Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires
Óptica Geométrica
FISICA
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2
ÓPTICA GEOMÉTRICA
La óptica es la parte de la Física que se ocupa del estudio de ciertos fenómenos en los que interviene
la luz y que pueden ser explicados mediante un modelo puramente geométrico, sin aventurar hipó-
tesis sustanciales en relación con su estructura. Los dos fenómenos básicos que se estudian en la
óptica geométrica son la reflexión y la refracción de la luz.
Haremos referencia a ellos más adelante.
Según el modelo geométrico, utilizado para explicar estos fenómenos, la luz está constituida por
rayos rectilíneos. Los cuerpos desde donde salen los rayos de luz se denominan fuentes. Las fuentes
pueden clasificarse se acuerdo al origen de la luz o bien considerando sus dimensiones:
a) de acuerdo al origen de la luz
- primarias: producen su propia luz
- secundarias: son iluminadas por otras fuentes y devuel ven parte de la luz que reciben
b) de acuerdo a sus dimensiones
- puntuales: tienen dimensiones despreciables en compara ción con las distancias que las se-
paran de los cuerpos que ilumi nan
- extensas: sus dimensiones son comparables con las dis tancias que las separan de los cuer-
pos que iluminan
En general, los rayos luminosos tienen principio (un punto de la fuente) y fin (un punto de algún
cuerpo que en cuentren en su camino). No obstante ello, es posible conside rar la recta de propagación
para cualquier rayo de luz. Como su nombre lo indica, se trata de una recta que lo incluye.
Todo conjunto de rayos luminosos recibe el nombre de haz de luz. Los haces luminosos adoptan
distintos nombres según cómo estén distribuidos en ellos los rayos. De este modo tendremos:
- haces de rayos paralelos: cuando las rec-
tas de propagación de los rayos que los for-
man son paralelas
OBSTÁCULO
FUENTE
RECTA DE PROPAGACIÓN
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- haces homocéntricos: cuando las rectas de propagación de todos sus rayos concurren en un
mismo punto. Por su parte, los haces homocéntricos pueden ser
- convergentes: cuando son homocéntricos y sus rayos se dirigen hacia un punto
- divergentes: cuando son homocéntricos y sus rayos parecen salir desde un mismo punto.
La óptica geométrica se basa en siete principios que hacen referencia a la propagación de la luz, a
los haces de luz, a la reflexión y a la refracción. Ellos son:
1º) Principio de propagación rectilínea: la luz se propaga en línea recta en los medios isótropos y
homogéneos.
Medios isótropos son aquellos en los que la velocidad de la luz es la misma inde-
pendientemente de la dirección en la que se propa gue; homogé neos son aquellos medios
que tienen idén ticas pro piedades intensivas en todos sus puntos.
2º) Principio de independencia de las partes que forman un haz: si se interrumpe la marcha de
algunos rayos de un haz mediante un cuerpo opaco, el resto de los rayos sigue su marcha sin
expe rimentar cambio alguno.
3º) Principio de independencia de los haces de luz: la marcha de un haz de luz no se ve afectada por
la presencia de otros haces que se superpongan con él en alguna región del espacio.
4º) Principio de reversibilidad: el camino seguido por los rayos luminosos no cambia si se supone
inverso su sentido de propa gación.
5º) Principio de Fermat: el camino que sigue un rayo lumi noso para pasar de un punto a otro del
espacio es el que menos tiempo le insume. Cuando hay más de un camino posible es porque todos
requieren el mismo tiempo.
6º) Leyes de la reflexión –que mencionaremos al hacer referencia a este tema-
7º) Leyes de la refracción –a las que nos referiremos en la segunda parte de este material-
HAZ HOMOCÉNTRICO
CONVERGENTE
HAZ HOMOCÉNTRICO
DIVERGENTE
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REFLEXIÓN DE LA LUZ
La reflexión es el fenómeno en el cual la luz llega a la superficie de un cuerpo y no la atraviesa sino
que retorna al medio por el que se estaba propagando antes de haber llegado a ella.
La reflexión puede ser especular o difusa. La
espe cular se produce en las superficies brillan-
tes, lisas y bien pulidas; la difusa se produce en
superficies mate, sin brillo.
Las superficies que producen reflexión especular se denominan genéricamente “espejos”; este térmi-
no no sólo comprende a los objetos comúnmente llamados así sino que también se refiere a cualquier
otro cuerpo que sea apto para producir la reflexión especular (por ejemplo: la superficie libre de un
líquido en equilibrio, la superficie bien lustrada de un mueble, el vidrio de una ventana, etc).
