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“Cuartiles, deciles y percentiles”
M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez
Abril 2014
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
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CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Aunque la varianza y la desviación estándar son la medidas de dispersión más
útiles en análisis estadístico, existen otras técnicas con las cuales puede
medirse la dispersión de un conjunto de datos. Estas medidas adicionales de
dispersión son los cuartiles, los deciles y los percentiles.
Cuartiles.
Son valores de la variable que dividen los datos ordenados en cuartos; cada
conjunto de datos tiene tres cuartiles. El primer cuartil,
1
Q
,es un número tal
que a lo sumo 25% de los datos son menores en valor que
1
Q
y a lo sumo 75%
son mayores. El segundo cuartil es la mediana (50%). El tercer cuartil,
3
Q
, es
un número tal que a lo sumo 75% de los datos son menores en valor que
3
Q
y
a lo sumo 25% son mayores.
Datos clasificados en orden ascendente
25%
25%
25%
25%
Cada conjunto de datos tiene tres cuartiles que lo dividen en cuatro partes
iguales. El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las
observaciones, y sobre el cual puede encontrarse el 75% restante. El segundo
cuartil es justo la mitad. La mitad de las observaciones están por debajo y la
mitad por encima; en este sentido, es lo mismo que la mediana. El tercer cuartil
es el valor debajo del cual está el 75% de las observaciones y encima del cual
puede encontrarse el 25% restante.
1
Q
3
Q
2
Q
s
L
i
L
3
La determinación de los cuartiles con frecuencia es de utilidad. Por ejemplo
muchas escuelas de posgrados admitirán sólo a aquellos estudiantes que
estén en el 25% superior (tercer cuartil) de los candidatos. Las empresas, con
frecuencia, desean señalar las plantas cuyos deficientes registros de
producción los colocan por debajo del cuartil inferior. Con un poco de
imaginación es posible prever numerosos ejemplos en los cuales la
determinación de cuartiles puede ser de gran beneficio.
Deciles.
Son valores de la variable que dividen los datos ordenados en diez partes
iguales (9 divisiones).
Datos clasificados en orden ascendente
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
Percentiles.
Son los valores de la variable que dividen un conjunto de datos clasificados en
100 subconjuntos iguales; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles. El
k-ésimo percentil,
k
P
, es un valor que a lo sumo k% de los datos son menores
en valor que
k
P
y a lo sumo (100 - k)% de los datos son mayores.
Datos clasificados en orden ascendente
1%
1%
1%
1%
…
1%
1%
1%
1%
1
D
2
D
3
D
4
D
5
D
6
D
7
D
8
D
9
D
s
L
i
L
1
P
2
P
3
P
4
P
97
P
98
P
99
P
s
L
i
L
96
P
4
Los deciles separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales, y los
percentiles en 100 partes. El primer decil es la observación debajo de la cual
se encuentra el 10% de las observaciones, mientras que el 90% restante se
encuentra encima de éste. El primer percentil es el valor debajo del cual se
encuentra el 1% de las observaciones, y el resto están encima de éste. Puede
aplicarse una interpretación similar al resto de deciles y percentiles. Todo
conjunto de datos tiene 9 deciles y 99 percentiles.
Un percentil y su ubicación en un arreglo ordenado se identifica mediante los
subíndices. Por ejemplo, el decimoquinto percentil se indica como P
15
, y su
ubicación en la serie ordenada es L
15
.
Para ilustrar el cálculo de percentiles, se asume que se tienen observaciones
para el número de acciones correspondientes a 50 acciones transados en la
Bolsa de Valores de Nueva York, como se muestra en la siguiente tabla. Vale
la pena destacar que los datos han sido puestos en una serie ordenada. El
lugar del P ésimo percentil se halla
Ubicación de un percentil
En donde es el sitio del percentil en una serie ordenada
es el número de observaciones
es el percentil deseado
Se asume que se desea calcular el percentil 25, P
25
, para las acciones de la
tabla. Se debe hallar el primero su ubicación en la serie ordenada.
5
3
10
19
27
34
38
48
56
67
74
4
12
20
29
34
39
48
59
67
74
7
14
21
31
36
43
52
62
69
76
9
15
25
31
37
45
53
63
72
79
10
17
27
34
38
47
56
64
73
80
El valor resultante de 12.75 decide que el percentil 25 está ubicado al 75% del
trayecto comprendido entre la doceava observación, que es 20 y la treceava
observación que es 21, es decir, P
25
=20 + 0.75 (21-20) = 20.75.
