Ejercicios resueltos
Bolet´ın 4
Movimiento ondulatorio
Ejercicio 1
La nota musical la tiene una frecuencia, por convenio internacional de 440 Hz. Si en
el aire se propaga con una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula
su longitud de onda en esos medios.
Soluci´on 1
La frecuencia es una caracter´ıstica del centro emisor. Por tanto es la misma en todos
los medios.
λ
aire
=
v
aire
ν
=
340
400
= 0,773 m
λ
agua
=
v
agua
ν
=
1400
400
= 3,27 m
Ejercicio 2
La ecuaci´on de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es:
y(x, t) = 0,05 cos 2 π (4 t − 2 x)
1. Determina las magnitudes caracter´ısticas de la onda (amplitud, frecuencia angular,
n´umero de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagaci´on)
2. Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleraci´on transversal de un
elemento de la cuerda y sus valores m´aximos.
3. Determina los valores de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on de un punto situado
a 1 m del origen en el instante t = 3 s
Soluci´on 2
1. Operando en la expresi´on de la onda: y(x, t) = 0,05 cos(8 π t − 4 π x) y comparando
con la expresi´on general: y(x, t) = A cos(ω t − k x) se tiene que:
Amplitud: A = 0,05 m;
1
frecuencia angular: ω = 8 π rad/s;
n´umero de onda: k = 4 π rad/m;
longitud de onda: λ =
2 π
k
=
2 π
4 π
= 0,5 m;
frecuencia: ν =
ω
2 π
=
8 π
2 π
= 4 Hz;
periodo: T =
1
ν
=
1
4
= 0,25 s;
velocidad de propagaci´on: v = λ ν =
ω
k
= 0,5 · 4 =
8 π
4 π
= 2 m/s
2. Velocidad de vibraci´on:
v =
dy
dt
= −0,4 π sin 2 π (4 t − 2 x) m/s ⇒ v
m´ax
= 0,4 π m/s
Aceleraci´on de vibraci´on:
a =
dv
dt
= −3,2 π
2
cos 2 π (4 t − 2 x) m/s
2
⇒ a
m´ax
= 3,2 π
2
m/s
2
3. Para calcular la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on del punto considerado en el
instante indicado, basta sustituir sus valores en las ecuaciones generales correspon-
dientes.
y(x = 1, t = 3) = 0,05 cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0,05 m
El punto se encuentra en su m´axima separaci´on central y hacia la parte positiva.
v(x = 1, t = 3) = −0,4 π sin 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0 m/s
El punto est´a en un extremo de la vibraci´on y por ello su velocidad es igual a cero.
a(x = 1, t = 3) = −3,2 π
2
cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = −3,2 π
2
m/s
2
Al estar el punto en el extremo positivo de la vibraci´on, la aceleraci´on es m´axima y
de sentido negativo, se dirige hacia el centro de la oscilaci´on.
Ejercicio 3
Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de
3 cm. Si la perturbaci´on se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresi´on
que representa el movimiento por la cuerda.
2
Soluci´on 3
La frecuencia angular es: ω = 2 π ν = 4 π rad/s
El n´umero de onda es: k =
2 π
λ
=
2 π
v/ν
=
2 π
0,5/2
= 8 π m
−1
La expresi´on pedida es:
y = A cos(ω t − k x) = 0,03 cos(4 π t − 8 π x)
Operando:
y = 0,03 cos 4 π(t − 2 x)
Ejercicio 4
Un foco genera ondas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se
propagan por un medio con una velocidad de 250 m/s. Determina el periodo y la longitud
de onda de la perturbaci´on. Si en el instante inicial la elongaci´on de un punto situado a
3 m del foco es y = −2 mm, determina la elongaci´on de un punto situado a 2,75 m del
foco en el mismo instante.
