Estructuras 1 Catedra Arq. GLORIA DIEZ
DIMENSIONADO
A SOLICITACIÓN
AXIL
COMPRESIÓN
Estructuras 1 Catedra Arq. GLORIA DIEZ
DIMENSIONADO DE ELEMENTOS LINEALES SIMPLES A SOLICITACIÓN AXIL
Llamamos esfuerzo axil o axial a los esfuerzos normales, es decir aquellos que se originan
por fuerzas que actúan en planos perpendiculares a la sección. Son los esfuerzos de
tracción y compresión
COMPRESION
PUNTAL - COLUMNA
Cuando hablamos de compresión, en elementos poco esbeltos,
(piezas cortas), si la tensión de trabajo es superior a la tensión
ajustada del material, se produce la falla
f
t
(KN/cm
2
) = N (KN) . > F´c (KN/cm
2
)
ф . A (cm
2
)
En el caso de un elemento solicitado a compresión - PUNTAL o COLUMNA- si se trata de
elementos largos y esbeltos, la sección ya no puede adoptar cualquier forma, como en el caso
de la tracción, porque en TODO elemento que trabaje a la compresión puede aparecer el
fenómeno de PANDEO.
lp
“r mín”: radio de giro
= kl -
r min
r = I -
A
N
El PANDEO (inestabilidad del equilibrio elástico)
es un fenómeno de flexión lateral que está en
relación directa con la ESBELTÉZ de la pieza.
La esbeltez es la relación que existe entre la
longitud o luz y el lado mínimo del elemento
estructural considerado, y se indica con la letra
griega “lambda”
A
El PANDEO (inestabilidad del equilibrio elástico)
es un fenómeno de flexión lateral que está en
relación directa con la ESBELTÉZ de la pieza.
La esbeltez es la relación que existe entre la
longitud o luz y el lado mínimo del elemento
estructural considerado, y se indica con la letra
griega “lambda”
El PANDEO (inestabilidad del equilibrio elástico)
es un fenómeno de flexión lateral que está en
relación directa con la ESBELTÉZ de la pieza.
La esbeltez es la relación que existe entre la
longitud o luz y el lado mínimo del elemento
estructural considerado, y se indica con la letra
griega “lambda”
El PANDEO (inestabilidad del equilibrio elástico)
es un fenómeno de flexión lateral que está en
relación directa con la ESBELTÉZ de la pieza.
La esbeltez es la relación que existe entre la
longitud o luz y el lado mínimo del elemento
estructural considerado, y se indica con la letra
griega “lambda”
El CIRSOC establece que en
barras comprimidas la esbeltez
(kl/ r) será menor o igual que 200.
Estructuras 1 Catedra Arq. GLORIA DIEZ
Es por este motivo que al adoptar la “forma” de la sección, se recurre en muchos casos a la
utilización de secciones compuestas, ya que el valor de “r mín “ depende de la Inercia de la
misma.
Este fenómeno fue estudiado por el matemático suizo Leonard Euler, quien determinó la
expresión de la carga crítica de pandeo Pcr, que de ser superada la pieza sufriría
deformaciones crecientes hasta llegar al colapso.
La longitud efectiva de una columna se denomina kl, donde k es el factor de longitud
efectiva. K es un número por el que se debe multiplicar la longitud de la columna para obtener
la longitud efectiva de la columna. El valor de k depende de la restricción rotacional en los
extremos de la columna y a su resistencia al movimiento lateral.
El valor de k se tomará como la distancia entre los puntos de inflexión de la elástica, donde el
momento de flexión vale cero.
El concepto de longitud efectiva es un artificio matemático para reemplazar una columna
con cualquier condición en sus extremos por una columna equivalente con sus extremos
articulados, a fin de aplicar la ecuación de Euler.
Pcr = ¶
2
. E . Imín
kl
2
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Se define la Esbeltez de una pieza λ como una magnitud adimensional igual al cociente
entre su longitud y el radio de giro de la sección.