Si se desea calcular el percentil 35, se halla
El percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17,
que es 29 y la observación 18 que es 31, es decir P
35
= 29 + (0.85)(31-29) =
30.7. Por tanto el 35% de las observaciones está por debajo de 30.7 y el 65%
restante por encima de 30.7.
Regresando a los deciles y cuartiles por un momento, se nota que el primer
decil es igual a P
10
, el segundo decil es igual a P
20
, y así sucesivamente.
Adicionalmente, el primer cuartil es igual a P
25
, el segundo cuartil es igual a P
50
,
y P
75
, se encuentra en el tercer cuartil. Teniendo esto en mente, el cálculo de
deciles y cuartiles se vuelve simplemente un asunto de determinación de los
percentiles apropiados de acuerdo con las reglas que se acaban de establecer.
Números de acciones
transadas en la Bolsa de
Valores de Nueva York (en
100’s)
6
Ejemplo 1
Para la siguiente colección de datos 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 9, 9, 19, 20 y 20
calcule:
a) El primero y el tercer cuartil. Ubíquelos en un diagrama de caja.
b) El octavo decil.
c) El percentil 42, el 50 y el 87.
Solución
Cuartiles
Para el cálculo de los cuartiles debemos determinar la posición del dato que
ocupa cada cuartil con la condición de que dividan a la colección de datos en
cuatro partes iguales. De esta forma encontramos con que el segundo cuartil
coincide con la mediana dado que divide a la colección en dos partes iguales,
por lo que su posición es
1 14 1
7.5
22
n
.
Esto significa que la mediana es 4. Ahora el primer cuartil es la mediana de los
datos que se encuentran a la izquierda de la mediana o segundo cuartil. Así, la
posición del primer cuartil es
4
2
17
2
1n
. Esto significa que el primer
cuartil es el valor que está en la cuarta posición, es decir, 2. Del mismo modo,
el tercer cuartil es el valor que está en la cuarta posición desde el otro extremo,
es decir, 9.
1 1 1 2 3 3 4 4 5 9 9 19 20 20
Posición 7.5
Valor de Q
2
= 4
7
Como vemos en el diagrama de caja siguiente, al ubicar la caja entre el primero
y el tercer cuartil, se puede tener una idea de la distribución de los datos, es
decir, se observa que hay una mayor concentración de datos hacia los valores
pequeños puesto que la caja está desplazada a la izquierda.
2 4 9
1 20
Deciles
En cuanto al octavo decil, bastaría con ubicar la posición en que se encuentra a
través de la fórmula
14
8 8 11.2
10 10
n
. Esto quiere decir que entre el dato que se
encuentra en la posición 11 y la 12 está el octavo decil, pero más cerca de la
11 que de la 12 puesto que la posición es la 11.2. El resultado sería 9.2 porque
entre el 9 y el 19 (que son los datos cuyas posiciones son 11 y 12
respectivamente) hay exactamente 10 unidades.
Percentiles
Con relación a los percentiles pedidos, tendríamos que ubicar las posiciones
correspondientes como lo hicimos con los deciles. Para la posición del percentil
42 tendríamos la siguiente fórmula
14
42 42 5.88
100 100
n
. Esto quiere decir que
el percentil 42 se encuentra entre los datos que ocupan la posición 5 y la 6.
Afortunadamente en este caso ambos datos son 3 por lo que el percentil 42 es
3.
Para el percentil 50 basta con buscar la mediana puesto que coinciden. La
mediana de esta colección es 4. Por último, el percentil 87 se buscaría con el
Valor menor Valor mayor
Primer cuartil Q
1
Tercer cuartil Q
3
Segundo cuartil Q
2
o mediana
8
mismo procedimiento usado anteriormente, es decir,
14
87 87 12.18
100 100
n
nos
daría la posición del percentil buscado que en este caso es entre las posiciones
12 y la 13, más cerca de la primera. El resultado sería que el percentil 87 toma
el valor de 19.18.
Ejemplo 2.
Ejemplo: En la siguiente serie simple, que corresponde a la edad de los
trabajadores de una micro empresa: 33, 26, 66, 45, 28, 59, 33, 36, 26, 45, 62,
45, ordenar los datos y calcular los cuartiles uno, dos y tres, los deciles uno,
tres, cinco y nueve; y, los percentiles nueve, diez y cincuenta.
Solución.
