Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires
Ondas
FISICA
Página
2
Ondas
A continuación presentamos una síntesis de los conceptos más importantes en relación con el tema
“Ondas”, ejemplificaciones y ejercicios, que se amplían y profundizan en las clases presenciales. En
algunos casos, incluimos vínculos a sitios de Internet con animaciones referidas al tema correspondiente.
Le sugerimos que realice una lectura atenta de este material y aproveche la tutoría en el aula virtual
para cualquier consulta que necesite realizar sobre el tema.
Ondas mecánicas
Una onda es una perturbación de una determinada magnitud física que se propaga en el espacio.
Por ejemplo, en el caso de la propagación del sonido en el aire, la magnitud perturbada es
la presión del aire. En el caso de la luz, la perturbación corresponde a campos eléctricos y
magnéticos variables. ( 1 )
Las ondas electromagnéticas como la luz no necesitan ningún medio material y, por lo tanto, se
propagan también en el vacío. Las ondas mecánicas, en cambio, necesitan un medio elástico para
propagarse. Esta propagación implica transporte de energía y de cantidad de movimiento pero no de
materia.
En el caso de las ondas mecánicas la magnitud física perturbada es una propiedad de las partículas
del medio en el cual se propaga. En general llamaremos a esa magnitud ψ. Su valor es función de la
posición y del tiempo.
Si la propagación de la onda es en una sola dirección, que es el caso que vamos a estudiar, podemos expresar:
Un caso clásico de onda mecánica es la propagación de un pulso transversal en una cuerda tensa. La
perturbación que se propaga es el desplazamiento transversal de los puntos de la cuerda
En este ejemplo se produjo un pulso en el extremo
izquierdo de la cuerda que se propaga de izquierda
a derecha.
Si observamos un punto determinado de la cuerda,
como el indicado en rojo, se ve que se desplaza ver-
ticalmente, llegando a un desplazamiento máximo y
volviendo luego a su posición original.
Esto va sucediendo con todos los puntos de la cuerda
en la medida en que son alcanzados por la perturbación.
)t,r(f
=
)t,x(f=
(
),(),( txytxf ==
)
Página
3
La velocidad con que se propaga una onda mecánica depende de las propiedades del medio. En el
caso de la propagación de una perturbación en una cuerda tensa, la velocidad depende de la tensión
de la cuerda y de la masa por unidad de longitud:
Las ondas mecánicas pueden clasificarse en:
Ondas transversales Ondas longitudinales
Son aquellas donde la perturbación de las partí-
culas del medio es perpendicular a la dirección
de propagación de la onda.
Por ejemplo, la propagación de un pulso en una
cuerda o una onda que se propaga en el agua. ( 2 )
Son aquellas donde la perturbación de las par-
tículas del medio es paralela a la dirección de
propagación de la onda.
Por ejemplo la propagación del sonido o la pro-
pagación de un pulso en un resorte. ( 3 )
Descripción matemática de la propagación de un pulso
Supongamos nuevamente un pulso transversal que se propaga en una cuerda tensa de izquierda a
derecha.
En el instante t = 0 la cuerda tiene una configuración determinada que se puede expresar a través
de una función y = f(x)
Si consideramos que no hay pérdida de energía durante la propagación, en un instante posterior t la
perturbación se habrá desplazado, conservando la misma forma, una distancia v.t:
T
v =
dirección de propagación
dirección de la
perturbación
v
dirección de la
perturbación
dirección de propagación
y
x
Instante inicial
Página
4
Como la onda se propaga en el sentido de las x positivas, el desplazamiento de un punto de la cuerda
que se encuentra en una posición x en un instante t posterior, es el mismo que tenía el punto situado
en la posición x-d en el instante cero, siendo d = v.t la distancia que avanzó la onda en el lapso t.
Por lo tanto la función de onda, que representa el valor de la coordenada y de cualquier punto en
función de su posición x y del instante t, queda:
En el caso que el pulso viaje de derecha a izquierda es:
En general, para cualquier perturbación:
para ondas que se mueven en el sentido de las x positivas.
para ondas que se mueven en el sentido de las x negativas.