Formula λ = Kl r
2
= Ix
r A
Se define como Tensión crìtica de Euler a la tensión nominal de compresión que existe en
un elemento estructural cuando se alcanza la carga crítica de Euler.
Fcr = Pcr = π
2
. E .
Existen valores de carga en columnas para los que la estructura se deforma de manera
excesiva, mucho mas que lo que correspondería para dichas cargas en el rango lineal, y al
producirse estas deformaciones excesivas se anula la capacidad de la estructura para
soportar las fuerzas exteriores provocando su colapso, todo ello sin que se supere el límite
elástico del material.
Estos valores de carga se denominan carga crítica de Pandeo o colapso. Se dice que la
estructura es inestable para dicho valor de carga, pues experimenta un crecimiento sin límite
de las deformaciones, aun sin un aumento de las cargas exteriores.
Al menor de los valores críticos de la carga axial se la denomina Carga crítica de Euler “Pcr”
Cuando la carga axial coincide con este valor se produce el colapso de la columna por pandeo
lateral: la columna abandona su configuración recta y aparecen deformaciones de flexión.
Cuando la carga P < Pcr el equilibrio es estable
P = Pcr es indiferente
P > Pcr el equilibrio es inestable, se produce el colapso por
deformación lateral excesiva – PANDEO
Podemos utilizar también piezas compuestas; que estarán
formadas por dos o más perfiles o cordones longitudinales
enlazados entre sí. Los elementos de enlace pueden ser
presillas, que son chapas o perfiles resistentes a flexión y unidas
rígidamente por piezas simples.
El número de tramos en que se divide la pieza compuesta será
igual o mayor que tres. Siempre que sea posible la longitud l1
de cada uno de los tramos será constante a lo largo de toda la
pieza.
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A λ
2
Esta expresión indica cual es la tensión de compresión máxima que puede existir en la pieza
justo antes de producirse el pandeo. Se observa que depende de la inversa de la esbeltez de
la pieza, pero no de la resistencia del material, sino únicamente de su módulo de elasticidad.
Representa por lo tanto un límite superior a la tensión nominal de compresión admisible, límite
que no puede aumentarse mejorando la resistencia del material.
Cp: Factor de estabilidad lateral del miembro comprimido
DIMENSIONADO A COMPRESION
Para dimensionar un puntal, debemos primero determinar el material, en este caso acero, que
nos permite conocer su Resistencia (Fy), y la carga actuante mayorada (Nu – para
compresión)
La resistencia de diseño considerando el pandeo en barras comprimida se determina
mediante la siguiente expresión:
cr . Pn
siendo :
Pn la resistencia nominal Pn = Fcr. A
El factor de resistencia o coeficiente de minoración ф depende del material que se esté
utilizando y del tipo de solicitación.
Para Compresión фcr = 0,85 para acero
фcr = 0,85 para madera
Con este factor, se intenta tomar en cuenta las incertidumbres relativas a resistencia de los
materiales, dimensiones y mano de obra, etc.
DIMENSIONADO EN ACERO
De la expresión
Despejamos
A (cm
2
) Compresión = + Nu .
ф . Fcr
Fcr es la tensión critica, menor que la fluencia Fy reducida, por seguridad frente al efecto de
pandeo.
Esta tensión es igual a la de fluencia, cuando λ = 1 Fcr = 23,5 KN/cm
2
фcr x A (cm
2
) x F’t o Fy ≥ Nu (KN)
Fcr = Cp X Fy
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Cuando λ tiene el valor máximo por Reglamento λ = 200 Fcr = 4,33 KN/cm
2
; Fcr
tiene su valor minimo
Siendo Cp, el factor reductor por pandeo, que depende de λc, y por ende de la esbeltez λ
A fin de facilitar el cálculo, están tabulados los valores de λc , Cp y el producto de ф. Fcr
DIMENSIONADO EN MADERA
Para el dimensionado en madera, tomamos en cuenta las mismas expresiones, que para el
acero, pero con algunas consideraciones, que refieren a la variación de algunas
propiedades afectadas por el entorno.
