Volver a Análisis Matemático II
Ejercicios Resueltos de An´alisis Matem´atico 2
por Augusto Coda
March 27, 2014
1
´
Indice
1 TP.1 - Ecuacio nes diferenciales - 1
◦
Parte
Ej 5)............................... . . .. . . ... . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . .. .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . .. .. . . . .. . . . .. . . . .p ag 5
Ej 9)............................... . . .. . . ... . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . .. .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . .. .. . . . .. . . . .. . . . .p ag 7
Ej 12)............................... . . .. . . ... . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . ... . . . .. . . . .. . . pag 9
Ej 15)............................... . . .. . . ... . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . ... . . . .. . . . .. . . pag 11
Ej 16)............................... . . .. . . ... . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . ... . . . .. . . . .. . . pag 11
2 TP.2 - Nocione s de Topolog´ıa - Funciones
Nada por aqu´ı 0.o
3 TP.3 - L´ımite y Continuidad
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 12
Ej 2) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 13
Ej 3) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 13
Ej 4) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 14
Ej 5) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 15
Ej 7) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 15
Ej 8) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 17
Ej 11) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 19
4 TP.4 - Derivabilidad - Recta Tangente y Plano Normal
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 20
Ej 3) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 20
Ej 4) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 21
Ej 5) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 22
Ej 6) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 23
Ej 7) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 24
Ej 8) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 25
Ej 16) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 28
5 TP.5 - Difer enci abi li da d - Plano Tangente y Recta Normal
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 28
Ej 2) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . ... . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 30
2
Ej 3) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 30
Ej 4) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 31
Ej 5) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 31
Ej 6) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 32
Ej 7) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 32
Ej 8) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 33
Ej 10) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 33
Ej 13) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 34
Ej 14) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 35
6 TP.6 - Funciones compuestas e impl´ıcitas
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 36
Ej 4) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 37
Ej 8) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 37
7 TP.7 - Polinomio de Taylor - Extremos
Nada por aqu´ı 0.o
8 TP.8 - Curvas - Integrales de l´ınea - Funci´on potencial
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 38
Ej 2) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 41
Ej 3) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 42
Ej 11) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 43
Ej 12) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 44
Ej 13) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 44
Ej 14) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 45
Ej 18) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 46
9 TP.9 - Integrales m´ultiples
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 47
Ej 2) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 50
Ej 5) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 51
Ej 6) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 52
Ej 7) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 55
Ej 9) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 57
Ej 10) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 58
Ej 13) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 62
Ej 15) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 63
3
10 TP.10 - Integrales de Superficie - Flujo
Ej 5) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 65
Ej 10) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 72
11 TP.11 - Teo re ma s integrales (Green, Gauss, Stokes)
Ej 2) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 78
Ej 3) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 79
Ej 4) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pag 79
Ej 18) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 80
Ej 19) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 81
Ej 20) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 82
Ej 21) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 83
Ej 23) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 83
Ej 25) ................................ . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . pag 84
12 TP.12 - Ecua cio nes diferenciales - 2
◦
Parte
Ej 1) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pa g 85
Ej 4) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pa g 88
Ej 9) ................................ . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .pa g 89
4
Part I
TP.1 - Ecuaci one s diferenciales 1
◦
Parte
5) Halle, seg´un corresponda, la S.G. o la S.P. de las siguientes ecuaciones diferenciales.
5) A) y
′
=
x
2
+ 1
2 − y
con y(−3) = 4
dy
dx
=
x
2
+ 1
2 − y
⇒
Z
(2 − y)dy =
Z
(x
2
+ 1)dx ⇒
(2 − y)
2
−2
=
x
3
3
+ x + C
S.G:
(2 − y)
2
=
−2
3
x
3
− 2x − D
Reemplazando el punto y(−3) = 4:
(2 − 4)
2
=
−2
3
(−3)
3
− 6 − D ⇒ 20 = D
S.P:
(2 − y)
2
=
−2
3
x
3
− 2x − 20
*Para que de como en la gu´ıa m u tli pl icar en ambos lados por 3
Nota: la i ntegral
Z
(2 − y) dy tambi´en da: 2y −
y
2
2
con lo cual dar´ıa una soluci´on d is ti nta a la gu´ıa pero que
estar´ıa bien igual.
