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ESTADISTICA
DATOS NO AGRUPADOS
a) -Resultados de un examen de coeficiente intelectual CI realizado a 20 alumnos al
azar de una universidad. Los datos obtenidos fueron los siguientes:
119, 109, 124, 119, 106, 112, 112, 112, 112, 109, 112, 124, 109, 109, 109, 106,
124, 112, 112,106
b) -Edades de 20 empleados de cierta cafetería muy popular:
24, 20, 22, 19, 18, 27, 25, 19, 27, 18, 21, 22, 23, 21, 19, 22, 27, 29, 23, 20
c) -El promedio de notas finales de 10 alumnos de una clase de Matemática:
3,2; 3,1; 2,4; 4,0; 3,5; 3,0; 3,5; 3,8; 4,2; 4,9
Ejercicio resuelto
Encontrar media, mediana, moda, rango, varianza, desviación estándar y sesgo
para los resultados de un examen de coeficiente intelectual realizado a 20 alumnos
de una universidad:
119, 109, 124, 119, 106, 112, 112, 112, 112, 109, 112, 124, 109, 109, 109, 106,
124, 112, 112, 106
Solución
Ordenaremos los datos, ya que será necesario para encontrar la mediana.
106, 106, 106, 109, 109, 109, 109, 109, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 119,
119, 124, 124, 124
Y los pondremos en una tabla como sigue, para facilitar los cálculos. La segunda columna
titulada “Acumulado” es la suma del dato correspondiente más el anterior.
Esta columna ayudará a encontrar fácilmente la media, dividiendo el último acumulado entre
el número total de datos, como se ve al final de la columna de “Acumulado”:
X = 112.9
La mediana es el promedio de los datos centrales resaltados en rojo: el número 10 y el
número 11. Como son iguales, la mediana es 112.
Por último, la moda es el valor que más se repite y es 112, con 7 repeticiones.
En cuanto a las medidas de dispersión, el rango es:
124-106 = 18.
La varianza se obtiene dividiendo el resultado final de la columna derecha entre n:
s = 668.6/20 = 33.42
En este caso, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza: √33.42 = 5.8.
Por su parte, los valores de la cuasivarianza y la cuasi desviación estándar son:
sc=668.6/19 = 35.2
Cuasi-desviación estándar = √35.2 = 5.9
Por último, el sesgo es ligeramente hacia la derecha, ya que la media 112.9 es mayor que la
mediana 112.
Ejemplo:
Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los
siguientes resultados:
negro
azul
amarillo
rojo
azul
azul
rojo
negro
amarillo
rojo
rojo
amarillo
amarillo
azul
rojo
negro
azul
rojo
negro
amarillo
Con los resultados obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
Solución:
En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la
frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa,
y finalmente la frecuencia relativa acumulada. Por ser el primer problema, no haremos
uso de las frecuencias porcentuales.
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
acumulada
Negro
4
4
0,20
0,20
5
9
0,25
0,45
5
14
0,25
0,70
6
20
0,30
1
20
1
Ejemplo:
En una tienda de autos, se registra la cantidad de autos Toyota vendidos en cada día
del mes de Setiembre.
0; 1; 2; 1; 2; 0; 3; 2; 4; 0; 4; 2; 1; 0; 3; 0; 0; 3; 4; 2; 0; 1; 1; 3; 0; 1; 2; 1; 2; 3
Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
Solución:
En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la
frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa,
y finalmente la frecuencia relativa acumulada. Ahora vamos a agregar la columna de
frecuencia porcentual, y frecuencia porcentual acumulada.
Autos
vendidos
Frecuenci
a absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frec.
relativa
acumulada
Frecuencia
porcentual
Frec.
porcentual
acumulada
0
8
8
0,267
0,267
26,7%
26,7%
1
7
15
0,233
0,500
23,3%
50,0%
z
ee2
7
22
0,233
0,733
23,3%
73,3%
3
5
27
0,167
0,900
16,7%
90,0%
4
3
30
0,100
1
10,0%
100%
Total
30
1
100%
Tablas de frecuencias con datos agrupados
Usamos las tablas de frecuencias con datos agrupados cuando la variable toma un gran
número de valores o es una variable continua. Para ello, se agrupan los diferentes
valores en intervalos de igual amplitud, a los cuáles llamamos clases.
Aparecen además algunos parámetros importantes:
Límites de clase: cada clase es un intervalo que va desde el límite inferior, hasta el
límite superior.
Marca de clase: es el punto medio de cada intervalo, y representa a la clase para el
cálculo de algunos parámetros.
Amplitud de clase: es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior.
Los pasos para elaborar una tabla de frecuencias con datos agrupados, son los
siguientes:
Hallar el rango(R): R = X
max
– X
min
Hallar el número de intervalos (K). Si el problema no indica cuántos intervalos usar,
se recomienda usar la regla de Sturgues: K = 1 + 3,322.log(n) ; siendo n el número
de datos.
Determinar la amplitud de clase (A): A = R/K
Hallar el límite inferior y superior de cada clase, así como las marcas de clase.
Colocar los valores hallados en las columnas de la tabla de frecuencias, con el
siguiente orden: clases (intervalos), marcas de clase, frecuencia absoluta, frecuencia
acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada. Además, se puede
colocar la frecuencia porcentual y la frecuencia porcentual acumulada.
Recuerda que los intervalos no deben superponerse, es decir, deben ser mutuamente
excluyentes.
Ejemplo:
Las notas de 35 alumnos en el examen final de estadística, calificado del 0 al 10, son
las siguientes:
0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10;
10.
Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias con 5 intervalos o clases.
Solución:
Hallamos el rango: R = X
max
– X
min
= 10 – 0 = 10.
El número de intervalos (k), me lo da el enunciado del problema: k = 5.
Calculamos la amplitud de clase: A = R/k = 10/5 = 2.
Ahora hallamos los límites inferiores y superiores de cada clase, y elaboramos la
tabla de frecuencias.
Intervalo
Marca
de clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frec. relativa
acumulada
[0 – 2)
1
8
8
0,229
0,229
[2 – 4)
3
7
15
0,200
0,429
[4 – 6)
5
8
23
0,229
0,658
[6 – 8)
7
6
29
0,171
0,829
[8 – 10]
9
6
35
0,171
1
Total
35
1
Ejemplo:
Un grupo de atletas se está preparando para una maratón siguiendo una dieta muy
estricta. A continuación, viene el peso en kilogramos que ha logrado bajar cada atleta
gracias a la dieta y ejercicios.
0,2
8,4
14,3
6,5
3,4
4,6
9,1
4,3
3,5
1,5
6,4
15,2
16,1
19,8
5,4
12,1
9,6
8,7
12,1
3,2
Elaborar una tabla de frecuencias con dichos valores.
Solución:
Hallamos el rango: R = X
max
– X
min
= 19,8 – 0,2 = 19,6.
El número de intervalos (k), lo calculamos usando la regla de Sturges: k = 1 +
3,322log(n) = 1 + 3,322.log(20) = 5,32. Podemos redondear el valor de k a 5
Calculamos la amplitud de clase: A = R/k = 19,6/5 = 3,92. Redondeamos a 4.
Ahora hallamos los límites inferiores y superiores de cada clase, y elaboramos la
tabla de frecuencias.
Intervalo
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frec. relativa
acumulada
[0 – 4)
2
5
5
0,25
0,25
[4 – 8)
6
5
10
0,25
0,50
[8 – 12)
10
4
14
0,20
0,70
[12 – 16)
14
4
18
0,20
0,90
[16 – 20]
18
2
20
0,10
1
Total
20
1
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