Se aplica entonces Factores de corrección
• K
F
Factor de conversión de formato
• CD Factor de duración de la carga
• C
M
Factor de condición de servicio
• C
t
Factor de temperatura
• C
F
Factor de tamaño
• Cr Factor de distribución lateral de cargas
De modo que la Resistencia ajustada F’c se obtiene multiplicando la tensión de diseño a
compresión // a las fibras, por todos los factores de ajuste excepto Cp
F’c = Fc x K
F
x ф x factores de ajuste, excepto Cp
Cp es el Factor de estabilidad del miembro comprimido, que se aplica cuando
consideramos el riesgo de pandeo
En las tablas (TABLAS DIMENSIONADO - Tensiones de diseño madera - acero) que
acompañan la clase de Tracción se pueden obtener los valores de Cp y el producto ф. Fcr
(la tensión critica Fcr por el coeficiente de reducción ф)
EJEMPLO de DIMENSIONADO
Para dimensionar necesitamos conocer:
N
u
(carga axil última en) (KN)
material elegido (KN/cm
2
) acero - F
y
forma de la sección
PASOS a seguir para DIMENSIONAR
1. Determinación de la carga ultima
2. Determinación de la luz de cálculo
3. Adoptamos la esbeltez
Fcr = F’c x Cp
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4. Determinación del radio de giro mínimo
5. Determinación la sección
6. Determinación del radio de giro y lambda real
7. Verificación de la resistencia
8. Determinación del grado de aprovechamiento de la sección
EJEMPLO Nº 1
Dimensionar un puntal materializado con un perfil de acero, de sección U, (UPN) que debe
soportar una carga de 140 KN, con una altura de 3,20 m y condición de vínculo empotrado-
articulado
DATOS DEL MATERIAL
•
La tensión del acero F´ es la tensión de fluencia F
Y
=23,5 KN/cm
2
▪ Coeficiente de minoración de tracción para acero φ = 0,9
▪ Módulo de elasticidad del acero E =20.000 KN/cm
2
1 KN
≅ 100 kg
1. DETERMINACION DE LA CARGA ULTIMA
Nu = 1,4 D
= 1,4 x 140 KN = 196 KN
2. DETERMINACION DE LA LUZ DE CALCULO
k empotrado-articulado = 0,7
k.l = 0,7 x 320 cm = 224 cm
3. ADOPTAMOS LA ESBELTEZ
Se adopta la esbeltez, que para acero es de 100 a 120, de acuerdo al Reglamento
En este caso adoptamos λ = 120 para obtener una sección menor
4. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO MINIMO
Con la esbeltez podemos determinar el radio de giro
r
min
= kl . = 224 cm = 1,87 cm
λadop 120
5. DETERMINACIÓN LA SECCIÓN
Con este valor de radio de giro podemos entrar en tabla y determinamos que el perfil a
adoptar es UPN Nº 16
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Ag (cm
2
) = 24 cm
2
ry (cm) = 1,89 cm
rx (cm) = 6,21 cm
Ix cm
4
) = 925 cm
4
Iy cm
4
) = 85,3 cm
4
6. CÁLCULO DEL RADIO DE GIRO Y λ REAL
= kl . = 224 cm = 118.52
r
min
1,89 cm
De la tabla Tensiones de diseño para piezas comprimidas de acero Fy= 23,5 KN/cm
2