Ordenamos los datos de mayor a menor:
26, 26, 28, 33, 33, 36, 45, 45, 45, 59, 62, 66
Cuartiles
Hallamos la ubicación del cuartil uno con la fórmula:
Calculamos el valor del cuartil uno:
El primer cuartil se localiza entre el tercer y cuarto valor y se encuentra a 0.25
de la distancia entre ellos. Como el tercer valor es 28, y el cuarto es 33,
obtenemos la distancia entre ellos restando el valor mayor del menor; es decir,
33 – 28 = 5. Para ubicar el primer cuartil, hay que moverse a 0.25 de distancia
entre el tercer valor y el cuarto, por lo que 0.25(5) = 1.25. Para terminar el
procedimiento, sumamos 1.25 al primer valor, y resulta así que el primer cuartil
es:
Q
1
= 28 + 1.25 = 29.25
9
Hallamos la ubicación del cuartil dos con la fórmula:
Calculamos el valor del cuartil dos:
Hallamos la ubicación del cuartil tres con la fórmula:
Calculamos el valor del cuartil tres:
El tercer cuartil se localiza entre el noveno y décimo valor y se encuentra a 0.75
de la distancia entre ellos. Como el noveno valor es 45, y el décimo es 59,
obtenemos la distancia entre ellos restando el valor mayor del menor; es decir,
59 – 45 = 14. Para ubicar el tercer cuartil, hay que moverse a 0.75 de distancia
entre el noveno valor y el décimo, por lo que 0.75(14) = 10.5. Para terminar el
procedimiento, sumamos 10.5 al primer valor, y resulta así que el tercer cuartil
es:
Q
3
= 45 + 10.5 = 55.5
Deciles
Hallamos la ubicación del decil uno con la fórmula:
10
Calculamos el valor del decil uno:
El primer decil se localiza entre el primero y segundo valor y se encuentra a 0.3
de la distancia entre ellos. Como el primer valor es 26, y el segundo es 26, se
asume que el valor del primer decil es de 26.
D
1
= 26
Hallamos la ubicación del decil tres con la fórmula:
Calculamos el valor del decil tres:
El tercer decil se localiza entre el tercer y cuarto valor y se encuentra a 0.9 de
la distancia entre ellos. Como el tercer valor es 28, y el cuarto es 33,
obtenemos la distancia entre ellos restando el valor mayor del menor; es decir,
33 – 28 = 5. Para ubicar el tercer decil, hay que moverse a 0.9 de distancia
entre el tercer valor y el cuarto, por lo que 0.9(5) = 4.5. Para terminar el
procedimiento, sumamos 4.5 al primer valor, y resulta así que el tercer decil es:
D
3
= 28 + 4.5 = 32.5
Hallamos la ubicación del decil cinco con la fórmula:
Calculamos el valor del decil cinco:
Hallamos la ubicación del decil nueve con la fórmula:
11
Calculamos el valor del decil nueve:
El noveno decil se localiza entre el onceavo y doceavo valor y se encuentra a
0.7 de la distancia entre ellos. Como el onceavo valor es 62, y el doceavo es
66, obtenemos la distancia entre ellos restando el valor mayor del menor; es
decir, 66 – 62 = 4. Para ubicar el noveno decil, hay que moverse a 0.7 de
distancia entre el onceavo valor y el doceavo, por lo que 0.7(4) = 2.8. Para
terminar el procedimiento, sumamos 2.8 al primer valor, y resulta así que el
noveno decil es:
D
9
= 62 + 2.8 = 64.8
Percentiles
Hallamos la ubicación del percentil diez con la fórmula:
Calculamos el valor del percentil diez:
Por lo tanto el valor de P
10
= 26
Hallamos la ubicación del percentil cincuenta con la fórmula:
Calculamos el valor del percentil cincuenta:
Por lo tanto el valor de P
50
= 40.5
12
Hallamos la ubicación del percentil noventa con la fórmula:
Calculamos el valor del percentil noventa:
P
90
= 62 + 2.8 = 64.8
Una medida única de dispersión es el rango o recorrido intercuartílico
(interquartile range – RIQ). EL RIQ es la diferencia entre el tercer cuartil y el
primer cuartil. Es decir P
75
– P
25
. La mitad de las observaciones se clasifican
dentro de este rango. Consta del 50% de la mitad de las observaciones y corta
el 25% inferior y el 25% superior de los puntos de datos. Como resultado, el
RIQ proporciona una medida de dispersión que no está muy influenciada por
unas cuantas observaciones extremas. El rango intercuartil se ilustra en la
figura siguiente.
Recorrido
intercuartílico
25% inferior
25% superior
RIQ
50% centrado
M3_L2 Probabilidades binomiales.pdf
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