5) B) x
dy
dx
− y = 2x
2
y
x
dy
dx
= 2x
2
y + y ⇒ x
dy
dx
= (2x
2
+ 1)y ⇒
Z
1
y
dy =
Z
2x +
1
x
dx ⇒ ln(y) = x
2
+ ln(x) + C ⇒
e
ln(y)
= e
x
2
+ ln(x) + C
⇒ e
ln(y)
= e
x
2
.e
ln(x)
e
C
S.G:
y = e
x
2
xD
5) C) y
′
= 2x
√
y −1
1
√
y −1
dy = 2xdx ⇒
Z
(y −1)
−1
2
dy =
Z
(2x)dx ⇒ 2(y −1)
1
2
= x
2
+ C
S.G:
2
p
y −1 = x
2
+ C
5
5) D) x
2
dy =
x
2
+ 1
3y
2
+ 1
dx con y(1) = 2
Z
(3y
2
+ 1)dy =
Z
(1 + x
−2
)dx ⇒ y
3
+ y = x +
x
−1
−1
+ C ⇒ y
3
+ y = x − x
−1
+ C
S.G:
xy
3
+ xy = x
2
− 1 + xC
Reemplazando el punto y(1) = 2:
1.2
3
+ 1.2 = 1
2
− 1 + C ⇒ C = 10
S.P:
xy
3
+ xy = x
2
− 1 + 10x
5) E) y
′
=
x
√
x
2
+ 9
con y(4) = 2
Z
dy =
Z
x
√
x
2
+ 9
dx
Resolvemos la integral
Z
x
√
x
2
+ 9
dx por sustituci´on:
u = x
2
+ 9 ⇒ du = 2xdx ⇒
du
2
= xdx ⇒
Z
1
√
u
du
2
⇒
1
2
Z
u
−1
2
du ⇒ u
1
2
+ C ⇒
p
x
2
+ 9 + C
Volviendo a la ecuaci´on princ ip al :
S.G:
y =
p
x
2
+ 9 + C
Reemplazando el punto y(4) = 2
2 =
√
4
2
+ 9 + C ⇒ 2 = 5 + C ⇒ C = −3
S.P: y =
p
x
2
+ 9 − 3
5) F) y
′
= xy + x − 2y −2 con y(0) = 2
y
′
= (x − 2)y + x − 2 ⇒
dy
dx
= (x − 2)(y + 1) ⇒
Z
(y + 1)
−1
dy =
Z
(x − 2)dx ⇒
6
ln(y + 1) =
x
2
2
− 2x + C ⇒ e
ln(y + 1)
= e
x
2
2
− 2x + C
S.G:
y + 1 = e
x
2
2
e
−2x
e
C
Reemplazando el punto y(0) = 2:
2 + 1 = e
0
e
0
D ⇒ D = 3
S.P:
y + 1 = e
x
2
2
e
−2x
3
9) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de 1
◦
orden.
NOTA: los ejercicios est´an resueltos utilizando la f´ormula: y = e
−
Z
P (x)dx
K +
Z
e
Z
P (x)dx
Q(x)dx
Siendo la forma: y
′
+ P (x)y = Q(x) ∧ Q(x) 6= 0
9) A) xy
′
− y −x
3
= 0
xy
′
− y = x
3
⇒ y
′
−
y
x
= x
2
⇒ y = e
−
Z
−1
x
dx
K +
Z
e
Z
−1
x
dx
x
2
dx
y = e
ln|x|
K +
Z
e
−ln|x|)
x
2
dx
⇒ y = x
K +
Z
x
−1
x
2
dx
⇒ y = x
K +
Z
xdx
⇒
y = x
K +
x
2
2
S.G: y = Kx +
x
3
2
9) B) y
′
+ y cos(x) = sin(x) cos(x)
y = e
−
Z
cos(x)dx
K +
Z
e
Z
cos(x)dx
sin(x) cos(x)dx
⇒ y = e
−sin(x)
K +
Z
e
sin(x)
sin(x) cos(x)dx
Resolviendo la integral
Z
e
sin(x)