7. VERIFICACIÓN DE LA RESISTENCIA
φ .Fcr. A ≥ Nu
9,86 KN/cm
2
x 24 cm
2
≥ 196 KN
236 KN ≥ 196 KN VERIFICA
8. DETERMINACIÓN DEL GRADO DE APROVECHAMIENTO DE LA SECCIÓN
+ Nu . = 196 KN . = 83%
ф . Fcr . Ag 9,86 KN/cm
2
x 24 cm
2
λ
λc
Cp
φ .Fcr
KN/cm
2
118
1,29
0,55
9,98
119
1,30
0,49
9,86
120
1,31
0,49
9,75
i
min
φ .Fcr = 9,86 KN/cm
2
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EJEMPLO Nº 2
Dimensionar un puntal a construirse en madera, pino Paraná, de sección rectangular,
(relación h = 1,3 b) que debe soportar una carga de 24,5 KN con una altura de 2,60 m y
condición de vínculo articulado-articulado
DATOS DEL MATERIAL
1 KN
≅ 100 kg
1. DETERMINACION DE LA CARGA ULTIMA
Nu = 1,4 D
= 1,4 x 24,5 KN = 34.3 KN
2. DETERMINACION DE LA LUZ DE CALCULO
K articulado-articulado = 1
k.l = 1 x 260 cm = 260 cm
3. ADOPTAMOS LA ESBELTEZ
Se adopta la esbeltez, que para madera es de 50 a 70, de acuerdo al Reglamento
En este caso adoptamos λ = 70
4. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO MINIMO
Con la esbeltez podemos determinar el radio de giro
r
min
= kl . = 260 cm = 3.71 cm
λadop 70
•
La tensión de la madera, pino Parana, clase 2,
a compresión // a las fibras F´c = 1,21 KN/cm
2
▪ el coeficiente de minoración de compresión para madera
φcr = 0,85
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5. DETERMINACION DE ÁREA NECESARIA
r
2
= I . A = I .
A r
2
De acuerdo a lo visto en el Tema de características Geométricas de la Sección, para
sección rectangular
SECCIÓN RECTANGULAR
h
r
y
= 0,3.b b = r
y
= 3,71 cm = 12,37
≅ b = 12,5 cm
b 0,3 0,3
h = 1,3 .b = 1,3. 14,5 cm = 18,85
≅ h = 20 cm
Con estas dimensiones necesarias podemos entrar en tabla (se incluyen tablas completas al
final del trabajo) y determinamos las dimensiones reales de la sección a adoptar.
Como la madera se comercializa en pulgadas, y debe ser cepillada, adoptamos una sección
por encima de la mínima calculada 5′ x 8′, o sea es 12,5cm x 20 cm
A = b x h = 12,5 cm x 20 cm = 250 cm
2
6. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO REAL
Iy = h . b
3
= 20 . 1953.12 = 3255,21 cm
4
r
y
= 3255.21 cm
4
= 3,61 cm
12 12 250 cm
2
7. DETERMINACION DE LAMBDA
λ = K l = 260 cm = 72.02 cm
r
min
3,61 cm
De la tabla Tensiones de diseño para piezas comprimidas de madera, pino Paraná
(Clase se Resistencia 2) F’c = 1,21 KN/cm
2
λ
Cp
φ .Fcr
KN/cm
2
72
0,77
0,84
73
0,76
0,83
74
0,75
0,82
r = I -
A
r
x
= Ix . = b.h
3
. = h . 0,3 . h
√ A √12.b.h 3,46
r
y
= Iy . = h.b
3
. = b . 0,3 . b
√ A √ 12.b.h 3,46
φ .Fcr = 0,83 KN/cm
2
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9. VERIFICACIÓN DE LA RESISTENCIA
φ .Fcr. A ≥ Nu
0,83 KN/cm
2
x 250 cm
2
≥ 34,3 KN
207.5 KN ≥ 34,3 KN VERFICA
10. DETERMINACIÓN DEL GRADO DE APROVECHAMIENTO DE LA SECCIÓN
