Unidad 1
Ejercicio 4:
Durante un período de 30 días se realiza un estudio sobre el número de reclamos
diarios por
problemas en los sistemas de computación desarrollados por una cierta Compañía. Los
valores
registrados durante ese lapso fueron:
3 2 1 2 1 3 0 2 1 4 4 0 1 2 0
2 5 1 4 3 2 1 3 4 3 1 2 5 0 2
a) Elaborar la tabla de frecuencias simples y acumuladas.
b) Graficar las frecuencias relativas.
c) Analizar la distribución de frecuencias de la variable.
d) Calcular el porcentaje de días en que se producen hasta 2 reclamos.
e) Si se producen más de 3 reclamos, hay que subcontratar el servicio de
mantenimiento.
Calcular el porcentaje de veces que eso ocurre
a)
b)
d) 63.33%
e) 20%
Ejercicio 5:
reclamos por día
frecuencia
FA
FR
0
4
4
0,13333333
1
7
11
0,23333333
2
8
19
0,26666667
3
5
24
0,16666667
4
4
28
0,13333333
5
2
30
0,06666667
30
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5
Frecuencias relativas
En el proceso de control final de tanques de combustible para automóviles, se realiza
una prueba para verificar la estanqueidad del recipiente. Suponga que estas
observaciones se organizan del siguiente modo: se observan cien tanques consecutivos
y se registra la cantidad de depósitos que pierden; luego se observan otras cien
unidades y nuevamente se registra el número de tanques con pérdidas. De este modo, se
inspeccionan sesenta muestras y se obtienen los siguientes valores.
4
2
1
7
2
0
5
4
3
5
2
4
4
1
1
2
4
1
5
4
3
2
3
4
4
6
5
5
2
2
3
4
4
4
2
6
2
5
6
4
1
2
0
4
5
3
1
3
5
4
2
3
3
5
5
9
4
5
4
3
Analizar qué tipos de datos son estos. Construir una Tabla de Frecuencias y elaborar
gráficos adecuados. Calcular las principales medidas. La Dirección de la empresa
había adoptado como objetivo que la cantidad de tanque con problemas debía ser
menor o igual que cinco; analizar si dicho objetivo puede considerarse satisfecho.
Puede considerarse satisfecho en promedio ya que el promedio es igual a 3,46 tanques
que pierden por día. Pero es relativo, depende del criterio.
Ejercicio 6:
Se desea comparar el rendimiento alcanzado en un curso de capacitación por los
operarios de los turnos Mañana y Tarde de una cierta fábrica. Para ello dispone de los
puntajes [de 0 a 100] obtenidos en la evaluación final:
a) Elaborar la tabla de frecuencias correspondiente a los resultados de cada turno.
Utilice intervalos de longitud 10, comenzando desde el cero.
b) Dibujar los histogramas de frecuencias relativas.
c) Dibujar los polígonos de frecuencias.
d) Calcular el porcentaje de operarios del Turno Mañana que sacaron entre 50 y 80
depósitos que
pierden
frecuencia
FA
FR
FR%
FRA
0
2
2
0,03333333
3,33333333
0,03333333
1
6
8
0,1
10
0,13333333
2
11
19
0,18333333
18,3333333
0,31666667
3
9
28
0,15
15
0,46666667
4
16
44
0,26666667
26,6666667
0,73333333
5
11
55
0,18333333
18,3333333
0,91666667
6
3
58
0,05
5
0,96666667
7
1
59
0,01666667
1,66666667
0,98333333
8
0
59
0
0
0,98333333
9
1
60
0,01666667
1,66666667
1
60
1
100
puntos, y la cantidad de operarios del Turno Tarde que sacaron más de 70 puntos.
e) Comparar las dos distribuciones de frecuencias. Explicar en qué se parecen, y en
qué se diferencian.
f) Formular una opinión sobre el rendimiento evidenciado en el curso por los dos
turnos de trabajo.
rango de puntaje turno mañana
FA
FR
1
0
10
0
0
2
10
20
0
0
3
20
30
0
0
4
30
40
2
0,04
5
40
50
6
0,12
6
50
60
10
0,2
7
60
70
16
0,32
8
70
80
11
0,22
9
80
90
4
0,08
10
90
100
1
0,02
rango de puntaje turno tarde
FA
FR
1
0
10
0
0
2
10
20
0
0
3
20
30
0
0
4
30
40
1
0,02
5
40
50
6
0,12
6
50
60
18
0,36
7
60
70
12
0,24
8
70
80
9
0,18
9
80
90
2
0,04
d) 74% y 26%
Ejercicio 7: Analizar las siguientes muestras:
En todos los casos realizar las siguientes tareas:
a) Dibujar un diagrama de puntos.
b) Dibujar el diagrama de caja.
c) Calcular las medidas de posición y de dispersión.
d) Interpretar los resultados obtenidos.