sin(x) cos(x)dx por sustituci´on:
p = sin(x) ⇒ dp = cos(x)dx ⇒
Z
e
p
p dp
7
Resolviendo esta nueva integral con el m´etodo por partes:
u = p ⇒ du = dp ∧ dv = e
p
⇒ v = e
p
uv −
Z
vdu ⇒ pe
p
−
Z
e
p
dp ⇒ pe
p
− e
p
Volviendo a la ecuaci´on princ ip al :
y = e
−sin(x)
K + sin ( x ) e
sin(x)
− e
sin(x)
⇒ y = e
−sin(x)
K + sin ( x ) e
sin(x)
e
−sin(x)
− e
sin(x)
e
−sin(x)
S.G:
y = Ke
−sin(x)
+ sin(x) − 1
9) C) (x
2
+ 4)y
′
− 3xy = x con (x, y) = (0, 1)
y
′
−
3x
x
2
+ 4
y =
x
x
2
+ 4
⇒ y = e
−
Z
−3x
x
2
+ 4
dx
K +
Z
e
Z
−3x
x
2
+ 4
dx
x
x
2
+ 4
dx
⇒
y = e
3
Z
x
x
2
+ 4
dx
K +
Z
e
−3
Z
x
x
2
+ 4
dx
x
x
2
+ 4
dx
Resolviendo la integral
Z
x
x
2
+ 4
dx por sustituci´on:
u = x
2
+ 4 ⇒ du = 2xdx ⇒
du
2
= xdx ⇒
Z
1
u
du
2
⇒
1
2
Z
1
u
du ⇒
1
2
ln(u) ⇒
1
2
ln(x
2
+ 4)
Volviendo a la ecuaci´on princ ip al :
y = e
3
2
ln(x
2
+ 4)
K +
Z
e
−3
2
ln(x
2
+ 4)
x
x
2
+ 4
dx
⇒ y =
p
x
2
+ 4
3
K +
Z
p
x
2
+ 4
−3
x
x
2
+ 4
dx
Resolviendo la integral
Z
p
x
2
+ 4
−3
x
x
2
+ 4
dx por sustituci´on:
v = x
2
+ 4 ⇒ dv = 2xdx ⇒
dv
2
= xdx ⇒
Z
√
v
−3
1
v
dv
2
⇒
1
2
Z
v
−3
2
dv ⇒
1
2
v
−3
2
−2
3
⇒
−1
3
(x
2
+ 4)
−3
2
Volviendo a la ecuaci´on princ ip al :
8
S.G: y = ( x
2
+ 4)
3
2
K −
1
3
(x
2
+ 4)
−3
2
Reemplazando el punto (x, y) = ( 0, 1):
1 = (0 + 4)
3
2
K −
1
3
(0 + 4)
−3
2
⇒ 1 = 8
K −
1
24
⇒ 1 = 8K −
1
3
⇒ K =
1
6
y = (x
2
+ 4)
3
2
1
6
−
1
3
(x
2
+ 4)
−3
2
⇒ y =
1
6
(x
2
+ 4)
3
2
−
1
3
S.P:
6y = (x
2
+ 4)
3
2
− 2
9) D)
dy
dx
− 2
y
x
= x
2
sin(3x)
y = e
−
Z
−2
x
dx
K +
Z
e
Z
−2
x
dx
x
2
sin(3x)dx
⇒ y = e
2
Z
1
x
dx
K +
Z
e
−2
Z
1
x
dx
x
2
sin(3x)dx
y = e
2ln(x)
K +
Z
e
−2ln(x)
x
2
sin(3x)dx
⇒ y = x
2
K +
Z
x
−2
x
2
sin(3x)dx
Resolviendo la integral
Z
x
−2
x
2
sin(3x)dx por sustituci´on:
u = 3x ⇒ du = 3dx ⇒
du
3
= dx ⇒
Z
sin(u)
du
3
⇒
1
3
Z
sin(u)du ⇒
1
3
(−cos(u)) ⇒
−1
3
cos(3x)
Volviendo a la ecuaci´on princ ip al :
S.G:
y = x
2
(K −
1
3
cos(3x))
12) Halle la familia de curvas ortogonal a la dada.