En toda reflexión especular consideraremos los siguientes elemen tos:
EE’(espejo)
I (rayo incidente)
R (rayo reflejado)
α (ángulo de incidencia)
ß (ángulo de reflexión)
i (punto de incidencia)
N (recta normal)
Al enunciar los principios de la óptica geométrica mencionamos las leyes de reflexión. Ellas son:
1ª) El rayo incidente, la recta normal y el rayo refleja do son coplanares, es decir, están incluidos
en el plano de incidencia, que es el plano del dibujo.
2ª) Los ángulos de incidencia y de reflexión son con gruentes.
Nos referiremos ahora a las imágenes, productos de la reflexión
Imágenes
Dado un punto “A” del cual partan dos o más rayos lumi nosos que incidan sobre un espejo, su imagen
es el conjunto formado por los puntos de intersección de las rectas de propa gación de los rayos refleja-
dos. La imagen de un punto es la región del espacio a la cual concurren, o de donde parecen provenir,
los rayos reflejados.
DETALLE DE LA REFLEXIÓN DIFUSA EN UNA
PE
Q
UEÑA PORCIÓN DE UNA SUPERFICIE
α
β
I
R
i
N
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Al cortarse las rectas de propagación de los rayos refle jados puede suceder que se corten los rayos pro-
piamente dichos o que sólo lo hagan sus prolongaciones. Cuando se cortan los rayos reflejados la imagen
se denomina real mientras que cuando se cortan las prolongaciones se denomina virtual.
Es posible, además, clasificar a los objetos en reales y virtuales: todos los objetos se encuentran en la
intersección de las rectas de propagación de los rayos incidentes. Los objetos son reales si están en
la intersección de los rayos propiamente dichos mientras que son virtuales si se hallan en la intersec-
ción de las prolongaciones de los rayos incidentes.
Espejos planos
La principal característica de este tipo de espejos -que son los que comúnmente empleamos- es que a
todo punto “a” que se le coloque enfrente le hace corresponder como imagen otro punto “a’ “ (imagen
virtual de “a”) que es simétrico de “a” con respecto al espejo.
Presentamos a continuación una demostración gráfica de la simetría mencionada, que puede
ayudar a su comprensión.
A’
(IMAGEN
VIRTUAL
DE A)
A
A
A’
(IMAGEN
REAL DE A)
OBJETO REAL
OBJETO VIRTUAL
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La siguiente figura ayuda a demostrar dicha simetría:
El rayo ai, perpendicular al espejo, se refleja sobre sí mismo.
Comparando los triángulos y
podemos observar que:
1) son rectángulos
2) tienen al lado ii’ en común
3) δ ≅ α (por ser alternos internos entre paralelas); α ≅ β (por la segunda ley de la reflexión); β ≅ γ
(por ser correspondientes entre paralelas) ⇒ δ ≅ γ
Como consecuencia de las consideraciones 1), 2) y 3) podemos afirmar que los dos triángulos compara-
dos son con gruentes por lo cual los lados homólogos y resultan congruentes. Finalmente, tenemos
que el punto "a" y su imagen "a' " se encuentran sobre la misma perpendicular al espejo, a igual distan-
cia del mismo y en semiplanos opuestos, vale decir que son simétricos con respecto al espejo.
Campo de un espejo plano
Dado un observador “o” situado frente a un es-
pejo, se denomina campo del espejo para esa
posición del observador a la región del espacio
que éste puede ver reflejada en el espejo.
El punto “o’” de la figura es la imagen virtual del observador “o”; es simétrico de “o” con respecto al
plano del espejo cuya traza es EE’. Las semirrectas que parten de “o’” y pasan por los extremos del es-
pejo determinan los bordes del campo. El observador, en este caso, no puede verse a sí mismo reflejado
en el espejo dado que está fuera de su campo.
Espejos esféricos
Los espejos esféricos son porciones de esfera con su superficie acondicionada (pulida, plateada, etc)
para que produzca la reflexión especular. Cuando la cara que refleja es la exterior, el espejo se llama
“convexo”, mientras que cuando es la interior se llama “cóncavo”. Podemos simbolizar a los espe jos
esféricos de la siguiente forma:
o, de una forma más simple:
a
a’
α
β
i
δ
γ
'i
/
aii
//
iia
ai
'ai
E E’
o
o’
ESPEJO CÓNCAVO ESPEJO CONVEXO
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Elementos de los espejos esféricos:
En los espejos esféricos es posible identificar los siguientes elementos:
- Centro de curvatura (c): es el centro de una esfera que inclu ye al espejo.