10
90
100
2
0,04
50
CV=55,08%
Q1= 7
Q3= 13
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Histograma turno tarde
duración tarea en días
Media
10
Error típico
2,081666
Mediana
10
Moda
#N/A
Desviación
estándar
5,50757055
Varianza de la
muestra
30,3333333
Curtosis
1,33846154
Coeficiente de
asimetría
0
Rango
18
Mínimo
1
Máximo
19
Suma
70
Cuenta
7
Duración lamparita en meses
Media
11
Error típico
3,43649877
Mediana
7
Moda
#N/A
Desviación
estándar
9,09212113
Varianza de la
muestra
82,6666667
Curtosis
1,06416493
Coeficiente de
asimetría
1,27964391
Rango
26
Mínimo
2
Máximo
28
Suma
77
Cuenta
7
CV=82,66%
Q1= 5
Q3= 18
CV=67,08%
Q1= 6
Q3= 17
Ejercicio 8:
Usando datos de los ejercicios anteriores:
a) Indicar para el Ejercicio N
3, si pueden calcular medidas analíticas. Fundamentar
la respuesta.
b) Calcular para el Ejercicio N
4, las medidas de posición. Comparar la media,
mediana y moda,
y comentar conclusiones. Calcular las medidas de dispersión.
c) Calcular para el Ejercicio N
6, las medidas analíticas para los puntajes
correspondientes a los
dos turnos de trabajo. Comparar los resultados obtenidos, y elaborar conclusiones al
respecto.
Si el cálculo de las medidas analíticas se realiza en base a los datos agrupados ¿los
resultados
van a ser los mismos? Fundamentar la respuesta.
b)
• posición:
Media: 2,13
Mediana: 2
Moda: 2
Duración tinta de cartucho meses
Media
12
Error típico
2,53546276
Mediana
14
Moda
#N/A
Desviación
estándar
6,70820393
Varianza de la
muestra
45
Curtosis
-
0,57293827
Coeficiente de
asimetría
-
0,65392566
Rango
19
Mínimo
1
Máximo
20
Suma
84
Cuenta
7
• dispersión:
Varianza: 2,11
Desvío: 1,45
CV: 68,24%
Ejercicio 9
Los siguientes datos muestran 80 mediciones de la emisión diaria (en toneladas) de
óxido de
azufre de una planta industrial:
15.8 - 26.4 - 17.3 - 11.2 - 23.9 - 24.8 - 18.7 - 13.9 - 9.0 - 13.2
22.7 - 9.8 - 6.2 - 14.7 - 17.5 - 26.1 - 12.8 - 28.6 - 17.6 - 23.7
26.8 - 22.7 - 18.0 - 20.5 - 11.0 - 20.9 - 15.5 - 19.4 - 16.7 - 10.7
19.1 - 15.2 - 22.9 - 26.6 - 20.4 - 21.4 - 19.2 - 21.6 - 16.9 - 19.0
18.5 - 23.0 - 24.6 - 20.1 - 16.2 - 18.0 - 7.7 - 13.5 - 23.5 - 14.5
14.4 - 29.6 - 19.4 - 17.0 - 20.8 - 24.3 - 22.5 - 24.6 - 18.4 - 18.1
8.3 - 21.9 - 12.3 - 22.3 - 13.3 - 11.8 - 19.3 - 20.0 - 25.7 - 31.8
25.9 - 10.5 - 15.9 - 27.5 - 18.1 - 17.9 - 9.4 - 24.1 - 20.1 - 28.5
Describir la muestra utilizando convenientemente los conceptos estudiados y el
software
INFOSTAT.