Soluci´on 4
Periodo: T =
1
ν
=
1
250
= 4 · 10
−3
s; frecuencia angular: ω = 2 π ν = 500 π rad/s;
longitud de onda: λ =
v
ν
=
250
250
= 1 m; n´umero de onda: k =
2 π
λ
= 2 π m
−1
En este caso y como los datos de vibraci´on no son los del foco, debe introducirse una
fase inicial ϕ
0
que se determina con las condiciones de vibraci´on del punto x = 3 m.
y = A cos(ω t − k x + ϕ
0
) = 2 · 10
−3
cos(500 π t − 2 π x + ϕ
0
)
Operando:
y = 2 · 10
−3
cos[2 π(250 t − x) + ϕ
0
]
Sustituyendo los datos de vibraci´on del punto consideradom, resulta que:
y(x = 3, t = 0) = 2 · 10
−3
cos[2 π(250 · 0 − 3) + ϕ
0
] = −2 · 10
−3
m ⇒ cos(−6 π + ϕ
0
) = −1
Por lo que la fase inicial es: ϕ
0
= π rad
La ecuaci´on general de la onda es:
y = 2 · 10
−3
cos[2 π(250 t − x) + π]
La elongaci´on del punto x = 2,75 m en el instante pedido es:
y(x = 2,75, t = 0) = 2 · 10
−3
cos[2 π(250 · 0 − 2,75) + π] = 2 · 10
−3
cos(6,5 π) = 0 m
3
Ejercicio 5
En una cuerda el´astica se mueve una onda progresiva transversal sinusoidal. Determina
su ecuaci´on conociendo las elongaciones de cada part´ıcula de la cuerda en el instante t = 0 s
y la elongaci´on en funci´on del tiempo para el origen que ocupa la posici´on x = 0 m.
Soluci´on 5
De la gr´afica t = cte, se deducen los valores de la longitud de onda y de la amplitud.
λ = 10 cm = 0,1 m; A = 0,2 mm = 2 · 10
−4
m
De la gr´afica x = cte, se obtiene el valor del periodo: T = 2 · 10
−3
s;
De esta misma gr´afica se deduce que la elongaci´on del origen es cero en el instante
inicial, que la part´ıcula se dirige hacia elongaciones positivas y que la perturbaci´on avanza
en el sentido positivo del eje de abscisas. Si se elige para la descripci´on del movimiento la
funci´on seno, entonces la fase inicial, ϕ
0
, es igual a cero.
Por tanto la expresi´on que describe el movimiento es:
y(x, t) = A sin 2 π
t
T
−
x
λ
= 2 · 10
−4
sin 2 π
t
2 · 10
−3
−
x
0,1
!
m
Simplificando:
y(x, t) = 2 · 10
−4
sin 2 π(500 t − 10 x) m
Ejercicio 6
Una onda transversal de 1 cm de amplitud y 100 Hz de frecuencia se propaga a lo largo
del eje de abscisas con una velocidad de 20 m/s. Escribe la expresi´on de la elongaci´on,
velocidad y aceleraci´on de una part´ıcula situada a 10 cm del foco. ¿En qu´e instante alcanza
esa part´ıcula los valores m´aximos de las expresiones anteriores?
Soluci´on 6
Con los datos del ejercicio se determinan las magnitudes que caracterizan a la onda.
Amplitud: A = 0,01 m; frecuencia: ν = 100 Hz; periodo: T = 0,01 s; longitud de onda:
λ = 0,2 m; frecuencia angular: 200 π rad/s; n´umero de onda: k = 10 π rad/m.
Considerando que en el instante inicial el foco vibra con su m´axima amplitud, se tiene
que la expresi´on general de la onda es:
y(x, t) = A cos(ω t − k x) = 10
−2
cos(200 π t − 10 π x) = 10
−2
cos 2 π(100 t − 5 x) m
4
El tiempo que transcurre hasta que le llega la perturbaci´on a la posici´on x = 0,1 m es:
t =
x
v
=
0,1
20
= 5 · 10
−3
s
a)La expresi´on de la elongaci´on se determina sustituyendo la posici´on en la ecuaci´on
de la onda.
y(x = 0,1, t) = 10
−2
cos 2 π(100 t − 5 · 0,1) = 10
−2
cos 2 π(100 t − 0,5) s
que alcanza su m´aximo valor si:
cos 2 π(100 t − 0,5) = 1 ⇒ 2 π(100 t − 0,5) = 0 rad
lo que ocurre en el instante:
t = 5 · 10
−3
s
Tiempo que coincide con lo que tarda en llegar al punto la perturbaci´on procedente del
foco, ya que como el foco posee su m´axima elongaci´on en el instante inicial, esta misma
elongaci´on la adquiere el punto considerado en el mismo instante en que le llegue la onda.