- Vértice (v): es el punto central de la superficie del espejo.
- Eje principal (e.p): es la recta determinada por el centro de curvatura y el vértice.
- Foco principal (F): es el punto del eje principal en el que concurren las rectas de propagación de los
rayos reflejados correspondientes a un haz incidente paralelo al citado eje. (En los espejos convexos,
tanto el foco “F” como el centro de curvatura “c” se encuentran del lado de atrás, en los cóncavos
se encuentran por delante)
Para el estudio analítico de los espejos esféricos se emplea un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales con su origen en el vértice del espejo, el eje de las “x” coinci dente con el eje principal y
con el sentido positivo hacia adelante (apuntando en sentido contrario al de la luz inciden te) y el eje “y”
perpendicular al “x”.
El radio de curvatura (R) es la coordenada “x” del centro de curvatura, está repre sentado gráficamente
por el segmento vc, es positivo en los espejos cóncavos y negativo en los conve xos.
La abscisa focal (f) es la coordenada “x” del foco prin cipal y, al igual que el radio, es positiva en los
espejos cóncavos y negativa en los convexos. Está representada geomé tricamente por el segmento vF.
Marcha de rayos luminosos en espejos esféricos
Para obtener gráficamente la imagen que de un objeto produce un espejo esférico, debemos saber
cuál es el comportamiento que siguen los rayos luminosos luego de incidir en ellos.
Consideraremos tres situaciones:
ESPEJO CÓNCAVO ESPEJO CONVEXO
v F
c
e.p. e.p.
ESPEJO CÓNCAVO
c
F
v
ESPEJO CONVEXO
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1ª) Si el rayo incidente es paralelo al eje principal, la recta de propagación del rayo reflejado pasa por
el foco principal.
2ª) Si la recta de propagación del rayo incidente pasa por el foco principal, el rayo reflejado es pa-
ralelo al eje princi pal.
3ª) Si la recta de propagación del rayo incidente pasa por el centro de curvatura, la recta de propagación
del rayo refleja do coincide con la del incidente.
Relación entre el radio y la abscisa focal
Si sólo se tienen en cuenta espejos esféricos de pequeña abertura –es decir, aquellos en los que los
radios dirigidos a puntos del borde diametralmente opuestos forman un ángulo no mayor que 15º-, la
relación entre la abscisa focal y el radio de curvatura es:
Esta relación es válida tanto para los espejos cóncavos cuanto para los convexos.
Es oportuno recordar que, por la convención de signos adoptada, el radio y la abscisa focal
son positivos en los espejos cóncavos y negativos en los convexos.
Veamos la demostración de esta relación
F
v
c c
v
F
F
v
c c v F
F
v
c c v F
2
R
f =
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Consideremos un rayo paralelo al eje principal de un espejo cóncavo:
α es el ángulo de incidencia, β es el ángulo de reflexión y δ es la "abertura" correspondiente al rayo
considerado (la máxima abertura se llama abertura del espejo).
Por la segunda ley de la reflexión α = β (1)
(La semirrec ta ic es la bisectriz del ángulo que forman los rayos inciden te y refleja do. Además, la
recta ic es la normal al espejo en el punto i. Todo eje secundario es una normal al espejo en el punto
donde lo interseca.)
Por ser alternos internos entre paralelas α = δ (2)
De las igualdades (1) y (2), puede inferirse que β = δ y, en consecuencia, el triángulo es isós-
celes ⇒ (3)
Si el ángulo δ es muy pequeño (δ ≈ 0), los segmentos y se hacen aproximadamente iguales
(tanto más cuanto más pe queño sea δ ). Si, a partir de ahora, imponemos la limitación de emplear
únicamente rayos "paraxiales" (esto es, rayos próxi mos al eje principal) podremos expresar la relación
, a la que tomaremos como si fuese una igualdad
(4)
De las igualdades (3) y (4) podemos obtener que , que indica que (si respetamos la limitación
impuesta de tomar rayos paraxiales) el foco principal F es el punto medio del segmento . Como con-
secuencia, la abscisa focal será la mitad del radio de curvatura. Simbólicamente:
Fórmula de Descartes
En relación con los espejos esféricos de pequeña abertura la fórmula de Descartes expresa la relación
que existe entre la coordenada de posición de un objeto colocado frente a un espejo de pequeña abertura
y la de la imagen producida por el espejo. Dicha fórmula es:
v
F
c
α
β
i
δ
e.p.