Ejercicio 10
El Departamento de Control de Calidad de una fábrica seleccionó una muestra de
remaches
para evaluar su resistencia. Estos remaches se utilizan para la fijación de una pieza
que, de
desprenderse, pone en riesgo la vida del usuario de la maquinaria que se produce. Los
valores
obtenidos (expresados en Newton) son los siguientes:
18,56 18,57 18,55 18,58 18,60 18,59
Sabemos que si los procesos se encuentran bajo control, la dispersión debería ser
reducida y el
comportamiento de la variable bajo estudio debería poder describirse mediante un
modelo
normal. Para verificarlo:
a) Realice una descripción adecuada de la muestra.
b) Con base en el estudio realizado, ¿puede pensarse que la muestra proviene de una
población con distribución Normal? Justifique utilizando todos los argumentos que le
brinda la estadística descriptiva.
Tipo de dato: cuantitativo continúo por ser una medición
X: resistencia del remache
De los datos estudiados obtuve que: Ca= 0 y sé que si es próximo a cero entonces la
distribución muestral es simétrica
Resistencia de remaches
Media
18,575
Error típico
0,00763763
Mediana
18,575
Moda
#N/A
Desviación
estándar
0,01870829
Varianza de la
muestra
0,00035
Curtosis
-1,2
Coeficiente de
asimetría
3,0516E-13
Rango
0,05
Mínimo
18,55
Máximo
18,6
Suma
111,45
Cuenta
6
También obtuve que CV= 0,0004 y sé que si cv es próximo a cero entonces la muestra
tiene baja dispersión y los datos se concentran alrededor de la medida de posición
central.
Promedio Me
Desvío <<< promedio
Estudio de INFOSTAT
Unidad 2
Ejercicio 3:
Un edificio tiene dos ascensores. La probabilidad que en un cierto momento funcione el
ascensor A es de 0,90; por su parte, la probabilidad de que funcione B es de 0,80; la
probabilidad que funcionen los dos de manera independiente es 0,72. Si en un día de
cuarenta
grados llegamos al edificio para visitar a un amigo que vive en el décimo piso, ¿cuál es
la
probabilidad de que no se deba subir por la escalera?
P (A
1
+A
2
) = P (A
1
) + P (A
2
) – P (A
1
Y A
2
)= 0,9 + 0,8 – 0,72 = 0,98
Ejercicio 4:
De un mazo de naipes españoles (40 naipes) se extrae una carta al azar. Determinar la
probabilidad de que:
a) la carta sea un REY
b) la carta sea una COPA
c) la carta sea un REY o una COPA.
d) la carta no sea ni REY ni COPA.
Los datos se distribuyen
de manera homogénea
a) 4/40 = 0,1
b) 10/40 = 0,25
c) 13/40 (13 porque es 14 menos la carta que saque sobre el total)
d) 27/40 (complemento de c)
Ejercicio 7:
En una caja hay diez piezas, de las cuales siete son Buenas (B) y las restantes son
Defectuosas (D). Se extraen dos piezas, sucesivamente y sin reposición.
a) Determinar la Probabilidad de que:
- las dos sean buenas.
- la 1º sea buena y la 2º defectuosa.
- la 1º sea defectuosa y la 2º buena.
- las dos sean defectuosas.
b) Listar todos los eventos compuestos del punto anterior y verificar que la suma de sus
probabilidades sea uno.
c) Calcular la Probabilidad de que la primera pieza sea Buena y comparar con la
Probabilidad Marginal del resultado Buena.
d) Calcular la Probabilidad de que la segunda pieza sea Buena y comparar con la
Probabilidad Marginal del resultado Buena.
a) P (B y B) = (7/10) . (6/9) = 0,47
P (B y D) = (7/10) . (3/9) = 0,23
P (D Y B) = (3/10) . (7/9) = 0,23
P (D y D) = (3/10) . (2/9) = 0,07
b) 0,47 + 0,23 + 0,23 + 0,07 = 1
c) Probabilidad marginal de que la pieza obtenida sea buena: 0,7
Probabilidad de que la primera pieza sea buena: P (B y B) =0,47
P (B y D) = 0,23
d) Probabilidad marginal de que la pieza obtenida sea buena: 0,7
Probabilidad de que la segunda pieza sea buena: P (B y B) =0,47
P (D y B) = 0,23
Ejercicio 9:
Una planta extractora de aceite recibe de tres fincas cargamento con olivares. En
porcentaje la
cantidad que recibe de la Finca “Del Sol” es 15%, Finca “Las Tres Marías” 27% y de
la Finca
“Agrocatamarca” 58%, siendo la proporción de cultivares en mal estado 5%, 7% y
17%
respectivamente. Las distintas fincas tienen un porcentaje de materia prima en mal
estado debido al sistema de recolección. Este sistema consiste en recoger los cultivos
que están en la
tierra de los cuales una parte considerable presentan un estado de putrefacción. El
Gerente de
Calidad necesita saber: ¿cuál es la probabilidad de que la planta extractora de aceite
reciba un
cargamento con olivares en mal estado? Si esa probabilidad sobrepasa el 10% les
exigirá a
cada una de las fincas optimizar la recolección para de esta manera obtener menor
porcentaje
de semillas en mal estado.