b) La velocidad de vibraci´on se obtiene aplicando la definici´on de velocidad:
v(x = 0,1, t) =
dy
dt
= 10
−2
2 π 100 (− sin 2 π(100 t − 0,5)) = −2 π sin 2 π(100 t − 0,5) m/s
que alcanza su m´aximo valor si:
sin 2 π(100 t − 0,5) = −1 ⇒ 2 π(100 t − 0,5) =
3 π
2
rad
que sucede en el instante:
t = 1,25 · 10
−2
s
Este tiempo transcurrido es la suma de los 5 · 10
−3
s que tarda en llegar la perturbaci´on al
punto considerado y comenzar a vibrar con la m´axima amplitud, m´as los 7,5· 10
−3
s, 3T/4,
que emplea en llegar al centro de la oscilaci´on dirigi´endose hacia elongaciones positivas,
que es donde su velocidad es m´axima.
c) Aplicando la definici´on de aceleraci´on, se tiene que:
a(x = 0,1, t) =
dv
dt
= −2 π 2 π 100 cos 2 π(100 t − 0,5) = −400 π
2
cos 2 π(100 t − 0,5) m/s
2
que alcanza su m´aximo valor si:
cos 2 π(100 t − 0,5) = −1 ⇒ 2 π (100 t − 0,5) = π rad
lo que acontece en el instante:
t = 10
−2
s
Este tiempo es la suma de los 5 · 10
−3
s que tarda en llegar la perturbaci´on al punto
considerado y comenzar a vibrar con la m´axima amplitud, m´as otros 5 · 10
−3
s, T/2, que
emplea en llegar al otro extremo de la vibraci´on donde su aceleraci´on es de signo positivo.
5
Ejercicio 7
La ecuaci´on de una onda que se propaga transversalmente por una cuerda expresada
en unidades del S.I. es:
y(x, t) = 0,06 cos 2 π (4 t − 2 x)
1. Determina el periodo y la longitud de onda.
2. Calcula la diferencia de fase entre los estados de vibraci´on de una part´ıcula cual-
quiera de la cuerda en los instantes t = 0 s, t = 0,5 s y t = 0,625 s.
3. Representa gr´aficamente la forma que adopta la cuerda en los instantes anteriores.
4. Halla la diferencia de fase entre los estados de vibraci´on en un instante para las
part´ıculas situadas en las posiciones x = 0 m, x = 1 m y x = 1,25 m.
5. Representa gr´aficamente los movimientos vibratorios de las part´ıculas anteriores.
Soluci´on 7
1. El periodo y la longitud de onda se determinan comparando la expresi´on dada con
la general.
y(x, t) = A cos 2 π
t
T
−
x
λ
Por tanto: 4 =
1
T
⇒ T = 0,25 s; 2 =
1
λ
⇒ λ = 0,5 m.
2. Diferencia de fase para una part´ıcula entre los instantes t = 0 s y t = 0,5 s.
∆ϕ = ϕ(t = 0,5) − ϕ(t = 0) = 2 π (4 · 0,5 − 2 x) − 2 π (4 · 0 − 2 x) = 2 · 2 · π rad
Los instantes t = 0 s y t = 0,5 s est´an en fase, pues est´an separados en el tiempo
por un n´umero entero de periodos:
∆t = 0,5 − 0 = 2 · 0,25 s = 2 T
Diferencia de fase para una part´ıcula entre los instantes t = 0 s y t = 0,625 s.
∆ϕ = ϕ(t = 0,625)−ϕ(t = 0) = 2 π (4·0,625−2 x)−2 π (4·0−2 x) = 5 π = (2·2·π+π) rad
Los instantes est´an en oposici´on de fase pues la separaci´on en el tiempo es un
m´ultiplo impar de semiperiodos:
∆t = 0,625 − 0 = 2,5 · 0,25 s = 2 T +
T
2
3. Al fijar el tiempo, la ecuaci´on de onda indica la elongaci´on de cada punto de la
cuerda en ese instante. Para la representaci´on gr´afica, se determina la elongaci´on
6
del origen en los instantes pedidos y se tiene presente que la onda se repite a lo largo
del eje X cada λ = 0,5 m.
y(0, 0) = 0,06 cos 2 π(4 · 0 − 2 · 0) = 0,06 m
La elongaci´on es m´axima y positiva.
y(0, 0,5) = 0,06 cos 2 π(4 · 0,5 − 2 · 0) = 0,06 m
pues est´a en fase con el anterior.
y(0, 0,625) = 0,06 cos 2 π(4 · 0,625 − 2 · 0) = −0,06 m
en oposici´on de fase con los anteriores.