Ecuación de ondas
En lenguaje matemático la ecuación general que describe los fenómenos ondulatorios en diversas
situaciones físicas se conoce cómo ecuación de ondas. Cuando restringimos el análisis a una sola
dimensión sobre el eje x dicha ecuación adopta la forma:
Esta es una ecuación en derivadas parciales para la perturbación Ψ(x,t) donde aparece un único
parámetro v que corresponde a la velocidad de propagación de la onda, también llamada velocidad
de fase.
Instante t
v.t
y
x
),tvx(y)t,x(y 0⋅−=
)tvx(f)t,x(fy ⋅−==
)tvx(f)t,x(fy ⋅+==
)tvx()t,x( ⋅−=
)tvx()t,x( ⋅+=
2
2
2
2
2
x
v
t ∂
∂
=
∂
∂
Página
5
Le proponemos:
Compruebe que cualquier función matemática de la forma f(x±v.t) cumple la ecuación de ondas.
Verifique también que la ecuación satisface condiciones de linealidad, esto es, que:
si f
1
y f
2
representan dos soluciones válidas entonces f(x,t) = a.f
1
(x±v
1
.t) + b.f
2
(x±v
2
.t) también lo es
(Principio de superposición).
Si realiza la comprobación obtendrá que la superposición vale sólo cuando v
1
=v
2
=v , pero no depende
de la forma funcional de f
1
y f
2
.
En los llamados medios no dispersivos la velocidad de fase es idéntica para las distintas compo-
nentes f
i
que pueda tener el pulso. Como resultado de ello el pulso no se deforma a medida que se
desplaza, ya que todas sus componentes avanzan juntas. En cambio cuando el medio es dispersivo,
ondas que posean diferente frecuencia viajarán con distintas velocidades.
Un ejemplo de dispersión es el caso de un haz de luz blanca cuando se descompone en dife-
rentes colores al atravesar un prisma de vidrio, donde cada componente del haz original
posee una frecuencia óptica (“color”) diferente.
En sistemas físicos reales el medio introduce pérdidas en la energía que transporta la onda disminu-
yendo progresivamente su amplitud. Este factor, que por el momento dejamos de lado, introduce un
término de amortiguación de la forma -β.∂ψ/∂t donde el signo “-“ indica decrecimiento y el coefi-
ciente β indica la magnitud del mismo efecto.
Ondas en tres dimensiones
Si consideramos ahora las tres dimensiones espaciales, podemos generalizar el modelo unidimensio-
nal anterior empleando una expresión de la forma:
con su correspondiente función de onda
Las ondulaciones del agua sobre un estanque por ejemplo, se describen a través de dos variables
espaciales, que son las coordenadas del punto sobre la superficie donde se produce la perturbación.
Las ondas tridimensionales cómo la luz, las ondas sísmicas y las ondas acústicas entre otras, se
propagan a través de un volumen. En este, caso la perturbación es una función de tres variables
espaciales, correspondientes al punto de observación, además de la coordenada temporal.
2
2
2
2
2
2
22
2
1
zyxvt ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅
∂
∂
)tvr()t,r( ⋅−=
Página
6
Dada una cierta forma de onda arbitraria, se conoce cómo frente de ondas a la región del espacio
donde la perturbación corresponde a un mismo valor de fase constante:
Por ejemplo, hablamos de ondas planas cuando el frente de ondas yace sobre un plano,
idealmente infinito, perpendicular a la dirección de propagación.
Ondas periódicas
Volvamos al caso de ondas en una sola dimensión. Si la perturbación que da origen a la onda se repite
a intervalos regulares de tiempo se genera un tren de ondas u onda periódica.
En este caso se denomina período (T) al tiempo que transcurre entre dos pulsos y longitud de onda
(λ) a la distancia mínima entre dos puntos cuyas perturbaciones están en fase.