P (Mal estado) = (0,15 . 0,05) + (0,27 . 0,07) + (0,58 . 0,17) = 0,125
La probabilidad de que la planta reciba un cargamento de olivares en mal estado es del
12,5%
Ejercicio 10:
En la producción de la corona de una caja de cambio para automóvil, las operaciones
fundamentales son:
Dentado: en la cual se crean los dientes cortando el acero;
Afeitado: donde se logra la terminación de la pieza, asegurando características como
diámetro, hélice, envolvente, separación entre dientes, excentricidad, etc.
La probabilidad de encontrar una pieza que no cumpla con las especificaciones
técnicas (No
conformidad (NC) como consecuencia de problemas en el dentado es 0,05, en tanto que
por
fallas de afeitado asciende a 0,12. Por otra parte, la probabilidad que la pieza presente
defectos en las dos operaciones es de 0,03.
a) Determinar la probabilidad que una pieza se considere No Conforme por alguno de
esos dos motivos.
b) Determinar la probabilidad que falle el afeitado, dado que ha fallado el dentado.
c) ¿Son independientes los dos tipos de no conformidad?
a) P (NC) = 0,05 + 0,12 – 0,03 = 0,14
b) P (A/D) = 0,6
c) No, son dependientes
Ejercicio 11:
Una fábrica se abastece de dos fuentes de energía, denominadas A y B. La probabilidad
de
Si hay probabilidad conjunta
entonces los sucesos son
dependientes
que la fuente A funcione es de 0.97, que funcione B es 0.985, y que funcionen ambas
simultáneamente es de 0.965. Responder:
a) ¿Son independientes ambas fuentes de abastecimiento? Justificar.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que funcione la fuente B sabiendo que está funcionando
A?
a) Son dependientes
b) P(A y B) = 0,97 + 0,985 – 0,965 = 0,99
Ejercicio 12:
Una fábrica distribuye el modelo M24 de cortadora de césped en el interior de la
provincia,
haciendo la entrega en tiempo y forma el 85% de las veces. De las entregas que realiza
en
tiempo y forma, sólo el 2% presenta defectos en su embalaje; en tanto que de las
entregas que
no realizan en tiempo y forma, el 3% presenta defectos en su embalaje.
a) Calcule la probabilidad de que un pedido presente defectos en su embalaje y no
llegue en
tiempo y forma.
b) Si una entrega no presenta defectos en su embalaje ¿Cuál es la probabilidad de que
haya
llegado en tiempo y forma
a) P (E y T) = 0,15 . 0,03 = 0,0045
b) 0,85 . 0,98 = 0,833
Ejercicio 13:
En un proceso productivo un obrero atiende 3 máquinas M1, M2 y M3 que funcionan
independientemente. En un día cualquiera la probabilidad de falla de M1 es 0,1,
mientras que
para las otras máquinas es de 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día
determinado
fallen dos máquinas?
P (fallen dos máquinas) = P (M̅
1
, M̅
2
, M
3
) + P (M̅
1
, M
2
, M̅
3
) + P (M
1
, M̅
2
, M̅
3
)
= (0,1 . 0,05 . 0,95) + (0,1 . 0,95 . 0, 5) + (0,9 . 0, 5 . 0,05)
= 0,00475 + 0,00475 + 0,00225 = 0,01175
Ejercicio 14:
En una fábrica hay dos máquinas M1 y M2 para producir los componentes de un
aparato. M1
produce el 40% de las componentes y M2 el 60%. Se sabe que el 5% de los
componentes
producidos por M1 y que el 2% de los producidos por M2, son defectuosos. Si un
elemento
defectuoso es extraído al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido
por M1?