+ Nu . = 34,3 KN . = 17 %
ф . Fcr . Ag 0,83 KN/cm
2
x 250 cm
2
Dado esta bajo aprovechamiento, redimensionamos, buscando una sección mas adecuada
Si al hacerlo reducimos el ancho “b” y verificaremos la sección, comprobaremos que,
aumenta el valor de la esbeltez λ, pero igual verifica
1. DETERMINACION DE ÁREA NECESARIA
Adoptamos una sección de 4′ x 5½′, o sea es 10 cm x 13.75 cm
A = b x h = 10 cm x 13.75 cm = 137.5 cm
2
2. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO REAL
Iy = h . b
3
= 13.75 . 1000 = 1145,83 cm
4
r
y
= 1145,83 cm
4
= 2.87 cm
12 12 137.5 cm
2
3. DETERMINACION DE LAMBDA
λ = K l = 260 cm = 90.59
r
min
2,87 cm
De la tabla Tensiones de diseño para piezas comprimidas de madera, pino Paraná
(Clase se Resistencia 2) F’c = 1,21 KN/cm
2
4. VERIFICACIÓN DE LA RESISTENCIA
λ
Cp
φ .Fcr KN/cm
2
91
0,61
0,67
92
0,60
0,66
93
0,60
0,65
φ .Fcr = 0,67 KN/cm
2
Estructuras 1 Catedra Arq. GLORIA DIEZ
φ .Fcr. A ≥ Nu
0,67 KN/cm
2
x 137.5 cm
2
≥ 34,3 KN
92.12 KN ≥ 34,3 KN VERFICA
5. DETERMINACIÓN DEL GRADO DE APROVECHAMIENTO DE LA SECCIÓN
+ Nu . = 34,3 KN . = 37%
ф . Fcr . Ag 0,67 KN/cm
2
x 137.5 cm
2
Si bien por Resistencia y aun considerando el riesgo de pandeo podriamos reducir mas la
seccion, dado que la madera es un material natural, y por tanto puede tener imperfecciones
en su conformacion, y ademas por razones constructivas, no utilizaremos secciones
menores.
EJEMPLO Nº 3
Dimensionar las barras según el siguiente esquema,
en madera de sección cuadrada, que debe soportar una carga de 15 KN
DATOS DEL MATERIAL
Primeramente debemos determinar los esfuerzos en
las barras, mediante descomposición gráfica o analítica.
Utilizaremos la forma gráfica para que quede claramente
evidenciado el esfuerzo.
Representamos la carga en escala, descomponemos en
las dos direcciones, resultando Fa una fuerza de tracción,
y Fb una fuerza de compresión, determinando su intensidad
según la escala utilizada.
Si lo hacemos analíticamente será:
Sen 30º = 0,50 = Cat op = 9 KN Hip = Fa = 9 KN = Fa = 18 KN
Hip Hip 0,50
Cos 30º = 0,866 = Cat Ady = Fb . Cat Ady = Fb = 0,866 x 18 KN = Fb = 15,6 KN
Hip 18 KN
Resulta entonces
Fa ≈ 18 KN - tracción
Fb ≈ 15,6 KN - compresión
9 KN
1,8 m
1,04
m
b
a
Fb
Fa
2,08m
•
La tensión de la madera, pino Parana, clase 2,
a tracción F’t = 1,36
a compresión // a las fibras F´c = 1,21 KN/cm
2
▪ El coeficiente de minoración de compresión para madera
φcr = 0,85
▪ El módulo de elasticidad de la madera E = 1.140 KN/cm
2
30º
30º
9 KN
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Dimensionamos la barra traccionada
1. DETERMINACION DE LA CARGA ULTIMA
Nu = 1,4 D
= 1,4 x 18 KN = 25,2 KN
2. DETERMINACION DE ÁREA NECESARIA
A (cm
2
) tracción = + Nu .