Por lo que:
siendo v la velocidad de propagación de la onda.
Por otra parte, la frecuencia de la onda,
T
f
1
=
, es la cantidad de pulsos generados por unidad
de tiempo.
cte)t,r( =
Tv ⋅=
Página
7
Ondas armónicas
Si la perturbación periódica que genera la onda es una función senoidal se trata de una onda ar-
mónica progresiva. ( 2 )
Por ejemplo, en el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda, si el extremo
de la cuerda donde se origina la perturbación realiza un movimiento oscilatorio armónico,
la onda propagada se puede describir a través de una función armónica.
A medida que la onda se propaga, los distintos puntos del medio también realizan un movimiento
armónico simple.
Si la onda avanza en el sentido positivo de las x, la función de onda será:
donde:
A es la amplitud, valor máximo de la perturbación.
φ es la constante de fase.
k es una constante denominada número de onda o frecuencia espacial.
El argumento de la función armónica,
, se denomina fase instantánea.
Consideremos la expresión de la función ψ para t=0:
ψ
t
T
ψ=f(t)
Gráfico de la función de onda para una posición x determinada.
x
ψ
λ
ψ
=f(x
)
Gráfico de la función de onda para un instante t determinado.
[ ]
+⋅−⋅= )tvx(ksenA)t,x(
[ ]
+⋅− )tvx(k
[ ]
+⋅= kxsenA),x( 0
Página
8
como la función debe tener el mismo valor para un punto de coordenada x+λ (primer punto connse-
cutivo en fase), se cumple:
por lo que:
Por otra parte:
donde ω se denomina pulsación o frecuencia angular.
Por lo que la función de onda puede escribirse también como:
Para un instante determinado el gráfico de la función resulta:
Para una posición determinada el gráfico de la función resulta:
[ ] [ ]
++⋅=+⋅ )x(ksenAkxsenA
[ ] [ ]
++=+ )x(ksenkxsen
⋅++⋅=++⋅ 2xk)x(k
⋅=⋅ 2k
⋅
=
2
k
=
⋅
=⋅
⋅
=⋅
T
vvk
22
[ ]
+⋅
⋅
−⋅
⋅
⋅=+⋅−⋅⋅=
t
T
xsenAtxksenA)t,x(
22
)x(
)t(
ψ
λ
x
A
ψ
t
T
A
Página
9
Velocidad de fase o de propagación
De lo expuesto hasta aquí surge que una onda puede interpretarse cómo la progresión de una condi-
ción de fase constante.
Por ejemplo, la cresta de una onda corresponde a un valor de fase tal, que conduce a un
máximo de la perturbación.
La velocidad con que se desplaza una cresta de onda se denomina velocidad de propagación, o bien
velocidad de fase.
Se puede demostrar que esta magnitud es idéntica a la v de las ecuaciones anteriores, calculando
para un valor de fase constante la derivada respecto al tiempo:
y la velocidad de propagación es:
Para una onda que se desplaza hacia las x negativas, vimos que la expresión es igual pero de signo
contrario, y análogamente se obtiene:
En general v dependerá de las propiedades físicas del medio donde la onda se desplaza, y puede
asimismo variar con la frecuencia angular ω (medios dispersivos).
Amplitud e intensidad
Aunque el movimiento ondulatorio no involucra un transporte neto de masa, las ondas sí transportan
energía. El flujo de energía por segundo a través de un área unitaria perpendicular a la dirección de
propagación se denomina intensidad de la onda.
Se define también la densidad de energía cómo la energía total contenida por unidad de volumen.
En medios homogéneos v es constante y la intensidad se puede expresar cómo el producto de v por
la densidad de energía. También se puede demostrar que ambas magnitudes son proporcionales al
cuadrado de la amplitud y de la frecuencia de la onda.
Para el caso de ondas sinusoidales en un medio elástico, basta con determinar la energía vibratoria
de una partícula que efectúa un movimiento armónico simple.