P (Piezas defectuosas) = (0,4 . 0,05) + (0,6 . 0,02) = 0,032
P (M1 / D) = P (D producidos por M1) / P (defectos)= 0,02 / 0,032 = 0,625
Ejercicio 15:
La confiabilidad o fiabilidad (R) se define como la probabilidad de que un sistema
funcione
adecuadamente durante un período dado en su aplicación prevista. La siguiente figura
esquematiza un sistema constituido por tres componentes tales que, el sistema cumple
adecuadamente con su objetivo si funciona el dispositivo S1 y alguno de los dispositivos
S2 o
S3. Con base en lo anterior y los valores de fiabilidad de cada dispositivo, calcule la
fiabilidad
del sistema de la figura sabiendo que: R (S1)= 0.8 R (S2)= 0.6 R (S3)= 0.9
P (S) = 0,8 . (0,6 + 0,9 – (0,6 . 0,9)) = 0,768
Ejercicio 16:
Los siguientes esquemas representan sendos procesos que se desarrollan en cierta
fábrica. Con
el objetivo de calcular la fiabilidad de cada sistema se estudia la confiabilidad de cada
subsistema. Considere los valores de confiabilidad indicados más abajo para cada
subsistema.
R (S1) = 0.02 y R (S2) = 0.06 en ambos casos. Suponiendo que los subsistemas
funcionan
independientemente, calcule la fiabilidad de cada sistema.
a) R (Sistema 1) = P (S
1
u S
2
) – P (S
1
n S
2
) = 0,02 + 0,06 – (0,02 . 0,06) = 0,0788
b) R (Sistema 2) = P (S
1
n S
2
) = 0,02 . 0,06 = 0,0012
Ejercicio 17:
Se considera una célula en el instante t=0. En el instante t=1 la célula puede: o bien
reproducirse, dividiéndose en dos con probabilidad 3/4, o bien morir con probabilidad
1/4.
Si la célula se divide, entonces en el tiempo t=2 cada uno de sus dos descendientes
puede
también subdividirse o morir, con las mismas probabilidades que antes,
independientemente
uno de otro. En el tiempo t=2, ¿cuál es la cantidad máxima posible de células y cuál es
la
probabilidad de que se dé dicha cantidad?
Cantidad máxima de células en t=2 = 4
P (cantidad máxima)= 0,75 . (0,75 . 0,75) = 0,42
Ejercicio 18:
Sean A y B dos sucesos asociados con un determinado experimento. Se sabe que P(A) =
0.4
y que P(A
B) = 0.7. Calcular la probabilidad del suceso B, bajo las siguientes
condiciones:
a) Los sucesos son excluyentes.
b) Los sucesos son independientes.
a) 0,7 = P(A) + P(B)
a) Sistema 1
b) Sistema 2
0,7 = 0,4 + P (B)
0,7-0,4 = P (B)
0,3 = P (B)
b) 0,7 = (P (A) + P (B)) – (P (A) . P (B))
0,7 = (0,4 + P (B)) – (0,4 . P (B))
0,7 = 0,4 + P (B) – 0,4 . P (B)
0,7 -0,4 = P (B) – (0,4 . P (B))
0,3 = P (B) – 0,4 . P (B)
0,3 = 0,6 . P(B)
0,3 / 0,6 = P (B)
0,5 = P (B)
Ejercicio 19:
En una encuesta de mercado para un supermercado se clasificó a 1000 clientes del
negocio
según el sexo y su lugar de residencia (ya sea en el barrio donde se sitúa el negocio –
Local o en barrios vecinos -Alrededores-). La proporción de los clientes que responden
a cada
una de las 4 categorías es:
Suponiendo que se selecciona al azar de este grupo una persona cualquiera. Calcular:
a) La probabilidad de que el cliente resida en los alrededores.
b) La probabilidad de que el cliente sea hombre.
c) La probabilidad de que el cliente sea mujer y viva en el barrio.
d) Determinar la cantidad de clientes mujeres que tiene el negocio.
e) ¿Cuántos clientes son del propio barrio?
f) ¿Qué proporción de los clientes femeninos del negocio son de barrios vecinos?
a) P(alrededores) = P(M y A) + P(H y A) = 0,04 + 0,12 = 0,16
b) P(hombre) = P (H y L) + P (H y A) = 0,17 + 0,04 = 0,21
c) P(M y L) = 0,67
d) Clientes mujeres = (1000 . 0,67) + (1000 . 0,12) = 790
e) Clientes del barrio = (1000 . 0,17) + (1000 . 0,67) = 840
f) Clientes mujeres de alrededores = (0,12 / (0,67 + 0,12)) = 0,1519
Ejercicio 20:
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