iFc
FciF =
iF
vF
vFiF ≈
vFiF
=
FcvF =
vc
2
R
f
=
fxx
/
111
=+
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Veamos la demostración correspondiente
Imaginemos que un cuerpo puntual “a” está situado sobre el eje principal de un espejo cóncavo de abs-
cisa focal f y que su imagen es el punto “a’”:
En el triángulo
∆
/
aia
, los ángulos
∧
aic
y
∧
/
cia
son con gruentes (por la 2ª ley de la reflexión), en
consecuencia, la semirrecta ic es la bisectriz del ángulo
∧
i
. El teorema de la bisectriz interior esta-
blece que la bisectriz de cada ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos
proporcionales a los otros dos lados. En virtud de ello podemos escribir la siguiente proporción:
(1)
Establecemos ahora la siguiente nomenclatura:
(abscisa o posición del objeto)
(abscisa o posición de la imagen)
(abscisa focal)
(radio de curvatura)
Con esta convención obtenemos:
(2)
(3)
Además, si consideramos espejos de pequeña abertura, los ángulos resultan pequeños y es lícito consi-
derar las siguientes aproximaciones:
e
expresiones que tomaremos como igualdades, vale decir
(4)
a
v
β
i
α
a’ F c
e.p.
ia
ac
ia
ca
/
/
=
xva =
//
xva =
fvF =
Rvc =
//
xRca −=
Rxac −=
//
xia ≈
xia ≈
//
xia =
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(5)
Reemplazando las expresiones (2), (3), (4) y (5) en la proporción (1) nos queda:
Distribuyendo los denominadores y simplificando:
de donde
pero como , en consecuencia, la fórmula nos queda:
Aumento o agrandamiento lateral en los espejos esféricos
Se define el aumento o agrandamiento lateral “A” como el cociente entre la altura de la imagen y la
altura del obje to. Es costumbre, y resulta cómodo, tomar como objeto una flecha perpendicular al eje
principal, con su origen sobre dicho eje.
xia =
x
Rx
x
xR
/
/
−
=
−
x
R
x
R
/
−=− 11
Rxx
xx
.R
x
R
x
R
/
/
/
211
2
11
2
=+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
fR
R
f
12
2
=⇒
=
fxx
/
111
=+
Fórmula de Descartes
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La altura del objeto será la coordenada “y” del extremo de la flecha. Análogamente, la imagen será otra
flecha con su origen sobre el eje principal. La altura de la imagen será la coordenada “y’” del extremo
de la flecha. Tanto “y” como “y’ “ pueden ser positivas o negativas, según que la flecha corres pondiente
esté hacia arriba o hacia abajo del eje principal. Dicho esto, la fórmula del agrandamiento lateral es:
El valor numérico de A puede presentar las siguientes variantes:
- si el objeto y la imagen están ambos hacia arriba o ambos hacia abajo del eje principal A 〉 0
- si la imagen es invertida (se le dice así cuando está en el semiplano opuesto, con respecto
al eje principal, del que contiene al objeto) A 〈 0
- si la imagen es más grande que el objeto ⇒ │A│ 〉 1
- si el objeto y la imagen son iguales ⇒ │A│ = 1
- si la imagen es más chica que el objeto ⇒ │A│ 〈 1
Relación entre alturas y coordenadas de posición
y
y
A
/
=
v
y
x
F
c
y
y’
a
b’
a’
b
x
x
y
y
//
−=
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El signo negativo precediendo al segundo miembro de la expresión se debe a que cuando el cociente
y’/y es negativo, el cociente x’/x es positivo y a la inversa. Si comparamos la última fórmula con la del
agrandamiento lateral podemos llegar a inferir que A = -x’/x.
La que sigue es la demostración de la fórmula anterior.