Consideremos, una partícula P que se desplaza verticalmente durante el paso de una onda viajera. La
energía cinética y potencial de la partícula varían en el tiempo, pero su energía total se conserva (no
.kxt
cte
=−
kdt
dx
v
==
k
v
−=
Página
10
consideramos efectos disipativos), por tanto, podemos evaluarla en cualquier instante.
A partir de la expresión para un desplazamiento armónico, calculamos:
con velocidad:
En el punto más bajo de la trayectoria la energía es puramente cinética (y = 0) , y vale que:
Puesto que ésta es también la energía total de la partícula, y es proporcional a la energía por unidad
de volumen, se sigue que
La intensidad, que es ν veces esta magnitud, será también proporcional a ω
2
y a
2
.
Superposición de ondas
Contrariamente a lo que sucede con las partículas, dos pulsos u ondas pueden coincidir en el mismo
instante en un mismo punto del espacio. Para el estudio de este fenómeno podemos aplicar el prin-
cipio de superposición:
Cuando dos o más ondas se superponen en un punto del espacio la onda resultante es la suma alge-
braica de las ondas individuales. ( 4 )
Superposición de ondas armónicas
Cualquier tipo de onda periódica puede analizarse como la superposición de ondas armónicas me-
diante series de Fourier. Cuando dos o más ondas armónicas de la misma naturaleza se superponen
se produce el fenómeno de interferencia.
Analicemos la interferencia que se produce entre ondas que se mueven en la misma direc-
ción y sentido:
El resultado de esta interferencia depende de la diferencia de fase, de las amplitudes y de las frecuen-
cias de las ondas que interfieren.
( )
−= t.sen.ay
( )
−= t.cos.a.
dt
dy
22
2
1
2
1
am
dt
dy
m
máx
=
22
a.energíadedensidad ∝
Página
11
En el caso de dos ondas de la misma amplitud y frecuencia pero con diferencia de fase, tales como:
La onda resultante es:
aplicando la relación trigonométrica:
la función de onda resultante es:
Observamos que si el defasaje es con n = 1,2,3,... etc (ondas que interfieren en fase) la
amplitud de la onda resultante es . La frecuencia y la longitud de onda resultante son las mismas
que las de las ondas originales. En este caso se trata de interferencia constructiva.
Por otra parte, si el defasaje es con n = 0,1,2,...etc (ondas que interfieren en
oposición de fase) la amplitud de la onda resultante es cero. En este caso se trata de interferencia
destructiva.
Finalmente, si la diferencia de fase δ esta entre 0 y π, la onda resultante tiene una amplitud que está
entre cero y 2.A. Nuevamente, la frecuencia y la longitud de onda resultante son las mismas que las
de las ondas originales.
)(),(
1
txksenAtx ⋅−⋅⋅=
)txk(senA)t,x( +⋅−⋅⋅=
2
[ ]
)txk(sen)txk(senA)t,x()t,x()t,x( +⋅−⋅+⋅−⋅⋅=+=
21
+
−
⋅=+
22
2
ba
sen
ba
cossenbsena
+⋅−⋅⋅
⋅⋅=
22
2
txksencosA)t,x(
⋅⋅= 2n
A⋅2
⋅+⋅= )n( 12
Página
12
Onda estacionaria
Analicemos la interferencia entre dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia que se pro-
pagan en la misma dirección pero con sentidos opuestos. Esto da lugar a un modo de vibración del
medio que se denomina onda estacionaria. ( 5 ) ( 6 )
Este tipo de vibración se da, por ejemplo, en una cuerda sujeta en ambos extremos donde se produce
una onda progresiva que se refleja al llegar al extremo fijo, produciéndose así una onda que se pro-
paga en sentido contrario, que se superpone a la onda progresiva original.