12) A) y = 2x + C
y
′
= 2 ⇒
−1
y
′
= 2 ⇒ −dx = 2dy ⇒ −
Z
dx =
Z
2dy
2y = −x + C
9
12) B) y = Ce
x
y
′
= Ce
x
⇒ y
′
=
y
e
x
e
x
⇒
−1
y
′
= y ⇒
Z
−1dx =
Z
ydy ⇒ −x + C =
y
2
2
−2x + D = y
2
12) C) y = C tan(2x)
y
′
= C se c
2
(2x)2 ⇒ y
′
=
y
tan(2x)
2
cos
2
(2x)
⇒
−1
y
′
=
y
sin(2x)
cos(2x)
2
cos
2
(2x)
⇒
−1
y
′
=
2y
sin(2x) cos(2x)
⇒ −
Z
sin(2x) cos(2x)dx = 2
Z
ydy
Resolviendo la integral −
Z
sin(2x) cos(2x)dx por sustituci´on:
u = sin(2x) ⇒ du = cos(2x)2dx ⇒
du
2
= cos(2x)dx ⇒ −
Z
u
du
2
⇒
−1
2
Z
udu ⇒
−1
2
u
2
2
+ C ⇒
−1
2
sin
2
(2x)
2
+ C
Volviendo a la ecuaci´on princ ip al :
2
y
2
2
= −
sin
2
(2x)
4
+ C
4y
2
= −sin
2
(2x) + D
12) D) y = ln(x + C)
y
′
=
1
x + C
⇒
−1
y
′
=
1
x + C
Dado que al derivar la constante C no desaparec i ´o, la despejamos en base a la funci´on original:
e
y
= e
ln(x + C)
⇒ e
y
= x + C ⇒ C = e
y
− x
10
Volviendo:
−1
y
′
=
1
x + e
y
− x
⇒
−1
y
=
1
e
y
⇒ −
Z
dx =
Z
e
−y
dy ⇒ −(x + C) = −e
−y
⇒ x + C = e
−y
⇒
ln(x + C) = −y
−ln(x + C) = y
15) Dada xy
′′
− 2y
′
= 0 halle la S.P./ y(1) = y
′
(1) = 3 aplicando la transformaci´on w = y
′
.
w = y
′
⇒ w
′
= w
′′
⇒ xw
′
− 2w = 0 ⇒ x
dw
dx
= 2w ⇒
Z
1
2w
dw =
Z
1
x
dx ⇒
1
2
ln(w) = ln(x) + C ⇒ e
ln(w
1
2
)
= e
ln(x) + C
⇒ w
1
2
= xD ⇒
√
w = xD
Reemplazamos w por y
′
:
√
y
′
= xD ⇒ y
′
= x
2
.K
Reemplazamos el punto y
′
(1) = 3:
3 = 1
2
K ⇒ K = 3
y =
Z
x
2
3dx ⇒ y = 3
x
3
3
+ C
Reemplazamos el punto y(1) = 3:
3 = 1 + C ⇒ C = 2
y = x
3
+ 2
16) Halle la S.G. de y” - 2y’ = x.
y
′′
− 2y
′
= x ⇒ w
′
− 2w = x ⇒ w = e
−
Z
−2dx
K +
Z
e
Z
−2dx
xdx
11
w = e
2
Z
dx
K +
Z
e
−2
Z
dx
xdx
⇒ w = e
2x
K +
Z
e
−2x
xdx
Resolviendo la integral
Z
e
−2x
xdx por partes:
u = x ⇒ du = dx ∧ dv = e
−2x
⇒ v =
e
−2x
−2
uv −
Z
vdu ⇒ xe
−2x
−1
2
−
Z
e
−2x
−2
dx ⇒ xe
−2x
−1
2
+
1
2
Z
e
−2x
dx ⇒
xe
−2x
−1
2
+
1
2
e
−2x
−2
!
xe
−2x
−1
2
−
1
4
e
−2x
⇒
−
x
2
−
1
4
e
−2x
Volviendo:
w = e
2x
K + e
−2x
−x
2
−
1
4

⇒ w = e
2x
K +
−x
2
−
1
4
⇒ y
′
= e
2x
K −
x
2
−
1
4
⇒
y =
Z
e
2x
K −
x
2
−
1
4
dx ⇒ y = Ke
2x
1
2
−
1
2
x
2
2
−
1
4
x + C
S.G:
y = Ae
2x
−
x
2
4
−
1
4
x + C
Part II
TP.2 - Nociones de Topolog´ıa - Funciones
Nada por aqu´ı 0.o
*Es muy te´orico, leer los conceptos
Part III
TP.3 - L´ımite y Continuidad
1) Analice la existencia del lim
u→0
1 − cos(u)
u
2
, 1 + 2u,
sin(u
2
)
u
3
+ u
2
12
lim
u→0
1 − cos(u)
u
2
⇒
L
′
H
lim
u→0
sin(u)
2u
=
1
2
lim
u→0
1 + 2u = 1
lim
u→0
sin(u
2
)
u
3
+ u
2
=
1 (l´ımite por acotado)
⇒
∃ lim
u→0
f
2) ¿Por qu´e existe el lim
u→0
sin(u)
|u|
, u.ln(u)
pero no existe el lim
u→0
sin(u)
|u|
, u
?
