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13/7/2020 Derivada y recta tangente
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Derivada y recta tangente
Definición de derivada
Sea una función y . Consideramos un valor cercano a (notar que si este punto está a la
derecha de y que si , este punto está a la izquierda de ). Trazamos la recta que une los puntos con
como indica la figura siguiente
Ahora, hacemos variar el valor de forma tal que se acerque a (es decir, vemos qué pasa cuando se acerca a
). Intuitivamente, diremos que la recta tangente al gráfico de en el punto es la recta límite (si existe) de las
rectas que pasan por y cuando tiende a tanto por la derecha como por la izquierda.
En la siguiente animación se ve cómo, a medida que se acerca a , las rectas se van acercando a la recta tangente:
Derivada
La derivada de en es la pendiente de la recta tangente al gráfico de en el punto si esta recta existe.
Como para un fijo, la pendiente de la recta que pasa por y es
entonces la derivada de en , que se nota , se define como
si este límite existe. En este caso diremos que es derivable en .
Ahora podemos dar una definición precisa de recta tangente: Si es derivable en , la recta tangente al gráfico de
en es la recta de pendiente que pasa por el punto .
Ejemplo. Dada la función , calcular . Hallar la recta tangente al gráfico de en el punto .
Para calcular usaremos la definición de derivada. Notar que en este caso :
Es decir,
Ahora, calculamos la recta tangente al gráfico de en el punto . Por la definición, buscamos la recta de
pendiente que pasa por el . La recta tiene la forma . Como pasa por el punto , debe valer
, con lo que . Es decir, la recta tangente que buscamos es
Podemos ver lo que calculamos en el siguiente gráfico:
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En el ejemplo anterior, hallamos la derivada de en . Ahora vamos a calcular la derivada de la función
para cualquier valor :
Entonces, tenemos que para cualquier valor de .
La función que a cada valor de le asigna el valor de la derivada de en se llama función derivada de y se nota . A
la derivada de en la notamos o .
En el ejemplo anterior vimos que, si , entonces su función derivada es .
La derivada puede no existir. Por ejemplo, en el siguiente gráfico, se ve una función que no es derivable en :
Función no derivable
En general, no vamos a hallar derivadas calculando límites, sino basándonos en algunas derivadas básicas y aplicando
ciertas propiedades de la derivación.
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