ser regladas
o de revolución.
ELIPSOIDE
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
a
2
b
2
c
2
(todos cuadrados sumados)
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
Es una elipse: x
2
+ y
2
= 1
a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Es una elipse: x
2
+ z
2
= 1
a
2
c
2
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x=0
Es una elipse: y
2
+ z
2
= 1
b
2
c
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)
Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)
Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)
Para que exista intersección la distancia entre elipse y elipse debe ser mayor o igual que
cero.
Como caso particular los elipsoides pueden ser de revolución. Si lo fueran alrededor del eje y,
los semiejes a y c serian iguales, ya que la traza con el plano (x;z) seria una circunferencia.
Ecuación:
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
a
2
b
2
a
2
Si tuviera los tres semiejes iguales (a=b=c), la ecuación seria:
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
a
2
b
2
c
2
a = c = b
O sea: x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
entonces seria una esfera de r = a
4
HIPERBOLOIDES
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA:
Siendo a, b, c positivos se define:
x
2
+ y
2
- z
2
= 1 Ecuación
a
2
b
2
c
2
(el eje es el negativo)
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
Es un elipse (las dos variables son positivas): x
2
+ y
2
= 1
a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Es una hipérbola (variable de distinto signo): x
2
- z
2
= 1
a
2
c
2
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x = 0
Es una hipérbola (variables de distinto signos): y
2
- z
2
= 1
b
2
c
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)
Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)
Intersección eje z: No hay intersección.
El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada pero cuando a = b, el hiperboloide será
de revolución alrededor del eje z y su ecuación será:
x
2
+ y
2
- z
2
= 1
a
2
a
2
c
2
(hoja: signo negativo; hip. de una hoja, un solo miembro con signo negativo)
HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN DE UNA HOJA
5
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:
- x
2
- y
2
+ z
2
= 1
a
2
b
2
c
2
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
No existe esta traza. - x
2
- y
2
= 1 (algo negativo menos algo no puede dar +)
a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Es una hipérbola: - x
2
+ z
2
= 1
a
2
c
2
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x=0
Es una hipérbola: - y
2
+ z
2
= 1
b
2
c
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: No existe
Intersección eje y: No existe
Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)
Si z=c
x
2
+ y
2
- 1 = -1 ➔ x
2
+ y
2
=0 ➔ es un punto (0;0;c) y (0;0;-c)
a
2
b
2
a
2
b
2
Si |z|>c
|Z| = k → |k| >c
x
2
+ y
2
= k² - 1
a
2
b
2
c²
En el caso en que a = b el hiperboloide es de revolución alrededor del eje z
- x
2
- y
2
+ z
2
= 1
a
2
a
2
c
2
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN DE DOS HOJAS
(Familia de circunferencias, no elipses)
Familia de elipses
6
Son elipses: - x
2
- y
2
= 1
a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Son hipérbolas: - x
2
+ z
2
= 1
a
2
c
2
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x=0
Son hipérbolas: - y
2
+ z
2
= 1
b
2
c
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: No existe
Intersección eje y: No existe
Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)
PARABOLOIDES
PARABOLOIDE ELÍPTICO:
x
2
+ y
2
= c.z
a
2
b
2
siendo c>0
(el eje es el que no esta al ²)
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
Es un punto (origen): x
2
+ y
2
= 0
a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Es una parábola: x
2
= c.z
a
2
La traza sobre el plano (yz)
Plano de ecuación x=0
Es una parábola: y
2
= c.z
b
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0)
Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0)
Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)
En el caso en que a = b, el paraboloide será de revolución alrededor del eje z:
7
x
2
+ y
2
= z
a
2
a
2
c
Las trazas con planos z=k son elipses de ecuación: x² + y² = k (familia de elipses)
a² b² c
y para que existan tendrá que ser: k >0 ➔ k>0 , debido a que c>0.
c
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO:
- x
2
+ y
2
= c.z
a
2
b
2
siendo c>0
(el eje es el término positivo²)
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
Son dos rectas (asintotas): -x
2
+ y
2
= 0
(se distribuye) a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Es una parábola de eje z: -x
2
= c.z
a
2
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x=0
Es una parábola de eje z: y
2
= c.z
b
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0
Intersección eje y: x = 0 z = 0
Intersección eje z: x = 0 y = 0
Z=k ➔ y² - x²=k ➔ Familia de hipérbolas
b² a² c
El paraboloide hiperbólico no puede ser de revolución, ya que ninguna de sus secciones
planas es elíptica, pero es una superficie reglada, pues por cada uno de sus puntos pasa un
generatriz que es asíntota del sistema de hipérbolas.
PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN
(no es reglado)
8
CONO CUÁDRICO:
Superficie reglada
. Curva engendrada por la rotación de un recta
(generatriz) alrededor de un eje de simetría, describiendo una circunferencia (curva directriz)
y manteniéndose siempre pasante por un puntos fijo del eje (vértice del cono)
x
2
+ y
2
= z
2
a
2
b
2
c
2
(el eje es el que está del otro lado)
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
Es un punto, centro= (0;0;0) x
2
+ y
2
= 0
a
2
b
2
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Son dos rectas que pasan por el origen:
x
2
= z
2
se distribuye ➔ (x + z). (x - z) = 0
a
2
c
2
a c a c
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x=0
Son dos rectas que pasan por el origen:
y
2
= z
2
se distribuye ➔ (y + z). (y - z) = 0)
b
2
c
2
b c b c
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0
Intersección eje y: x = 0 z = 0
Intersección eje z: x = 0 y = 0
CILINDROS CUÁDRICOS
La superficie engendrada por una elipse, hipérbola o parábola que se mueve paralelamente a
si misma, manteniendo centro o vértice sobre una recta perpendicular a su plano es un
cilindro.
Si son de generatrices paralelas al eje z, perpendiculares al plano (x;y) tiene ecuaciones para
cualquier valor de z.
9
CILINDRO ELÍPTICO
x
2
+ y
2
= 1
a
2
b
2
TRAZAS
La traza sobre el plano (x;y)
Para z=0
Es una
elipse
: x
2
+ y
2
= 1
a
2
b
2
La traza sobre el plano (xz)
Para y=0
Son
dos rectas:
x
2
= 1
a
2
La traza sobre el plano (yz)
Para x=0
Son
dos rectas:
y
2
= 1
b
2
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0
Intersección eje y: x = 0 z = 0
Intersección eje z: No existe
CILINDRO PARABÓLICO:
x
2
= 2pz ó y
2
= 2px
TRAZA
La traza sobre el plano (x;y)
Plano de ecuación z=0
Es el eje Y (apoyan todas las parábolas)
La traza sobre el plano (x;z)
Plano de ecuación y=0
Es una parábola
La traza sobre el plano (y;z)
Plano de ecuación x=0
Es el eje y.
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: x = 0
Intersección eje y: y = 0
Intersección eje z: z = 0
10
CILINDRO HIPERBÓLICO:
x
2
- y
2
= 1
a
2
b
2
TRAZAS
La traza sobre el plano (xy)
Plano de ecuación z=0
Es una hipérbola: x
2
- y
2
= 1
a
2
b
2
La traza sobre el plano (xz)
Plano de ecuación y=0
Es un punto. x
2
= 1
a
2
La traza sobre el plano (yz)
Plano de ecuación x=0
No existe
Intersección con los ejes coordenados
Intersección eje x: y = 0 z = 0
Intersección eje y: No existe
Intersección eje z: No existe
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