4. Diferencia de fase en un instante para las part´ıculas situadas en x = 0 m y x = 1 m.
∆ϕ = ϕ(x = 0) − ϕ(x = 1) = 2 π (4 t − 2 · 0) − 2 π (4 t − 2 · 1) = 2 · 2 π rad
Las dos posiciones est´an en fase pues est´an separadas por una distancia igual a un
m´ultiplo entero de longitudes de onda:
∆x = 1 − 0 = 2 · 0,5 m = 2 λ
Diferencia de fase en un instante para las posiciones x = 0 m y x = 1,25 m.
∆ϕ = ϕ(x = 0)−ϕ(x = 1,25) = 2 π (4 t−2·0)−2 π (4 t−2·1,25) = 5 π = (2·2·π+π) rad
Las dos posiciones est´an en oposici´on de fase pues est´an separadas por una distancia
igual a un m´ultiplo impar de semilongitudes de onda:
∆x = 1,25 − 0 = 2,5 · 0,5 m = 2 λ +
λ
2
5. Al fijar la posici´on, la ecuaci´on de onda indica la elongaci´on a lo largo del tiempo de
esa part´ıcula determinada, es decir, el movimiento vibratorio de la part´ıcula fijada.
Para la representaci´on gr´afica, se determina la elongaci´on en el instante inicial de las
7
part´ıculas y se tiene en cuenta que las vibraciones se repiten a lo largo del tiempo
con un periodo T = 0,25 s.
y(0, 0) = 0,06 cos 2 π(4 · 0 − 2 · 0) = 0,06 m
La elongaci´on es m´axima y positiva.
y(1, 0) = 0,06 cos 2 π(4 · 0 − 2 · 1) = 0,06 m
pues est´a en fase con el anterior.
y(1,25, 0) = 0,06 cos 2 π(4 · 0 − 2 · 1,25) = −0,06 m
est´a en oposici´on de fase con los anteriores.
Ejercicio 8
Un oscilador vibra con una frecuencia de 500 Hz y genera ondas que se propagan con
una velocidad de 350 m/s. Halla:
1. La separaci´on de dos puntos consecutivos que vibren con una diferencia de fase de
60
◦
.
2. El intervalo de tiempo que transcurre entre dos estados de vibraci´on consecutivos
de un punto con una diferencia de fase de 180
◦
.
3. Diferencia de fase en un instante cualquiera entre dos puntos separados por una
distancia de 3,15 m.
Soluci´on 8
El periodo y la longitud de onda son: T =
1
ν
=
1
500
= 2 · 10
−3
s; λ =
v
ν
=
350
500
= 0,7 m
1. Un desfase de 60
◦
corresponde a: ∆ϕ = 60
◦
=
60 · 2 π
360
=
π
3
rad.
Dos puntos separados por una distancia λ = 0,7 m est´an desfasados 2 π rad. Por
tanto:
∆x =
π
3
0,7
2 π
= 0,117 m
8
2. Una diferencia de fase de 180
◦
es equivalente a π rad y los instantes est´an en oposici´on
de fase.
Dos instantes separados por un tiempo T = 2 · 10
−3
s est´an desfasados 2 π rad. Por
tanto:
∆t = π
T
2 π
= π
2 · 10
−3
2 π
= 10
−3
s
que es un tiempo igual a la mitad del periodo.
3. Dos puntos separados por una distancia λ = 0,7 m est´an desafasados 2 π rad. Por
tanto:
∆ϕ = 2 π
∆x
λ
= 2 π
3,15
0,7
= 2 π 4,5 = (4 · 2 · π + π) rad = π rad
Los dos puntos est´an en oposici´on de fase.
A la misma conclusi´on se llega expresando la distancia en funci´on de la longitud de
onda. ∆x = 3,15 = 4,5 · 0,7 =
9
2
λ, que es un m´ultiplo impar de semilongitudes de
onda.