Las ondas progresiva y reflejada responden a las siguientes funciones:
La onda resultante es:
aplicando la relación trigonométrica:
la función de onda resultante queda:
Como se observa, esta función no corresponde a la de una onda progresiva ya que
Esta función corresponde a un modo de vibración del medio tal que cada
punto posee un movimiento oscilatorio armónico, ya que:
Donde
)txk(senA)t,x( ⋅−⋅⋅=
1
)txk(senA)t,x( ⋅+⋅⋅=
2
[ ]
)txk(sen)txk(senA)t,x()t,x()t,x( ⋅−⋅+⋅+⋅⋅=+=
21
+
−
⋅=+
22
2
ba
sen
ba
cossenbsena
)tcos()xk(senA)t,x( ⋅⋅⋅⋅⋅= 2
)tvx(f)t,x( ⋅−≠
)tcos(B)t,x( ⋅⋅=
)xk(senAB ⋅⋅⋅= 2
Página
13
Por otra parte, se observa que la amplitud de oscilación depende de la posición del punto. En el grá-
fico siguiente vemos la forma de la función
en distintos instantes:
Existen puntos donde la oscilación resultante tiene amplitud máxima (
A⋅2
) en estos casos:
donde n = 0, 1, 2,....
donde n = 0, 1, 2,....
Estos puntos se denominan vientres.
Existen puntos que no oscilan ya que la amplitud es cero, en estos casos:
donde n = 0, 1, 2,....
donde n = 0, 1, 2,....
Estos puntos se denominan nodos.
Los demás puntos tienen amplitudes de oscilación entre cero y
A⋅2
.
Hasta aquí hemos analizado distintos fenómenos ondulatorios de los que se ocupa la Física.
Recuerde que puede dejar sus inquietudes en el aula virtual, para contar con los aportes de
otros compañeros de estudio y la orientación de su tutor.
)x(
2
121
⋅+⋅=⋅⇒=⋅⇒ )n(xk)xk(senB
máx
2
12
2
⋅+⋅=
⋅⋅
)n(
x
4
12
)n(x +⋅=
⋅=⋅⇒=⋅⇒= nxk)xk(senB 00
⋅=
⋅⋅
n
x2
2
⋅= nx
Página
14
Vínculos a simulaciones sobre temas desarrollados
( 1 ) Visualización de la propagación de ondas electromagnéticas.
http://www.walter-fendt.de/ph11s/emwave_s.htm
( 2 ) Visualización de pulsos y ondas armónicas transversales de distinta frecuencia y amplitud.
http://surendranath.tripod.com/Applets/Waves/Twave01/Twave01Applet.html
( 3 ) Visualización de pulsos y ondas armónicas longitudinales de distinta frecuencia y amplitud.
http://surendranath.tripod.com/Applets/Waves/Lwave01/Lwave01Applet.html
( 4 )
Superposición de ondas.
Interferencia de pulsos de igual dirección y sentidos opuestos.
http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave2.html
( 5 ) Interferencia de ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia, dirección y sentidos opuestos.
Generación de ondas estacionarias
http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave4.html
( 6 )
Interferencia de ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia, dirección y sentidos opues-
tos. Generación de ondas estacionarias
http://surendranath.tripod.com/Applets/Waves/Twave02/Twave02Applet.html
Vínculos de interés sobre el tema de ondas en general
http://colos.fcu.um.es/ondas/cursoondas.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/MovOndulatorio.html
Superposición de ondas.
Interferencia de ondas de igual dirección y sentido, de diferentes amplitudes y frecuencias y con
diferencia de fase.
http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/interferencia/waveInterference.html
Ondas estacionarias. Superposición de armónicos en una cuerda con dos extremos fijos.
http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves1/StandingWaves1.html
Ondas estacionarias. Superposición de armónicos en un tubo con extremos abiertos.
http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves2/StandingWaves2.html
Ondas estacionarias. Superposición de armónicos en un medio con un extremo fijo y otro libre.
http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves3/StandingWaves3.html
Análisis de Fourier de ondas periódicas
http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/op_applet_12.htm#
CV_ondas.pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.