Si comparamos los triángulos y vemos que:
• son rectángulos
• tiene los ángulos y congruentes
En consecuencia, podemos decir que los triángulos compa rados son semejantes ⇒ sus pares de
lados correspondientes son proporcionales. Simbólicamente:
Como ya hemos señalado, podemos reemplazar a los segmen tos de la proporción anterior por coor-
denadas de posición y alturas del objeto y de la imagen, de la siguiente forma:
(tamaño de la imagen)
(tamaño del objeto)
(posición de la imagen)
(posición del objeto)
Haciendo los reemplazos indicados, obtenemos:
avb
//
vba
avb
//
vba
va
va
ab
ba
///
=
///
yba =
yab =
//
xva =
xva =
x
x
y
y
//
−=
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Características de la imagen producida por los espejos esféricos
Para el caso de un objeto “real”, colocado frente a un espejo cóncavo, se presenta la siguiente al-
ternativa:
a- Si el objeto está a una distancia del vértice mayor que el radio, la imagen es real, invertida,
menor que el objeto y está situada entre el foco y el centro de curvatura.
x > R ⇒ f < x' < R ∧ -1 < A < 0
b- Si el objeto está en el centro de curvatura, la imagen es real, invertida, de igual tamaño que
el objeto y está situada en el centro de curvatura.
x = R ⇒ x' = R ∧ A = -1
c- Si el objeto está entre el foco y el centro de curva tura, la imagen es real, invertida, mayor
que el objeto y está situada a una distancia del vértice mayor que el radio de curvatura.
f < x < R ⇒ x' > R ∧ A < -1
d- Si el objeto está en el foco, no hay imagen (puede pensarse en una imagen infinitamente
alejada e infinitamente grande)
x = f ⇒ x' = ∞
e- Si el objeto está entre el foco y el vértice, la imagen es virtual, derecha, mayor que el objeto y
está situada detrás del vértice.
0 < x < f ⇒ x' < 0 ∧ A > 1
Para el caso de un objeto “real” colocado frente a un espejo convexo, se presenta una sola
posibilidad:
- la imagen es virtual, derecha, menor que el objeto y situada detrás del espejo.
x > 0 ⇒ x' < 0 ∧ 0 < A < 1
Además de estas situaciones, es posible considerar otras en las que el objeto es virtual. Como objeto
virtual para un espejo, suele tomarse una imagen real producida por otro espejo detrás del primero.
El siguiente cuadro muestra algunas relaciones, válidas para espejos cóncavos y convexos, entre carac-
terísticas del objeto y de la imagen:
I. V. I. R.
O. R. D I
O.V.
ID
Referencias:
I.V.: imagen virtual
I.R. : imagen real
O.R.: objeto real
O.V.: objeto virtual
D: derecha
I: invertida
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Refracción de la luz
La refracción de la luz es el fenómeno que se produce cuando la luz incide sobre una dioptra y la atra-
viesa.
Dioptra es la denominación que se utiliza para la superficie de separación entre dos medios materiales
transparentes distintos o entre un medio material transparente y el vacío.
Si, por ejemplo, dentro de un recipiente de metal hay un sistema formado por agua y
aceite, hay dos dioptras: una es la superficie de separación entre el aceite y el agua
mientras que la otra es la superficie libre del aceite (que la separa del aire). No con-
stituyen dioptras las superficies de contacto entre el agua y el metal o entre el aceite
y el metal dado que este último no es transparente.
Al producirse la refracción, la luz cambia de medio de propagación y, consiguientemente, cambia su
velocidad de propagación. La refracción consiste, entonces, en un cambio de velocidad de propagación
experimentado por la luz al cambiar de medio de propagación.
Cuando la luz incide en forma perpendicular sobre
una dioptra, sólo cambia el valor de su velocidad de
propagación mientras que cuando incide de cual-
quier otra forma (si se refracta) cambiarán el valor
y la dirección de dicha velocidad.
Una de las consecuencias más habituales de la
refracción consiste en que los objetos colocados
parcialmente en un líquido dan la apariencia de es-
tar quebrados, como se observa en la imagen de la
derecha. ( 1 )
Velocidad de propagación de la luz, índice de refracción
La velocidad con la que avanza la luz depende del medio en el que esté viajando. Su máximo valor lo
alcanza en el vacío y es c ≈ 3.10
8
m/s (300.000 km/s).
En los medios materiales, la velocidad de propagación de la luz es un valor “v” siempre menor que “c”
(v < c).
El índice de refracción de un medio material se define como el cociente entre las velocidades de la luz
en el vacío y en el medio material considerado:
“
n
” representa al índice de refracción de un medio material en el que la luz se propaga con velocidad “
v
”.
v
c
n =
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