Ejercicio 9
Una onda que se propaga por una cuerda, responde a la ecuaci´on, en unidades del S.I.:
y(x, t) = 3 · 10
−3
sin(80 t − 6 x)
Si la cuerda tiene un extremo fijo en una pared, escribe la ecuaci´on de la onda reflejada.
Soluci´on 9
La onda reflejada se propaga hacia la izquierda y est´a en oposici´on de fase con la
incidente.
y(x, t) = 3 · 10
−3
sin(80 t + 6 x + π)
Teniendo en cuenta que sin(α + π) = − sin α, queda que la ecuaci´on de la onda reflejada
es:
y(x, t) = −3 · 10
−3
sin(80 t + 6 x)
Ejercicio 10
Una onda, de 4 cm de longitud de onda, se propaga por la superficie del agua de una
cubeta de ondas con una velocidad de 20 cm/s. En un instante dado el frente de ondas
accede a una zona menos profunda con un ´angulo de 30
◦
, respecto a la superficie de la
recta que separa los dos medios. Si la longitud de onda en este segundo medio es 3 cm,
deduce la direcci´on por la que se propaga.
9
Soluci´on 10
La frecuencia de la onda es la misma en los dos medios, por ser una caracter´ıstica del
centro emisor.
ν =
v
1
λ
1
=
20
4
= 5 Hz
Al pasar al segundo medio la frecuencia permanece constante y la longitud de onda dis-
minuye, por lo que la velocidad de propagaci´on es:
v
2
= λ
2
ν = 3 · 5 = 15 cm/s
Aplicando la ley de Snell:
sin θ
i
sin θ
R
=
v
1
v
2
sin θ
R
=
v
2
v
1
sin θ
i
=
15
20
sin 30
◦
= 0,375
El ´angulo que forma la direcci´on de propagaci´on en el segundo medio con la recta normal
es:
θ
R
= arcsin 0,375 = 22
◦
1
0
28
00
Ejercicio 11
Al oscilador de una cubeta de ondas se le acopla un accesorio que consta de dos
punzones separados por una distancia de 4 cm. Al incidir sobre la superficie del agua
generan ondas coherentes con una frecuencia de 24 Hz, que se propagan con una velocidad
de 12 cm/s. Determina el tipo de perturbaci´on que existir´a en un punto A que dista 10 cm
de un foco y 12 cm del otro y en otro punto C que dista 8 cm de un foco y 9,75 cm del
otro.
Soluci´on 11
La longitud de onda de las perturbaciones es: λ =
v
ν
=
12
24
= 0,5 cm
10
Para el punto A, la diferencia de caminos a los focos es:
x
1
− x
2
= 12 − 10 = 2 cm = 4 · 0,5 = 4 λ
Que es un m´ultiplo entero de la longitud de onda y la interferencia es constructiva.
Para el punto C, la diferencia de caminos hasta los focos es:
x
1
− x
2
= 9,75 − 8 = 1,75 cm = 1,75
λ
0,5
= 7
λ
2
Que es un m´ultiplo impar de la semilongitud de onda y la interferencia es destructiva.
Ejercicio 12
En dos puntos de la superficie de un estanque se dejan caer simult´aneamente gotas de
agua. representa geom´etricamente las interferencias que se producen en los puntos de la
superficie del agua, en el supuesto de que las perturbaciones sean ondas coherentes.
Soluci´on 12
Al caer las gotas de agua generan ondas circulares. Se traza con centro en un punto
(foco F
1
) una serie de c´ırculos conc´entricos igualmente espaciados, alternando los de trazo
continuo con los de trazo discontinuo. Asignamos los trazos continuos a crestas y los trazos
discontinuos a valles. Duplicamos el dibujo anterior en torno a otro punto que es el foco
F
2
.
Al superponer los diagramas se observan puntos en los que se cortan dos crestas o
dos valles y en ellos la interferencia es constructiva. Mientras que en los puntos que se
superpone una cresta con un valle la interferencia es destructiva.
A los puntos del plano cuya amplitud es nula se le llaman nodos y las l´ıneas que los
unen l´ıneas nodales (l´ıneas de trazo discontinuo del diagrama).