f
1
= lim
u→0
sin(u)
|u|
, u.ln(u)
∧ f
2
= lim
u→0
sin(u)
|u|
, u
Para f
1
, por estar el ln(u) se toma el lado derecho (+):
lim
u→0
+
sin(u)
u
=
1 ∧ lim
u→0
+
u.ln(u) ⇒ lim
u→0
+
ln(u)
1
u
⇒ lim
u→0
+
ln(u)
u
−1
⇒
L
′
H
lim
u→0
+
1
u
−u
−2
⇒
lim
u→0
+
1
u
−1
u
2
⇒ lim
u→0
+
−u =
0 ⇒ ∃ lim f
1
Para f
2
:
lim
u→0
u =
0
Analizando por derecha y por izquierda lim
u→0
sin(u)
|u|
:
lim
u→0
+
sin(u)
u
=
1
lim
u→0
−
sin(u)
−u
=
−1
⇒ 6 ∃ lim f
2
3) Analice la existencia de los siguientes l´ımites:
3) A) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x
2
+ y
2
,
e
xy
− 1
xy
lim
(x,y)→(0,0)
xy
x
2
+ y
2
Criterio 1 (acercamiento por los ejes):
lim
x→0
0
x
2
=
0 ∧ lim
y → 0
0
y
2
=
0
13
Criterio 2 (radiales): y = mx
lim
x→0
x.mx
x
2
+ (mx)
2
⇒ lim
x→0
x
2
m
x
2
(1 + m)
=
m
1 + m
2
⇒ 6 ∃ lim
(x,y)→(0,0)
f
3) B) lim
(x,y)→(1,1)
x + y −2
x − y
Criterio 1 (acercamiento por los ejes):
lim
x→1
x − 2
x
=
−1 ∧ lim
y → 1
y −2
−y
=
1 ⇒ 6 ∃ lim
(x,y)→(1,1)
f
3) C) lim
(x,y)→(2,2)
sin(4 − xy)
16 − x
2
y
2
lim
(x,y)→(2,2)
sin(4 − xy)
16 − (xy)
2
⇒ lim
(x,y)→(2,2)
sin(4 − xy)
(4 − xy)(4 + xy)
=
1
8
3) D) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x + y −z
x + y + z
Criterio 1 (acercamiento por los ejes):
lim
x→0
x
x
=
1 ∧ lim
y → 0
y
y
=
1 ∧ lim
z→0
−z
z
=
−1 ⇒ 6 ∃ lim
(x,y,z)→(0,0,0)
f
3) E) lim
(x,y)→(1,0)
(x − 1) sin(y)
xy
=
0 (l´ımite por acotado)
3) F) lim
(x,y)→(0,0)
x sin
1
y
= 0 (l´ımite por acot ado)
4) Sea S la superficie de ecuaci´on z = x
2
+ y
2
, halle la ecuaci´on de una curva C ⊂ S que pase por el punto (1,
2, 5); verifique por definici´on que realmente se trata de una curva.
14
S : z = x
2
+ y
2
C ⊂ S/p(1, 2, 5) ∈ C
Hay varias curvas que cumplen con lo pedido, por ejemplo:
A) C : f(t) =
t
2
, t,
t
2
2
+ t
2
!
si t = 2 ⇒ p ∈ C
B) C : f(t) = (1, t, t
2
+ 1) si t = 2 ⇒ p ∈ C
C) C : f(t) = (1, 2t, 4t + 1) si t = 1 ⇒ p ∈ C
5) Sea C la curva de ecuaci´on
¯
X = (t, t
2
, 2t
2
) ∧ t ∈ R
a) Exprese C como intesecci´on de 2 superficies.
b) Demuestre que C es una curva plana.
c) Dada la su perficie de ecuaci´on
¯
X = (u + v, u − v, u
2
+ u + v
2
− v + 2uv) con (u, v) ∈ R
2
, demuestre que C est´a
incluida en ella.
5) A) C =
S
1
: 2y = z
S
2
: 2x
2
= z
∧
x = t
y = t
2
z = 2t
2
5) B) C ⊆ π : 2y − z = 0 ⇒ C es plana
5) C) S :
¯
X = (u + v, u − v, u
2
+ u + v
2
− v + 2uv) con (u, v) ∈ R
2
x = u + v
y = u − v
z = u
2
+ u + v
2
− v + 2uv
⇒ S : z = x
2
+ y ⇒ S =
S
1
+ S
2
2
∧ S
1
y S
2
definidos en el 5)A)
⇒ 2S = S
1
+ S
2
⇒ C ⊆ S
7) Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares:
7) A) f(x, y) =
x
3
x
2
+ y
si x
2
+ y 6= 0
0 si x
2
+ y = 0
Continuidad en (0, 0):
1) f(0, 0) =
0
15

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