ф . F’t
El factor de resistencia o coeficiente de minoración ф, es 0,8 para madera
A (cm
2
) tracción = + 25,2 KN . = 23,12 cm
2
0,8 . 1,36 KN/cm
2
Como la sección es cuadrada determinamos el lado a = √ 23,12 cm
2
a = 4,81 cm
Como la madera se comercializa en pulgadas, y debe ser cepillada, adoptamos una sección
por encima de la mínima calculada 2½′ x 2½′ , o sea 6.25 cm x 6.25 cm
A = a
2
= 6.25 cm x 6.25 cm = 39.06 cm
2
3. VERIFICACION DE LA DEFORMACIÓN
Verificamos el Alargamiento
l = L . N . ≤ Δl
admisible
= 0,1% l
o
E . A
Δl
admisible
= 208 cm.x 0,1 = 0.21 cm
100
Para verificar la deformación a tracción, es decir el alargamiento, lo hacemos con la carga
real, sin mayorar, en este caso N = 18 KN
l = 208 cm. 18 KN . = 3744 cm = 0,08 cm < = 0.21 cm VERIFICA
1.140 KN/cm
2
. 39.06 cm
2
44528.4
Dimensionamos la barra comprimida
1. DETERMINACION DE LA CARGA ULTIMA
Nu = 1,4 D
= 1,4 x 15,6 KN = 21.84 KN
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2. DETERMINACION DE LA LUZ DE CALCULO
K articulado-articulado = 1
k.l = 1 x 180 cm = 180 cm
3. ADOPTAMOS LA ESBELTEZ
Se adopta la esbeltez, que para madera es de 50 a 70, de acuerdo al Reglamento
En este caso adoptamos λ = 70
4. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO MINIMO
Con la esbeltez podemos determinar el radio de giro
r
min
= kl . = 180 cm = 2.57 cm
λadop 70
5. DETERMINACION DE ÁREA NECESARIA
r
2
= I . A = I .
A r
2
De acuerdo a lo visto en el tema de características Geométricas de la Sección, para sección
cuadrada
SECCIÓN CUADRADA
a
r
x
= r
y
= 0,3.a a = r
x
= 2,57 cm = 8,57
0,3 0,3
Con estas dimensiones necesarias podemos entrar en tabla (se incluyen tablas completas
en la clase de dimensionado a tracción) y determinamos las dimensiones reales de la
sección a adoptar.
Como la madera se comercializa en pulgadas, y debe ser cepillada, adoptamos una sección
por encima de la mínima calculada 4′ x 4′, o sea es 10cm x 10cm
A = a
2
= (10 cm)
2
= 100 cm
2
6. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO REAL
Iy = a
4
= 10
4
. = 833,33 cm
4
r
y
= 833.33 cm
4
= 2,89 cm
12 12 100 cm
2
r = I -
A
r
x
= r
y
= Ix . = a
4
. = a . ≈ 0,3 . a
√ A √ 12. a
2
3,46
a
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7. DETERMINACION DE LAMBDA
λ = K l = 180 cm = 62.28 cm
r
min
2,89 cm
De la tabla Tensiones de diseño para piezas comprimidas de madera, pino parana
(Clase se Resistencia 2) F’c = 1,21 KN/cm
2
8. VERIFICACIÓN DE LA RESISTENCIA
φ .Fcr. A ≥ Nu
0,91 KN/cm
2
x 100 cm
2
≥ 21,84 KN
91 KN ≥ 21,84 KN VERFICA
9. DETERMINACIÓN DEL GRADO DE APROVECHAMIENTO DE LA SECCIÓN
+ Nu . = 21.84 KN . = 24 %
ф . Fcr . Ag 0,91 KN/cm
2
x 100 cm
2
Si quisieramos ajustar el calculo, dado el bajo aprovechamiento de la seccion, re-
dimensionamos
1. DETERMINACION DE ÁREA NECESARIA
Adoptamos una sección
de 3½′ x 3½′, o sea es 8,75 cm x 8.75 cm
A = b x h = 8.75 cm x 8.75 cm = 76.56 cm
2
2. DETERMINACION DEL RADIO DE GIRO REAL
Iy = .a
4
= 5861,62 = 488,47 cm
4
r
y
= 488,47 cm
4
= 2.53 cm
12 12 76.56 cm
2
3. DETERMINACION DE LAMBDA
λ = K l = 260 cm = 102.77
r
min
2,53 cm
λ
Cp
φ .Fcr KN/cm
2
62
0,84
0,92
63
0,83
0,91
64
0,83
0,90
φ .Fcr = 0,91 KN/cm
2
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