11
Estas l´ıneas se caracterizan por englobar a los puntos cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos, los focos de las ondas, es una constante y responden a la ecuaci´on:
x
1
− x
2
= (2 n + 1)
λ
2
Que es la ecuaci´on de una familia de hip´erbolas de focos F
1
y F
2
, determinada cada
una de ellas por un valor de n. Su posici´on no se ve afectada por la propagaci´on de los
movimientos ondulatorios, est´an en estado estacionario. Lo mismo se puede decir para los
puntos de interferencia constructiva, hip´erbolas de trazo continuo en el dibujo.
Ejercicio 13
Dos ondas sonoras, de ecuaci´on y = 1,2 cos 2 π(170 t − 0,5 x) Pa, proceden de dos
focos coherentes e interfieren en un punto P que dista 20 m de un foco y 25 m del otro
foco. Determina la perturbaci´on que originan en el punto P cada uno de los focos, en el
instante t = 1 s. Calcula la diferencia de fase de las ondas al llegar al punto considerado
y determina la amplitud de la perturbaci´on total en el citado punto.
Soluci´on 13
Las perturbaciones a las que se somete el punto P , en el instante pedido son:
y(20, 1) = 1,2 cos 2 π(170 · 1 − 0,5 · 20) = 1,2 cos (2 π 160) = 1,2 Pa
y(25, 1) = 1,2 cos 2 π(170 · 1 − 0,5 · 25) = 1,2 cos (2 π 157,5) = −1,2 Pa
La perturbaci´on total es la suma de las perturbaciones y
total
= 0, la interferencia en el
punto P es destructiva.
Algo que se puede comprobar determinando la diferencia de fase o comparando la
diferencia de recorridos de las perturbaciones con la longitud de onda.
∆ϕ = ϕ(x = 20) − ϕ(x = 25) = 2 π(170 t − 0,5 · 20) − 2 π(170 t − 0,5 · 25) rad
Operando:
∆ϕ = 2,5 · 2 π = 2 · 2 π + π rad
Las dos ondas llegan en oposici´on de fase.
De la ecuaci´on de la onda se deduce que: k = 2 π 0,5 =
2 π
λ
⇒ λ = 2 m
Para la diferencia de caminos se cumple que:
x
25
− x
20
= 25 − 20 = 5 m = 5
λ
2
que es un m´ultiplo impar de semilongitudes de onda y por tanto la interferencia es des-
tructiva.
12
Ejercicio 14
Dos focos sonoros vibran en fase con una frecuencia de 500 Hz y una amplitud de
presi´on igual a ∆p
0
. Calcula la diferencia de fase con que llegan las perturbaciones a un
punto P situado a 5m de uno de los focos y a 5,17 m del otro. ¿Cu´al es la relaci´on entre
la amplitud de presi´on, ∆p
0
, y la amplitud que tiene la perturbaci´on en el citado punto?
Dato: v
sonido
= 340 m/s
Soluci´on 14
La longitud de onda de los sonidos emitidos es: λ =
v
ν
=
340
500
= 0,68 m
Aplicando la relaci´on entre la diferencia de fase, la longitud de onda y la diferencia de
caminos recorridos, se tiene que la diferencia de fase es:
∆ϕ = k (x
1
− x
2
) =
2 π
λ
(x
1
− x
2
) =
2 π
0,68
(5,17 − 5) =
π
2
rad
La amplitud resultante con la que vibra un punto del medio en el que interfieren dos
ondas coherentes es:
A
r
= 2 A cos
k
x
1
− x
2
2
= 2 A cos
∆ϕ
2
Sustituyendo, queda que la amplitud de la perturbaci´on, en t´erminos de presi´on es:
∆p
r
= 2 ∆p
0
cos
∆ϕ
2
= 2 ∆p
0
cos
π/2
2
= 1,41 ∆p
0
⇒
∆p
r
∆p
0
= 1,41
Ejercicio 15
Una onda estacionaria de ecuaci´on:
y = 0,02 sin(10
π
3
x) cos(40 π t)
en unidades del S.I., se propaga por una cuerda. Determina: la amplitud, frecuencia y
longitud de onda de las ondas que por superposici´on provocan la vibraci´on descrita.
Soluci´on 15
Comparando la ecuaci´on anterior con la ecuaci´on general de una onda estacionaria, se
tiene:
y = 2 A sin(k x) cos(ω t)
Amplitud: 2 A = 0,02 m ⇒ A = 0,01 m; Longitud de onda: k =
2 π
λ
= 10
π
3
⇒ λ =
3
5
m;
Frecuencia: ω = 2 π ν = 40 π ⇒ ν = 20 Hz
13
Ejercicio 16
Una cuerda de guitarra de 1 m de larga fija por ambos extremos vibra formando 4
nodos. Los puntos centrales de la cuerda tienen un desplazamiento m´aximo de 4 mm. Si
la velocidad de las ondas en la cuerda es 660 m/s, halla la frecuencia con la que vibra la
cuerda y la expresi´on de la funci´on de la onda estacionaria.
Soluci´on 16
Si la cuerda forma cuatro nodos, de la figura se deduce que la longitud de la cuerda
es igual a tres semilongitudes de onda.
L = 3
λ
2
⇒ λ =
2 L
3
=
2 · 1
3
=
2
3
m
Y la frecuencia de vibraci´on es:
ν =
v
λ
=
660
2/3
= 990 Hz
La ecuaci´on de la onda estacionaria es:
y = 2 A sin(k x) cos(ω t) = 2·4·10
−3
sin
2 π
2/3
x
!
cos(2 π 990 t) = 8·10
−3
sin(3 π x) cos(1980 π t)
Ejercicio 17
Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuaci´on:
y = 10 sin
π
3
x cos 20 π t
donde x e y vienen expresados en cent´ımetros y t en segundos.
1. Calcula la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de las ondas componentes,
cuya superposici´on puede dar lugar a la onda dada.
2. ¿Qu´e distancia hay entre nodos?
3. ¿Cu´al es la velocidad de oscilaci´on de un punto de la cuerda en la posici´on x = 4,5 cm
y en el tiempo t = 0,4 s?
4. ¿Se transporta energ´ıa en dicha onda?
Soluci´on 17
1. La ecuaci´on de la onda dada muestra una amplitud que es funci´on de la posici´on x,
de modo que:
A
0
= 10 sin
π
3
x
14
Se trata, pues, de una onda estacionaria. Teniendo en cuenta que la ecuaci´on general
de una onda estacionaria producida por la superposici´on de dos ondas id´enticas que
se propagan sobre la misma cuerda en sentidos opuestos es:
y = 2 A sin(k x) cos(ω t)
donde A, k y ω son, respectivamente, la amplitud, el n´umero de onda y la frecuencia
angular de las ondas componentes, entonces, por comparaci´on con nuestra onda:
2 A = 10 ⇒ A = 5 cm
Por otro lado, como en la ecuaci´on k = π/3, y dado que sabemos que k = 2 π/λ,
obtenemos:
λ = 6 cm
Y puesto que, a su vez, k = ω/v, la velocidad de propagaci´on de las ondas compo-
nentes ser´a:
v =
ω
k
=
20 π
π/3
= 60 cm/s
2. La distancia entre dos nodos consecutivos es λ/2; as´ı:
distancia entre nodos = 3 cm
3. La velocidad de oscilaci´on de un punto de la cuerda es:
v =
dy
dt
= −20 π
10 sin
π
3
x
sin 20 π t
Como puede verse, la velocidad de oscilaci´on de un punto de una cuerda donde se
ha establecido una onda estacionaria depende tambi´en de la posici´on, cosa que no
ocurre con una onda arm´onica viajera. Al sustituir el valor del tiempo ofrecido como
dato, comprobamos que sin(20 π · 0,4) = 0, por lo que la velocidad de oscilaci´on
de dicho punto en ese instante es cero. Sin embargo, dicho punto no es un nodo,
pues, al sustituir el valor de x por el que se nos da en el enunciado, comprobamos
que su amplitud es de −10 cm, por lo que se trata de un antinodo o vientre.
4. En una onda estacionaria no se produce transporte de energ´ıa, pues los nodos no os-
cilan en ning´un momento, por lo que parece claro que a ellos no les llega ning´un tipo
de energ´ıa. Decimos, entonces, que la energ´ıa de una onda estacionaria se encuentra
confinada entre los nodos.
15
Ejercicios resueltos de ondas.pdf
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